第1章 三角形（章节复习检测培优卷）-2025-2026学年浙教版数学八年级上册优选题练习卷（新教材）

2025-2026学年浙教版数学八年级上册章节复习检测培优卷（新教材） 第1章 三角形 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.38 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．（本题2分）（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下面说法正确的个数有（   ） ①三条线段组成的图形叫三角形；②如果，那么是直角三角形；③三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内部；④如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形；⑤三角形的一个外角大于任何一个内角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（本题2分）（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（本题2分）（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，，平分，，，下列四个结论中错误的是（     ）    A． B． C． D． 4．（本题2分）（24-25八年级上·湖北十堰·阶段练习）在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（本题2分）（2025·河南郑州·三模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，，，，，则的度数是（） A． B． C． D． 6．（本题2分）（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是内一点且到三边的距离相等，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（本题2分）（2024八年级上·广东中山·竞赛）如图，在中，和分别为的两条角平分线，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③点到边的距离相等；④其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 8．（本题2分）（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，的度数是（   ） A． B． C． D． 9．（本题2分）（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，已知平分，于E，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（本题2分）（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（本题2分）（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，与的平分线交于点，得；与 的平分线相交于点，得；与的平分线交于点，得；则 ． 12．（本题2分）（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，于点分别是线段，射线上的动点，点P从点A出发，以的速度向点C匀速运动，点Q在射线上随之运动，且．设点P的运动时间为，则当 时，以点为顶点的三角形和全等． 13．（本题2分）（21-22八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，点为边上一点，，，则 ． 14．（本题2分）（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，已知中，，将、按照如图所示折叠，若，则 ． 15．（本题2分）（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，平分，为边上的点，连接，，下列结论： ； ； ； ，其中一定正确的结论有 （填写序号即可）． 16．（本题2分）（24-25七年级下·河南郑州·期末）在学习完“探索三角形全等的条件”这节课后，某班学生总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给班里学生解决：如图，做一个“U”字形框架，其中，足够长，于点A，于点B，点D从点B出发向点A运动，同时点E从点B出发向点N运动，且D，E运动的速度之比为，当个两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为 ． 17．（本题2分）（24-25七年级下·山东泰安·期末）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则的度数为 ． 18．（本题2分）（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的面积的最大值为 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 20．（本题6分）（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，已知，且． (1)试判断和的位置关系，并说明理由； (2)若平分，且，，求的度数． 21．（本题8分）（25-26七年级上·全国·课后作业）在中，． (1)如图1，当是的内角平分线时，交于点P，求证：； (2)如图2，当是的外角平分线时，连结和，猜想与的大小关系，并证明你的猜想． 22．（本题8分）（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，是经过顶点C的一条直线，，点E，F是直线上两点，且．若直线经过的内部，且点E，F在射线上，请解决下面两个问题： (1)如图1，若，问，成立吗？说明理由． (2)如图2，将（1）中的已知条件改成，，问仍成立吗？说明理由． 23．（本题8分）（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①所示，在中，若，则称分别为的“三分线”，其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． (1)如图②，在中，，若的邻三分线交于点D，则　 　 ； (2)如图③，在中，是的邻三分线，是的邻三分线，若，求的度数； (3)在中，是的外角（如图④），的三分线与的邻三分线交于点P，若，直接写出的度数．（用含m、n的代数式表示） 24．（本题8分）（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，点为线段上一点，连接，若，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，点为外一点，连接，，作的平分线交的延长线于点，若，，时，求的度数． 25．（本题10分）（25-26八年级上·河北·阶段练习）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A． B． C． D． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，则的取值范围是______． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3） 如图3，是的中线，点E、F分别在上，且．试说明：． 26．（本题10分）（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知，直线交于点M，交于点N．点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，． (1)如图1，若，，，则_____，_____． (2)如图2，的角平分线与的角平分线相交于点F，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在第（2）问的条件下，当时，若，，过点P作交的延长线于点H．将直线绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线MN旋转后的对应直线为，同时绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线恰好平行于的边或边，请直接写出所有满足条件的t的值． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙教版数学八年级上册章节复习检测培优卷（新教材） 第1章 三角形 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.38 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．（本题2分）（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下面说法正确的个数有（   ） ①三条线段组成的图形叫三角形；②如果，那么是直角三角形；③三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内部；④如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形；⑤三角形的一个外角大于任何一个内角． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路引导】本题考查三角形的定义，三角形内角和定理，三角形的高和平分线，三角形的外角的性质，根据三角形定义，三角形高的概念，三角形的外角与内角的性质，逐项判断． 【规范解答】解：①三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形，故①错误； ②如果，根据得到，解得，，那么是锐角三角形，故②错误； ③三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内部，故③正确； ④如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形是钝角三角形或直角三角形，故④错误； ⑤三角形的一个外角大于不相邻的任何一个内角，故⑤错误； ∴正确的命题有③，共1个， 故选：A． 2．（本题2分）（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等，由此逐项判断即可得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴，，，故①、③符合题意； ∵，， ∴， ∴，故④符合题意； 不一定成立，故②不符合题意． 综上可知，正确的有3个， 故选C． 3．（本题2分）（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，，平分，，，下列四个结论中错误的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，解题的关键是熟练掌握相关知识． 由平行线的性质，结合角平分线的定义，可以判断选项，，根据直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，可以判断选项，即可得符合题意的选项． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴选项不符合题意， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴选项不符合题意， 由已知无法得出， ∴选项符合题意， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴选项不符合题意， 故选：． 4．（本题2分）（24-25八年级上·湖北十堰·阶段练习）在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理，以及三角形的形状判定，根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案． 【规范解答】解：①因为，又，所以，解得，能确定是直角三角形； ②设，因为，所以，即，解得，则，能确定是直角三角形； ③由，可得，那么，能确定是直角三角形； ④因为，所以，则，所以是直角三角形； ⑤设，因为，所以， 由，可得，即，解得，则，不能确定是直角三角形． 综上，能确定是直角三角形的条件有①②③④，共4个， 故选：C． 5．（本题2分）（2025·河南郑州·三模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，，，，，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质等知识，先根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据两直线平行，同位角相等求出的度数，再根据三角形外角的性质求出的度数，最后根据平角的定义即可求出的度数，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：如图，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6．（本题2分）（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是内一点且到三边的距离相等，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等成为解题的关键． 由题意可知平分，即，再运用三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】解：∵是内一点且到三边的距离相等， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 7．（本题2分）（2024八年级上·广东中山·竞赛）如图，在中，和分别为的两条角平分线，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③点到边的距离相等；④其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【思路引导】分别对四个结论进行分析，利用三角形内角和、角平分线性质、全等三角形判定与性质等来判断． 【规范解答】解：在中，， ∴． ∵，分别平分，， ∴，． ∴． 在中，，故①项正确． ∵，分别为的两条角平分线，且相交于点，根据三角形三条角平分线交于一点， ∴平分．故②项正确． ∵在，，的角平分线上，根据角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴点到边，，的距离相等．故③项正确． 如图，在上截取，连接． ∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． 由①知， ∴，， ∴． 又∵， ∴． ∵平分， ∴，又， ∴， ∴． ∴．故④项正确． 综上，①②③④都正确， 故选：D． 【考点剖析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．（本题2分）（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了外角的性质和三角形的内角和定理，先根据两次外角性质得到相关角的关系，再根据三角形的内角和即可得到答案； 【规范解答】解：如图：， ， ∵， ∴， 故的度数是， 故选：B． 9．（本题2分）（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，已知平分，于E，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】此题重点考查角平分线的性质、同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，作交的延长线于点F，则，，即可证明，得，所以，可推导出，则，可判断①正确；证明，得，，可判断③正确；由，得，所以，可判断②正确；由，，，可推导出，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：如图，作交的延长线于点F， ∵平分，于E， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，， 故③正确； ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵，，， ∴， 故④正确， 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：D． 10．（本题2分）（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在锐角三角形中，的面积15，平分交于点D，若M、N分别是上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【思路引导】本题考查三角形中的最短路径，角平分线的性质定理，解题的关键是理解的长度即为最小值． 过作于点，交于点，过点作于，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【规范解答】解：过作于点，交于点，过点作于，如图：    ∵平分于点于， ∴， ∴是最小值，此时与重合与重合， ∵三角形的面积为， ∴， ∴， 即的最小值为6． 故选：B． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（本题2分）（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，与的平分线交于点，得；与 的平分线相交于点，得；与的平分线交于点，得；则 ． 【答案】/3度 【思路引导】利用角平分线的性质以及三角形外角与内角的关系，逐步推导得出与的数量关系，进而求出．本题主要考查三角形外角性质、角平分线定义，熟练掌握三角形外角与内角的关系，以及通过递推得出与的数量关系是解题关键． 【规范解答】解：平分，平分， ，． 又，， ， ∴． 同理可得． ∴． ∴． ∵，，则． 故答案为：． 12．（本题2分）（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，于点分别是线段，射线上的动点，点P从点A出发，以的速度向点C匀速运动，点Q在射线上随之运动，且．设点P的运动时间为，则当 时，以点为顶点的三角形和全等． 【答案】2或4 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是分情况讨论，根据全等三角形对应边相等求出的长度，进而得出的值． 因为，所以分两种情况讨论：和，根据全等三角形对应边相等求出的长，再结合点的运动速度求出． 【规范解答】解： 情况一：， 此时， 已知，点的速度是，的长度就是点运动的路程，则， 把代入，可得（秒）； 情况二： 此时． 已知，， 把代入，可得（秒）． 综上，当或4时，以点为顶点的三角形和全等． 故答案为：2或4． 13．（本题2分）（21-22八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，在中，，点为边上一点，，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，由可得，可得，由平角的性质和三角形内角和定理可得，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键． 【规范解答】解：在与中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（本题2分）（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，已知中，，将、按照如图所示折叠，若，则 ． 【答案】/ 【思路引导】本题主要考查三角形的内角和定理，折叠性质，三角形的外角性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．由折叠可得，，利用三角形的外角性质与三角形内角和定理可求得的度数，的度数，从而可求解． 【规范解答】解：由折叠知：，． ， ． ， ， ， ． ． 故答案为：． 15．（本题2分）（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，平分，为边上的点，连接，，下列结论： ； ； ； ，其中一定正确的结论有 （填写序号即可）． 【答案】 【思路引导】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，邻补角定义等知识点的应用，判定，即可得到，，，又，得到，从而判断；判定，可得，根据，，再根据，即可得出，从而判断 ；根据， ，进而得出， ，根据，可得，进而得出 ，从而判断，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【规范解答】解：如图，过作于， ∵，是角平分线， ∴，， 又∵， ∴， ∴，，， 又∵， ∴，故正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故错误； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故正确； ∴一定正确的结论有， 故答案为：． 16．（本题2分）（24-25七年级下·河南郑州·期末）在学习完“探索三角形全等的条件”这节课后，某班学生总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给班里学生解决：如图，做一个“U”字形框架，其中，足够长，于点A，于点B，点D从点B出发向点A运动，同时点E从点B出发向点N运动，且D，E运动的速度之比为，当个两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定（）及性质，解题的关键是分两种情况讨论三角形全等时对应边的相等关系． 设运动速度和时间，表达出相关线段长度；​由垂直得直角，确定全等所需的角的条件；​分两种对应边相等的情况，利用判定全等；​列方程求出相关量，进而得到的长度． 【规范解答】解：设点D，E运动的速度分别为，，它们运动的时间为，则，，， 于点A，于点B， ， 当，时， ， 即， ， ； 当，时， ， 即， ， ； 综上所述，的长为或 故答案为：或 17．（本题2分）（24-25七年级下·山东泰安·期末）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，，则的度数为 ． 【答案】/70度 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理的应用，平行线的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据得出，根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质即可求解． 【规范解答】解：∵，都与地面平行， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18．（本题2分）（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【思路引导】延长交于点，首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可求得，结合三角形中线的性质知，确定面积的最大值，即可获得答案． 本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 【规范解答】解： 如下图，延长交于点， ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，的面积取最大值， 即， ∴． 故答案为：． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【思路引导】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高，三角形的面积，熟练掌握:角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． （1）过点作于点于点，先通过计算得出，，根据角平分线的判定与性质得，则．由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）根据“的面积的面积的面积”列式求出，得，再求的面积即可． 【规范解答】（1）证明：，交的延长线于点， ． ， ． ， ． 如图，过点作于点于点， 平分，交的延长线于点， ． ， 平分， ， ． ， 平分； （2）解：的面积的面积的面积， ， ， ， ， ， 的面积． 20．（本题6分）（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，已知，且． (1)试判断和的位置关系，并说明理由； (2)若平分，且，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先证出，根据平行线的性质可得，则可得，然后根据平行线的判定即可得； （2）先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质即可得． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）已得：， ∴． 21．（本题8分）（25-26七年级上·全国·课后作业）在中，． (1)如图1，当是的内角平分线时，交于点P，求证：； (2)如图2，当是的外角平分线时，连结和，猜想与的大小关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【思路引导】本题考查的知识点是全等三角形的判定定理及其性质以及三角形三边的关系，解题的关键是作出合理的辅助图． （1）如图所示，在上取点D，使，证明出，得到，，然后利用三角形三边关系求解即可； （2）延长至点E，使，连接，求证，得出，再利用三角形三条边的关系即可得解． 【规范解答】（1）解：如图所示，在上取点D，使 ∵是的内角平分线 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴； （2）解：．理由如下： 如图所示，延长至点E，使，连接． 是的外角平分线， ． 在和中， ， ． ． 在，． ∴， ，， ． 22．（本题8分）（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，是经过顶点C的一条直线，，点E，F是直线上两点，且．若直线经过的内部，且点E，F在射线上，请解决下面两个问题： (1)如图1，若，问，成立吗？说明理由． (2)如图2，将（1）中的已知条件改成，，问仍成立吗？说明理由． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2)成立，理由见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定及性质； （1）由判定，由全等三角形的性质得，，即可得证； （2）由判定，由全等三角形的性质得，，即可得证． 【规范解答】（1）解：成立，理由如下： ， ， ， ， ， （）， ，， ． （2）解：成立，理由如下： ， ， ， ， ． ， ， ， （）， ，， ． 23．（本题8分）（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①所示，在中，若，则称分别为的“三分线”，其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． (1)如图②，在中，，若的邻三分线交于点D，则　 　 ； (2)如图③，在中，是的邻三分线，是的邻三分线，若，求的度数； (3)在中，是的外角（如图④），的三分线与的邻三分线交于点P，若，直接写出的度数．（用含m、n的代数式表示） 【答案】(1)70 (2) (3)当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时， 【思路引导】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和和外角定理是解题的关键． （1）根据的邻三分线交于点，得出，进而根据三角形的外角的性质，即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得，进而根据新定义，以及三角形内角和定理可得； （3）根据题意画出符合的所有情况，①当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，②当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，根据三角形内角和定理，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵在中，，， ∵的邻三分线交于点， ∴ ∴ 故答案为：． （2）解：∵在中，是的邻三分线，是的邻三分线 ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：分为两种情况： 情况一：如图1， 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 由外角可得：，， ； 情况二：如图2， 当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时， 由外角可知：，， ； 综上所述，当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时，． 24．（本题8分）（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，点为线段上一点，连接，若，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，点为外一点，连接，，作的平分线交的延长线于点，若，，时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角和定理，角平分线的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． （1）由，可得，再由，可得，即，由此可证； （2）根据三角形的内角和的性质，可得，再由，可得，再结合，可求解，再根据三角形的外角和，即，由此可证； （3）根据，设，由此可表示三角形中的角，再根据三角形的内角为计算即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∴； （2）证明：在中，， ∵， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分； （3）解：连接，记与的交点为O，如图， 设， ∵，且， ∴，解得, ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，即， 在中，， ∴的度数为 25．（本题10分）（25-26八年级上·河北·阶段练习）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A． B． C． D． 【变式与应用】 （2）如图2，是的中线，若，则的取值范围是______． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，是的中线，点E、F分别在上，且．试说明：． 【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析 【思路引导】本题考查全等三角形中的倍长中线模型，掌握通过延长中线构造全等三角形的方法是解题的关键． （1）延长至点E，使，利用“边角边”可证； （2）延长到H，使，同（1）可证，再利用三角形三边关系求解； （3）延长到K，使，连接，依次证明，，再利用三角形三边关系求解． 【规范解答】（1）解：延长至点E，使，连接，如图1所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：B； （2）解：延长到H，使，连接，如图2所示： ∴， 同（1）证明：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形三边之间的关系得：， ∴， ∴， ∴， 故选：C； （3）证明：延长到K，使，连接，如图3所示： ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中，， ∴，. ∴， 在中，由三角形三边之间的关系得：， ∵， ∴． 26．（本题10分）（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知，直线交于点M，交于点N．点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，． (1)如图1，若，，，则_____，_____． (2)如图2，的角平分线与的角平分线相交于点F，求与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在第（2）问的条件下，当时，若，，过点P作交的延长线于点H．将直线绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线MN旋转后的对应直线为，同时绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线恰好平行于的边或边，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1)110，80 (2) (3)或或或 【思路引导】（1）根据平行线的性质和判定求解即可； （2）延长交于点G，设、交于点，设，则，根据可表示出，进而根据三角形内角和推论表示出，进而表示出，然后结合和内角和得出关系式，进一步得出结果； （3）分四种情况，分别画出图形，表示出各角，然后利用平行线的性质列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴； 如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：110，80； （2）解：，理由如下： 如图，延长交于点G，设、交于点， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴，即， ∴； （3）∵， ∴， 由（2）可知， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴，则 ∴，， 由题意可知，， 如图，当时，， ， ∴， 如图，当时，， ， ∴， 如图，当时， ， ∴， 如图，当时，，     ， ∴； 综上所述，或或或． 【考点剖析】本题考查平行线的判定与判定、三角形内角和定理及其推论、一元一次方程的几何应用，解题的关键是正确分类，找出相等关系列方程． 第 1 页 共 16 页 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