2026年九年级数学几何模型研究大讲堂 专题十六 “中垂线”模型

初中数学几何模型研究大讲堂 专题十六：中垂线模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 直线是AB的垂直平分线，点P是直线AB上一点，连接PA、PB. 1.PA=PB. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 题目已知垂直平分线 求线段长、求角度、求周长、多结论判断等 1. 在选择题或填空题或解答题中考查： （1） 求线段长、求角度、求周长、多结论判断； （2） 结合尺规作图； 2. 在解答题中考查： （1）与反比例函数结合求k值和点的坐标； （2）尺规作中垂线，并进行相关证明与计算. 垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 考法2 题目未知垂直平分线 求线段长、判断三角形形状等 1. 在选择或填空题考察：（1）以角为背景，结合尺规作图判断三角形形状； （2）以圆为背景作多结论判断或计算线段长； 2.在解答题涉及特殊四边形中的“中垂线” 垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 PART 2——模型思路. 这是一种极其常考的模型，中垂线就是垂直平分线，作为初中几何重要的一大知识点，可在各种题中穿插，难度不一，对于该题型可涉及的知识较多，因此需要有一定基础和综合能力. 常见辅助线作法： 类型 图示 辅助线作法 “中垂线”模型 连接中垂线另一端. PART 3——模型练习. 1.（2024·四川凉山州）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（    ） A． B． C． D． 2.（2022·辽宁锦州）如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（    ） A． B．4 C．6 D． 3.（2022·山东东营）如图，是等边三角形，直线经过它们的顶点，点在x轴上，则点的横坐标是 . 4.（2022·湖北宜昌）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（    ） A．25 B．22 C．19 D．18 5.（2023·青海西宁）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线交，于点D，E，连接．下列说法错误的是（    ）    A．直线是的垂直平分线 B． C． D． 6.（2023·海南）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 7.（2023·湖北襄阳）如图，是菱形的对角线．    (1)作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 8.（2024·山东泰安）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9. （2025·江苏扬州二模） 如图，在中，是斜边上的中线，过点作交于点．若的面积为5，则的值为（    ） A． B． C． D． 【中考链接】本题原题目来源于2021山东淄博中考. 10.（2022·湖北江汉油田）如图，点P是上一点，是一条弦，点C是上一点，与点D关于对称，交于点E，与交于点F，且．给出下面四个结论：①平分；  ②；  ③；  ④为的切线．其中所有正确结论的序号是 ． 11.（2025·安徽）已知点在正方形内，点E在边上，是线段的垂直平分线，连接，． (1)如图1，若的延长线经过点D，，求的长； (2)如图2，点F是的延长线与的交点，连接． ①求证：； ②如图3，设，相交于点G，连接，，．若，判断的形状，并说明理由． 12.（2022·山东枣庄二模改编）如图，在平面直角坐标系中，直角的顶点，在函数图象上，轴，线段的垂直平分线交于点，交的延长线于点，点纵坐标为2，点横坐标为1，． （1）求点和点的坐标及的值； （2）连接，求的面积． 【中考链接】本题原题目来源于2021年四川达州中考 13.（2022·山东德州）如图1，在等腰三角形中，，为底边的中点，过点作，垂足为，以点为圆心，为半径作圆，交于点，． (1)与的位置关系为_______； (2)求证：是的切线； (3)如图2，连接，，，求的直径．(结果保留小数点后一位．参考数据：) 14.（2022·江苏无锡校级月考）已知，在中，． （1）如图1，已知点D在边上，，连结．试探究与的关系； （2）如图2，已知点D在下方，，连结．若，，，交于点F，求的长； （3）如图3，已知点D在下方，连结、、．若，，，，求的值． 【中考链接】本题原题目来源于2021四川资阳中考. 15.（2024·广西）如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分． (1)求证：； (2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接， ①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由； ②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． PART 4——模型变式. 【变式1】（2022·湖北恩施州）如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若，．则四边形MBND的周长为（    ） A． B．5 C．10 D．20 【变式2】（2025·湖南）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【变式3】（2025·四川达州）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（     ）. A.21 B.14 C.13 D.9 4.（2025·湖北）如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2025·辽宁）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式5】（2025·黑龙江齐齐哈尔）如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为 ． 本专题所有题目原题目来源于近5年中考真题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中数学几何模型研究大讲堂 专题十六：中垂线模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) 直线是AB的垂直平分线，点P是直线AB上一点，连接PA、PB. 1.PA=PB. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 题目已知垂直平分线 求线段长、求角度、求周长、多结论判断等 1. 在选择题或填空题或解答题中考查： （1） 求线段长、求角度、求周长、多结论判断； （2） 结合尺规作图； 2. 在解答题中考查： （1）与反比例函数结合求k值和点的坐标； （2）尺规作中垂线，并进行相关证明与计算. 垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 考法2 题目未知垂直平分线 求线段长、判断三角形形状等 1. 在选择或填空题考察：（1）以角为背景，结合尺规作图判断三角形形状； （2）以圆为背景作多结论判断或计算线段长； 2.在解答题涉及特殊四边形中的“中垂线” 垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 PART 2——模型思路. 这是一种极其常考的模型，中垂线就是垂直平分线，作为初中几何重要的一大知识点，可在各种题中穿插，难度不一，对于该题型可涉及的知识较多，因此需要有一定基础和综合能力. 常见辅助线作法： 类型 图示 辅助线作法 “中垂线”模型 连接中垂线另一端. PART 5——模型解析. 1.（2024·四川凉山州）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， 故选：． 2.（2022·辽宁锦州）如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（    ） A． B．4 C．6 D． 【答案】A 【分析】根据作图知CE垂直平分AC，即可得，，根据圆的半径得，，根据圆周角的推论得，根据勾股定理即可得． 【详解】解：根据作图知CE垂直平分AC， ∴，， ∴， ∴， 即， ∵线段AB是半圆O的直径， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， 故选A． 【点睛】本题考查了圆，勾股定理，圆周角推论，解题的关键是掌握这些知识点． 3.（2022·山东东营）如图，是等边三角形，直线经过它们的顶点，点在x轴上，则点的横坐标是 . 【答案】 【分析】如图，设直线与x轴交于点C，求出点A、C的坐标，可得OA＝2，OC＝，然后解直角三角形求出∠ACO＝30°，可得，，然后求出，，，…，进而可得，再求出即可． 【详解】解：如图，设直线与x轴交于点C， 在中，当x＝0时，y＝2； 当y＝0时，即，解得：， ∴A（0，2），C（，0）， ∴OA＝2，OC＝， ∴tan∠ACO＝， ∴∠ACO＝30°， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴AC＝， ∵AO⊥， ∴， ∴， 同理可得：，，…， ∴， ∴， ∴点的横坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，等边三角形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，通过解直角三角形求出∠ACO＝30°是解题的关键． 4.（2022·湖北宜昌）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（    ） A．25 B．22 C．19 D．18 【答案】C 【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案． 【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线， ∴BD＝CD， ∵，， ∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD ＝AB＋AD＋CD ＝AB＋AC ＝19． 故选：C 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 5.（2023·青海西宁）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线交，于点D，E，连接．下列说法错误的是（    ）    A．直线是的垂直平分线 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线是的垂直平分线、平行线分线段成比例、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质等知识，分别进行判断即可． 【详解】解：A．由作图过程可知，直线是的垂直平分线，故选项正确，不符合题意； B．由作图过程可知，直线是的垂直平分线， ∴点E是的中点，， 在中，， ∴， ∴， 即点D是的中点， ∴， 故选项正确，不符合题意； C．∵点D是的中点，点E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选项正确，不符合题意； D．∵， ∴， ∴， ∴， 故选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、垂直平分线的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理是解题的关键． 6.（2023·海南）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可得：为直线的垂直平分线，从而得到，则，再由三角形外角的定义与性质进行计算即可． 【详解】解：由作图可得：为直线的垂直平分线， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 7.（2023·湖北襄阳）如图，是菱形的对角线．    (1)作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，交于点，点，作直线交于点，交于点，连接即可； （2）连接，由菱形的性质得到，，则，由线段的垂直平分线的性质可得，故得到，则． 【详解】（1）解：    （2）解：连接， 菱形， ，， ， 垂直平分， ， ， ． 【点睛】本题主要考查基本作图，菱形的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质．按照要求作出边的垂直平分线是解题的关键． 8.（2024·山东泰安）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明可判定①；再说明可得垂直平分线段可判定②；根据直角三角形的性质可得可判定③，根据三角形的面积公式即可判定④． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故②正确， ∵， ∴，故③正确， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 9. （2025·江苏扬州二模） 如图，在中，是斜边上的中线，过点作交于点．若的面积为5，则的值为（    ） A． B． C． D． 【中考链接】本题原题目来源于2021山东淄博中考. 【答案】A 【分析】由题意易得，设，则有，则有，，然后可得，过点C作CH⊥AB于点H，进而根据三角函数及勾股定理可求解问题． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， 设，则有， ∵， ∴由勾股定理可得， ∵的面积为5， ∴， ∵， ∴，即，化简得：， 解得：或， 当时，则AC=2，与题意矛盾，舍去； ∴当时，即，过点C作CH⊥AB于点H，如图所示： ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查三角函数、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握三角函数、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 10.（2022·湖北江汉油田）如图，点P是上一点，是一条弦，点C是上一点，与点D关于对称，交于点E，与交于点F，且．给出下面四个结论：①平分；  ②；  ③；  ④为的切线．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据点AB为CD的垂直平分线，得出BD=BC，AD=AC，根据等边对等角得出∠BDC=∠BCD，利用平行线性质可判断①正确；利用△ADB≌△ACB（SSS）得出∠EAB=∠CAB，利用圆周角弧与弦关系可判断②正确；根据等弧所对的圆周角相等可得∠AEF≠∠ABE，从而可得△AEF与△ABE不相似，即可判断③；连结OB，利用垂径定理得出OB⊥CE，利用平行线性质得出OB⊥BD，即可判断④正确． 【详解】解：∵点C是上一点，与点D关于对称， ∴AB为CD的垂直平分线， ∴BD=BC，AD=AC， ∴∠BDC=∠BCD， ∵， ∴∠ECD=∠CDB， ∴∠ECD=∠BCD， ∴CD平分∠BCE，故①正确； 在△ADB和△ACB中， ∵AD=AC，BD=BC，AB=AB， ∴△ADB≌△ACB（SSS）， ∴∠EAB=∠CAB， ∴， ∴BE=BC=BD，故②正确； ∵AC≠AE， ∴≠， ∴∠AEF≠∠ABE， ∴△AEF与△ABE不相似，故③错误； 连结OB， ∵，CE为弦， ∴OB⊥CE， ∵， ∴OB⊥BD， ∴BD为的切线．故④正确， ∴其中所有正确结论的序号是①②④． 故答案为①②④． ． 【点睛】本题考查轴对称性质，线段垂直平分线性质，角平分线判定，三角形全等判断于性质，垂径定理，切线判断，掌握轴对称性质，线段垂直平分线性质，角平分线判定，三角形全等判断于性质，垂径定理，切线判断是解题关键． 11.（2025·安徽）已知点在正方形内，点E在边上，是线段的垂直平分线，连接，． (1)如图1，若的延长线经过点D，，求的长； (2)如图2，点F是的延长线与的交点，连接． ①求证：； ②如图3，设，相交于点G，连接，，．若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)详见解析；为等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得出，，证明，得出，结合正方形的性质可判断是等腰直角三角形，求出，然后根据勾股定理求出，即可求解； （2）①由正方形的性质和线段的垂直平分线的性质得出，根据等边对等角以及三角形内角和定理可求出，即可求解； ②（方法一）作交于点M，交于点N．根据三线合一的性质得出M为的中点．可证，根据平行线分线段成比例判断出N是的中点，根据三角形中位线定理得出．根据证明，得出，则E为的中点．结合，根据三角形中位线定理和平行线的性质得出．同理可证，得出，即可得出结论； （方法二）设，则．根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理求出，由（1）中，得出，则．根据等边对等角得出．根据三角形内角和定理求出，由角的和差关系求出，，根据证明，得出，．结合①中求出，则，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，的延长线经过点D， ∴，，， 由垂直平分线的性质知，，， 又， ∴， ∴． 又， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． （2）解：①证明：由题意知，， ∴，． ∴ ， ∴． ②解：是等腰直角三角形． 理由如下： （方法一）作交于点M，交于点N． ∵， ∴M为的中点． 又， ∴， ∴， ∴N是的中点， ∴是的中位线，． ∵，，且， ∴， ∴， 即E为的中点． 又， ∴， ∴． 同理可证， ∴． ∴是等腰直角三角形． （方法二）设，则． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴， 又，， ∴． ∴，． 由①知， ∴． 又， ∴为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 12.（2022·山东枣庄二模改编）如图，在平面直角坐标系中，直角的顶点，在函数图象上，轴，线段的垂直平分线交于点，交的延长线于点，点纵坐标为2，点横坐标为1，． （1）求点和点的坐标及的值； （2）连接，求的面积． 【中考链接】本题原题目来源于2021年四川达州中考 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）由点的纵坐标为2，点的横坐标为1，可以用表示出，两点坐标，又轴，为直角三角形，所以可以得到点的纵坐标为2，点的横坐标为1，由此得到点坐标，又由于，可以得到点坐标，因为垂直平分，所以，根据此等式列出关于的方程，即可求解； （2）由（1）中的值，可以求出，的坐标，利用勾股定理，求出线段的长度，从而得到的长度，先证明，利用相似三角形对应边成比例，求出的长度，即可求出的面积． 【详解】解：（1）如图，连接BE， 由题意得点的坐标为，，点的坐标为， 又轴，且为直角三角形， 点的坐标为， 又∵， 点的坐标为， 点在线段的垂直平分线上， ， 在中，， ， 或， 当时，点，，三点重合，不能构成三角形，故舍去， ， ，，； （2）由（1）可得，，，， 设的中点为， ，， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题是一道反比例函数的综合题，考查了反比例函数的图象性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等相关知识，熟知平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解决此题的关键． 13.（2022·山东德州）如图1，在等腰三角形中，，为底边的中点，过点作，垂足为，以点为圆心，为半径作圆，交于点，． (1)与的位置关系为_______； (2)求证：是的切线； (3)如图2，连接，，，求的直径．(结果保留小数点后一位．参考数据：) 【答案】(1)相切 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用直线与圆的相切的定义解答即可； （2）过点作于点，连接，通过证明，利用直线与圆相切的定义解答即可； （3）过点作于点，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得，再利用垂径定理和直角三角形的边角关系定理求得圆的半径，则圆的直径可求． 【详解】（1）解：，点为圆心，为半径， 圆心到直线的距离等于圆的半径， 为的切线， 与的位置关系为相切， 故答案为：相切； （2）证明：过点作于点，连接，如图， ，为底边的中点， 为的平分线， ，， ， 为的半径， 为的半径， 是的切线； （3）解：过点作于点，如图， ，， ， ， ． ， ， ，， 为的平分线， ． 在中， ， ∴ 的直径． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，垂径定理，圆的切线的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，三角形的内角和定理，过圆心作直线的垂线段是解决此类问题常添加的辅助线，综合运用以上知识是解题的关键． 14.（2022·江苏无锡校级月考）已知，在中，． （1）如图1，已知点D在边上，，连结．试探究与的关系； （2）如图2，已知点D在下方，，连结．若，，，交于点F，求的长； （3）如图3，已知点D在下方，连结、、．若，，，，求的值． 【中考链接】本题原题目来源于2021四川资阳中考. 【答案】（1），理由见详解；（2）；（3） 【分析】（1）由题意易得，则易证，然后根据全等三角形的性质可求解； （2）过点A作AH⊥BC于点H，由题意易得，，然后可得，进而根据勾股定理可得，设，则，易得，则有，所以，最后问题可求解； （3）将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，过点A作AP⊥BC于点P，作DT⊥BC于点T，分别过点G作GM⊥BC，GN⊥AP，交BC的延长线于点M，交AP于点N，由题意易得，，则有，然后可得，设，，进而根据勾股定理可求解x的值，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点A作AH⊥BC于点H，如图所示： ∵， ∴△BAC是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴AF=5； （3）将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，过点A作AP⊥BC于点P，作DT⊥BC于点T，分别过点G作GM⊥BC，GN⊥AP，交BC的延长线于点M，交AP于点N，如图所示： ∵，， ∴△BAC是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵GM⊥BC，GN⊥AP，AP⊥BC， ∴四边形GMPN是矩形， ∴， 设， ∴， 在Rt△ANG中，， ∵， ∴， 化简得：， 解得：， ∵， ∴当时，易知与相矛盾， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在Rt△DTC中，， ∴． 【点睛】本题主要考查三角函数、相似三角形的性质与判定、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握三角函数、相似三角形的性质与判定、旋转的性质及勾股定理是解题的关键． 15.（2024·广西）如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分． (1)求证：； (2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接， ①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由； ②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②或 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出，利用等边对等角得出，结合角平分线定义可得出，最后根据相似三角形的判定即可得证； （2）先求出，然后利用含的直角三角形性质求出，，，利用勾股定理求出，，取中点，连接，，作于N，由旋转的性质知，为旋转所得线段，则，，，根据点到直线的距离，垂线段最短知，三角形三边关系得出，故当M、O、三点共线，且点O在线段时，取最大值，最大值为，此时，最后根据三角形面积公式求解即可； ②先利用三角形三边关系判断出，，则当为直角三角形时，只有，然后分A和重合，和C重合，两种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∴， 又； ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 取中点，连接，，作于N， 由旋转的性质知，为旋转所得线段， ∴，，， 根据垂线段最短知， 又， ∴当M、O、三点共线，且点O在线段时，取最大值，最大值为， 此时， ∴面积的最大值为； ②∵，， ∴， 同理 ∴为直角三角形时，只有， 当A和重合时，如图， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴、O、M三点共线， ∴为直角三角形， 此时旋转角； 当和C重合时，如图， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴、O、M三点共线， 又 ∴为直角三角形， 此时旋转角； 综上，旋转角的度数为或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识，明确题意，正确画出图形，添加辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 【变式1】（2022·湖北恩施州）如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若，．则四边形MBND的周长为（    ） A． B．5 C．10 D．20 【答案】C 【分析】先根据矩形的性质可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，根据平行线的判定可得，然后根据菱形的判定可得四边形是菱形，设，则，在中，利用勾股定理可得的值，最后根据菱形的周长公式即可得． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由作图过程可知，垂直平分， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形， 设，则， 在中，，即， 解得， 则四边形的周长为， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． 【变式2】（2025·湖南）如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可得四边形的四条边长相等，代入已知边长，计算周长即可． 【详解】解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形的周长为， 解法二： ∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴菱形的周长为， 故选：． 【变式3】（2025·四川达州）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（     ）. A.21 B.14 C.13 D.9 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴. 4.（2025·湖北）如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，由是的垂直平分线，可得，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线， ∴，而， ∴， ∴， 故选：C 【变式4】（2025·辽宁）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 【详解】解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选：B. 【变式5】（2025·黑龙江齐齐哈尔）如图，在中，，连接，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线，交于点M，交于点N，若点N恰为的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，证明是关键．连接，证明是等边三角形，，得到，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：连接， 由作图可知， 垂直平分， ∴， ∵点N恰为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 本专题所有题目来源于近5年中考真题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $