专题2.5 逆命题和逆定理（知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题）-2025-2026学年浙教版数学八年级上册同步培优讲练

专题2.5 逆命题和逆定理 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：逆命题 1 知识点梳理02：线段的垂直平分线 1 知识点梳理03：垂直平分线的性质与判定 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：写出命题的逆命题 3 考点2：判断是否为互逆命题 4 考点3：互逆定理 6 考点4：线段垂直平分线的判定 6 中考真题 实战演练 8 难度分层 拔尖冲刺 9 基础夯实 9 培优拔高 13 知识点梳理01：逆命题 在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫作互逆命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另外一个命题就叫作它的逆命题 知识点梳理02：线段的垂直平分线 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质： ①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 求做线段AB的垂直平分线 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点提示：作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了． 知识点梳理03：垂直平分线的性质与判定 1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．1. P 1. A 1. B 1. l 1. C 证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB． 　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB． 2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：（1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 3.线段垂直平分线的作法 ①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线， ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线； ③尺规法： （1） 分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F； （2） 过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。 考点1：写出命题的逆命题 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列命题的逆命题成立的是（    ） A．若两个实数相等，则它们的绝对值相等 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形的对应角相等 D．两直线平行，内错角相等 【变式训练1】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列4个命题①全等三角形的对应角相等②全等三角形的面积相等③两个正实数的积是正实数④是25的平方根，它们的逆命题是真命题的有（　　）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）下列命题中： 相等的角是对顶角； 直角三角形两个锐角互余； 如果，则； 如果一个点是这条线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等． 逆命题是真命题的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练3】（24-25八年级下·江西九江·期中）【教材呈现】下面是北师大版八年级下册数学教材第11页的部分内容： 定理在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． (1)请写出上述定理的逆命题； (2)判断（1）中逆命题的真假，并说明理由． 考点2：判断是否为互逆命题 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽六安·期中）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【变式训练1】（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【变式训练2】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 【变式训练3】下列命题的逆命题正确的是(     ) A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等 考点3：互逆定理 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列定理有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．同角的余角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列定理：①等腰三角形两底角相等；②全等三角形的对应边相等；③同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练2】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．每个定理都有逆定理 C．等腰三角形的顶角一定是锐角 D．等腰三角形的底角必为锐角 【变式训练3】（24-25七年级下·山东济宁·期末）请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 考点4：线段垂直平分线的判定 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）学习情境·问题讨论如图，直线l与线段交于点O，点P在直线l上，且．小明说：“直线l是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断错误的是（　　） A．小明说得不对 B．小亮说得对，可添条件为“” C．小亮说得对，可添条件为“” D．小亮说得对，可添条件为“平分” 【变式训练1】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F，连接．与相交于点G．则下列结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分，正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【变式训练2】（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接． (1)求证：点D在边的垂直平分线上； (2)连接，若，求证：． 【变式训练3】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图是由小正方形形成的格，的顶点A、B、C都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列两图． (1)在图中，画出的高； (2)在图中，P是与网格线的交点，先画线段关于对称的线段，再在上画点N．使得． 1．（2022·上海·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 2．（2021·湖北·中考真题）已知和都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）如图1，当时，作的中线； （2）如图2，当时，作的中线． 3．（2020·山东济南·中考真题）如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 4．（2024·浙江湖州·中考真题）如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（  ） A．24 B．30 C．36 D．42 5．（2023·江苏无锡·中考真题）命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是 命题．（填入“真”或“假”） 基础夯实 1．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列三个定理中，存在逆定理的有（   ） ①同角的余角相等； ②同位角相等，两直线平行； ③同角的补角相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）已知两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得出如下结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 3．（21-22八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，点E、D分别在的延长线上，与的平分线相交于点P，，与交于点H，交于F，交于G，下列结论：①；②平分；③垂直平分，其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（23-24八年级上·四川广安·期中）如图所示，现要在一块三角形草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条中线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 5．（25-26八年级上·河北·阶段练习）下列命题：①有一个角为的等腰三角形是等边三角形；②等腰直角三角形一定是轴对称图形；③有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．其中正确的是 ． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为 ；等腰三角形的两边长为和，则该等腰三角形的周长为 ；定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆定理是 ． 7．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在等边三角形中，是边上的高，E是上一点．若，则 度． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 9．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直． (1)请写出该命题的逆命题； (2)判断（1）中的命题是否是真命题？如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明：如果是假命题，请举反例画图说明． 10．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）数学课上，李老师提出了如下问题：尺规作图：作中边上的高线．下面是小婷设计的“作中边上的高线”的尺规作图过程． 作法： ①以点为圆心，以长为半径作弧，以点为圆心，以长为半径作弧，两弧在交于点； ②连接交于点，则线段是中边上的高线， 李老师肯定了小婷的作法，请你根据她设计的尺规作图过程，完成下列问题， (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）． (2)小齐和小郭两位同学对小婷的作法给出了证明，请将证明过程补充完整．小齐证明：连接，． ，， 点，分别在线段的垂直平分线上（① ）， 垂直平分线段． 线段是中边上的高线． 小郭证明： 连接，． ，，， ． ． 又， （② ）． 线段是中边上的高． (3)若，，求的度数． 培优拔高 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，是的平分线，于点E，于点F．则下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连结并延长交于点D，则下列说法中正确的个数是（   ） ①是的平分线；②；③点D在的中垂线上；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，平分，，，、为垂足，则下列四个结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分．其中，正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 14．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知命题“如果一个数的立方根为负数，那么这个数是负数”，则关于该命题和它的逆命题，给出下列说法：该命题和它的逆命题都是真命题；该命题是真命题，它的逆命题是假命题；该命题是假命题，它的逆命题是真命题；该命题和它的逆命题都是假命题．其中正确的是 ．（填序号） 15．“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”的逆命题是 ． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，沿折叠得到，连接交于点，求证：是的垂直平分线． 17．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，中，，D为边的中点，F为的延长线上一点，过点F作于G点，并交于E点，试说明下列结论成立的理由： (1)； (2)点A在的垂直平分线上． 18．（21-22八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 19．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）综合与实践：初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”．如图，在筝形中，． 【操作应用】 （1）如图①，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线．问是的平分线吗？请说明理由． 【实践拓展】 （2）实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图②，在仪器上的点A处拴一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤（铅垂线），仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的（铅垂线与水平线垂直）．实践小组的判断正确吗？请说明理由． 20．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图1，是射线上的一动点． (1)若，，则是__________三角形． (2)若为直角三角形，且，则的度数为__________． (3)如图2，若为的中点，则命题“当时，为线段的垂直平分线”是__________．（填“真命题”或“假命题”） 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 逆命题和逆定理 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：逆命题 1 知识点梳理02：线段的垂直平分线 1 知识点梳理03：垂直平分线的性质与判定 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：写出命题的逆命题 3 考点2：判断是否为互逆命题 6 考点3：互逆定理 10 考点4：线段垂直平分线的判定 11 中考真题 实战演练 16 难度分层 拔尖冲刺 20 基础夯实 20 培优拔高 29 知识点梳理01：逆命题 在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫作互逆命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另外一个命题就叫作它的逆命题 知识点梳理02：线段的垂直平分线 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质： ①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 求做线段AB的垂直平分线 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点提示：作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了． 知识点梳理03：垂直平分线的性质与判定 1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．1. P 1. A 1. B 1. l 1. C 证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB． 　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB． 2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：（1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 3.线段垂直平分线的作法 ①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线， ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线； ③尺规法： （1） 分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F； （2） 过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。 考点1：写出命题的逆命题 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列命题的逆命题成立的是（    ） A．若两个实数相等，则它们的绝对值相等 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形的对应角相等 D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【思路引导】本题考查了逆命题及命题真假的判断，熟练掌握写命题的逆命题，全等三角形、平行线、实数绝对值的相关性质和判定，是解题关键． 交换原命题的题设和结论部分得到四个命题的逆命题，然后根据平行线的判定、全等三角形的判定和绝对值的意义进行判定即可． 【规范解答】解：A、若两个实数相等，则它们的绝对值相等的逆命题为绝对值相等的两个实数相等，不成立； B、全等三角形的面积相等的逆命题为面积相等的三角形全等，不成立； C、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立； D、两直线平行，内错角相等的逆命题为内错角相等，两直线平行，成立． 故选：D． 【变式训练1】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列4个命题①全等三角形的对应角相等②全等三角形的面积相等③两个正实数的积是正实数④是25的平方根，它们的逆命题是真命题的有（　　）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【思路引导】本题考查逆命题，判断命题的真假，掌握知识点是解题的关键． 先写出各个命题的逆命题，再逐一判断真假即可． 【规范解答】解：①“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“三个角分别相等的三角形全等”，是假命题，所以本选项不符合题意； ②“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的两个三角形全等”，是假命题，所以本选项不符合题意； ③“两个正实数的积是正实数”的逆命题是“若两个实数的积是正实数，则这两个实数是正实数”，是假命题，所以本选项不符合题意； ④“5是25的平方根”的逆命题是“25的平方根是5”，是假命题，所以本选项不符合题意． 故选：A． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）下列命题中： 相等的角是对顶角； 直角三角形两个锐角互余； 如果，则； 如果一个点是这条线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等． 逆命题是真命题的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【思路引导】本题考查了命题与逆命题，判断命题真假，分别写出四个命题的逆命题，并逐一判断其真假即可，掌握命题与逆命题是解题的关键． 【规范解答】解：命题的逆命题：“对顶角相等”，对顶角一定相等，故逆命题为真； 命题的逆命题：“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，若两锐角之和为，则第三个角为，故三角形为直角三角形，逆命题为真； 命题的逆命题：“若，则”，绝对值相等时，与可能相等或互为相反数，逆命题为假； 命题的逆命题：“到线段两端距离相等的点是中点”，该点可能在线段的垂直平分线上而非线段上，故逆命题为假； 综上，逆命题为真的有个， 故选：． 【变式训练3】（24-25八年级下·江西九江·期中）【教材呈现】下面是北师大版八年级下册数学教材第11页的部分内容： 定理在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． (1)请写出上述定理的逆命题； (2)判断（1）中逆命题的真假，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)此命题是真命题，理由见解析 【思路引导】此题考查了命题，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）交换原命题的题设和结论即可； （2）延长至点D，使，连接，证明是等边三角形，得到，根据等腰三角形的三线合一证明即可． 【规范解答】（1）逆命题为：在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是； （2）此命题是真命题，理由如下： 已知：在中，， 求证：． 证明：延长至点D，使，连接， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴ ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 考点2：判断是否为互逆命题 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽六安·期中）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【思路引导】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得 ，根据角平分线的定义，可得 ，再根据平行线的判定，即可得出 ； （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【规范解答】解：（1）∵ 分别平分 和 （已知）， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等式的性质）， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为： ；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 【变式训练1】（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，分别平分和． 求证：． 证明：∵分别平分和（已知）， ∴______，______（____________）． ∵（____________）， ∴（______________________）． ∴____________（____________）， ∴∠____________（等式的基本性质）， ∴（______________________）； （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为两直线平行，内错角相等和内错角相等，两直线平行． 见析解 【思路引导】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得，根据角平分线的定义，可得，再根据平行线的判定，即可得出， （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【规范解答】解：（1）∵、分别平分和(已知)， ∴(角平分线的定义)， ∵(已知)， ∴(两直线平行，内错角相等)， ∴(等量代换)， ∴(等式的性质)， ∴(内错角相等，两直线平行)． 故答案为：；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 【变式训练2】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断，则利用平行线的传递性得到，然后根据平行线的性质得到结论； （2）利用了平行线的判定与性质定理求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【变式训练3】下列命题的逆命题正确的是(     ) A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等 【答案】B 【思路引导】先分别写出第个选项的逆命题，再判断其是否正确． 【规范解答】解：A的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题； B的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，真命题； C的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题； D的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，假命题； 故选：B． 【考点剖析】本题主要考查了学生对逆命题以及真假命题的定义的理解，要求学生对常用的基础知识牢固掌握，比较简单． 考点3：互逆定理 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列定理有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．等角的补角相等 C．同角的余角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 分别写出各个选项的条件和结论互换的说法，然后进行判断即可． 【规范解答】解：A、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，错误，故没有逆定理，不符合题意； B、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是等角的补角，错误，故没有逆定理，不符合题意； C、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，错误，故没有逆定理，不符合题意； D、逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，且是逆定理，符合题意， 故选：D． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列定理：①等腰三角形两底角相等；②全等三角形的对应边相等；③同位角相等，两直线平行．其中有逆定理的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【思路引导】本题考查定理与逆定理，分别写出三个命题的逆命题，判断真假，即可得出结果． 【规范解答】解：①的逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，为真命题； ②的逆命题为：对应边相等的两个三角形全等，为真命题； ③的逆命题为：两直线平行，同位角相等，为真命题； 故三个定理都有逆定理； 故选：D． 【变式训练2】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．每个定理都有逆定理 C．等腰三角形的顶角一定是锐角 D．等腰三角形的底角必为锐角 【答案】D 【思路引导】本题主要考查全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，定理与逆定理的定义，正确记忆相关知识点是解题的关键；根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理，定理与逆定理的定义，逐一判断各个选项即可． 【规范解答】解：A．三个角对应相等的两个三角形不一定全等，故该命题是假命题，A选项不符合题意； B．每个定理不一定有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题，故“对顶角相等”没有逆定理． 故该命题是假命题，B选项不符合题意； C．等腰三角形的顶角不一定是锐角，也可以是直角或钝角，故该命题是假命题，C选项不符合题意； D．因为等腰三角形的两个底角相等，故两个底角的和一定小于， 故每个底角都是小于的角， 即等腰三角形的底角一定是锐角，故该命题是真命题，D选项符合题意． 故选：D． 【变式训练3】（24-25七年级下·山东济宁·期末）请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【思路引导】本题考查了逆定理，根据题意，将题设与结论交换位置即可． 【规范解答】解：定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”， 故答案为：内错角相等，两直线平行 ． 考点4：线段垂直平分线的判定 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）学习情境·问题讨论如图，直线l与线段交于点O，点P在直线l上，且．小明说：“直线l是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断错误的是（　　） A．小明说得不对 B．小亮说得对，可添条件为“” C．小亮说得对，可添条件为“” D．小亮说得对，可添条件为“平分” 【答案】B 【思路引导】本题考查了垂直平分线的知识，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键． 【规范解答】解：A、可添条件为才能说：直线l是的垂直平分线； B、添条件为，则， 不能证明； C、添条件为， 在和中， ， ， ， ， 直线l是的垂直平分线； D、添条件为平分， 在和中， ， ， ， ， 直线l是的垂直平分线； 故选：B． 【变式训练1】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F，连接．与相交于点G．则下列结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分，正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，可利用证明得到，据此可判断①②③；根据现有条件无法证明垂直平分，据此可判断④． 【规范解答】解：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①②正确； ∴垂直平分，故③正确； 根据现有条件无法证明垂直平分，故④错误； 故选：C． 【变式训练2】（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接． (1)求证：点D在边的垂直平分线上； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定、等边对等角、三角形内角和定理等知识．解题的关键是熟练运用垂直平分线的性质和判定，结合三角形内角和定理推导角度关系． （1）利用垂直平分线性质得，结合推出，进而证明D在的垂直平分线上． （2）连接得到，设角并结合求出相关角度，得出，再利用垂直平分线性质和角度关系证明． 【规范解答】（1）证明：∵l是的垂直平分线，点D在l上， ∴， ∵， ∴． ∴点D在的垂直平分线上． （2）证明：由（1）可知，由“等边对等角”， 设， ， ∴在中，， 在中，， 即， ∴，则， 即， ∵点E在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴，则 【变式训练3】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图是由小正方形形成的格，的顶点A、B、C都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列两图． (1)在图中，画出的高； (2)在图中，P是与网格线的交点，先画线段关于对称的线段，再在上画点N．使得． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路引导】（1）由格点三角形得和为等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得，即可求解； （2）取格点，则有，可得，则线段关于对称线段为，根据角的对称性即可；取格点、并连接，如图交网格于，则为小网格边的中点，取格点、并连接，如图交网格于，则为小网格边的中点，连接交于，结合全等三角形判定及性质、平移等得垂直平分，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图， 线段为所求作； 由格点三角形得和为等腰直角三角形， ， ， ， ， 是的高； （2）解：如图，线段和点为所求作； 取格点，则有，可得，则线段关于对称线段为，如图交网格与点，同理通过全等三角形可证，则关于的对称点为，故关于对应线段是； 取格点、并连接，如图交网格于，则为小网格边的中点，取格点、并连接，如图交网格于，则为小网格边的中点，连接交于，则是的中点；构建，可证，同理可证，则有，同理可找出的中点，同理通过全等三角形可证，则有，故可将平移至交于，可得，则有垂直平分，故有． 【考点剖析】本题考查了网格作图，平移的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定及性质，能利用相关知识点找出所求的点是解题的关键． 1．（2022·上海·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【思路引导】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案． 【规范解答】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意； B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意； D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意． 故选：A． 【考点剖析】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题． 2．（2021·湖北·中考真题）已知和都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）如图1，当时，作的中线； （2）如图2，当时，作的中线． 【答案】（1）图见解析；（2）图见解析． 【思路引导】（1）连接，交于点即可； （2）先延长，相交于点，再连接，相交于点，然后连接，交于点即可． 【规范解答】解：（1）如图，连接，交于点，则即为所求． （2）分以下三步： ①延长，相交于点， ②连接，相交于点， ③连接，交于点， 则即为所求． 【考点剖析】本题考查了利用等边三角形的性质作图、利用线段垂直平分线的判定与性质作图等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键． 3．（2020·山东济南·中考真题）如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【思路引导】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可． 【规范解答】解：由作法得EF垂直平分AB， ∴MB＝MA， ∴BM+MD＝MA+MD， 连接MA、DA，如图， ∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号）， ∴MA+MD的最小值为AD， ∵AB＝AC，D点为BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵ ∴ ∴BM+MD长度的最小值为5． 故选：D． 【考点剖析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键． 4．（2024·浙江湖州·中考真题）如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（  ） A．24 B．30 C．36 D．42 【答案】B 【思路引导】过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【规范解答】如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E， ∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°， ∴DE=CD=4， ∴四边形的面积 故选B. 【考点剖析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 5．（2023·江苏无锡·中考真题）命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是 命题．（填入“真”或“假”） 【答案】假 【规范解答】解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题． 故答案为：假． 【考点剖析】本题考查了命题的真假性，解决此题的关键是会写出原命题的逆命题． 基础夯实 1．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列三个定理中，存在逆定理的有（   ） ①同角的余角相等； ②同位角相等，两直线平行； ③同角的补角相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【思路引导】本题考查的是真假命题的判断，逆命题，逆定理的含义，先分别写出命题的逆命题，再判断逆命题的真假即可得到答案． 【规范解答】解：同角的余角相等的逆命题是：相等的两个角是同一个角的余角；该逆命题是假命题，不存在逆定理，故①不符合题意； 同位角相等，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同位角相等；该逆命题是真命题，存在逆定理；故②符合题意； 同角的补角相等的逆命题是：相等的两个角是同一个角的补角；该逆命题是假命题，不存在逆定理，故③不符合题意； 故选：B 2．（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）已知两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得出如下结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定和性质，根据即可求证，即可判断①；根据，可得垂直平分，即可判断②③；根据，即可判断④． 【规范解答】解：①在和中， ， ∴， 故①正确，符合题意； ②∵，， ∴垂直平分， 即， 故②③正确，符合题意； ④ ， 故④错误，不符合题意； 综上：正确的有①②③． 故选：B． 3．（21-22八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，点E、D分别在的延长线上，与的平分线相交于点P，，与交于点H，交于F，交于G，下列结论：①；②平分；③垂直平分，其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．①根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结论；②根据角平分线的性质即可得到结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得出结论． 【规范解答】解：①∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②如图，过点作于点,于点，于点， ∵与的平分线相交于点P， ∴， ∴ ∴是的平分线，即平分；故②正确； ③∵，平分， ∴垂直平分（三线合一），故③正确； 故选：D． 4．（23-24八年级上·四川广安·期中）如图所示，现要在一块三角形草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条中线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【思路引导】本题考查了垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，进行分析，即可作答． 【规范解答】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三边的垂直平分线的交点， 故选：D 5．（25-26八年级上·河北·阶段练习）下列命题：①有一个角为的等腰三角形是等边三角形；②等腰直角三角形一定是轴对称图形；③有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．其中正确的是 ． 【答案】①②④ 【思路引导】本题主要考查了等边三角形的判定，轴对称图形的判定，全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定．根据等边三角形的判定，轴对称图形的判定，全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，逐项进行判断即可． 【规范解答】解：①有一个角为的等腰三角形是等边三角形，故①正确； ②等腰直角三角形一定是轴对称图形，故②正确； ③有一条直角边对应相等的两个直角三角形不一定全等，故③错误； ④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故④正确， 即正确的命题是①②④． 故答案是：①②④． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为 ；等腰三角形的两边长为和，则该等腰三角形的周长为 ；定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆定理是 ． 【答案】 或 到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质的逆定理等知识点，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据三角形内角和定理结合等腰三角形两底角相等，求出它的顶角度数即可；由等腰三角形的性质结合三角形三边关系即可求出等腰三角形的周长；再根据线段垂直平分线的性质的逆定理求解即可． 【规范解答】解：∵等腰三角形的一个内角的度数为， 当等腰三角形的底角为时，则顶角为； 当等腰三角形的顶角为时，则顶角为； ∴它的顶角度数为：或； 等腰三角形的两边长和， 当腰长为，则等腰三角形三边长为， ∵，不能构成三角形，故舍去； 当腰长为，则等腰三角形三边长为， ∵，能构成三角形， ∴该等腰三角形的周长为； 定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆定理是“到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”； 故答案为：或；；到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ． 7．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在等边三角形中，是边上的高，E是上一点．若，则 度． 【答案】25 【思路引导】本题考查等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，先判断出是的垂直平分线，进而求出，即可得出结论． 【规范解答】解：∵三角形是等边三角形，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∵点E在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为：25． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据进行计算，得到答案． 【规范解答】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∵， ∴ ． 9．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直． (1)请写出该命题的逆命题； (2)判断（1）中的命题是否是真命题？如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明：如果是假命题，请举反例画图说明． 【答案】(1)如果两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角的平分线互相垂直，那么这两条直线互相平行； (2)真命题，过程见解析． 【思路引导】本题主要考查逆命题，平行线的判定，三角形内角和定理，掌握平行线的判定是关键． （1）根据逆命题的书写方法即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，，根据三角形内角和定理得到，结合平行线的判定方法即可求解． 【规范解答】（1）解：逆命题：如果两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角的平分线互相垂直，那么这两条直线互相平行． （2）解：已知：如图，直线、被直线所截，平分，平分，． 求证：， 证明：∵平分，平分， ∴， （角平分线的定义）， ∵， ∴， ∵（ 三角形内角和定理 ）， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）数学课上，李老师提出了如下问题：尺规作图：作中边上的高线．下面是小婷设计的“作中边上的高线”的尺规作图过程． 作法： ①以点为圆心，以长为半径作弧，以点为圆心，以长为半径作弧，两弧在交于点； ②连接交于点，则线段是中边上的高线， 李老师肯定了小婷的作法，请你根据她设计的尺规作图过程，完成下列问题， (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）． (2)小齐和小郭两位同学对小婷的作法给出了证明，请将证明过程补充完整．小齐证明：连接，． ，， 点，分别在线段的垂直平分线上（① ）， 垂直平分线段． 线段是中边上的高线． 小郭证明： 连接，． ，，， ． ． 又， （② ）． 线段是中边上的高． (3)若，，求的度数． 【答案】(1)图见解析； (2)①到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②三线合一； (3)． 【思路引导】（1）根据题目中的步骤画图即可； （2）根据两位同学的证明过程判断所用的依据； （3）结合等边对等角、三角形内角和定理、三角形高线的定义即可得解． 【规范解答】（1）解：如下图所示： （2）解：小齐证明：连接，． ，， 点，分别在线段的垂直平分线上（① 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 ）， 垂直平分线段． 线段是中边上的高线． 小郭证明： 连接，． ，，， ． ． 又， （② 三线合一 ）． 线段是中边上的高． 故答案为：①到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②三线合一． （3）解：，， ， 线段是中边上的高线， ， 中，． 【考点剖析】本题考查的知识点是尺规作图—做垂线、垂直平分线的判定、三线合一、等边对等角、三角形内角和定理、三角形高线的定义，解题关键是理解题意． 培优拔高 11．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，是的平分线，于点E，于点F．则下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，垂直平分线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合角平分线的性质得，再证明，故，根据，，得出是的垂直平分线，即可作答． 【规范解答】解：∵是的平分线，于点E，于点F． ∴ 故B选项正确，不符合题意； ∵是的平分线，于点E，于点F． ∴ ∵ ∴ ∴， 故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴是的垂直平分线， ∴ 故A选项正确，不符合题意； 无法得出 故D选项不正确，符合题意； 故选：D． 12．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连结并延长交于点D，则下列说法中正确的个数是（   ） ①是的平分线；②；③点D在的中垂线上；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图． ①根据作图的过程可以判定是的角平分线； ②利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数； ③利用等角对等边可以证得是等腰三角形，由线段的垂直平分线的性质可以证明点D在的中垂线上； ④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比． 【规范解答】解：①根据作图的过程可知，是的平分线． 故①正确； ②∵在中，，， ∴， 又∵是的平分线， ∴， ∴，即， 故②正确； ③∵， ∴， ∴点D在的中垂线上． 故③正确； ④∵在直角中，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选：D． 13．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，平分，，，、为垂足，则下列四个结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分．其中，正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【思路引导】本题考查的是全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，角平分线的性质，先利用角平分线的性质可判定①，证明可判断②，利用线段的垂直平分线的判定可判定③④，从而可得答案. 【规范解答】解析：平分，，，、为垂足， ，故①正确； 平分， ， 在与中， ， ，故②正确； ，， 垂直平分，故③正确； 与，与不一定相等， 不一定垂直平分，故④错误； 综上所述，①②③共3个正确． 故答案为：B． 14．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知命题“如果一个数的立方根为负数，那么这个数是负数”，则关于该命题和它的逆命题，给出下列说法：该命题和它的逆命题都是真命题；该命题是真命题，它的逆命题是假命题；该命题是假命题，它的逆命题是真命题；该命题和它的逆命题都是假命题．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】 【思路引导】此题考查了互逆命题，根据互逆命题的定义即把一个命题的题设和结论互换和性质定理进行解答，即可求出答案，掌握互逆命题的定义即两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题是解题的关键． 【规范解答】解：如果一个数的立方根为负数，那么这个数是负数，是真命题， 则它逆命题为：如果一个数为负数，那么这个数的立方根是负数，是真命题， ∴该命题和它的逆命题都是真命题， 故答案为：． 15．“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”的逆命题是 ． 【答案】平行四边形是两组对边分别相等的四边形 【思路引导】本题考查命题的逆命题，熟练掌握“逆命题是将命题的条件和结论互换得到的命题”是解题的关键．将原命题的条件和结论互换，即可得到逆命题． 【规范解答】解：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”的逆命题是“平行四边形是两组对边分别相等的四边形”， 故答案为：平行四边形是两组对边分别相等的四边形． 16．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，沿折叠得到，连接交于点，求证：是的垂直平分线． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三线合一，垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先由折叠可知，再根据全等三角形的性质与三线合一，可得，即可证明是的垂直平分线． 【规范解答】证明：由折叠可知：， （全等三角形对应边相等，对应角相等）， （三线合一）， ∴是的垂直平分线． 17．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，中，，D为边的中点，F为的延长线上一点，过点F作于G点，并交于E点，试说明下列结论成立的理由： (1)； (2)点A在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的判定，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后利用垂直于同一条直线的两条直线平行，即可解答； （2）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用等角对等边可得，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵，为边的中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 18．（21-22八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． (1)若的周长是14，的长是3，求的周长； (2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【思路引导】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质，利用转换的思想进行求解． （1）根据题意得出，根据△ABC的周长是14，可得，通过等量代换可知，即可得出答案； （2）通过证明出，得出，即可证明． 【规范解答】（1）解：是的垂直平分线， ， ， ， 的周长为14， ， ， ， 的周长为8； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 即点E在线段的垂直平分线上． 19．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）综合与实践：初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”．如图，在筝形中，． 【操作应用】 （1）如图①，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线．问是的平分线吗？请说明理由． 【实践拓展】 （2）实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图②，在仪器上的点A处拴一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤（铅垂线），仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的（铅垂线与水平线垂直）．实践小组的判断正确吗？请说明理由． 【答案】（1）是的平分线，理由见解析；（2）见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定； （1）证明，即可解答； （2）根据线段垂直平分线的判定定理可得垂直平分，即可解答． 【规范解答】解（1）是的平分线，理由如下： 在和中， ∵，， ∴， ∴， 即是的平分线； （2）∵， ∴点A，C均在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵是垂直的， ∴是水平的． 20．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图1，是射线上的一动点． (1)若，，则是__________三角形． (2)若为直角三角形，且，则的度数为__________． (3)如图2，若为的中点，则命题“当时，为线段的垂直平分线”是__________．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】(1)等腰 (2)或 (3)真命题 【思路引导】本题考线段垂直平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理和外角性质，关键是掌握等腰三角形“三线合一”的性质，分两种情况讨论． （1）由三角形的外角性质求出，由邻补角的性质得到，因此，推出，得到是等腰三角形； （2）或都有可能是，再求的度数； （3）由等腰三角形的性质推出，即可证明问题． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故答案为：等腰． （2）解：若， ∴； 若， ∴， ∴的度数为或． 故答案为：或． （3）解：命题“当时，为线段的垂直平分线”是真命题，理由如下： ∵，为的中点， ∴， ∴为线段的垂直平分线． 故答案为：真命题． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $