6.7 角的和差 同步课堂-2025-2026学年浙教版（2024）七年级数学上册

6.7角的和差 讲解目录 【知识点1】角的计算 1 【题型1】角的和、差、倍、分关系运算 3 【题型2】角的平分线有关的运算 5 【题型3】角的和差及其表示 7 知识讲解 【知识点1】角的计算 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 1.（2024秋•冠县期末）根据如图所示，下列式子错误的是（　　） A．∠AOB=∠AOC+∠COB B．∠BOC=∠AOB-∠AOC C． D．∠AOC=∠BOA-∠COB 【答案】C 【分析】根据各角之间的和差关系进行判断得出正确选项． 【解答】解：A、∠AOB=∠AOC+∠COB，故本选项正确，不符合题意； B、∠BOC=∠AOB-∠AOC，故本选项正确，不符合题意； C、∠AOC=∠AOC+∠COB，故∠AOC=∠BOC错误，符合题意； D、∠AOC=∠BOA-∠COB，故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 2.（2025春•淄博期中）已知OC是∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定射线OC平分∠AOB的是（　　） A． B．∠AOB=2∠AOC C．∠AOC=∠BOC D．∠AOB=∠AOC+∠BOC 【答案】D 【分析】根据角的和差关系，判断∠AOC和∠BOC是否相等，即可得出结论． 【解答】解：如图， A、∵∠AOB=∠AOC+∠BOC， ∠BOC=∠AOB， ∴∠AOC=∠AOB， ∴∠AOC=∠BOC， ∴射线OC平分∠AOB， 故A选项不合题意； B、∵∠AOB=∠AOC+∠BOC， ∠AOB=2∠AOC， ∴∠AOC=∠BOC， ∴射线OC平分∠AOB， 故B选项不合题意； C、∵∠AOC=∠BOC， ∴射线OC平分∠AOB， 故C选项不合题意； D、∠AOB=∠AOC+∠BOC， 不能证明∠AOC=∠BOC， 射线OC不一定平分∠AOB， 故D选项符合题意． 故选：D． 3.（2024秋•雁塔区校级期末）如图，O为直线AC上一点，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC的内部，．∠DOE=72°，则∠EOC的度数为（　　） A．70° B．72° C．75° D．80° 【答案】B 【分析】由角平分线定义及题中条件，设∠AOD=∠BOD=α，∠BOE=β，则∠EOC=2β，数形结合，根据角度之间的关系列方程求解即可得到答案． 【解答】解：∵OD是∠AOB的平分线， ∴， ∵， ∴∠DOE=∠BOD+∠BOE=， 设∠AOD=∠BOD=α，∠BOE=β，则∠EOC=2β， ∴α+β=72°，2α+3β=180°①，则2α+2β=144°②， ∴由①-②得β=36°，即∠EOC=72°， 故选：B． 题型专练 【题型1】角的和、差、倍、分关系运算 【典型例题】如图，∠AOC，∠BOD都是直角，∠AOD：∠AOB=3：1，则∠BOC的度数是(　　) A. 22.5° B. 45° C. 90° D. 135° 【答案】B 【解析】设∠AOB和∠AOD分别为x、3x，由题意得，x+90°=3x，解得x=45°，则∠AOB=45°， 故∠BOC=∠AOC-∠AOB=45°．故选B． 【举一反三1】在15°、65°、75°、135°的角中，能用一副三角尺画出来的有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】15°=45°-30°，65°不能画出，75°=30°+45°，135°=45°+90°，所以能用一副三角尺画出来的有15°、75°，135°共3个，故选C． 【举一反三2】如图，∠AOC和∠DOB都是直角，如果∠DOC=28°，那么∠AOB=            ． 【答案】152° 【解析】∵∠AOC=∠DOB=90°，∠DOC=28°，∴∠AOB=∠AOC+∠DOB-∠DOC，=90°+90°-28°，=152°．故答案为：152°. 【举一反三3】如图，小明把两块完全相同的三角板如图放置，使两个60°角的顶点在A处重合，若∠CAE=100°，则∠DAB=            °． 【答案】20 【解析】∵∠CAE=100°，∠CAB=60°，∴∠BAE=∠CAE-∠CAB=40°，∵∠DAE=60°，∴∠DAB=∠DAE-∠BAE=20°，故答案为：20． 【举一反三4】如图，OC为∠AOB内部的一条射线，若∠AOB＝100°，∠BOC＝25°36′，求∠AOC的度数． 【答案】解　因为∠AOB＝100°，∠BOC＝25°36′， 所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝100°－25°36′＝74°24′. 【题型2】角的平分线有关的运算 【典型例题】如图，已知O为直线AB上一点，将30°的直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是(　　) A. ∠AOM＝3∠NOC B. ∠AOM＝2∠NOC C. 2∠AOM＝3∠NOC D. 3∠AOM＝5∠NOC 【答案】B 【解析】因为∠MON＝90°， 所以∠AOM＋∠BON＝90°， 所以∠BON＝90°－∠AOM， 因为OC是∠MOB的平分线， 所以∠MOB＝2∠BOC＝2∠MOC， 所以∠AOM＝180°－∠MOB＝180°－2∠BOC＝180°－2∠BON－2∠NOC， 所以∠AOM＝180°－2(90°－∠AOM)－2∠NOC， 所以∠AOM＝2∠NOC. 【举一反三1】如图，已知∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是(　　) A. β B. (α﹣β) C. α﹣β D. α 【答案】D 【解析】∵∠AOB＝α，∠BOC＝β， ∴∠AOC＝α+β， ∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线， ∴∠NOC＝∠BOC＝，∠MOC＝∠AOC＝， ∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝﹣＝． 故选：D． 【举一反三2】已知平面内∠AOB＝50°，∠COB＝10°，OE、OF分别平分∠AOB、∠BOC，则∠EOF＝　            　． 【答案】30°或20° 【解析】①当OC在∠AOB外部时，如图所示： ∵∠AOB＝50°，∠COB＝10°，OE、OF分别平分∠AOB、∠BOC， ∴∠EOB＝＝， ， ∴∠EOF＝∠EOB+∠BOF＝25°+5°＝30°； ②当OC在∠AOB内部时，如图所示： ∵∠AOB＝50°，∠COB＝10°，OE、OF分别平分∠AOB、∠BOC， ∴， ， ∴∠EOF＝∠BOE﹣∠FOC＝25°﹣5°＝20°， 故答案为：30°或20°． 【举一反三3】如图，已知∠AOC：∠BOC＝1：5，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB的度数． 【答案】解 由题意，可设∠AOC＝x，∠BOC＝5x． ∴∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝5x+x＝6x． ∵OD平分∠AOB， ∴∠AOD＝＝3x． ∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝3x﹣x＝2x＝36°． ∴x＝18°． ∴∠AOB＝6x＝108°． 【题型3】角的和差及其表示 【典型例题】如图，利用量角器测量角的度数，根据结果，以下结论错误的是（　　） A.∠AOB+∠BOC＝90° B.∠BOC+∠COD＝90° C.∠AOD﹣∠COD＝90° D.∠AOD﹣∠BOC＝90° 【答案】B 【解析】依题意得：∠AOB＝50°，∠BOC＝40°，∠COD＝40°，∠AOD＝130°， 则∠AOB+∠BOC＝50°+40°＝90°， 故选项A正确，不符合题意； ∵∠BOC+∠COD＝40°+40°＝80°， 故选项B正确，符合题意； ∵∠AOD﹣∠COD＝130°﹣40°＝90°， 故选项C正确，不符合题意； ∵∠AOD﹣∠BOC＝130°﹣40°＝90°， 故选项D正确，不符合题意． 故选：B． 【举一反三1】把一副三角尺的两个锐角的一条边和顶点重合（如图），这两个角的差是（　　） A.15° B.30° C.45° D.60° 【答案】C 【解析】如图所示： 由题可知：∠ABE＝60°，∠CBD＝45°， ∴∠1＝∠ABE﹣∠CBD＝60°﹣45°＝15°， 故选：C． 【举一反三2】如图所示，∠AOD﹣∠AOC等于（　　） A.∠AOC B.∠BOC C.∠BOD D.∠COD 【答案】D 【解析】结合图形，显然∠AOD﹣∠AOC＝∠COD． 故选：D． 【举一反三3】按图填空： （1）∠AOB+∠BOC＝　  　； （2）∠AOC+∠COD＝　   　； （3）∠BOD﹣∠COD＝　   　； （4）∠AOD﹣　  　＝∠AOB． 【答案】（1）AOC （2）AOD （3）BOC （4）BOD 【解析】（1）由图可得，∠AOB+∠BOC＝∠AOC； 故答案为：∠AOC． （2）∠AOC+∠COD＝∠AOD； 故答案为：∠AOD． （3）∠BOD﹣∠COD＝∠BOC； 故答案为：∠BOC． （4）∠AOD﹣∠BOD＝∠AOB． 故答案为：∠BOD． 【举一反三4】（1）图中共有多少个角？请分别表示这些角； （2）根据图形填空： ∠AOB+∠BOC＝　　  ；∠BOD﹣∠BOC＝　  　；∠AOD﹣∠DOB＝　  　． 【答案】解：（1）图中共有6个角，分别是：∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠BOC，∠BOD，∠COD． （2）∠AOB+∠BOC＝∠AOC；∠BOD﹣∠BOC＝∠COD；∠AOD﹣∠DOB＝∠AOB． 故答案为：∠AOC；∠COD；∠AOB． 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.7角的和差 讲解目录 【知识点1】角的计算 1 【题型1】角的和、差、倍、分关系运算 2 【题型2】角的平分线有关的运算 3 【题型3】角的和差及其表示 4 知识讲解 【知识点1】角的计算 （1）角的和差倍分 ①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC=∠AOB-∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=∠AOB． （2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60． （3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除． 1.（2024秋•冠县期末）根据如图所示，下列式子错误的是（　　） A．∠AOB=∠AOC+∠COB B．∠BOC=∠AOB-∠AOC C． D．∠AOC=∠BOA-∠COB 2.（2025春•淄博期中）已知OC是∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定射线OC平分∠AOB的是（　　） A． B．∠AOB=2∠AOC C．∠AOC=∠BOC D．∠AOB=∠AOC+∠BOC 3.（2024秋•雁塔区校级期末）如图，O为直线AC上一点，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC的内部，．∠DOE=72°，则∠EOC的度数为（　　） A．70° B．72° C．75° D．80° 题型专练 【题型1】角的和、差、倍、分关系运算 【典型例题】如图，∠AOC，∠BOD都是直角，∠AOD：∠AOB=3：1，则∠BOC的度数是(　　) A. 22.5° B. 45° C. 90° D. 135° 【举一反三1】在15°、65°、75°、135°的角中，能用一副三角尺画出来的有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【举一反三2】如图，∠AOC和∠DOB都是直角，如果∠DOC=28°，那么∠AOB=            ． 【举一反三3】如图，小明把两块完全相同的三角板如图放置，使两个60°角的顶点在A处重合，若∠CAE=100°，则∠DAB=            °． 【举一反三4】如图，OC为∠AOB内部的一条射线，若∠AOB＝100°，∠BOC＝25°36′，求∠AOC的度数． 【题型2】角的平分线有关的运算 【典型例题】如图，已知O为直线AB上一点，将30°的直角三角板MON的直角顶点放在点O处，若OC是∠MOB的平分线，则下列结论正确的是(　　) A. ∠AOM＝3∠NOC B. ∠AOM＝2∠NOC C. 2∠AOM＝3∠NOC D. 3∠AOM＝5∠NOC 【举一反三1】如图，已知∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数是(　　) A. β B. (α﹣β) C. α﹣β D. α 【举一反三2】已知平面内∠AOB＝50°，∠COB＝10°，OE、OF分别平分∠AOB、∠BOC，则∠EOF＝　            　． 【举一反三3】如图，已知∠AOC：∠BOC＝1：5，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB的度数． 【题型3】角的和差及其表示 【典型例题】如图，利用量角器测量角的度数，根据结果，以下结论错误的是（　　） A.∠AOB+∠BOC＝90° B.∠BOC+∠COD＝90° C.∠AOD﹣∠COD＝90° D.∠AOD﹣∠BOC＝90° 【举一反三1】把一副三角尺的两个锐角的一条边和顶点重合（如图），这两个角的差是（　　） A.15° B.30° C.45° D.60° 【举一反三2】如图所示，∠AOD﹣∠AOC等于（　　） A.∠AOC B.∠BOC C.∠BOD D.∠COD 【举一反三3】按图填空： （1）∠AOB+∠BOC＝　  　； （2）∠AOC+∠COD＝　   　； （3）∠BOD﹣∠COD＝　   　； （4）∠AOD﹣　  　＝∠AOB． 【举一反三4】（1）图中共有多少个角？请分别表示这些角； （2）根据图形填空： ∠AOB+∠BOC＝　　  ；∠BOD﹣∠BOC＝　  　；∠AOD﹣∠DOB＝　  　． 学科网（北京）股份有限公司 $