精品解析：辽宁省沈文新高考研究联盟2025-2026学年高三上学期期初质量监测数学试题

2025-2026（上）期初质量监测 高三数学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知二次函数．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 如图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方部分对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 已知定义在上的连续函数，满足，则方程的解的个数为（ ） A. 13 B. 14 C. 20 D. 21 5. 已知是等比数列的前n项和，若，则（ ） A. 1022 B. 1023 C. 1024 D. 1025 6. 设数列的前n项和为，若为常数，则称数列为吉祥数列.已知等差数列的首项为3，且公差不为0，若数列为吉祥数列，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 10. 已知等比数列的公比不为1且相邻三项调整次序后可为等差数列，若，存在实数使得对任意恒成立，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. （多选）已知函数，，若存在直线与曲线和均相切，则a的值可能为（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 第II卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是______． 13. 已知正项数列中，且，其中为数列的前项和，则数列的通项公式为___________． 14. 已知函数，若，则的单调递增区间为_______；若函数在区间上单调递增，则的取值范围为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 定义关于的新运算：，其中，为非零常数. （1）当，时，求的值； （2）当时，求不等式组的解集. 16. 设是定义域为的函数，如果对任意，均成立，则称是平缓函数． （1）若，试判断是否为平缓函数？并说明理由； （2）若函数是平缓函数，且是以1为周期的周期函数，证明：对任意的，均有． 17. 已知正项数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）求证：． 18. 已知数列是公差大于的等差数列，，，若数列前项和为，并满足，. （1）求数列，的通项公式. （2）若，求数列前项的和. 19. 定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数. （1）证明：； （2）证明：当时，； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026（上）期初质量监测 高三数学 本试卷满分150分 考试时间120分钟 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求解集合A，B，再利用交集的定义直接计算作答. 【详解】∵，， ∴. 故选：D. 2. 已知二次函数．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设描述，由一元二次不等式的解集列不等式求参数的范围，结合假命题个数确定参数范围. 【详解】若的解集为或，则解得； 若的解集为或，则解得； 若函数图象的对称轴在轴右侧，则对称轴，则，得． 又这三个同学的论述中，只有一个假命题，故乙同学为假，综上，． 故选：C. 3. 如图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方部分对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数图象的对称性排除B，D两项；根据A，C项中函数的结构，利用基本不等式和二次函数的性质判断其最值情况结合图象即可判断. 【详解】由图可知，“心形”图形关于轴对称，则“心形”在轴上方部分对应的函数为偶函数， 则函数为奇函数，故B不正确； 函数的定义域为，关于原点不对称，故D不正确； 的图象过点， 且时，，当且仅当时，等号成立， 即函数的最大值为2，又“心形”在轴上方部分对应的函数的最大值为1，故A不正确； 由的图象过点， 且时，，当时，等号成立， 即函数的最大值为1，满足题意，故C正确． 故选：C. 4. 已知定义在上的连续函数，满足，则方程的解的个数为（ ） A. 13 B. 14 C. 20 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】将函数写成分段函数，由，可得，结合图象求解即可. 【详解】解：因为 ， 由， 可得， 即有， 作出函数的图象如图所示： 则有7个根，有10个根，有4个根， 所以方程共有个根. 故选：D 【点睛】关键点睛：本题的关键是将函数写成分段函数并作出图象. 5. 已知是等比数列的前n项和，若，则（ ） A. 1022 B. 1023 C. 1024 D. 1025 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式可求； 【详解】设等比数列的公比为，由题意可得解得 则 故选：B. 6. 设数列的前n项和为，若为常数，则称数列为吉祥数列.已知等差数列的首项为3，且公差不为0，若数列为吉祥数列，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差，利用等差数列求和公式得，根据吉祥数列的定义可知为常数，不妨设，化简求得，进而利用等差数列通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差，则，故. 又因为数列为吉祥数列，所以为常数，不妨设， 则， 则，解得，所以. 故选：D 7. 已知函数，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用求导判断函数的单调性，再判断函数的奇偶性，利用函数的这些性质求解抽象不等式即得. 【详解】由求导得：， 因，当且仅当时，等号成立， 则，故函数在上为增函数， 又，即函数为奇函数. 则由可得，进而，解得. 故选：B. 8. 设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不等式存在整数解等价于的图象有部分在直线的下方且这部分图象上有横坐标为整数的点，用导数刻画的图象后考虑动直线的变化趋势从而得到实数a的取值范围． 【详解】令，则， 当时， ，所以在上是单调减函数； 当时，，所以在上是单调增函数； 由可得， 由题意可知，存在唯一的整数，使得， 则函数在直线下方的图象中只有一个横坐标为整数的点， 因为 当时，则函数在直线下方的图象中有无数个横坐标为整数的点，不合乎题意； 所以，因为， 当直线过点时，则，解得； 又，直线，所以此时函数与直线相切于点， 当直线过点时，则，且， 结合图象可得， 所以的取值范围是， 故选：A 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可. 【详解】关于的不等式的解集为或， ，故A错误； 对于B、C选项，已知和3是关于的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则，， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； 对于D选项，不等式，即，即， 解得或， 故不等式的解集为或，D正确. 故选：BD. 10. 已知等比数列的公比不为1且相邻三项调整次序后可为等差数列，若，存在实数使得对任意恒成立，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式及等差中项的性质求得公比或，根据恒成立确定，应用等比数列前n项和得，进而得，结合已知，即可判断各项正误. 【详解】设等比数列的公比为，相邻三项为， 则或或， 故或或，故或， 若，则， 当为奇数时，，时，故， 当为偶数时，，时，故，与题设矛盾； 所以，此时， 当为奇数时，当为偶数时，则， 所以在上单调递增，则， 由恒成立，故. 故选：BCD 11. （多选）已知函数，，若存在直线与曲线和均相切，则a的值可能为（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】先分别求两个函数的切线方程，再根据切线相同建立关系，最后将问题转化为值域问题进而求出a的可能值. 【详解】由题意得，，， 又直线与曲线和均相切， 设直线与曲线的切点为，则切线的斜率为， 故切线方程为， 设直线与曲线的切点为， 则切线的斜率为，故切线方程为， 两条切线为同一条直线，，由，可得， 代入，得， 即， 令，则问题转化为存在使得，即求的值域， ，令，解得， 故当时，；当时，， 在单调递增；在单调递减， ，的值域为，即. 故选：ABC． 第II卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】解法一、令，转化为，再分，，讨论即可；解法二、根据题意，参变分离得，再分，求函数最值即可. 【详解】解法一 、令， ①当时，在上单调递减，所以，此时满足条件． ②当时，的图象的对称轴方程为， 若，则在上单调递减，则只需满足，得； 若，则，且时已满足条件． 综上，实数的取值范围为． 解法二、时，，由得， 则在上有解． 令，则当时，； 当时，， 又在单调递增，所以，即， 故实数的取值范围为． 故答案为：. 13. 已知正项数列中，且，其中为数列的前项和，则数列的通项公式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用代入已知条件求得即得，然后再求出． 【详解】在数列中，①，又②，， 所以①除以②得． 又，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 则，所以． 当时，，当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为． 故答案为：． 14. 已知函数，若，则的单调递增区间为_______；若函数在区间上单调递增，则的取值范围为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时，分析函数的奇偶性，化简函数的解析式，结合导数法可求出函数的增区间；对实数的取值进行分类讨论，化简函数的解析式，分析可知对任意的恒成立，结合参变量分离法可求出实数的取值范围. 【详解】当时，， 因为的定义域为，， 故函数为偶函数， 当时，，则，即函数在上单调递增， 故当时，函数的增区间为； 当时，，则， 由题意知，对任意的，，则，可得， 此时； 当时，由可得，由可得， 所以， 因为函数在区间上单调递增， 若，则，， 此时函数在区间上不单调； 若时，即当时，则当时，， 则对任意的，，则，可得， 此时； 若时，即当时，则当时，， 则对任意的，，则，可得， 这与矛盾，此时不成立. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：，. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 定义关于的新运算：，其中，为非零常数. （1）当，时，求的值； （2）当时，求不等式组的解集. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由新运算定义结合题意可得答案. （2）由，可得.则可将化为： ，据此可得答案. 【小问1详解】 由题可知，， 解得. 【小问2详解】 由题可知，即. 又， 即，解得； ， 整理得， 解得或，所以解集为或. 16. 设是定义域为的函数，如果对任意，均成立，则称是平缓函数． （1）若，试判断是否为平缓函数？并说明理由； （2）若函数是平缓函数，且是以1为周期的周期函数，证明：对任意的，均有． 【答案】（1）是平缓函数，理由见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据平缓函数定义结合放缩法证得； （2）函数是周期函数，结合平缓函数定义证明即可； 【小问1详解】 任取， ， 只需证， 当有一个为0时，不妨设，则； 当都不为0时，分母利用不等式， 得，结合 可得 当且仅当时取等号成立，但此时，故严格不等式成立， 因此函数是上的平缓函数． 【小问2详解】 由已知可得，由于函数是周期函数，故不妨设， 当时，由为上的平缓函数得。 当时，不妨设， 此时由为上的平缓函数得 . 综上所述，命题得证. 17. 已知正项数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用数列前项和与的关系，再结合首项的值确定通项即可； （2）法一：直接放缩法，利用即可证出； 法二：由可得，即可证明不等式. 【小问1详解】 因为为正项数列，①， 当时，得； 当时，②， ①－②得，，得． 所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以． 【小问2详解】 解法1：因为， 所以当时， ， 当时也符合，所以原不等式成立． 解法2：因为，所以， 所以， 所以当时， ， 当时，不等式的左边也符合，所以原不等式成立． 18. 已知数列是公差大于的等差数列，，，若数列前项和为，并满足，. （1）求数列，的通项公式. （2）若，求数列前项的和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设出等差数列公差，根据题干条件列方程求出公差，得到通项，根据多写一项，作差，利用构造法求解； （2）根据错位相减法进行计算. 【小问1详解】 设等差数列公差为，， 整理可得，解得（负值舍去）， 则； 时，，解得， 当，， 整理可得，则， 又，则是首项为，公比为的等比数列， 则， 于是. 【小问2详解】 由（1）得，， 则， ， ， 即 19. 定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数. （1）证明：； （2）证明：当时，； （3）证明：． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义可直接计算证明； （2）设，求导证明即可； （3）根据题意证明，转化为证，令，即证，令，利用导数可得时，，时，即可求解. 【小问1详解】 证明：. 【小问2详解】 证明：注意到，且． 设，则． 因为是增函数，所以当时，． 从而当时，，即在上单调递增， 所以，则，当且仅当时等号成立． 【小问3详解】 证明：， ， ， ， ， ， 令，则且， 即证， 令， 因为， 令， 则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增，则， 即在单调递增，且， 所以时，，时，， 即在且时恒成立， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $