专题04 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型（几何模型讲义）数学浙教版九年级上册

专题04 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型 圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型等。 知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。 总结：圆中全等三角形的核心构造思路： 1、 优先用半径：看到半径，优先标记相等关系，为全等提供边的条件 2、 抓圆周角、圆心角：同弧、等弧对应的角相等 3、 结合圆的特有定理：垂径定理（得中点、垂直）、切线长定理（得切线相等）、直径直角（得直角） 4、 找公共边、对顶角：圆的对称性（直径、垂径）常产生公共边或对顶角，简化全等条件 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 6 模型1、切线长模型 6 模型2、燕尾模型 8 模型3、蝴蝶模型 11 模型4、手拉手（旋转）模型 13 模型5、对角互补模型 18 22 圆中的全等模型在几何学发展史中源远流长，其历史脉络可追溯至古代文明，并在不同时期得到深化与扩展。首先古埃及工程师利用圆的性质进行土地测量与金字塔建造，通过经验发现全等三角形的拼接可形成稳定结构；然后欧几里得‌（约公元前300年）在《几何原本》中首次系统化几何理论：提出全等三角形公设（如SSS判定法），为圆中全等模型奠定逻辑基础；接着阿基米德‌（公元前287–前212年）在著作中记录弦切角、垂径性质等命题，隐含全等证明思想；最后在近现代数学教育中形成了一些重要的全等模型。圆的全等模型从经验实践到公理体系，历经文明交融与数学革命，至今仍是连接古典几何与现代科技的纽带。 （2025·贵州铜仁·三模）如图，为的直径，点在上，分别过点、点作的切线相交于点，作射线交的延长线于点，连接相交于点． (1)写出图中一个与相等的角：___________； (2)求证：； (3)若，连接，直接写出四边形与的面积比． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用圆周角定理和圆的切线的性质定理得到，利用直角三角形的性质和同角的余角相等的性质解答即可得出结论； （2）连接，利用切线长定理，同圆的半径相等的性质和线段的垂直平分线的判定定理得到是的垂直平分线，即，利用圆周角定理得到，则，结论可得； （3）利用直角三角形的面积公式求得的面积，再利用三角形的中位线的定义求得的面积，进而求得四边形的面积，代入化简即可得出结论． 【详解】（1）解：（答案不唯一） ∵为的直径，与相切于点， ∴， ∴ ∴ 故答案为 （2）证明：∵分别与相切于点、点， ∴ ∴点在的中垂线上， 连接，点、点都在上，如答图所示， ∴ ∴点在的中垂线上， ∴是的垂直平分线，即，，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵点在射线上， ∴ （3） ∵， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． （2025·江苏南京·二模）如图，四边形是的外切四边形，切点分别为，，，．连接． (1)若，则的长为___________； (2)求证． 【答案】(1)3 (2)见解析 【分析】本题考查了内切圆的定义和性质，全等三角形的判定和性质． （1）连接，，，，根据内切圆的定义得，，，，，进而得，，，，，，则，，再由得，即可得出结论； （2）由证明得，同理可得，，，进而可推出，再由可得结论． 【详解】（1）解：如图，连接，，，， ∵四边形是的外切四边形，切点分别为，，，， ∴，，，，， ∴，，，， 设，， ∴，， ∴， ∴，即， 故答案为：3； （2）证明：∵，，， ∴， ∴， 同理可得，，， ∴ ， 又∵， ∴． 1-1切线长模型1 条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。 结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB； 图1 图2 图3 图4 1-2切线长模型2 条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。 结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°； 2. 燕尾模型 条件：如图3，OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC； 3. 蝴蝶模型 条件：如图4，OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB； 4. 手拉手（旋转）模型 图5 图6 条件：如图5，是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。 结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形； 特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB； 5. 对角互补模型 条件：如图6，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB。结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 模型1、切线长模型 例1（2025九年级下·全国·专题练习）如图，为的直径，O为圆心，切于点C，与的延长线交于点M，交延长线于点D，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． （1 ）由得到，再由已知角相等及对顶角相等，得到，利用切线的判定方法判断即可得证； （2 ）在中，利用勾股定理求出的长，利用切线长定理得到，由即可求出的长，在中，设，则有，利用勾股定理列出关于r的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为圆的半径， ∴为圆O的切线； （2）解：连接， 在中，，， 根据勾股定理得：， ∵与都为圆的切线， ∴， ∴． ∵为圆O的切线， ∴， 在中，设，则有， 根据勾股定理得：， 解得：， 则圆的半径为3． 例2（24-25九年级上·广东广州·期末）已知线段、与相切，切点分别为、，，． (1)过点作的切线（在线段的上方）与的延长线交于点，切点为点．（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）． (2)求证：与相切． (3)若，，求的半径． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接并延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，连接，延长交的延长线于点； （2）由（1）可得结论； （3）设的半径为，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，连接并延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，连接，延长交的延长线于点，连接、、， ∴， ∵线段、与相切，切点分别为、，， ∴，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是的直径，即点在上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴与相切于点， 则即为所作； （2）证明：由（1）知：即，且点在上， ∴与相切； （3）解：设的半径为， 过点作于点，则， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵、、都是的切线， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，切线的判定和性质，切线长定理，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 例3（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为的中点，过作半圆的切线交的延长线于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：是半圆的切线； (2)若，求半圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）连接，根据三线合一性质得出，根据证明，可得出，然后根据切线的判定即可得证； （2）根据切线长定理求出，根据勾股定理求出，然后在中根据勾股定理得出，解方程即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是半圆的切线， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又是半圆的切线， ∴是半圆的切线； （2）解：∵、是半圆的切线，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 即半圆的半径为． 例4（2025·山西运城·一模）阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 【答案】(1)； (2)三角形纸片的周长是； (3)． 【分析】（1）由题意得出，则可得出答案； （2）由题意得，如图，设切点分别为，，，则，由三角形周长可得出答案； （3）设，依题意得，，根据勾股定理可得，解方程得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：是的内切圆，切点为，，， ，，， 设，，，则有， 三式相加可得， ， 故答案为：； （2）解：的周长为， 由题意得， 如图，设切点分别为，，，则， ，， ， 三角形纸片的周长， ；， （3）解：设，依题意得，， ，， ， 根据勾股定理可得，整理得， 解得或不合题意，合去， ， ，， ． 【点睛】本题考查的知识点是三角形内切圆与内心、切线长定理、勾股定理解直角三角形、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握三角形内切圆的性质、切线长定理． 模型2、燕尾模型 例1（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)3 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定与性质，角平分线的性质定理，圆的切线的定义 ，过圆心作直线的垂线是解决此类问题常添加的辅助线． （1）过点作于点，，利用圆的切线的性质定理和角平分线的性质得到，再利用圆的切线的定义解答即可； （2）利用切线长定理和勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：过点作于点，如图， ，为半径作． 是的切线， 平分，，， ， 是的半径， 为的半径， 圆心到直线的距离等于的半径， 是的切线； （2）解：是的切线，， ， ， ， 中，， 中，， 即， ，即的半径为3． 例2（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知．      (1)求证：是的切线； (2)求的半径． (3)连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）由已知角相等及直角三角形的性质得到为直角，即可得证； （2）在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由切线长定理得到，由求出的长，在直角三角形中，设，则有，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径． （3）延长相交于点F，证明，由全等三角形的性质得出，求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 为的切线； （2）解：在中，， 根据勾股定理得：， 与都为的切线， ， ； 在中，设，则有， 根据勾股定理得：， 解得：， 则圆的半径为3. （3）解：延长相交于点F，   与都为的切线， 平分， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ∴． 例3（24-25九年级上·全国·期末）如图，为的直径，，分别切于点B，D，交的延长线于点E，的延长线交于点G，于点F． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】本题主要考查切线的性质、勾股定理、切线长定理，熟练掌握切线定理及切线长定理是解题的关键． （1）根据，分别切于点B，D，得到平分，再根据直角三角形的性质推导即可； （2）连接，先算出，再利用勾股定理得到的长度，设的半径为r，再根据勾股定理即可求出r的长度，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵，分别切于点B，D， ∴平分，, 即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：连接，如图， ∵，分别切于点B，D， ∴，， ∴， 在中，， 设的半径为r，则，， 在中，， 解得， ∴． 例4（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，为的直径，过圆外一点E作的两条切线，切点分别为点D，B，交的延长线于点C，连接． (1)与有怎样的位置关系？并说明理由； (2)若，求的半径． 【答案】(1)，理由见解析 (2)3 【分析】（1）连接，根据切线的定义可得，再证明，再由等腰三角形性质可得，最后由平行线的判定证明即可； （2）根据切线长定理先求得长，再根据勾股定理求得长，再设，则，利用勾股定理解求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接， 是的切线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是的切线， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 即半径的长为3． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理，平行线的判定等：掌握切线的性质，切线长定理是解题的关键． 模型3、蝴蝶模型 例1（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是圆的切线的判定、等腰三角形性质、垂径定理的推论及勾股定理的应用， （1）连接，证明，，得出，根据是直径，D是的中点，得出，证明即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理求出，根据勾股定理求出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，D是的中点， ∴ ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线． （2）设，则， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 例2（2024·湖南·模拟预测）如图,是的直径，点C是的中点，过点C作于点E，过点D作的切线交的延长线于点P，连接，F为与的交点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆的切线性质、弧与圆周角的关系、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、直径所对圆周角为直角及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用圆的核心性质（切线垂直于过切点的半径、弧中点对应圆周角相等、直径所对圆周角为直角）建立角的等量关系，再结合等腰三角形判定或全等三角形判定证明线段相等． （1）连接，利用切线性质得，由得；根据推出，结合对顶角，联立直角三角形的角互余关系，证得，再由“等角对等边”得； （2）延长至Q，由C是中点得；利用得，进而；根据直径性质得得，结合切线推出；从而，再用证，最终得． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线，是的半径， ∴（切线垂直于过切点的半径）， ∴，即．① ∵， ∴，即．又， ∴． 由得，， ∴．② 联立①、②知， ∴（等角对等边）． （2）证明：延长至点Q， ∵点C是的中点，即， ∴， ∵， ∴， ∴，③ ∵是的直径， ∴即 由得，， ∴ 由是切线，是半径知，即 ∴，④ 由③与④知，， 由是直径知：又， ∴， ∴ 例3（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，是的外接圆，点O在边上，的平分线交于点D，连接、，过点D作的平行线与的延长线相交于点P． (1)求和的长； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定，勾股定理等知识，解题的关键是正确熟练掌握切线的判定方法． （1）先求出，再判断出，利用勾股定理求出； （2）先判断出，进而判断出，得出即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， 在中，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线． 例4（24-25九年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，，，，是上的四点，是直径，，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）通过连接辅助线 并延长交 于 ，利用圆中弦、角的关系（等弦对等圆心角、等腰三角形性质、三角形内角和 ），结合中位线平行关系及切线判定定理（半径垂直于直线则直线为切线 ）来证明 是切线； （2）依据（1）中得到的垂直、矩形关系，借助勾股定理，设半径列方程求解． 【详解】（1）证明：连接 ，并延长交 于 ． ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 又 ， ， 是 的半径．， 是 的切线； （2）解：由（1）得 ，，． 四边形 是矩形， ， 在 中，， ， ， ，即 ， 在 中，， 即 ， 解得 的半径 ． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质（等弦对等圆心角、等腰三角形性质 ）、三角形中位线定理、切线的判定定理、矩形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握圆的性质、切线判定及勾股定理建立方程求解是解题的关键． 模型4、手拉手（旋转）模型 例1（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在圆内接四边形中，．若四边形的面积是S，的长是x，则S与x之间的数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如下图，延长到E，使，连接， 四边形是圆内接四边形，， 在和中，，， ， 即，，故选：B． 例2（2025·山东·校考一模）如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，弦BA，CA，DA称为“爪形A”的爪． （1）如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，①证明：圆中存在“爪形D”；②若∠ADC＝120°，求证：AD＋CD＝BD；（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BA＝BC，连接BD．若AD⊥DC，此时“爪形D”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）AD＋CD＝BD 【详解】（1）①证：∵AB＝BC，∴∠ADB＝∠CDB，∴DB平分圆周角∠ADC，∴圆中存在“爪形D”； ②延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE， ∵∠A＋∠DCB＝180° ∠ECB＋∠DCB＝180°∴∠A＝∠ECB ∵CE＝AD，AB＝BC∴△BAD≌△BCE∴∠E＝∠ADB ∵∠ADC＝120°，∴∠E＝∠ADB＝60°，∴△BDE为等边三角形，∴DE＝BD，即AD＋CD＝BD （2）AD＋CD＝BD ，理由如下：延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE， ∵∠A＋∠DCB＝180° ∠ECB＋∠DCB＝180°∴∠A＝∠ECB ∵CE＝AD，AB＝BC∴△BAD≌△BCE∴∠E＝∠ADB，BD=BE ∵AD⊥DC，∴∠E＝∠ADB＝45°，∴△BDE为等腰直角三角形，∠DBE＝90°， ∴DE＝BD ，即AD＋CD＝BD． 例3（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请你仔细阅读并完成相应的任务． 圆内接正三角形的有趣结论：我在学完“圆内接正多边形”之后，知道了圆内接正多边形有许多有趣的结论.于是，我通过查阅资料发现了一个与圆内接正三角形相关的结论. 如图1，等边三角形内接于，点P是弧上的任意一点，连接，可得下面是这个结论的证明过程：以点为顶点，作，交于点D，            在等边三角形中，，， （依据），，是等边三角形，， ∵，∴，即， ∴，∴，∵，∴ 任务：(1)小宇的日记中的“依据”是 ，(2)如图，若，，则线段的长度是 ， (3)如图，正方形内接于，点是弧上的任意一点，连接，则之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等(2)(3) 【详解】（1）在等边三角形中，，， （在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等）， 故答案为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 （2）过点作于点，在中， ∴，，∴，， 在中，，， ，．， 由题可知， ． （3） 连接，过点作交于点 ∵正方形内接于，， 是等腰直角三角形∴， 即 ． 例4（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________；②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】（2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 【答案】（1）①；②；（2） 【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴，∴，解得，故答案为：60． ②作圆的直径，连接，则 ∵圆的半径为5，∴，∵，∴.∴． （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角，∴， ∴，解得，∴， ∵平分，∴，∴是等边三角形， ∴，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴．∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值，即的最大值是． 模型5.对角互补模型 例1（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，是的直径，平分，过点C作，交的延长线于D． (1)求证：是的切线； (2)连接，证明； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了切线的判定，直径对的圆周角是直角，含30度直角三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键切线的判定，平行线的判定和性质等知识解决问题． (1)连接，先证明，再证明，继而推导出，则是的切线即可解答； (2)在和中，根据(1)中证得，可得； (3)根据，可得，已知，可求得的长度，继而求出． 【详解】（1）证明：连接，如图 ∵平分； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴， ∴是的切线； （2）∵为的直径， ∴， ∴， ∵ ∴； （3）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∴． 例2（24-25九年级上·全国·期末）如图，是半圆O的直径，点C是半圆O上不与A，B重合的一个动点，连接，点D是过点C的切线上的一点，连接交半圆O于点E，且，于点F． (1)求证：． (2)若，，求半圆O的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由切线的性质可得，可证，可证，由角平分线的性质可得，由“”可证，可得； （2）的半径为r，通过证明，可得，，利用勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵是切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：设的半径为r， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴半圆O的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明是本题的关键． 例3（24-25九年级上·全国·期末）如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据切线和垂直可得，得到，再根据，得到，则，由此即可求解； （2）作，可得四边形是矩形，设，则，在中由勾股定理得，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵与相切，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：作， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴设，则， ∴在中，， ∴， ∴， ∴的半径为5． 【点睛】本题主要考查切线的性质，垂径定理，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理，掌握切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 例4（24-25九年级上·湖北十堰·期中）如图，在中，斜边，D为的中点，的外接圆与交于F点，过A作的切线交的延长线于E点． (1)求证：； (2)计算：的值． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】本题考查等边三角形的性质，平行的判定，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定；利用圆内接四边形的对角和为是解题关键． （1）连接，证明为等边三角形后根据三心合一的定理求出，则，，四边形内接于，，利用平行的性质求出； （2）由（1）可得为等边三角形，易证，可得． 【详解】（1）证明： 在中， ， D为的中点， ∴． ∴为等边三角形． ∴O点为的中心（内心，外心，垂心三心合一）． 连接， 则 ， ∴ ． 又∵为 的切线， ∴， ∴， ∴ ． ∴． 又∵四边形内接于圆O， ． ∴ ， 即 ． （2）解：由（1）知，为等边三角形， ∴， ∴ 又∵． ∴． 1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、正方形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接、、、，由与三边分别相切于点，得，，，，，，，则，推导出，可证明四边形是正方形，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、、、， 与三边分别相切于点，且，，， ∴，，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2024·湖南·模拟预测）如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】连接，，由，，，求得，由与，，的切点分别为，，，得，，，由，求得，则，再证明四边形是正方形，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，， ，，， ， 与的切点分别为 D，E，F， ，，，，， ， ， ， ，， 四边形是正方形， ， 的半径长为2， 故选：B． 【点睛】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，求得，并且证明四边形是正方形是解题的关键． 3．（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（   ） A．17 B．19 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接、、、、、，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、、、、， ∴四边形是正方形， 由切线长定理可知， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∵是的内切圆， 设的半径为， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：C． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，P为外一点，分别切于A，B，C三点，且切线分别交于点M，N．若，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．16 D．24 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理．根据切线长定理得到，,再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵，分别切于A，B， ∴． 同理，可得， ∴的周长 ． 故选：D． 5．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，正方形的边长是，E是边的中点．将该正方形沿折叠，点C落在点处．分别与相切，切点分别为F、G、H，则的半径为（   ）cm A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内切圆，正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长交于，连接，连接，根据条件证明，得到对应边相等，设，利用勾股定理列出方程求解，然后利用等面积法求出圆的半径即可． 【详解】解：如图所示，延长交于，连接， 四边形是正方形， ， 为的中点， ， 由折叠的性质可得，，， ， 又， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ，， 如图所示，连接 分别与相切，切点分别为， ，，，， ， ， ． ∴的半径为， 故选：A． 6．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】设的内切圆切三边于点，连接，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，得四边形是正方形，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，    由切线长定理可知，，， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 则四边形是正方形， ∵是的内切圆， ∴内切圆的半径， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质． 7．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，是的内切圆且与，，相切于点，，，若，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．利用切线长定理，得出三角形三边被切点分成的线段长度关系，进而求出三角形的周长． 【详解】解：是的内切圆，且与，，相切于点，，， ，，， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 8．（2025·湖南长沙·二模）如图，的直径是，、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，，则与的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了切线的性质、切线长定理、矩形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．根据切线长定理得到，，则，在中，根据勾股定理，就可以求出y与x的关系． 【详解】解：作交于F， ∵、与切于点A、B， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵切于E， ∴，， 则， 在中， 由勾股定理得：， 整理得：， ∴y与x的函数关系式是． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·全国·期末）如图，P是外一点，分别和相切于点A、B，C是弧上任意一点，过C作的切线分别交、于点D、E，若，则的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了切线长定理，以及线段的加减运算．解题的关键在于利用切线长定理将三角形的周长转化为已知线段的和．利用切线长定理，将的周长转化为已知线段的和来求解． 【详解】解：分别和相切于点A、B，且， ， ∵过C作的切线分别交于点D、E， ， ， 的周长为24， 故答案为：24． 10．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，为的直径，C为上一点，点D为的中点，过点D作，交的延长线于点E，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)半径为． 【分析】（1）连接，，根据圆周角定理和等腰三角形的性质，结合平行线的性质证明即可； （2）过点O作于G，连接，，可得四边形为矩形，设半径为r，则，，在中，用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：连接，． ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线． （2）解：过点O作于G，连接，． 可得四边形为矩形． ∴． 设半径为r，则， ∴， 在中，， ∴，即半径为． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，恰当作辅助线是解题的关键． 11．（2025·福建泉州·模拟预测）如图，在四边形中，，，，为的外接圆． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，交于点E，过点A作，垂足为F，交于点G．若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由可证出，利用全等三角形的性质可得出，即平分，利用三线合一可得出，结合可得出，由此即可证出是的切线； （2）连接，由圆内接四边形对角互补结合可得出，由同角的余角相等可得出，结合可得出，再利用等角对等边可证出，由，可证出，利用全等三角形的性质可求出的长，设，在中，利用勾股定理可求出x的值，此题得解． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 在和中， ∴ ∴ ∴平分， ∴ 又∵ ∴ ∴是的切线； （2）如图2，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴，， 设， 在，，， ∴ 由勾股定理，得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理、平行线的性质、圆内接四边形、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识点，解题的关键正确添加辅助线． 12．（24-25九年级上·广东·期末）如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点E．连接． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，则，由，得，而，则，即可证明是的切线； （2）由勾股定理得，而，所以，解得，则，如图，过点E作于点F，利用三角形的面积公式求得的长，然后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：连接，则， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线； （2）， ， ， ， ， 解得， ， 如图，过点E作于点F，连接， 在中，， ， 解得， 在中，， ， （负值舍去）， ， 在中，， ， （负值舍去）， 的长是． 13．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，是的直径，点D在射线上，点C是上一点，过点B作于点E，平分．   (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)12 【分析】（1）由于点E，得，由，得，因为，所以，则，所以，即可证明直线是的切线； （2）由，且，，，得，求得，则． 【详解】（1）证明：∵于点E， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线． （2）解：∵，且，，， ∴， 解得， ∴， ∴AB的长为12． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 14．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知．      (1)求证：是的切线； (2)求的半径． (3)连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）由已知角相等及直角三角形的性质得到为直角，即可得证； （2）在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由切线长定理得到，由求出的长，在直角三角形中，设，则有，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径． （3）延长相交于点F，证明，由全等三角形的性质得出，求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 为的切线； （2）解：在中，， 根据勾股定理得：， 与都为的切线， ， ； 在中，设，则有， 根据勾股定理得：， 解得：， 则圆的半径为3. （3）解：延长相交于点F，   与都为的切线， 平分， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ∴． 15．（2025·广东肇庆·一模）如图（1），在中，是直径，为弦，，相交于点，直线与相切于点B，且． (1)求证：点是的中点． (2)如图（2），是的直径，连接，，线段上存在一点，满足，求证：． (3)如图（3），将绕点顺时针旋转得到，连接，当的面积最大时，求的大小 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据切线的性质和平行线的性质可得，根据垂径定理即可得到结论； （2）连接，可以推导得到，即可得到，进而得到，然后证明，得到，根据等量代换得到结论即可； （3）根据旋转可得，当点F到的距离最大时，的面积取得最大值，即，即可得到旋转角的度数． 【详解】（1）证明：直线与相切于点B，为直径， ， ∵， 即， 点F是的中点． （2）证明：如图，连接， 由（1）可知， 为直径， ， ， ． 又， ． ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：将绕点顺时针旋转得到， ， 面积点F到的距离点到的距离， 当点F到的距离最大时，的面积取得最大值． 如图（3），分析可知，当时，点到的距离最大，此时的面积最大． ， ． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，掌握切线的性质是解题的关键． 16．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，中，，点O在边上，以点O为圆心，的长为半径的圆与相切于点D，分别交和边于点E和F，连接，，，且平分． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）由角平分线得，由相等的圆周角对应的弦也相等，即可得证； （2）连接，由切线的性质得，结合等腰三角形的性质得，再由直径所对的圆周角是直角等得，即可得证； （3）设，则，由相似三角形的性质得，判定，即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ； （2）证明：连接， 是的切线， ， ， ， ， 即： ， ， ， ， 是的直径， ， ， ； （3）解：设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了圆与三角形综合，圆的基本性质，切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质等；掌握圆的基本性质，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 17．（2025·湖北孝感·三模）如图，为的直径，点C在上，过点O作交于点D，延长，交于点F，过点C作的切线，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理，等边对等角，熟练进行等量代换是解题的关键． （1）由切线的性质得，即，由得，再结合，通过等量代换得出，即可证明； （2）由为的直径，得，结合（1）中，通过导角证明，推出，再用勾股定理依次解和即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ； （2）解：为的直径， ， ，， 由（1）得， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，． 18．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）如图，是的直径，C，D 是上两点，连接，，平分，交延长线于点 E． (1)写出图中与相等的一个角： ； (2)求证：是的切线； (3)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见详解 (3) 【分析】（1）由角平分线的定义，即可求解； （2）由等腰三角形的判定与性质，以及三角形外角性质得，由同弧所对的圆周角相等得，结合平行线的性质得，即可得证； （3）由正弦函数得，， ，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：平分， ， 故答案为：；（答案不唯一） （2）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （3）解：的半径为5， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， 解得：， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆的基本性质，等腰三角形判定及性质，勾股定理，一般角的正弦函数等；掌握切线的判定方法，能熟练利用，勾股定理，一般角的正弦函数进行求解是解题的关键． 19．（22-23九年级上·广东东莞·期末）如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，，垂足为，交于，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)若是弧的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为； (3)． 【分析】（）平分，，所以，，则，于是可判断，由于，所以，则可根据切线的判定定理即可求证； （）如图，过点作与，根据垂径定理得，再证明四边形为矩形，得到，，在中利用勾股定理计算出，则，然后在中根据勾股定理可计算出的长； （）如图，连接，是弧的中点，则，先证明四边形为菱形，得到， ，和为等边三角形，从而得到，，在中，可计算出 ，，所以，然后利用即可得出结论. 【详解】（1）证明：如图， ∵平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线； （2）解：如图，过点作与， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴的长为； （3）解：如图，连接， ∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴和为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，圆周角定理，矩形的判定，菱形的判定和性质，平行四边形的判定，勾股定理，直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，三角形的面积，扇形的面积等知识点，掌握知识点的应用，根据题意作适当的辅助线是解题的关键． 20．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，为的中点，以为直径作⊙，交边于点，过点作，垂足为点． (1)求证：为⊙的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理，直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得出是的中位线，再根据平行线的性质得出即可； （2）根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半求出斜边，由勾股定理求出，再根据中点的定义可得，再由勾股定理求出，由三角形面积公式求出，最后由勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是直径， ∴，即， ∵在中，，D为的中点， ∴， ∴点E是的中点， 又∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵是斜边上的中线，， ∴，， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵，即， ∴， 在中，，， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形斜边中线以及三角形中位线，掌握切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线性质是正确解答的关键． 21．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，为直径，与相切于点C，弦于点E，连接． (1)求证：； (2)当时，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由切线性质可得，即．再由弦，可知．又由得，最后根据等量代换即可证明． （2）由垂径定理可知．设的半径为r，在中，根据勾股定理可列出关于r的方程，即可求出圆的半径，从而求出长度，再判断，即可求出． 【详解】（1）证明：连接， ∵切于点C， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴． 设的半径为r，则， 在中，， 即， 解得：， ∴． 由（1）可知，． 又∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性强．熟练掌握各知识点是解本题的关键． 22．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）四边形是菱形，点为对角线交点，边的垂直平分线交线段于点（不与重合）．连接，以点为圆心，长为半径的圆交直线于点，直线与直线交于点，如图所示． (1)当时，求证：直线与相切； (2)当，时，求的度数； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据菱形的性质得，，，有，根据垂直平分线的性质得，利用三角形内角和定理得．根据菱形的性质得点A在上即可． （2）由同弧所对圆周角相等得．结合菱形的性质得，可证得．由勾股定理逆定理得为直角三角形，且，利用即可求得． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，． ∴． ∵． ∴． ∵P是垂直平分线上的点， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵垂直平分，P在上， ∴，即点A在上． ∴直线与相切； （2）由（1）得，则点D在上． ∵与同对， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴在中，． ∵由（1）得，即． ∴． ∴为直角三角形，且． ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查圆与几何图形的结合，切线的判定，涉及菱形的性质、垂直平分线的性质、同弧所对圆周角相等、勾股定理逆定理，解题的关键是掌握菱形的性质和圆的相关知识． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型 圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型等。 知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。 总结：圆中全等三角形的核心构造思路： 1、 优先用半径：看到半径，优先标记相等关系，为全等提供边的条件 2、 抓圆周角、圆心角：同弧、等弧对应的角相等 3、 结合圆的特有定理：垂径定理（得中点、垂直）、切线长定理（得切线相等）、直径直角（得直角） 4、 找公共边、对顶角：圆的对称性（直径、垂径）常产生公共边或对顶角，简化全等条件 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 6 模型1、切线长模型 6 模型2、燕尾模型 8 模型3、蝴蝶模型 11 模型4、手拉手（旋转）模型 13 模型5、对角互补模型 18 22 圆中的全等模型在几何学发展史中源远流长，其历史脉络可追溯至古代文明，并在不同时期得到深化与扩展。首先古埃及工程师利用圆的性质进行土地测量与金字塔建造，通过经验发现全等三角形的拼接可形成稳定结构；然后欧几里得‌（约公元前300年）在《几何原本》中首次系统化几何理论：提出全等三角形公设（如SSS判定法），为圆中全等模型奠定逻辑基础；接着阿基米德‌（公元前287–前212年）在著作中记录弦切角、垂径性质等命题，隐含全等证明思想；最后在近现代数学教育中形成了一些重要的全等模型。圆的全等模型从经验实践到公理体系，历经文明交融与数学革命，至今仍是连接古典几何与现代科技的纽带。 （2025·贵州铜仁·三模）如图，为的直径，点在上，分别过点、点作的切线相交于点，作射线交的延长线于点，连接相交于点． (1)写出图中一个与相等的角：___________； (2)求证：； (3)若，连接，直接写出四边形与的面积比． （2025·江苏南京·二模）如图，四边形是的外切四边形，切点分别为，，，．连接． (1)若，则的长为___________； (2)求证． 1-1切线长模型1 条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。 结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB； 图1 图2 图3 图4 1-2切线长模型2 条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。 结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°； 2. 燕尾模型 条件：如图3，OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC； 3. 蝴蝶模型 条件：如图4，OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB； 4. 手拉手（旋转）模型 图5 图6 条件：如图5，是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。 结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形； 特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB； 5. 对角互补模型 条件：如图6，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB。结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 模型1、切线长模型 例1（2025九年级下·全国·专题练习）如图，为的直径，O为圆心，切于点C，与的延长线交于点M，交延长线于点D，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 例2（24-25九年级上·广东广州·期末）已知线段、与相切，切点分别为、，，． (1)过点作的切线（在线段的上方）与的延长线交于点，切点为点．（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）． (2)求证：与相切． (3)若，，求的半径． 例3（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为的中点，过作半圆的切线交的延长线于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：是半圆的切线； (2)若，求半圆的半径． 例4（2025·山西运城·一模）阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 模型2、燕尾模型 例1（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 例2（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知．      (1)求证：是的切线； (2)求的半径． (3)连接，求的长． 例3（24-25九年级上·全国·期末）如图，为的直径，，分别切于点B，D，交的延长线于点E，的延长线交于点G，于点F． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 例4（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，为的直径，过圆外一点E作的两条切线，切点分别为点D，B，交的延长线于点C，连接． (1)与有怎样的位置关系？并说明理由； (2)若，求的半径． 模型3、蝴蝶模型 例1（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接．若，求的长． 例2（2024·湖南·模拟预测）如图,是的直径，点C是的中点，过点C作于点E，过点D作的切线交的延长线于点P，连接，F为与的交点． (1)求证：； (2)若，求证：． 例3（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，是的外接圆，点O在边上，的平分线交于点D，连接、，过点D作的平行线与的延长线相交于点P． (1)求和的长； (2)求证：是的切线． 例4（24-25九年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，，，，是上的四点，是直径，，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 模型4、手拉手（旋转）模型 例1（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在圆内接四边形中，．若四边形的面积是S，的长是x，则S与x之间的数关系式是（    ） A． B． C． D． 例2（2025·山东·校考一模）如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，弦BA，CA，DA称为“爪形A”的爪． （1）如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，①证明：圆中存在“爪形D”；②若∠ADC＝120°，求证：AD＋CD＝BD；（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BA＝BC，连接BD．若AD⊥DC，此时“爪形D”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果． 例3（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请你仔细阅读并完成相应的任务． 圆内接正三角形的有趣结论：我在学完“圆内接正多边形”之后，知道了圆内接正多边形有许多有趣的结论.于是，我通过查阅资料发现了一个与圆内接正三角形相关的结论. 如图1，等边三角形内接于，点P是弧上的任意一点，连接，可得下面是这个结论的证明过程：以点为顶点，作，交于点D，            在等边三角形中，，， （依据），，是等边三角形，， ∵，∴，即， ∴，∴，∵，∴ 任务：(1)小宇的日记中的“依据”是 ，(2)如图，若，，则线段的长度是 ， (3)如图，正方形内接于，点是弧上的任意一点，连接，则之间有怎样的数量关系？请说明理由． 例4（2024·广东广州·模拟预测）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________；②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】（2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 模型5.对角互补模型 例1（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，是的直径，平分，过点C作，交的延长线于D． (1)求证：是的切线； (2)连接，证明； (3)若，求的长． 例2（24-25九年级上·全国·期末）如图，是半圆O的直径，点C是半圆O上不与A，B重合的一个动点，连接，点D是过点C的切线上的一点，连接交半圆O于点E，且，于点F． (1)求证：． (2)若，，求半圆O的半径． 例3（24-25九年级上·全国·期末）如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 例4（24-25九年级上·湖北十堰·期中）如图，在中，斜边，D为的中点，的外接圆与交于F点，过A作的切线交的延长线于E点． (1)求证：； (2)计算：的值． 1．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南·模拟预测）如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 3．（24-25九年级下·广西南宁·开学考试）如图，在一张三角形纸片中，，，，是它的内切圆，小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长是（   ） A．17 B．19 C．20 D．22 由切线长定理可知， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∵是的内切圆， 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，P为外一点，分别切于A，B，C三点，且切线分别交于点M，N．若，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．16 D．24 5．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，正方形的边长是，E是边的中点．将该正方形沿折叠，点C落在点处．分别与相切，切点分别为F、G、H，则的半径为（   ）cm A． B．2 C．3 D． 6．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为 ． 7．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，是的内切圆且与，，相切于点，，，若，，，则的周长为 ． 8．（2025·湖南长沙·二模）如图，的直径是，、是它的两条切线，与相切于点，并与、分别相交于、两点，设，，则与的函数解析式为 ． 9．（24-25九年级上·全国·期末）如图，P是外一点，分别和相切于点A、B，C是弧上任意一点，过C作的切线分别交、于点D、E，若，则的周长为 ． 10．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，为的直径，C为上一点，点D为的中点，过点D作，交的延长线于点E，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 11．（2025·福建泉州·模拟预测）如图，在四边形中，，，，为的外接圆． (1)如图1，求证：是的切线； (2)如图2，交于点E，过点A作，垂足为F，交于点G．若，求的长． 12．（24-25九年级上·广东·期末）如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点E．连接． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求的长． 13．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，是的直径，点D在射线上，点C是上一点，过点B作于点E，平分．   (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 14．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知．      (1)求证：是的切线； (2)求的半径． (3)连接，求的长． 15．（2025·广东肇庆·一模）如图（1），在中，是直径，为弦，，相交于点，直线与相切于点B，且． (1)求证：点是的中点． (2)如图（2），是的直径，连接，，线段上存在一点，满足，求证：． (3)如图（3），将绕点顺时针旋转得到，连接，当的面积最大时，求的大小 ． 16．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，中，，点O在边上，以点O为圆心，的长为半径的圆与相切于点D，分别交和边于点E和F，连接，，，且平分． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求线段的长． 17．（2025·湖北孝感·三模）如图，为的直径，点C在上，过点O作交于点D，延长，交于点F，过点C作的切线，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 18．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段练习）如图，是的直径，C，D 是上两点，连接，，平分，交延长线于点 E． (1)写出图中与相等的一个角： ； (2)求证：是的切线； (3)若的半径为5，，求的长． 19．（22-23九年级上·广东东莞·期末）如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，，垂足为，交于，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)若是弧的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积． 20．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，在中，，为的中点，以为直径作⊙，交边于点，过点作，垂足为点． (1)求证：为⊙的切线； (2)若，，求的长． 21．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，为直径，与相切于点C，弦于点E，连接． (1)求证：； (2)当时，，求的长． 22．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）四边形是菱形，点为对角线交点，边的垂直平分线交线段于点（不与重合）．连接，以点为圆心，长为半径的圆交直线于点，直线与直线交于点，如图所示． (1)当时，求证：直线与相切； (2)当，时，求的度数； 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $