重难专题三 综合实践—数学艺术探究 热点题专题进阶2025-2026学年苏科版（2024）数学七年级上册

热点题专题进阶 重难专题三 综合实践—数学艺术探究 类型1 算“24”点 1．小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片上数字是 、 ，乘积的最大值为 ． 简要说明你这样选的原因： (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片上数字是 、 ，商的最小值为 ． 简要说明你这样选的原因： (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片上数字是 、 、 、 ，写出完整算式及运算过程． 【答案】(1)，，15，原因见解析 (2)，3，，原因见解析 (3)，，3，0，算式及运算过程见解析 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）这5个数两两相乘，结果可为正、负或零，要乘积最大，结果一定是正数；而积为正，只能是正正相乘或负负相乘，即或，所以选，； （2）这5个数选两个相除，结果可为正、负或零．要商最小，结果一定是负数，而商为负，只能异号两数相除，负数的绝对值越大反而越小，所以商的最小值是． （3）我抽取的4张卡片上数字是：，，3，0，首先用减去3，构造出；然后用与的乘积加上0即可． 【详解】（1）解：我抽取的2张卡片上数字是，，乘积的最大值为：． 这5个数两两相乘，结果可为正、负或零，要乘积最大，结果一定是正数；而积为正，只能是正正相乘或负负相乘，即或，所以选，； （2）解：我抽取的2张卡片上数字是、3，商的最小值为：． 这5个数选两个相除，结果可为正、负或零．要商最小，结果一定是负数，而商为负，只能异号两数相除，负数的绝对值越大反而越小，所以商的最小值是； （3）解：我抽取的4张卡片上数字是：，，3，0， ． 故答案为：，，3，0． 2．“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） __________________________；__________________________； (2)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是（     ） ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数             ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出                            ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)① 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用点游戏规律列出算式即可； （2）将这四个数字的组成的算式列出来即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，， 故答案为：，（答案不唯一）； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故这张牌还能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数， 故答案为：①． 3．24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 【答案】（1），（答案不唯一）（2）（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据题意可得图1中的4张牌分别代表，再根据和列出算式即可得； （2）先根据题意可得图2中的4张牌分别代表，再根据列出算式即可得． 【详解】解：（1）由题意得：图1中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：，， 故答案为：，（答案不唯一）． （2）由题意得：图2中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：， 故答案为：（答案不唯一）． 4．有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是这样的：任意取4个之间的自然数，将这4个数（每一个数只能用一次）进行加、减、乘、除四则运算（可以使用括号），使其结果等于24．比如，自然数，可以这样运算得到，等等． (1)有4个有理数，分别为：，根据上述规则，请你写出3种列式方法，使其结果等于24； 方法1：_______； 方法2：_______； 方法3：_______； (2)如果换成另外的4个有理数：，请你写出1个运算式子，使其结果等于24．列式：______________． 【答案】(1)，，（答案不唯一）； (2)（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，利用“二十四点”游戏规则写出相应算式即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）根据“二十四点”游戏规则得， 方法1：； 方法2：； 方法3：； 故答案为：，，（答案不唯一）； （2）； 故答案为：（答案不唯一）． 5．如图所示，有5张写着不同的数的卡片，请你按要求选取卡片，完成下列问题． (1)从中选取2张卡片． ①若这2张卡片上的数相减，所得的运算结果最小，则最小结果为______； ②若这2张卡片上的数相除，所得的运算结果最小，则最小结果为______； ③若这2张卡片上的数相加，所得的运算结果最大，则最大结果为______； ④若这2张卡片上的数相乘，所得的运算结果最大，则最大结果为______； ⑤若这2张卡片上的数经过加、减、乘、除、乘方中的一种运算后（乘方运算的指数只考虑正整数情况），能得到一个最大的数，则最大的数为______； (2)若从中选取4张卡片，对卡片上的数进行加、减、乘、除、乘方运算，使运算结果为24．每张卡片都必须使用一次，但不能重复使用．请写出算式（只需写出1种即可）． 【答案】(1)①；②；③7；④15；⑤625 (2)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）①要使2张卡片上的数相减，所得的运算结果最小，应该用最小的数减去最大的数，据此可求解； ②要使2张卡片的商最小，则取异号的两张卡片，且分子的绝对值最大，分母的绝对值最小，据此可求解； ③要使2张卡片上的数相加，所得的运算结果最大，应该用两个最大的数相加，据此可求解； ④要使2张卡片的乘积最大，则取同号的两张卡片，且其绝对值最大的两张，据此可求解； ⑤利用有理数的相应的运算进行求解，符合题意即可； （2）利用有理数的相应的运算进行求解，符合题意即可． 【详解】（1）解：①若这2张卡片上的数相减，所得的运算结果最小，则最小结果为； ②若这2张卡片上的数相除，所得的运算结果最小，则最小结果为； ③若这2张卡片上的数相加，所得的运算结果最大，则最大结果为； ④若这2张卡片上的数相乘，所得的运算结果最大，则最大结果为； ⑤若这2张卡片上的数经过加、减、乘、除、乘方中的一种运算后能得到一个最大的数，则最大的数为； （2）解：， ， ．（答案不唯一） 类型2 数字进制探究 6．生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似地，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． (1)如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是 ． (2)本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你在图4中帮他补充完整． (3)随着学校办学规模不断扩大，班级及学生数量不断增加，该校准考证的编码识别系统能否一直适用？请通过计算说明理由． 【答案】(1)21 (2)见解析 (3)不能，理由见解析 【分析】（1）根据二维码编码规则即可确定第四行代表二进制的数字，再将其转化为10进制数字即可； （2）根据题意可知赵军的准考证号是2917021311，由二进制和十进制数字转化规则确定各行编码二进制数字，即可获得答案； （3）计算该编号识别系统中班级、考场号、座位号的最大值即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得，第四行代表二进制的数字是10101， 二进制的数字10101，转化成10进制为：， ∴转化成10进制后可得他的考场号是21， 故答案为：21； （2）解：准考证号2917021311，分别将29，17，02，13，11转化为二进制， ，29转化为二进制为：11101， ，17转化为二进制为：10001， ，02转化为二进制为：10， ，13转化为二进制为：1101， ，11转化为二进制为：1011， 如图所示： （3）解：∵， ∴班级、考场号、座位号的最大值都是31， ∴随着学校规模的不断扩大，班级数在不断增加，该编号识别系统不能一直适用． 【点睛】本题主要考查了二进制与十进制数字转化、有理数运算等知识，熟练掌握二进制与十进制转化规则是解题关键． 7．综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数（当时，），同理，二进制数转换为十进制数为：．一个十进制数转换为进制数时，把十进制数表示成与基数的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为． 根据上述材料，解答下列问题． (1)二进制数转换为十进制数___________； (2)十进制数25转换为二进制数___________； (3)把十进制数79转换为四进制数． 【答案】(1)18 (2) (3)转换为四进制数为 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解题目的意思是解题的关键． （1）根据题意理解十进制数，进行有理数运算即可得到答案； （2）根据十进制转换为二进制的方法列式计算即可； （3）根据十进制转换为四进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：二进制数转换为十进制数， 故答案为：； （2）解：十进制数25转换为二进制数， ， 故答案为：； （3）解：，即， ， 79转换为四进制数为； 8．阅读下列材料： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数5678可用式子表示为：（当时，）．同理，二进制数转换为十进制数为：．三进制数转换为十进制数为 根据上述材料，解答下列问题： (1)二进制数转换为十进制数为：__________； (2)若一个三进制数转换为十进制数为，一个四进制数转换为十进制数为，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“久久数”，请判断与是否互为“久久数”，并说明理由． 【答案】(1)11 (2)与互为“久久数”，理由见解析 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算． （1）根据题干二进制数转换为十进制数的方法计算即可． （2）根据“久久数”的定义判断即可． 【详解】（1）解：二进制数转换为十进制数为， 故答案为：11； （2）解：与互为“久久数”，理由如下： 因为转换为十进制数为； 转换为十进制数为， ， 所以与互为“久久数”． 9．生活中我们使用的数是十进制数，有时候也会用到其它进制数，如计算机使用的数是二进制数，二进制数可以转化为十进制数．如二进制数1101换算成十进制数是，其中规定：．为与十进制进行区分，我们常把用进制表示的数写成．第十四届国际数学教育大会（）在中国上海举行，会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745，八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)把以下进制表示的数转化为十进制表示的数：_______；______． (2)小聪根据自己的班级702设计了一个（为正整数）进制数，换算成十进制数是569，求的值． (3)若，求化为十进制表示的数． 【答案】(1)43；1044 (2)的值是9； (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，代数式求值，解题时要熟练掌握并能读懂题意，学会进制转换是关键． （1）依据题意，；，然后计算即可得解； （2）依据题意，根据c进制数和十进制数的计算方法得到关于c的方程，解方程即可求解； （3）依据题意，由，从而可得，又，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，； ． 故答案为：43；1044； （2）解：由题意，， ∴（舍去），． 故的值是9； （3）解：由题意，∵， ∴． ∴． 又∵ ， ∴． 类型3 数字图案规律探究 10．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，______，______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______． 【答案】(1)9，3 (2)6，5，4 (3)；或 【分析】本题考查的是有理数的加减法，注重考查学生的思维能力和运算能力． （1）第3行上的数字和等于，因此，； （2）根据第（1）问，每行、列和对角线上的数字和都等于15，、、即可求得； （3）因为每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2，易得；将中间的正方形的未知顶点设为，则；从而得到或． 【详解】（1）解：（1）第3行上的数字和等于， 因此，, 故答案为：9，3； （2）解：根据题意，每行、列和对角线上的数字和都等于15， 因此，，， 故答案为：6，5，4； （3）解：根据题意，，解得； 将中间的正方形的未知顶点设为，则，解得； 因此或， 故答案为：；或． 11．课本再现： 填幻方 有人建议向火星发射如图所示的图案，它叫做幻方，其中个格中的点数分别是．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （）如图，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 __； （）请将填入图，使其构成一个幻方； 拓展延伸： （）如图，在一个由个圆圈组成的三角形里，把到这个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值． 【答案】（）；（）见解析；（）见解析，． 【分析】（）根据图中数据计算即可作答； （）先将已知的个数求和，再除以即可求出每行、每列、每条对角线上的三个数之和，根据幻方的特点可知，已知的从小到大的排列的个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起，据此填表即可； （）根据三角形的每条边上的三个数的和S都相等，且和最大，把到这个数较大的三个数放在三个顶点处即可求解； 本题考查了有理数的加法的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（）任取两组数据，由图可知，， 故答案为：； （）， 即幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于， 根据幻方的特点可知：从小到大的排列的个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格子中，并且这列数中最大的数与最小的数必在一起， 即三阶幻方如下： （答案不唯一） （）解：将填入三角形的三个顶点处， 与之间填， 与之间填， 与之间填， 如图， 则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 此时，， ∴的最大值为． 12．第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽图主题图案中的卦图用的是我国古代的计数符号，八卦中称为阳爻，对应数字，称为阴爻，对应数字，这样，图从左起第一个符号表示的二进制数为．      (1)请分别写出图从左起第二、三、四个符号表示的二进制数 、 、 ． (2)大会标识中的记数符号由四个二进制数组成． ①将它们分别转换为八进制数得到一个四位数，求这个四位数 ②将这个四位数看作一个八进制数，再将这个八进制数转换为十进制数，求这个十进制数． (3)在祖国母亲周年华诞之际，小明计划制作一份手抄报，希望以八卦符号的形式呈现新中国成立的年份，请结合上述知识，帮助小明在图中画出该八卦符号，样式参考图． 【答案】(1)、、 (2)①；② (3)见解析 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握进位制的转换方法是解题的关键． （1）根据题意，八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0，按二进制表示出第二个符号表示的数即可； （2）先根据（1）所求把对应的二进制数数转换为十进制数，再把对应的十进制数转换为八进制数即可； （3）将先转化为八进制，再转化为二进制即可．． 【详解】（1） 解：∵八卦中称为阳爻，对应数字1；称为阴爻，对应数字0， ∴图2中，从左起第二个符号表示的二进制数为，第三个符号表示的二进制数为，第四个符号表示的二进制数为， 故答案为：、、． （2）解：用十进制表示为， ∴； 用十进制表示为， ∴； 用十进制表示为， ∴； 用十进制表示为， ∴； 故这个四位数是． 因为． 故这个十进制数是． （3）解：新中国成立的年份为， 因为， 又因为，，， 所以八卦符号如图所示： 13．【材料阅读】西汉前期民间流传着一则故事．大禹治水时，洛阳西南洛宁县的洛河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案，人称“洛书”．如图1，洛书上有三行三列的纵横图，用实心点或空心点的个数表示数字，分别对应着这9个数字，每行、列及两条对角线上的三个数相加的结果相同．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． 【问题解决】 （1）根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； （2）如图3，是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将1，2，3，4，5这五个数字填入表格，补全这个新的三阶幻方； 【拓展思考】 （3）有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．如图4，将这12个数字填入恰当的位置后（数字不重复使用），每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都相等，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或111 【分析】本题考查了有理数的四则运算，注重考查学生的思维能力和运算能力． （1）根据题意可知，每行、列和对角线上的数字之和都为15，进而求解即可； （2）根据题意，新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和为：，进而求解即可； （3）根据题意，每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都为：，进而代入求解即可． 【详解】解：（1）根据题意可知，每行、列和对角线上的数字之和都相等， ∴对角线上的数字之和为：， 第一行第三列的数为：， 第一行第二列的数为：， 第三行第一列的数为：， 第三行第二列数为：， 第二行第一列数字为：， 所以三阶幻方补充如图2； （2）根据题意，新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和为：， 第一行第一列的数为：， 第三行第一列的数为：， 第二行第二列的数为：， 第二行第三列的数为：， 第三行第三列的数为：； 补全的三阶幻方如图3所示； （3）根据题意，每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都为：， ∴， 解得， 又∵，且数字不重复， ∴或， 当时， ∴； 当时， ∴； 综上，的值为或111． 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点题专题进阶 重难专题三 综合实践—数学艺术探究 类型1 算“24”点 1．小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片上数字是 、 ，乘积的最大值为 ． 简要说明你这样选的原因： (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片上数字是 、 ，商的最小值为 ． 简要说明你这样选的原因： (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片上数字是 、 、 、 ，写出完整算式及运算过程． 2．“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） __________________________；__________________________； (2)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是（     ） ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数             ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出                            ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 3．24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 4．有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是这样的：任意取4个之间的自然数，将这4个数（每一个数只能用一次）进行加、减、乘、除四则运算（可以使用括号），使其结果等于24．比如，自然数，可以这样运算得到，等等． (1)有4个有理数，分别为：，根据上述规则，请你写出3种列式方法，使其结果等于24； 方法1：_______； 方法2：_______； 方法3：_______； (2)如果换成另外的4个有理数：，请你写出1个运算式子，使其结果等于24．列式：______________． 5．如图所示，有5张写着不同的数的卡片，请你按要求选取卡片，完成下列问题． (1)从中选取2张卡片． ①若这2张卡片上的数相减，所得的运算结果最小，则最小结果为______； ②若这2张卡片上的数相除，所得的运算结果最小，则最小结果为______； ③若这2张卡片上的数相加，所得的运算结果最大，则最大结果为______； ④若这2张卡片上的数相乘，所得的运算结果最大，则最大结果为______； ⑤若这2张卡片上的数经过加、减、乘、除、乘方中的一种运算后（乘方运算的指数只考虑正整数情况），能得到一个最大的数，则最大的数为______； (2)若从中选取4张卡片，对卡片上的数进行加、减、乘、除、乘方运算，使运算结果为24．每张卡片都必须使用一次，但不能重复使用．请写出算式（只需写出1种即可）． 类型2 数字进制探究 6．生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似地，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． (1)如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是 ． (2)本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你在图4中帮他补充完整． (3)随着学校办学规模不断扩大，班级及学生数量不断增加，该校准考证的编码识别系统能否一直适用？请通过计算说明理由． 7．综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数（当时，），同理，二进制数转换为十进制数为：．一个十进制数转换为进制数时，把十进制数表示成与基数的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为． 根据上述材料，解答下列问题． (1)二进制数转换为十进制数___________； (2)十进制数25转换为二进制数___________； (3)把十进制数79转换为四进制数． 8．阅读下列材料： 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数5678可用式子表示为：（当时，）．同理，二进制数转换为十进制数为：．三进制数转换为十进制数为 根据上述材料，解答下列问题： (1)二进制数转换为十进制数为：__________； (2)若一个三进制数转换为十进制数为，一个四进制数转换为十进制数为，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“久久数”，请判断与是否互为“久久数”，并说明理由． 9．生活中我们使用的数是十进制数，有时候也会用到其它进制数，如计算机使用的数是二进制数，二进制数可以转化为十进制数．如二进制数1101换算成十进制数是，其中规定：．为与十进制进行区分，我们常把用进制表示的数写成．第十四届国际数学教育大会（）在中国上海举行，会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745，八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)把以下进制表示的数转化为十进制表示的数：_______；______． (2)小聪根据自己的班级702设计了一个（为正整数）进制数，换算成十进制数是569，求的值． (3)若，求化为十进制表示的数． 类型3 数字图案规律探究 10．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，______，______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______． 11．课本再现： 填幻方 有人建议向火星发射如图所示的图案，它叫做幻方，其中个格中的点数分别是．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （）如图，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是 __； （）请将填入图，使其构成一个幻方； 拓展延伸： （）如图，在一个由个圆圈组成的三角形里，把到这个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，请直接写出的最大值． 12．第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽图主题图案中的卦图用的是我国古代的计数符号，八卦中称为阳爻，对应数字，称为阴爻，对应数字，这样，图从左起第一个符号表示的二进制数为．      (1)请分别写出图从左起第二、三、四个符号表示的二进制数 、 、 ． (2)大会标识中的记数符号由四个二进制数组成． ①将它们分别转换为八进制数得到一个四位数，求这个四位数 ②将这个四位数看作一个八进制数，再将这个八进制数转换为十进制数，求这个十进制数． (3) 在祖国母亲周年华诞之际，小明计划制作一份手抄报，希望以八卦符号的形式呈现新中国成立的年份，请结合上述知识，帮助小明在图中画出该八卦符号，样式参考图． 13．【材料阅读】西汉前期民间流传着一则故事．大禹治水时，洛阳西南洛宁县的洛河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案，人称“洛书”．如图1，洛书上有三行三列的纵横图，用实心点或空心点的个数表示数字，分别对应着这9个数字，每行、列及两条对角线上的三个数相加的结果相同．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． 【问题解决】 （1）根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； （2）如图3，是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将1，2，3，4，5这五个数字填入表格，补全这个新的三阶幻方； 【拓展思考】 （3）有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．如图4，将这12个数字填入恰当的位置后（数字不重复使用），每个正方形4个顶点“〇”中的数的和都相等，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $