专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型（几何模型讲义）数学华东师大版九年级上册

专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、半角模型 5 14 相似三角形中的半角模型源于初中几何中利用旋转构造全等三角形的经典方法，其核心是通过角度关系推导线段之间的数量关联。这类模型通过“数形结合”的趣味性，成为几何学习的经典记忆点。 半角模型‌指一个图形中存在共顶点的两个角，其中一个角是另一个角的一半（即“半角”），且该半角的两边与二倍角的两边对应成比例。在相似三角形背景下，模型表现为：大角与小角共顶点；小角为大角的一半；涉及相似三角形的对应边比例关系。 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 （2025·广东·校考二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）； 【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：； （2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点E，F，，连接，，． (1)判断的形状，并说明理由．(2)求证：．(3)若，，求线段的长． 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 图1 图2 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图1 条件：如图1，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 模型1.半角模型 例1（2025·云南昆明·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为a，点E，F分别在边BC，CD上，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与对角线BD交于点M、N，AH⊥EF于点H，以下说法：①AH＝a；②△CEF的周长是2a；③若BE＝2，DF＝3，则a＝6；④△ABM≌△NEM；⑤AN⊥NE，其中正确的是（    ） A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③ D．①②⑤ 例2（24-25九年级上·四川·期中）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆放在一起，为公共顶点，，它们的斜边长为2，若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、(点不与点重合，点不与点重合)，设，． (1)请在图中找出一对相似而不全等的三角形，并对其进行证明； (2)求m和n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围； (3)证明在旋转过程中以，，三条线段长度为三边的三角形是直角三角形． 例3（2025·四川泸州·一模）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 例4（24-25·广东·九年级专题练习）如图，中，，，点为边上的点，点为线段上一点，且，，，则的长为 ． 例5（2024·贵州·模拟预测）如图，在正方形中，，E、F分别是上的点，且，分别交于点M，N，连接． (1)如图①，试探究和的数量关系和位置关系；(2)如图②，若点G是的中点，连接，求证：；(3)在（2）的条件下，若，求的面积． 例6（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按顺时针方向旋转，交直线于点． (1)如图，当，时求证：；连接，与交于点，与交于点，若，求 的值；(2)如图，当时，延长交射线于点，延长交射线于点，连接，且，若，求的值． 例7（2024·陕西宝鸡·二模）问题提出（1）如图1，在正方形中，点N，M分别在边上，连接．已知，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证：__________（选填“”或“”），从而可得：__________（选填“”“”或“”）； 问题探究（2）在题（1）条件下，若，，求正方形的边长； 问题解决（3）如图2，工人谢师傅现计划在一块如图所示的矩形材料中加工出一块四边形材料，要求加工出的材料中，点M，N分别在边上，同时工厂为了能继续利用加工后的剩余材料，要求点M落在边上，且满足，已知矩形的边，，若谢师傅加工材料时选择的长度为4，请问的长度是否满足要求，并计算说明． 1．（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，正方形的对角线相交于，点，分别是边，上的动点（不与点，，重合），，分别交于，两点，且，则下列结论：①；②；③；④是等腰三角形．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·江苏·校考一模）如图，平面直角坐标系中，长方形，点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，，，，、分别交，于点D、E，且，则的长为（    ）    A．1 B． C．2 D． 3．（2024·广东东莞·一模）如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，、分别交于点M，N，连接、，且．下列结论：①，；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2024·江苏徐州·三模）如图，矩形中，，，点E在上，，作，交于点F，则的长为（   ） A．2 B．1 C． D． 5．（23-24九年级下·湖北襄阳·期中）如图所示，边长为4的正方形中，对角线，交于点O，E在线段上，连接，作交于点F，连接交于点H，则下列结论：①；②；③；④若，则，正确的是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 6．（2025·山西晋城·校联考模拟预测）如图，在矩形中，，，，分别为，边上的点．若，，则的长为 ．    7（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）如图，和为等腰直角三角形，，、分别交边于点、，若，5，则 ． 8．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，已知中，，，点、在边上，．(1)求证：；(2)当，时，求的长． 9．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】（1）数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，，，D，E为上两点，连接，，．李老师引导学生分析，发现图形中存在哪些结论．①小东发现，．②小红发现，． 请你选择一名同学发现的结论，写出证明过程．              图1    图2 【问题再探】（2）李老师引导学生们继续分析，当满足一定度数时，线段与具有一定的数量关系．小亮根据李老师的分析，提出下面问题，请你解答．如图2，，，，D，E为上两点，连接，，．若，求证：． 【学以致用】（3）如图3，，，，，D，E为上两点，连接，，若，且，求的长．                 图3 10．（24-25·浙江杭州·九年级期末）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，A为公共顶点，，若固定不动，绕点A旋转，边、与边的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）． （1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． （2）设，①若，求n；②直接写出n的取值范围． （3）你觉得的面积有最大值吗？有最小值吗？请说明理由． 11．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，已知在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按逆时针方向旋转，交于点．    (1)如图，当，时，证明：； (2)如图，连接，射线与线段的延长线交于点，射线与线段的延长线交于点，当时，，设，，求与之间的函数关系式； (3)在（）的条件下，若，当为直角三角形时，求的长； 12.（2024·山东泰安·一模）如图，在正方形中，M、N分别是射线和射线上的动点，且始终．(1)如图1，当点M、N分别在线段、上时，请直接写出线段、、之间的数量关系；(2)如图2，当点M、N分别在、的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；(3)如图3，当点M、N分别在、的延长线上时，若，设与的延长线交于点P，交于Q，直接写出、的长．    13.（2024·江苏宿迁·中考真题）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H． 根据以上操作，得________． 【探究证明】（1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明； （2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：． 【深入研究】若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 14.（2025·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长． （2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长． （3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系． 15．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）探究与实践 【问题初探】在数学活动课上，老师给出如下问题： 如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连接、、．若，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到． 易证：，从而得． 【方法归纳】有公共顶点，锐角等于较大的角的一半时，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等（相似）的三角形的几何模型．这种解法称为经典之旋转法． 【实践探究】（1）在用图①结论下，若，，则正方形的边长是多少？ （2）如图②，点M、N分别在正方形边、上，且．点E、F分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】（3）如图③，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，连接、，已知，，求的长． 16．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠G＝90°，BC＝6，若△ABC固定不动，将△AFG绕点A旋转，边AF、AG与边BC分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）；①求证：AE2＝DE•BE；②求BE•CD的值； 【拓展探究】（2）如图2，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E在边BC上，∠B＝∠DAE＝30°，且，请直接写出的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似三角形中的基本模型之半角模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1、半角模型 5 14 相似三角形中的半角模型源于初中几何中利用旋转构造全等三角形的经典方法，其核心是通过角度关系推导线段之间的数量关联。这类模型通过“数形结合”的趣味性，成为几何学习的经典记忆点。 半角模型‌指一个图形中存在共顶点的两个角，其中一个角是另一个角的一半（即“半角”），且该半角的两边与二倍角的两边对应成比例。在相似三角形背景下，模型表现为：大角与小角共顶点；小角为大角的一半；涉及相似三角形的对应边比例关系。 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 （2025·广东·校考二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）； 【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：； 【答案】（1）成立；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）结论成立 　 理由：如图1，∵和都是等腰直角三角形，∴ ∵，，∴， 又∵，∴,∴ ∵,   ∴, 故结论成立； （2）证明：如图2，∵四边形是正方形，∴, ∵，∴, ∴，∴， 又∵，∴； （3）线段的长为cm 理由：如图3，在上取一点M,使，过M作于N， 又∵四边形为菱形,且，∴， ∴，∴， ∴，∴ ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴, ∵，，∴ ∵,∴，∴∴, ∵菱形的边长为，∴， ∵，∴，∴， ∵∴cm， ∴，∴线段的长为． （2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点E，F，，连接，，． (1)判断的形状，并说明理由．(2)求证：．(3)若，，求线段的长． 【答案】(1)为等边三角形，见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：为等边三角形，理由如下：由作法得， ，为等边三角形； （2）证明：为等边三角形，，， ，， ，，而，； （3）解：为等边三角形，， ，，即，解得． 1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 图1 图2 结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN； 证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF， ∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN； 结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN. 证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF， ∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°， ∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。 同理：△AND∽△AEC，；即。 结论：如图4，△AMN∽△AFE且． 证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN； 又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。 2）半角模型（含120-60°半角模型） 图1 条件：如图1，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。 证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC， ∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：， 同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；， ∴，∵AD=AE=DE，∴ 模型1.半角模型 例1（2025·云南昆明·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为a，点E，F分别在边BC，CD上，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与对角线BD交于点M、N，AH⊥EF于点H，以下说法：①AH＝a；②△CEF的周长是2a；③若BE＝2，DF＝3，则a＝6；④△ABM≌△NEM；⑤AN⊥NE，其中正确的是（    ） A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③ D．①②⑤ 【答案】A 【详解】解：如图，延长EB至点G，使BG＝DF， ∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADF＝∠ABG＝90°， ∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AF＝AG， 又∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠BAE+∠BAG＝45°， ∴∠GAE＝∠EAF，∴△AGE≌△AFE，∴GE＝FE，S△AGE＝S△AFE， 又∵AH⊥EF，AB⊥GE，∴AH＝AB＝a，故①正确；∵BG＝DF，GE＝FE， △CEF的周长＝CE+EF+CF＝CE+EG+CF＝CE+BE+BG+CF＝CE+BE+DF+CF＝BC+CD＝2a，故②正确； ∵BE＝2，DF＝3，∴EF＝GE＝BE+BG＝BE+DF＝2+3＝5， 在Rt△ECF中，CF＝a﹣3，EC＝a﹣2，∴（a﹣3）2+（a﹣2）2＝52， 解得：a＝6或a＝﹣1（负值舍去），故③正确；∵∠EAF＝45°，∠DBC＝45°，∴∠EAF＝∠DBC， 又∵∠BME＝∠AMN，∴△BME∽△AMN，∴， 又∵∠AMB＝∠NME，∴△ABM相似△NEM，但并一定全等，故④错误； ∵△AMB∽△NME，∴∠ABM＝∠AEN＝45°，又∵∠EAF＝45°， ∴∠ANE＝180°﹣∠AEN﹣∠EAF＝90°，即AN⊥NE，故⑤正确，正确的是①②③⑤，故选：A． 例2（24-25九年级上·四川·期中）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆放在一起，为公共顶点，，它们的斜边长为2，若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、(点不与点重合，点不与点重合)，设，． (1)请在图中找出一对相似而不全等的三角形，并对其进行证明； (2)求m和n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围； (3)证明在旋转过程中以，，三条线段长度为三边的三角形是直角三角形． 【答案】(1)，，证明见解析；(2)(3)证明见解析 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵，∴ 又∴；同理可得：． （2）解：由（1）可知，，∴，∴ 又∵是等腰直角三角形，且，∴，又，， ∴，即，∴； （3）证明：如图，将绕点顺时针旋转至的位置，则，，，旋转角．连接，在和中， ∵，，．∴，∴， 又，∴，即． ∴在旋转过程中以，，三条线段长度为三边的三角形是直角三角形． 例3（2025·四川泸州·一模）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在上分别截取，连接，交于点，延长到点，使，连接， ∵四边形是矩形，， ，，∴四边形是平行四边形， ，∴四边形是正方形， ，， ，， ，，，， ，，，设，， ，， 在中，，，，， ，，，， ，，，故选：D． 例4（24-25·广东·九年级专题练习）如图，中，，，点为边上的点，点为线段上一点，且，，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作于，作于． 中，，．∴． 在中，．，．． ．．． ．．．． ，即．．由勾股定理得：． ．．故答案为： 例5（2024·贵州·模拟预测）如图，在正方形中，，E、F分别是上的点，且，分别交于点M，N，连接． (1)如图①，试探究和的数量关系和位置关系；(2)如图②，若点G是的中点，连接，求证：；(3)在（2）的条件下，若，求的面积． 【答案】(1)，且(2)见解析(3) 【详解】（1），且∵， ，，∴． ∵，∴，∴ ∴∴，且 （2）如图，把绕点A逆时针旋转，得到 ∴，． ∵，∴，∴，即， ∵，，∴B、D两点重合．∵，∴F，D，H三点共线， ∴，∴．由（1） 得：， ∵G是的中点，，∴，∴，∴； （3）过点N作于点P，过点G作于点Q， ∴．又∵，∴四边形为平行四边形， ∴，，∴是等腰直角三角形， ∴，∴， 又∵，∴四边形为平行四边形，∴． 设，则，， ，∴解得 ， ∴．由（2）得：， ． 例6（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按顺时针方向旋转，交直线于点． (1)如图，当，时求证：；连接，与交于点，与交于点，若，求 的值；(2)如图，当时，延长交射线于点，延长交射线于点，连接，且，若，求的值． 【答案】(1)证明见解析；；(2)． 【详解】（1）证明：连接，交于点， ∵四边形是菱形，∴，，，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴； 过点作于点， ∵，，∴，∵，∴，∴， ∴，设，则，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵平分，，，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴，相似比， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，即， ∵四边形是菱形，∴，，∵，∴，∴， ∴，∴； （2）解：∵，∴，∴， ∵四边形是菱形，，∴，，， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，． 例7（2024·陕西宝鸡·二模）问题提出（1）如图1，在正方形中，点N，M分别在边上，连接．已知，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证：__________（选填“”或“”），从而可得：__________（选填“”“”或“”）； 问题探究（2）在题（1）条件下，若，，求正方形的边长； 问题解决（3）如图2，工人谢师傅现计划在一块如图所示的矩形材料中加工出一块四边形材料，要求加工出的材料中，点M，N分别在边上，同时工厂为了能继续利用加工后的剩余材料，要求点M落在边上，且满足，已知矩形的边，，若谢师傅加工材料时选择的长度为4，请问的长度是否满足要求，并计算说明． 【答案】（1），；（2）正方形的边长是12；（3）满足要求，理由见解析 【详解】解：（1）四边形是正方形，，， 由旋转的性质得，，，，， ，即， ，，， 在和中，，，， ，．故答案为：，=． （2）在中，由勾股定理得，则， 设正方形的边长为x，则，， ，解得，即正方形的边长是12． （3）满足要求，理由如下：延长至P，使，过P作的平行线交的延长线于Q，延长交于点E，连接，如图所示， 则四边形是正方形，， 设，则，，， ，，， 由（1）得：，在中，由勾股定理得：， 解得，即的长是8，而，，满足要求． 1．（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，正方形的对角线相交于，点，分别是边，上的动点（不与点，，重合），，分别交于，两点，且，则下列结论：①；②；③；④是等腰三角形．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转至， ，，， ，，，， ，；故①正确； ，，， ，，，， ，，故②正确；，即， ，，， 是等腰直角三角形，；故③正确； 在与中，，，， ，，是等腰三角形，故④正确；故选：． 2．（2025·江苏·校考一模）如图，平面直角坐标系中，长方形，点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，，，，、分别交，于点D、E，且，则的长为（    ）    A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点E作交延长线于点F，过点F作交延长线于点G，作于H，    ，，，， ，，， 在和中，，， ，，， ，，∴四边形是矩形， ，，，， ，，∴，∴，，故选：C． 3．（2024·广东东莞·一模）如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，、分别交于点M，N，连接、，且．下列结论：①，；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：如图，将绕点A逆时针旋转，得到，则，，， ∵四边形是正方形，，，， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，，故①正确；∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴， ∴，，故②正确； ∵，，∴， 又∵，，∴，故③正确； ∵，，∴，∴， ∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴， 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，则，，， ∴，即是直角三角形， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， 故④正确；故选：A． 4．（2024·江苏徐州·三模）如图，矩形中，，，点E在上，，作，交于点F，则的长为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：在上截取，使得，连接，交于，延长至，使，连接，四边形是矩形，， ，，， ，，，，，， ，，， 又，，， 在中，，， ，，故选：D． 5．（23-24九年级下·湖北襄阳·期中）如图所示，边长为4的正方形中，对角线，交于点O，E在线段上，连接，作交于点F，连接交于点H，则下列结论：①；②；③；④若，则，正确的是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：如图，连接，     四边形是正方形，，， 又，，，，， ，， 又，，，，故正确； ，，，， 又，，，，故正确； ．，，，，， ，，， ，，，，故正确； ，，，，，， 又，，， ，，故正确，故选：D． 6．（2025·山西晋城·校联考模拟预测）如图，在矩形中，，，，分别为，边上的点．若，，则的长为 ．    【答案】3 【详解】在上作点G，使，在上作点H，使，    ∵∴ 又∵∴，∴ 设,则同理可得， ∴∴ ∵ ∴ ∵，∴∴∴∴∴故填：3 7（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）如图，和为等腰直角三角形，，、分别交边于点、，若，5，则 ． 【答案】 【详解】解：∵和为等腰直角三角形，∴． ∵，∴，∴， ∵，5，∴，∴．故答案为：． 8．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，已知中，，，点、在边上，．(1)求证：；(2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，，∴ ∵∴，又∵，∴， ∴，即； （2）解：如图，过点作于点，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∵，，∴ ∵，∴，，， ∵，∴，在中，， 由（1）可知∴， 设，∴解得：，∴． 9．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】（1）数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，，，D，E为上两点，连接，，．李老师引导学生分析，发现图形中存在哪些结论．①小东发现，．②小红发现，． 请你选择一名同学发现的结论，写出证明过程．              图1    图2 【问题再探】（2）李老师引导学生们继续分析，当满足一定度数时，线段与具有一定的数量关系．小亮根据李老师的分析，提出下面问题，请你解答．如图2，，，，D，E为上两点，连接，，．若，求证：． 【学以致用】（3）如图3，，，，，D，E为上两点，连接，，若，且，求的长．                 图3 【答案】（1）选小东发现的结论，证明见解析、（2）证明见解析、（3） 【详解】证明：（1）选小东发现的结论．理由如下： ∵，，∴． ∵，，∴． 选小红发现结论，同理可得：． （2）作于F，则． ∵，∴．∴． ∵，∴．∴．∴． 设，，在中，根据勾股定理．∴． 在中，根据勾股定理． ∵，，∴． ∴．∴．∴． ∴．∴．∴． （3）作交延长线于G，则． ∵，∴．∴． ∴．∴， 在中，∵，∴． 在中，根据勾股定理得． ∵，，∴是正三角形．∴．∴． ∵，∴．∴． ∵，∴， ∴．∴．∴．∴． 10．（24-25·浙江杭州·九年级期末）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，A为公共顶点，，若固定不动，绕点A旋转，边、与边的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）． （1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． （2）设，①若，求n；②直接写出n的取值范围． （3）你觉得的面积有最大值吗？有最小值吗？请说明理由． 【答案】（1），，选取其中一对进行证明见解析；（2）①；②；（3）不存在最大值，存在最小值，理由见解析 【详解】解：（1）， 证明如下：∵两个全等的等腰直角三角形和，∴∠FAG=∠B=∠C=， ∵∴．∵∴ （2）①由（1）可知，则有．∴， 又∵是等腰直角三角形，且，∴，又， ∴，即，或．当时，． ②由题意：1<m<2，代入到mn=2中得：． （3）如图，作于H． ∵，∴， ∴， ∴．∴的面积存在最小值，最小值为． 当点D靠近点B或点E靠近点C时，的面积最大， ∵点D不与点B重合，点E不与点C重合，∴的面积不存在最大值． 11．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，已知在菱形中，是锐角，是边上的动点，将射线绕点按逆时针方向旋转，交于点．    (1)如图，当，时，证明：； (2)如图，连接，射线与线段的延长线交于点，射线与线段的延长线交于点，当时，，设，，求与之间的函数关系式； (3)在（）的条件下，若，当为直角三角形时，求的长； 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)或． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，∴，，， 在中，，∴， ∵，∴，即， ∵，∴，∴， 在和中，， ∴； （2）解：在菱形中，，    即，∵，∴，∴，， ∵，∴，∴ ，∵，∴，∴， 在和中，， ∴，∴，即，∴； （3）解：当时，∵，∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， 由（）知：，∴，当时，同理可得：， ∵，∴，∴，∴，∴或． 12.（2024·山东泰安·一模）如图，在正方形中，M、N分别是射线和射线上的动点，且始终．(1)如图1，当点M、N分别在线段、上时，请直接写出线段、、之间的数量关系；(2)如图2，当点M、N分别在、的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；(3)如图3，当点M、N分别在、的延长线上时，若，设与的延长线交于点P，交于Q，直接写出、的长．    【答案】(1)(2)（1）中的结论不成立，，详见解析(3)； 【详解】（1）；理由：延长到点E，使得，         ∵四边形是正方形，∴， ∵,∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∵，∴； （2）（1）中的结论不成立，正确结论为：． 理由：如图2，在上截取，连接，则， 在和中，，∴，∴，， ∴，即， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴． （3）连接，∵四边形是正方形，， ∴ ∴，，， ∵∴，∴， ∴，∴，解得；∵四边形是正方形， ∴，，，∴， ∵，∴∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴，∴． 13.（2024·江苏宿迁·中考真题）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动 【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H． 根据以上操作，得________． 【探究证明】（1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明； （2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：． 【深入研究】若，请求出的值（用含k的代数式表示）． 【答案】[操作判断]45；[探究证明]（1）等腰直角三角形，理由见详解；（2）见详解；[深入研究] 【详解】[操作判断] 解：如图，由题意得，， ∵四边形是正方形，∴，∴， ∴，∴，即，故答案为：45； [探究证明] 解：（1）如图，∵四边形是正方形，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，，∴是等腰直角三角形； （2）如图，由翻折得，，∵四边形是正方形，∴，即， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴； [深入研究] 解：如图，连接， ∵四边形是正方形，∴，，， ∵是对角线，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 在中，，∴，∴, ∵，∴设，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴． 14.（2025·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长． （2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长． （3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【详解】（1）如图，过点作，且使得，连接，， ，，，，， 在和中，，， ，，，，， 在和中，，，， 设，则， 在中，，，解得：，； （2）①当点在点的左侧时，作，，连接，作交于点， ，，， 在和中，，， ，，，，， 在和中，，，， 设，则， ，，， ，， ， 在中，，即，解得：，； ②当点在点的右侧时，作，，连接，作交的延长线于点， ，，，，， 在和中，，， ，，，，， 在和中，，，， 设，则， ，，，，， ，在中，，即， 解得：，；综上所述，或； （3）作，且令，连接，， ，，，， ， ，，， ，，， ，，，， ，， ， ，，，． 15．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）探究与实践 【问题初探】在数学活动课上，老师给出如下问题： 如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连接、、．若，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到． 易证：，从而得． 【方法归纳】有公共顶点，锐角等于较大的角的一半时，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等（相似）的三角形的几何模型．这种解法称为经典之旋转法． 【实践探究】（1）在用图①结论下，若，，则正方形的边长是多少？ （2）如图②，点M、N分别在正方形边、上，且．点E、F分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】（3）如图③，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，连接、，已知，，求的长． 【答案】（1）正方形的边长是6；（2）数量关系为，理由见解析；（3） 【详解】解：（1）如图，在中，，由勾股定理得：，解得， 设正方形的边长为x，则，， 由结论知：，解得：，即正方形的边长是6； （2）数量关系为：，证明如下： 如图，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接， 由旋转的性质得到：，，，， 又，，， 且，，，， 又，，四边形是平行四边形，，， ，，由勾股定理得：， 又，，； （3）如图，分别在上截取，在上截取，使，连接交于点R，连接，此时洗四边形为正方形，由问题初探知： 设，则，，， 在中，由勾股定理得：， 即解得：，， ，，即，． 16．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠G＝90°，BC＝6，若△ABC固定不动，将△AFG绕点A旋转，边AF、AG与边BC分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）；①求证：AE2＝DE•BE；②求BE•CD的值； 【拓展探究】（2）如图2，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E在边BC上，∠B＝∠DAE＝30°，且，请直接写出的值． 【答案】（1）①证明见解析；②18；（2） 【详解】解：（1）①∵△ABC和△AGF都是等腰直角三角形，∠BAC=∠G=90°，∴∠B=∠C=∠GAF=45°， 又∵∠AED=∠NEA，∴△ABE∽△DAE，∴，∴； ②∵∠DAC=∠DAE+∠CAE，∠AEB=∠C+∠CAE，∠C=∠DAE=45°，∴∠AEB=∠DAC， 又∵∠B=∠C，∴△AEB∽△DAC，∴，∴， ∵AB=AC，∠BAC=90°，BC=6，∴，即， ∴，∴； （2）∵，∴可设，，∵∠B=∠DAE=30°，∠ADE=∠BDA，∴△ADE∽△BDA， ∴，∴，可设，，∴， ∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴，∴， ∴在直角△ACD中，， ∴，∴，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $