精品解析：广东省中山市桂山中学2025-2026学年高三上学期第一次模拟考试数学试题

中山市桂山中学2026届高三年级第一次模拟考试试题 数学 （2025.08） 命题人：谭天众 审题人：杨业坤 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.试卷满分150分.考试时间120分钟. 【注意事项】 1.答卷前，考生务必将自己的班级､姓名､4位班座号､10位市统考号，用黑色签字笔或钢笔填写在答题卷密封线内. 2.选择题做在答题卡上，非选择题做在答题卷上.考试结束后，只交答题卡和答题卷. 3.试卷共4页，答题卷共4页，作答时用黑色签字笔或钢笔直接答在指定答题处. 第I卷 （选择题共58分） 一､单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的最小值是（ ） A B. C. D. 6. 某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2025 8. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理.该定理的简单版本是对于满足一定条件的连续函数，存在一个实数，使得.设函数，若在区间上存在不动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列函数中，在区间上单调递增的（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如果函数满足两个条件：①有且仅有两个不相等的极值点，，②点，与原点三点共线（三点互不重合），且该直线斜率为，那么我们称为具有“线性”.已知函数，且，下列说法正确的是（ ） A. 若，则具有“线性” B. 存在实数，使得具有“线性” C. 若具有“线性”，则 D 若具有“线性”，则 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的定义域为______． 13. 函数图象的对称中心的坐标为_____． 14. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取球，若存在为整数，使得标有数字和的球均已被取出，则停止取球．记为取出的球的个数，则的数学期望______． 四､解答题（本题共5小题共77分.解答应写出文字说明､证明过程或者演算步骤.） 15. （1）已知命题，使得是真命题，求实数的取值范围； （2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数. （1）求函数的解析式； （2）对任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）求单调区间； （2）当时，求函数的极值. 18. “大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号，某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示： 试销单价x（元） 4 5 6 7 8 9 产品销量y（件） q 84 83 80 75 68 已知 （Ⅰ）求出q的值； （Ⅱ）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程； （Ⅲ）用表示用（Ⅱ）中所求线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数的分布列和数学期望． （参考公式：线性回归方程中最小二乘估计分别为） 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中山市桂山中学2026届高三年级第一次模拟考试试题 数学 （2025.08） 命题人：谭天众 审题人：杨业坤 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.试卷满分150分.考试时间120分钟. 【注意事项】 1.答卷前，考生务必将自己的班级､姓名､4位班座号､10位市统考号，用黑色签字笔或钢笔填写在答题卷密封线内. 2.选择题做在答题卡上，非选择题做在答题卷上.考试结束后，只交答题卡和答题卷. 3.试卷共4页，答题卷共4页，作答时用黑色签字笔或钢笔直接答在指定答题处. 第I卷 （选择题共58分） 一､单选题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集定义可得答案. 【详解】由交集定义知. 故选：C 2. 下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性及单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，函数是奇函数，在上单调递增，A是； 对于B，函数是偶函数，不是奇函数，B不是； 对于C，函数是偶函数，不是奇函数，C不是； 对于D，函数是偶函数，不是奇函数，D不是. 故选：A 3. 已知，，则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用指数与对数的互化得出，再利用对数的运算性质即可求解. 【详解】，则， 所以. 故选：D 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据解析式，先判断函数奇偶性，可排除A、D；再由时，，可排除B，即可得出结果. 【详解】由得，即函数的定义域为， 又， 所以是偶函数，其图象关于轴对称，故A、D错； 又时，，， 所以，故B错，C正确； 故选：C. 5. 已知，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． 故选：D. 6. 某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用二项分布的概率公式进行求解即可. 【详解】由题意可知：他能合格的概率为， 故选：A 7. 已知函数定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】由函数奇偶性，确定为周期函数，再结合，求得，即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以关于点中心对称， 又为偶函数，所以关于直线对称， 所以为周期函数且周期， ∴，∵，∴，∴. 故选:C． 8. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理.该定理的简单版本是对于满足一定条件的连续函数，存在一个实数，使得.设函数，若在区间上存在不动点，则的取值范围是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，在上有解，即有解，然后换元并构造函数即可. 【详解】由题意可得，在上有解，即有解. 令，则. 令函数在上单调递增. ∴时，，所以在上单调递增. 为偶函数，所以在上单调递减，故的最小值为， ，，, 故选：A. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列函数中，在区间上单调递增的（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由函数式依次确定在上的单调性即可. 【详解】对于A，由对钩函数性质可知函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数在上都单调递增，则在上单调递增，B是； 对于C，当时，在上单调递增，C是； 对于D，定义域为，在上无定义，D不是. 故选：BC 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对二项式展开式赋值以及利用求导的方法来求解各项系数的值或系数之间的关系. 【详解】根据二项式定理，当我们令展开式中时，此时展开式中除了这一项，其余含有的项都为， 所以，即，可得，故选项A正确； 二项式其展开式的通项公式为， 要求，也就是当时的系数， 将代入通项公式中， 先计算组合数， 则，故选项B错误； 令，则， 即，所以 又因为前面已经求得，那么，故选项C错误； 对两边同时求导。 左边求导为，右边求导为，即 令，则 即，所以，故选项D正确. 故选：AD. 11. 如果函数满足两个条件：①有且仅有两个不相等的极值点，，②点，与原点三点共线（三点互不重合），且该直线斜率为，那么我们称为具有“线性”.已知函数，且，下列说法正确的是（ ） A. 若，则具有“线性” B. 存在实数，使得具有“线性” C. 若具有“线性”，则 D. 若具有“线性”，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导，即可根据斜率关系求解A，举反例即可求解B，根据具有“线性”，可求导，根据韦达定理，结合 “线性”列式子即可求解CD。 【详解】由题意，可知函数有且仅有两个不相等的极值点. 对于，由，解得，， 则，故，与原点三点共线， 可得具有“线性”，A正确； 对于B，若，，解得，， 则在函数图象中，点在轴上， 此时与原点的斜率不存在， 故此时不存在实数，使得具有“线性”，B错误； 易知，由于具有“线性”， 则，是两个不同的极值点，故，是的两个不相等的实数根， 则，，且，有. 设，即（*）， 两式相减得， 即，即，则，C正确； 将（*）变形为 两式相减得， 即， 即，求得，D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的定义域为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据偶次根式的被开方数为非负数，列不等式求解． 【详解】由，即，解得或， 所以定义域为或． 故答案为：或． 13. 函数图象的对称中心的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】令，计算得到，即可得解. 【详解】函数的定义域为， 又， 所以函数图象的对称中心的坐标为. 故答案为： 14. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取球，若存在为整数，使得标有数字和的球均已被取出，则停止取球．记为取出的球的个数，则的数学期望______． 【答案】#### 【解析】 【分析】先根据题意确定停止取球的条件，再确定的取值，求出其分布列，根据期望的计算公式计算. 【详解】当，；当时，；当时，； 由题，则当标有数字或者或者的球均已被取出，则停止取球， 所以的可能取值是， ；；； 所以的分布列为 . 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题共77分.解答应写出文字说明､证明过程或者演算步骤.） 15. （1）已知命题，使得是真命题，求实数的取值范围； （2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）因为对全体实数x，使得是真命题，即可得到，求出的范围； （2）分别求出命题 中 的范围，再根据是的必要不充分条件，即可得到关于的不等式，求出的范围. 【详解】（1）因为命题，使得是真命题，那么 ， 即 ，那么实数的取值范围为 ； （2），即 ； 中，，因为 ，解得 ，是的必要不充分条件， 所以 ，故实数的取值范围为. 16. 已知函数. （1）求函数的解析式； （2）对任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【详解】试题分析：用换元法令来求函数的解析式（2）由（1）得的解析式代入，分离含参量，求出实数的取值范围 解析：（1）令 ∴ 即：∴. （2）由 即： 又因为：，∴ 令，则： 又在为减函数，在为增函数. ∴ ∴，即：. 点睛：在解答含有参量的恒成立问题时，可以运用分离含参量的方法，求解不等式，注意分类讨论其符号，最后求解结果． 17. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）当时，求函数的极值. 【答案】（1）答案见解析 （2），. 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论和，即可根据导函数的单调性即可求解， （2）求导，即可根据函数的单调性求解极值点. 【小问1详解】 ， 若，由，得；由，得， 的递减区间为，递增区间为. 若，由，得；由，得， 的递减区间为，递增区间为. 【小问2详解】 当时，， . 由，得或. 当变化时，与的变化情况如下表： 2 - 0 + 0 - 递减 极小值 递增 极大值 递减 ， . 18. “大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号，某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示： 试销单价x（元） 4 5 6 7 8 9 产品销量y（件） q 84 83 80 75 68 已知 （Ⅰ）求出q的值； （Ⅱ）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程； （Ⅲ）用表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”．现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数的分布列和数学期望． （参考公式：线性回归方程中最小二乘估计分别为） 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析， 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据，可求得结果；（Ⅱ）由公式可得 ，样本中心点带入可得值，从而求得回归方程；（Ⅲ）（）的共有 个“好数据”：、、． 于是的所有可能取值为，，，．分别求出对应概率，利用期望公式求解即可. 试题解析：（Ⅰ），可得 解得． （Ⅱ）， ， 所以所求的线性回归方程为． （Ⅲ）利用（Ⅱ）中所求线性回归方程可得，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，． 与销售数据对比可知满足（1,2，…，6）的共有3个“好数据”：、、． 于是的所有可能取值为，，，． ；；；， ∴的分布列为： 0 1 2 3 于是． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求导得出，再由点斜式计算即可； （2）利用同构法将问题转化为证明，分别构造函数，求其最小值即可； （3）结合第一问先证，再证，通过放缩将问题转化为证明即可. 【小问1详解】 当时，， 所以， 故曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 要证，即证， 即证， 分别令， 则，显然时，此时单调递增， 时，此时单调递减，则， 所以恒成立，当且仅当时取得等号， 即，当且仅当时取等， 由可得，当且仅当时取得等号， 即有，但等号不能同时取得，所以， 所以成立，证毕； 【小问3详解】 令， 则， 令， 所以定义域上单调递增， 又，则时，单调递减， 时，单调递增， 则有，所以， 故 ， 令， 所以定义域上单调递增，则，即， 所以， 令， 易知其对称轴为，即 ， 易知，所以， 则， 证毕. 【点睛】关键点睛：第三问解析式含有指数、对数、三角函数，证明需要利用合理的放缩化为简单的函数，而根据第一问的结论将含指数与对数式的部分转化放缩为二次函数大大减轻计算量. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $