专题06 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型（几何模型讲义）数学人教版九年级上册

专题06 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。内切圆、外接圆模型常以选填题的形式考查，而内切圆与外接圆模型结合多以综合题的形式呈现，出题灵活多变，是中考的常考题型。本专题就圆的内切圆和外接圆模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.内切圆模型 6 模型2.外接圆模型 12 18 古希腊数学家（如欧几里得）在《几何原本》中系统研究过三角形与圆的位置关系，垂直平分线、角平分线的交点性质奠定了外心与内心的理论基础‌。三角形的内切圆和外接圆模型均基于三角形的基本性质命名：外接圆与三边相关，内切圆与三角形的角相关。 内切圆‌是与多边形各边均相切的圆，在三角形中具有唯一性，其圆心称为内心，是角平分线的交点。内心到三角形各个边的垂线段相等。 外接圆‌是与多边形各顶点都相交的圆，其中三角形必然有外接圆，其圆心称为外心，位于任意两边垂直平分线的交点。外心到三角形各顶点的距离相等。 （24-25九年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ．． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径；(2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． （24-25九年级上·湖南长沙·校考期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 1）三角形的内切圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。 证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r， ∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=， ∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°- =180°-=90°+， ∴，即r= 图1 图2 图3 2）直角三角形的内切圆模型 条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=； 证明：①②证明同模型1）的证明，∵⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F， ∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形， ∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=； 3）四边形的内切圆模型 条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论：。 证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH， ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。 4）三角形的外接圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。 结论：①OA=OB=OC；②。 证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO， ∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO， ∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC 图1 图2 图3 5）等边三角形的外接圆模型 条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。 结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③； 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形 ∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC ∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，连结CD． ∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD， ∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP， 在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB， ∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。 ∴△BMP≌△AMC，∴，同理：。 ∴，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴。 6）四边形的外接圆模型 条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。 结论：①；；②。 证明：连结OA、OC，设∠AOC=，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC=， 同理：∠ABC=，∴；同理：； ∵，∴。 模型1.内切圆模型 例1（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，点是的内心，若，则等于（    ） A． B． C． D． 例2（24-25·浙江金华·九年级统考期中）如图，截三边所得的弦长相等，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例3（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 ； 例4（24-25·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，点是的内心，，，，，则的半径为 ．    例5（24-25·福建福州·九年级校考期末）如图，的内切圆与两直角边、分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点P作的切线，与、分别交于点M、N，，，则的周长为 ． 例6（2024·四川·校考一模）如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M（，1）与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MA＝MB，可求得△ABO的内切圆⊙O1的半径r1＝﹣1；若⊙O2与⊙O1、l、y轴分别相切，⊙O3与⊙O2、l、y轴分别相切，…，按此规律，则⊙O2014的半径r2014＝ ． 例7（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 模型2.外接圆模型 例1（24-25·江苏无锡·九年级校考阶段练习）已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则它的外接圆半径R＝ ，内切圆半径r＝ ． 例2（2024·河南·模拟预测）如图，是的外接圆，点M是的内心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例3（2023·江苏泰州·九年级统考期中）如图，在中，，，，点M，N分别是的内心和外心，则 ． 例4（2024·湖北咸宁·九年级校考阶段练习）如图，的直径的长为8，P是上一动点，的角平分线交于点Q，点I为的内心，连接，下列结论：①点Q是定点；②的最大值为8；③的长为定值；④的最大值为16．其中正确的结论是 （把正确结论的序号都填上）． 例5（2024·江苏镇江·一模）如图，等腰三角形内接于，，点是的内心，连接并延长交于点，点在的延长线上，满足．试证明：(1)所在的直线经过点I；(2)点D是的中点． 例6（2024·江苏泰州·一模）已知，是半径为的的内接三角形，点是的内心，射线分别交、于点．(1)如图，连接，求证：；(2)如图，；若，求的长；若，求的值；(3)如图，，射线分别交于点，点在直线上方的圆弧上运动，无论点如何移动，线段中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值． 1．（24-25·江苏·九年级专题练习）如图，已知圆O是的内切圆，且，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25·上海·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC＝（    ） A．100° B．110° C．115° D．120° 3．（24-25九年级上·江苏·课后作业）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25·浙江九年级课时练习）已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 6．（24-25·江苏·九年级统考期末）如图，在中，，过点作于点D，P是内一点，且，连接交于点，若点恰好为内心，则的度数为（    ） A．36° B．48° C．60° D．72° 7．（24-25·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB＋CD的值是 A．14 B．12 C．9 D．7 8．（24-25广东梅州·九年级校考开学考试）若四边形的对角线，相交于O，，，，的周长相等，且，，的内切圆半径分别为3，4，6，则的内切圆半径是（　　） A． B． C． D．以上答案均不正确 9．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，周长为18，，圆O是的内切圆，圆O的切线与、相交于点M、N，则的周长为 ．    11．（24-25·四川宜宾·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M（，1）与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MA＝MB，可求得△ABO的内切圆⊙O1的半径r1＝﹣1；若⊙O2与⊙O1、l、y轴分别相切，⊙O3与⊙O2、l、y轴分别相切，…，按此规律，则⊙O2014的半径r2014＝ ． 12．（24-25·山东泰安·九年级统考期末）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为 ． 13．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：；(2)求证：；(3)连接、，求证：点D是的外心． 14．（24-25·江苏·九年级假期作业）如图内接于，，是的直径，点是延长线上一点，且，．(1)求证：是的切线；(2)求的直径；(3)当点B在下方运动时，直接写出内心的运动路线长是 　　．    15．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，四边形ABCD内接于． (1)连接AC、BD，若，则的形状为______； (2)在（1）的条件下，试探究线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明你的结论； (3)若，，点P为AB上的一动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PD，求证：． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：；(2)已知的半径是，，求的长． 18．（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接．(1)若，求的度数：(2)若，，，请直接写出与的数量关系；(3)找出图中所有与相等的线段，并证明． 19．（2025·江西抚州·一模）综合与实践 基本图形法：在复杂图形中，找到或构造基本图形，再利用基本图形的概念和性质，寻求解题的突破口，从而达到解决几何问题的目的，我们把这种解决几何问题的方法叫做基本图形法． 【基本图形】（1）①如图1，点是的内心，若，则_____； ②如图2，，平分，求证：． 【方法运用】（2）运用基本图形法解决下面问题：如图3，点是的内心，以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，连接，若，猜想线段的关系，并进行证明． 【拓展延伸】（3）如图4，四边形的对角线与相交于点，，两点分别是的内心和外心，若，求证：． 20．（2025·山西运城·一模）阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务．关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务：(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长．(3)如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 21．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心；(2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆中的重要模型之圆中的外接圆和内切圆模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位。内切圆、外接圆模型常以选填题的形式考查，而内切圆与外接圆模型结合多以综合题的形式呈现，出题灵活多变，是中考的常考题型。本专题就圆的内切圆和外接圆模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.内切圆模型 6 模型2.外接圆模型 12 18 古希腊数学家（如欧几里得）在《几何原本》中系统研究过三角形与圆的位置关系，垂直平分线、角平分线的交点性质奠定了外心与内心的理论基础‌。三角形的内切圆和外接圆模型均基于三角形的基本性质命名：外接圆与三边相关，内切圆与三角形的角相关。 内切圆‌是与多边形各边均相切的圆，在三角形中具有唯一性，其圆心称为内心，是角平分线的交点。内心到三角形各个边的垂线段相等。 外接圆‌是与多边形各顶点都相交的圆，其中三角形必然有外接圆，其圆心称为外心，位于任意两边垂直平分线的交点。外心到三角形各顶点的距离相等。 （24-25九年级上·江苏苏州·期中）阅读材料：已知，如图①，在面积为的中，，内切圆的半径为．连接被划分为三个小三角形．    ．． (1)类比推理：若面积为的四边形存在内切圆（与各边都相切），如图②，各边长分别为，求四边形的内切圆半径；(2)理解应用：如图③，在四边形中，与分别为与的内切圆，与切点分别为，设它们的半径分别为和，若，，，，，求的值． 【答案】(1)；(2)2． 【详解】（1）解：如图2，连接．    ，；； （2），，，． 是的内切圆，，，， ，∴设，则， ，，即（，解得，， ，，． （24-25九年级上·湖南长沙·校考期末）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】解：∵点E是的内心，∴平分，∴，故①正确； 设外接圆圆心为O，连接，则垂直平分， ∵点G为的中点，∴点G为与的交点，即，故②正确； ∵，∴， ∵点E是的内心，∴，， ∴，故③错误； ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，故④正确， 综上，正确的有3个，故选：B． 1）三角形的内切圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。 证明：∵O为三角形ABC的内心，∴OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∵O为内心，切点为D、E、F，∴OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥AC，∵OD=OE=OF=r， ∴点O到三角形ABC的三边距离相等；∵OA、OB、OC分别为∠A、∠B、∠C的平分线， ∴∠BAO=∠CAO=，∠BCO=∠ACO=，∠ABO=∠CBO=， ∴∠BOC=180°-（∠CBO-∠BCO）=180°-（-）=180°- =180°-=90°+， ∴，即r= 图1 图2 图3 2）直角三角形的内切圆模型 条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F，⊙O的半径为r。 结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=； 证明：①②证明同模型1）的证明，∵⊙O为Rt的内切圆（即O为内心），切点为D、E、F， ∴AD=AF，BD=AE，CE=CF，OE⊥BC、OF⊥AC，∴四边形OECF为正方形， ∴CE=CF=OF=OE=r，∴AC+BC-AB=AF+CF+CE+BE-AD-BD=CE+CF=2r，即r=； 3）四边形的内切圆模型 条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。 结论：。 证明：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH， ∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，∴。 4）三角形的外接圆模型 条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。 结论：①OA=OB=OC；②。 证明：∵O为三角形ABC的外心，∴OA=OB=OC；∴∠BAO=∠ABO，∠CAO=∠ACO， ∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=2∠BAO，∠COD=∠CAO+∠ACO=2∠CAO， ∴∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO=2∠BAC 图1 图2 图3 5）等边三角形的外接圆模型 条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。 结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③； 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形 ∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，∵弧BA=弧BA，弧AC=弧AC ∴∠APB=∠ACB=60°，∠APC=∠ABC=60°，∴PM平分；在PA上截取PD=PC，连结CD． ∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD， ∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP， 在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB， ∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；∵∠APB=∠ACB=60°（已证），∠BMP=∠AMC（对顶角）。 ∴△BMP≌△AMC，∴，同理：。 ∴，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∴。 6）四边形的外接圆模型 条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。 结论：①；；②。 证明：连结OA、OC，设∠AOC=，∵圆周角等于所对的圆心角的一半，∴∠ADC=， 同理：∠ABC=，∴；同理：； ∵，∴。 模型1.内切圆模型 例1（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，点是的内心，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点是的内心，∴， ∵， ∴，故选：D． 例2（24-25·浙江金华·九年级统考期中）如图，截三边所得的弦长相等，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：截的三条边所得的弦长相等， 到三角形三条边的距离相等，即是的内心，，， ，， ，故选：C． 例3（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 ； 【答案】2 【详解】解：如图，连接，，，过点分别作，，于点，，， 在中，，，，， 是的内心，， ，，， 点到边的距离为2；故答案为：2． 例4（24-25·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，点是的内心，，，，，则的半径为 ．    【答案】 【详解】过O作交于E，设。点是的内心，，，    在中，由勾股定理可得： 在中，由勾股定理可得： 故解得故故答案为 例5（24-25·福建福州·九年级校考期末）如图，的内切圆与两直角边、分别相切于点D、E，过劣弧（不包括端点D、E）上任一点P作的切线，与、分别交于点M、N，，，则的周长为 ． 【答案】4 【详解】如图，连接、，在中，， 设内切圆半径为r，、为的切线，∴，， ∵，，∴四边形为正方形，∴， 由切线长定理得，，，，， ∴，解得， 则的周长为． 故答案为：4． 例6（2024·四川·校考一模）如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M（，1）与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MA＝MB，可求得△ABO的内切圆⊙O1的半径r1＝﹣1；若⊙O2与⊙O1、l、y轴分别相切，⊙O3与⊙O2、l、y轴分别相切，…，按此规律，则⊙O2014的半径r2014＝ ． 【答案】 【详解】连接OO1、AO1、BO1，作O1 D⊥OB于D，O1 E⊥AB于E，O1 F⊥OA于F，如图所示：则O1 D＝O1 E＝O1 F＝r1， ∵M是AB的中点，∴B（0，2），A（2 ，0），则S△OO1B＝×OB×r1＝r1， S△AO1O＝×AO×r1＝r1 ∵S△AOB＝S△OO1B+S△AO1O+S△AO1B＝∴ 同理得：…∴依此类推可得：⊙O2014的半径r2014＝故答案为 例7（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【详解】解：如图，过点I作，，垂足分别为G，F，    ∵点I为的内心，∴以为半径的圆I是的内切圆， ∴，，，设，， ∵，∴，∴， ∵，∴，解得：，∴．故选：C． 模型2.外接圆模型 例1（24-25·江苏无锡·九年级校考阶段练习）已知等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则它的外接圆半径R＝ ，内切圆半径r＝ ． 【答案】 【详解】解：如图，∵在△ABC中，AB=AC=10，BC=16， ∴过A作AD⊥BC于D，则外接圆的圆心O在AD上，连接OB、OC， ∴BD=CD=BC=8，AD==6，∵在Rt△OBD中，由勾股定理得：OB2=OD2+BD2， ∴R2=（6-R）2+82，∴R=；如图，过A作AD⊥BC于D，∵△ABC中，AB=AC， ∴△ABC的外心I在AD上，过I作IE⊥AC于E，IF⊥AB于F，连接OA、OB、OC， 则IF=IE=ID=r，∵S△ABC=S△BIC+S△AIC+S△ABI， ∴由三角形的面积公式得：BC×AD=BC×r+AC×r+AB×r，∴16×6=16r+10r+10r，∴r=， 即三角形ABC的外接圆半径R=，内切圆半径r=，故答案为：，． 例2（2024·河南·模拟预测）如图，是的外接圆，点M是的内心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点是的内心，平分，平分， ，，， ，， ，故选：B． 例3（2023·江苏泰州·九年级统考期中）如图，在中，，，，点M，N分别是的内心和外心，则 ． 【答案】 【详解】解：连接，过点M作于点D，作于点E，作于点， ∵，，，∴， ∵N为的外心，∴，∵M为的内心，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴四边形为正方形，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∴，故答案为：． 例4（2024·湖北咸宁·九年级校考阶段练习）如图，的直径的长为8，P是上一动点，的角平分线交于点Q，点I为的内心，连接，下列结论：①点Q是定点；②的最大值为8；③的长为定值；④的最大值为16．其中正确的结论是 （把正确结论的序号都填上）． 【答案】①②③ 【详解】解：连接，如图所示： ∵为的直径，∴，∵的角平分线交于点Q，点I为的内心， ∴，∴，且是等腰直角三角形， ∴，即点Q是定点，故①正确； 由圆中最长的弦是直径可知的最大值为8，故②正确； ∵，且， ∴，∴，即的长为定值，故③正确； 过点P作于点D，∴， 当的值为最大，则的值为最大，即的值为最大， ∴当是半径时，即为，∴的最大值为；故④错误； 综上所述：正确的有①②③；故答案为①②③． 例5（2024·江苏镇江·一模）如图，等腰三角形内接于，，点是的内心，连接并延长交于点，点在的延长线上，满足．试证明：(1)所在的直线经过点I；(2)点D是的中点． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：连接、、、， ，，，，，平分， 点是的内心，平分，与在同一条直线上，所在的直线经过点． （2）证明：连接，则，， ，，，， ，，，， ，， ，，， ，，点是的中点． 例6（2024·江苏泰州·一模）已知，是半径为的的内接三角形，点是的内心，射线分别交、于点．(1)如图，连接，求证：；(2)如图，；若，求的长；若，求的值；(3)如图，，射线分别交于点，点在直线上方的圆弧上运动，无论点如何移动，线段中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；；(3)线段为定值，且． 【详解】（1）∵点是的内心，∴， ∵，∴，∴； （2）由题意知，，直径， ∴由勾股定理得，连接，，过点作于点， ∵点是的内心，∴，∴， 在中， ， ； 连接，过点作于点，过点作于点， ∵，，∴，∵，∴， ∵点是的内心，∴，∴， ∴， ，∴， ∵，∴， ∴，∴； （3）连接，，，， ∵点是的内心， ，∴，， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴， 又∵，∴为等边三角形，∴∴， 同理，，，但，随着点的运动而变化，∴线段为定值，且． 1．（24-25·江苏·九年级专题练习）如图，已知圆O是的内切圆，且，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：圆是的内切圆，点为三角形的内心，即点为三个内角平分线的交点， 平分，平分．，． ，．． ．故选：C． 2．（24-25·上海·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC＝（    ） A．100° B．110° C．115° D．120° 【答案】C 【详解】解：如图，∵△ABC中∠A=50°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等， ∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∠1+∠3=（180°-∠A）=（180°-50°）=65°， ∴∠BOC=180°-（∠1+∠3）=180°-65°=115°．故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏·课后作业）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：为直角三角形，令． 选项A：，选项B：，选项C：，选项D：，只有D选项结果跟其他选项结果不一致， 表达式错误的是D选项，故选：D． 4．（24-25·浙江九年级课时练习）已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】解：设内切圆的半径为r解得：r=1故选D． 5．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，， 在中，，，内心为I，∴平分， ∴，∴， ∵，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵，，∵I是的内心，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴．故选：D． 6．（24-25·江苏·九年级统考期末）如图，在中，，过点作于点D，P是内一点，且，连接交于点，若点恰好为内心，则的度数为（    ） A．36° B．48° C．60° D．72° 【答案】C 【详解】∵点恰好为内心， ∴，，分别是，，的角平分线，∴， 又，∴，∴，∴， ∵，于点D，∴点是的中点，， 又，，∴,∴， 又，∴， 又，∴， ∴，故选：C． 7．（24-25·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB＋CD的值是 A．14 B．12 C．9 D．7 【答案】D 【详解】∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，∴可以假设切点分别为E、H、G、F， ∴AF＝AE，BE＝BH，CH＝CG，DG＝DF，∴AD＋BC＝AF＋DF＋BH＋CH＝AE＋BE＋DG＋CG＝AB＋CD， ∵AD＝2，BC＝5，∴AB＋CD＝AD＋BC＝7，故选D. 8．（24-25广东梅州·九年级校考开学考试）若四边形的对角线，相交于O，，，，的周长相等，且，，的内切圆半径分别为3，4，6，则的内切圆半径是（　　） A． B． C． D．以上答案均不正确 【答案】A 【详解】解：设的内切圆半径为，，，，的周长为L，如图，是的内切圆，切点分别为，，，则， 由切线长定理可知：，，，， ，，，，，，∴， 同理：，，，    由等高三角形面积之比等于对应的底之比可得：， ∴，∴，∴．故选：A． 9．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，是等边的外接圆，点是弧上一动点（不与，重合），下列结论：①；②；③当最长时，；④，其中一定正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°， ∴，∴∠ADB=∠BDC，故①正确； ∵点是上一动点，∴不一定等于，∴DA=DC不一定成立，故②错误； 当最长时，DB为圆O的直径，∴∠BCD=90°， ∵是等边的外接圆，∠ABC=60°，∴BD⊥AC，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴，故③正确； 如图，延长DA至点E，使AE=DC， ∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD=180°， ∵∠BAE+∠BAD=180°，∴∠BAE=∠BCD， ∵AB=BC，AE=CD，∴△ABE≌△CBD，∴BD=AE，∠ABE=∠DBC， ∴∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=∠ABC=60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE=BD， ∵DE=AD+AE=AD+CD，∴，故④正确；∴正确的有3个．故选：C． 10．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，周长为18，，圆O是的内切圆，圆O的切线与、相交于点M、N，则的周长为 ．    【答案】 【详解】解：∵圆是的内切圆，圆的切线与相交于点 ∴，，，， ， ∵周长为，，∴， ∴的周长为：，故答案为：． 11．（24-25·四川宜宾·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M（，1）与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MA＝MB，可求得△ABO的内切圆⊙O1的半径r1＝﹣1；若⊙O2与⊙O1、l、y轴分别相切，⊙O3与⊙O2、l、y轴分别相切，…，按此规律，则⊙O2014的半径r2014＝ ． 【答案】 【详解】连接OO1、AO1、BO1，作O1 D⊥OB于D，O1 E⊥AB于E，O1 F⊥OA于F，如图所示： 则O1 D＝O1 E＝O1 F＝r1，∵M是AB的中点，∴B（0，2），A（2 ，0），则S△OO1B＝×OB×r1＝r1， S△AO1O＝×AO×r1＝r1 ∵S△AOB＝S△OO1B+S△AO1O+S△AO1B＝∴ 同理得：…∴ 依此类推可得：⊙O2014的半径r2014＝ 故答案为 12．（24-25·山东泰安·九年级统考期末）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB＝125°，则∠AOB的度数为 ． 【答案】140° 【详解】解：分别作出△ABC的外接圆⊙O，△ABC的内切圆⊙I， ∵点I是△ABC的内心，∴AI平分∠CAB，BI平分∠ABC， ∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA， ∵∠AIB＝125°，∴∠IAB+∠IBA＝180°-∠AIB＝55°， ∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝110°， ∴∠ACB＝180°-（∠CAB+∠CBA）＝70°， ∵点O是△ACB是外心，∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，故答案为：140°． 13．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：；(2)求证：；(3)连接、，求证：点D是的外心． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）证明：点I是的内心， 平分，， ，，． （2）证明：如图，连接，点I是的内心， 平分，平分，， 又，， ，，，． （3）证明：如图，连接，，，，． ，∴点D是的外心． 14．（24-25·江苏·九年级假期作业）如图内接于，，是的直径，点是延长线上一点，且，．(1)求证：是的切线；(2)求的直径；(3)当点B在下方运动时，直接写出内心的运动路线长是 　　．    【答案】(1)见解析(2)6(3) 【详解】（1）解：证明：连接，，       是圆的直径，，，， ，是等边三角形，， ，，， ，，点在圆上，是的切线； （2）由（1）可知，，， ，，，，，圆的直径是6； （3）设的内切圆圆心为，连接，，， ，，是的平分线，是的平分线， ，，由（2）可知，， 点在以为弦，弦所对的圆周角为的圆上，作的外接圆，连接、， ，，，点在圆上， 连接，，，是等边三角形，， 当点与点重合时，，内心的运动路线长，故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，四边形ABCD内接于． (1)连接AC、BD，若，则的形状为______； (2)在（1）的条件下，试探究线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明你的结论； (3)若，，点P为AB上的一动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PD，求证：． 【答案】(1)等边三角形(2)AC＝AB+AD；证明见解析；(3)证明见解析 【详解】（1）解：∵∠BAC＝∠BDC＝60°，∠CAD＝∠CBD＝60°， ∴∠BDC＝∠CBD＝∠BCD＝60°，∴△DBC是等边三角形． （2）结论：AC＝AB+AD．理由：如图1，在AC上截取AE＝AD，连接DE． ∵∠DAE＝60°，AD＝AE，∴△ADE是等边三角形， ∴AD＝DE，∠ADE＝∠BDC＝60°，∴∠ADB＝∠EDC， ∵DA＝DE，DB＝DC，∴△DAB≌△DEC(SAS)， ∴EC＝AB，∴DE＝AD∴AC＝AE+EC＝AD+AB． （3）如图2中，在PD上取DE＝BP， ∵∠DAB＝∠ABC＝90°，∴∠BCD＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形， ∵，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形， ∴DA＝BD，∠ADE＝∠ABF，DE＝BP，∴△DAE≌△BAP(SAS)， ∴AE＝AP，∠DAE＝∠BAP，∴∠PAE＝∠BAD＝90°，∴PE＝PA， ∴PD﹣PB＝PD﹣DE＝PE＝PA，∴． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，为的直径，内接于，，点是的内心，延长交于点，连接． (1)求证：；(2)已知的半径是，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：为的直径，， 点是的内心，，，， ，， ，； （2）解：连接，过点作于，如图所示： 为的直径，的半径是，， ，是等腰直角三角形， ， ，，，，， ，，，， ，，，． 18．（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接．(1)若，求的度数：(2)若，，，请直接写出与的数量关系；(3)找出图中所有与相等的线段，并证明． 【答案】(1)(2)(3)，证明见解析 【详解】（1）解：∵内接于，是上任意一点， ∴四边形为圆内接四边形，∴， ∵是的直径，∴，∴； （2）同（1）法可得：， ∵，∴， 在中，，∴，∴； （3），证明如下：连接， ∵点是的内心，∴平分，平分，∴， ∵，， ∴，∴，∵，∴，∴． 19．（2025·江西抚州·一模）综合与实践 基本图形法：在复杂图形中，找到或构造基本图形，再利用基本图形的概念和性质，寻求解题的突破口，从而达到解决几何问题的目的，我们把这种解决几何问题的方法叫做基本图形法． 【基本图形】（1）①如图1，点是的内心，若，则_____； ②如图2，，平分，求证：． 【方法运用】（2）运用基本图形法解决下面问题：如图3，点是的内心，以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，连接，若，猜想线段的关系，并进行证明． 【拓展延伸】（3）如图4，四边形的对角线与相交于点，，两点分别是的内心和外心，若，求证：． 【答案】（1）①；②见解析；（2），，理由见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）①∵点是的内心， 平分，平分，, ，， ，故答案为：； ②平分，． 在和中，； （2），，理由如下：如图，连接， 是的内心，平分．又∵， 根据基本图形（图2），可推出．，． 是的内心，，根据基本图形（图1），可推出． ．．； （3）如图，连接，延长至点，使，连接， 由（2）知，，，，，， 由基本图形（图1）可知，，， 在和中，，， 是的外心，，，又，，． 20．（2025·山西运城·一模）阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务．关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务：(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长．(3)如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 【答案】(1)；(2)三角形纸片的周长是；(3)． 【详解】（1）解：是的内切圆，切点为，，， ，，， 设，，，则有，三式相加可得， ，故答案为：； （2）解：的周长为，由题意得， 如图，设切点分别为，，，则， ，，， 三角形纸片的周长；， （3）解：设，依题意得，，，， ，根据勾股定理可得，整理得， 解得或不合题意，合去，， ，，． 21．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心；(2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 【答案】(1)见解析；(2)． 【详解】（1）证明：中，，， 平分，， ，， ， ，平分，点是的内心； （2）解：连接，，，，，如图所示： 是等腰三角形，点是内心，点是外心 ，，在同一条直线上，且，，， 在中，，，， 在中，，，，由勾股定理得：， ，解得：，，， 点为的内心，，，为切点，， ，， ，解得：，，， 外接圆的半径；的内心与外心的距离．故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $