专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型（几何模型讲义）数学浙教版2024八年级上册

专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.飞镖（燕尾）模型 6 模型2.鹰爪（风筝）模型 10 模型3.翻角模型 14 16 ‌ 燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌。凹四边形中，从顶点延伸的两条边如同燕尾分叉，而整体轮廓又像投掷的飞镖，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。部分资料戏称其为“回旋镖模型”，强调角度关系循环往复的特点。‌ ‌鹰爪（‌风筝）模型‌强调图形末端的尖锐角如同鹰爪抓握状，更侧重动态联想。 翻角模型是‌动态几何思想‌与‌静态角度守恒‌的结合，通过操作发现不变量的过程，深化了对三角形刚性结构的理解。‌‌‌ 普及高峰期（‌2023–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“见飞镖，找四角”、“内翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！ （2025·山东济宁·模拟检测）如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． (1)观察“规形图”，试探究规角与、、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用结论，解决下列问题： ①如图②，在中，、的平分线交于点P，若，则_________度． ②如图③，平分，平分，若的度数是_________． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质以及角平分线的定义的运用． （1）根据题意连接并延长至点，利用三角形外角性质即可得出答案． （2）①由可知，根据、的平分线交于点P，得出，，求出，因为，即可求解；     ②由（1）的已知条件，由于平分平分，即可得出，因此． 【详解】（1）解：如图，连接并延长至点， 根据外角的性质，可得，， 又 ∵， ． （2）解：①由（1）可得，， ∵、的平分线交于点P， ∴，， ∴， 又 ∵， ． ②由（1）可得，， ， 又 ∵平分平分， ， ． （2025·广东汕头·模拟检测）请认真完成下列的数学活动 我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究 （1）如图①，与分别为的两个外角，试探究与之间的数量关系． 初步运用 （2）如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则 ．小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在中，，分别平分外角，，则与之间的数量关系为 （请利用上面的结论直接写出答案）． 拓展提升 （3）如图④，在四边形中， ，分别平分外角，，设，试说明与的数量关系． 【答案】（1） （2）， （3） 【分析】本题是几何变换综合题，考查角平分线的定义，三角形外角性质与内角和定理，四边形内角和定理，熟练掌握三角形外角性质与内角和定理是解题的关键． (1)根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求解即可． (2)先由邻补角性质求出，再根据三角形外角性质、角平分线的定义计算即可． (3)利用角平分线的定义、三角形外角和内角和定理求解即可． 【详解】（1），， ， ； （2）， ， ， ， ，分别平分外角，， ，， 即， 故答案为：，； （3），分别平分外角，， ，， 即． 1）飞镖模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 图3 图4 图5 2）鹰爪模型：如图2，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 3）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图5，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 图1 图2 飞镖模型拓展1：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 飞镖模型拓展2：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 模型1.飞镖（燕尾）模型 例1（24-25七年级下·山东淄博·阶段练习）【问题】如图1，在中，平分，平分， （1）若，则_______； （2）若，则_______． 【探究】 （1）如图2，在中，三等分，三等分．若，则_______； （2）如图3，O是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； 【答案】【问题】（1）；（2）；【探究】（1）；（2），理由见解析 【分析】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理的综合运用，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 问题：（1）利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解；（2）将的度数换成，然后求解即可； 探究：（1）利用三角形的内角和等于求出，再利用三等分角求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，再根据角平分线的定义可得，然后整理即可得解； 【详解】问题：（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ； 故答案为： （2）由三角形的内角和定理得，， 平分，平分， ，， ， ； 故答案为： 探究：（1）由三角形的内角和定理得，， ，三等分，，三等分， ，， ， ； 故答案为：； （2）． 理由如下：由三角形的外角性质得，， ， 是与外角的平分线和的交点， ，， ， ， ； 例2（24-25七年级下·江苏镇江·期中）模型规律：如图1，延长交于点D，则． 因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．      模型应用 (1)直接应用： ①如图2，，，，则 °； ②如图3， °； (2)拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则 °； ②如图5，、分别为、的10等分线（，2，3，…，8，9）．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 °； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，，则 °； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为 ． 【答案】(1)①110；②260 (2)①85；②99；③142；④ 【分析】（1）①根据题干中的等式直接计算即可；②同理可得，代入计算即可； （2）①同理可得，代入计算可得； ②同理可得，代入计算即可； ③利用计算可得； ④根据两个凹四边形和得到两个等式，联立可得结论． 【详解】（1）解：（1）①； ②；    （2）① ； ② ； ③ ； ④， ， 联立得：． 所以． 【点睛】本题主要考查了新定义—箭头四角形，利用了三角形外角的性质，还考查了角平分线的定义，图形类规律，解题的关键是理解箭头四角形，并能熟练运用其性质． 例3（24-25八年级上·全国·期中）阅读下面的材料，并解决问题． (1)已知在中，，图1﹣3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1， ；如图2， ；如图3， ； 如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． (2)如图5，点O是两条内角平分线的交点，求证：． (3)如图6，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数． 【答案】(1)，，，； (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，以及基本图形是解题的关键． （1）由的度数，在中，可得与的和，又、是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案； （2）由的度数，在中，可得与的和，又、是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论； （3）先分别求出与的度数，即可求得的度数． 【详解】（1）解：如图1， ，， ， ，分别平分和 ， ， ， 如图2， 是的外角， ， ，分别平分和， ，， 是的外角， ， ， 如图3， 是的外角， ， 平分，平分， ，， ， ， 如图4， ，的三等分线交于点，， ，， 平分，平分， 平分， ， ， ， 故答案为：，，，； （2）证明：平分，平分， ，， ； （3）解：是△的外角， ， ，， ， 、是的三等分线， ，， ， 是的平分线， ， ． 例4（24-25七年级上·江苏镇江·期末）【模型认识】 如图1，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型． 【初步探索】 如图1，已知，，，求的度数． 方法借鉴：不妨延长交于点E，将飞镖分解成和 请你根据方法借鉴求的度数．（可标注、等） 【归纳结论】 、、和的数量关系是　　　． 【深入探究】 如图2，若，，且，求的度数． 【拓展延伸】 如图3，若改变飞镖形状，使得、、都小于，，原结论是否发生变化？若变化，写出变化后的结论并证明；若不变，请说明理由． 【答案】初步探索：；归纳结论：；深入探究：；拓展延伸：不变，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，四边形内角和，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质． 初步探索：根据三角形外角的性质得出，，即可得出结论； 归纳结论：根据初步探究过程可得答案； 深入探究：根据归纳结论得出，即可得出，从而得出答案； 拓展延伸：根据四边形内角和进行求解即可． 【详解】解：初步探索： ∵为的一个外角， ∴， ∵为的外角， ∴， ∴； 归纳结论：根据初步探索可知： 深入探究：根据归纳结论可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴； 拓展延伸：不变；理由如下： ∵，， ∴． 例5（24-25七年级下·广东佛山·期末）（1）如图①，已知线段，相交于点，连接，，可以得到、、、的关系式是______． （2）如图②，若和的平分线和相交于点，与，分别交于点，．猜测，，之间的关系，并证明你的结论． （3）若和的三等分线和相交于点，与，分别交于点，，其中，，则，，之间又有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），证明见解析，（3），理由见解析 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键． （1）由三角形内角和定理得，，再根据即可得出、、、的关系式； （2）根据角平分线定义设，，由的结论得，，即，，即可得出，，之间的数量关系； （3）设，，则，，由（1）的结论得，，即，，由此即可得出，，之间的数量关系． 【详解】（1）在中，， 在中，， 又， ， 故答案为：； （2），，之间的数量关系是：，证明如下： 和的平分线和相交于点， 设，， 由（1）的结论：在和中，， 即， 由（1）的结论：在和中，， 即， 得：， ， （3），，之间的数量关系是：，理由如下： 设，， ，， 由（1）的结论：在和中，， 即， 由（1）的结论：在和中，， 即， ， ， 整理得：． 模型2.‌鹰爪（‌风筝）模型 例1（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ． 【答案】/125度 【详解】解：连接，∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，∵， ∴， ∴．故答案为：． 例2（24-25山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理． （1）【定理证明】    已知：如图①，求证：． （2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点． （3）若，，则_______．（4）若，则_______． 【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点． （5）若，，则_________． （6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为__________． （7）分别作和的平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，说明理由．    【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7），理由见解析 【详解】（1）证明：如图，过点作，∵，，，          ，． （2），，．故答案为：． （3），，，；答案：； （4），，， ，， ．故答案为：． （5）如图，连接，，， ， ，， ．故答案为：． （6）如图，过点作，则， 由（1）知，，， ，，，， 、分别是和，， ，．故答案为：． （7），理由如下：由（1）知，，，、分别为和的角平分线， ，， ，， ，即． 例3（24-25七年级下·四川资阳·期末）在中，，D、E分别是边上的点，P是直线上的一个动点，连结．设． (1)如图1，若点P在线段上，且，求的度数； (2)如图2，若点P在线段延长线上，交于点F，试探究之间的关系，并说明理由； (3)如图3，若点P在线段延长线上，交于点F，试探究之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)，见解析(3)，见解析 【详解】（1）连接，∴， ∵是的外角，∴，∵是的外角，∴， ∴，即， ∵，，∴； （2）∵，，∴， ∵，∴，即， （3）∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴，即 模型3.翻角模型 例1（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点处． (1)若，判断与的位置关系并说明理由； (2)若与不平行，，则______． 【答案】(1)，理由见解析 (2)100 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质及折叠前后对应角相等是解题的关键． （1）由可得，由折叠得，等量代换可得，即可证明； （2）由折叠得，，结合，，，即可推出． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 由折叠得， ， ； （2）解：由折叠得，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：100． 例2（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题；聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)问题再现： 如图，在中，、的角平分线交于点，若，则 ______． (2)问题推广： ①如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则 ______． ②如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，，则 ______． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． （1）先根据角平分线的性质把用表示出来，再根据三角形内角和定理把用表示出来，然后把代入进行计算即可； （2）①先根据平角定义和已知条件求出，再根据折叠求出，然后根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的性质和三角形内角和定理把用表示出来，最后根据三角形内角和定理求出即可； ②同理①求解即可． 【详解】（1）解：、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①如图所示： ，， ， 由折叠可知：，， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：； ②，，， ， ， 由折叠可知：，， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：． 例3（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）在中，和的角平分线和交于点． (1)【问题呈现】如图①，若，求的度数； (2)【问题推广】如图②，将沿折叠，使得点与点重合，若，则 °； (3)【问题拓展】若，分别是线段，上的点，若，，射线与的平分线所在的直线相交于点（不与点重合），直接写出与之间的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)与之间的数量关系是：或． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由三角形内角和定理结合角平分线的定义可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）由题意可得，由折叠性质得，，从而可得，由（1）得，从而计算即可得解； （3）依题意分两种情况，分别求解即可得解． 【详解】（1）解：在中， ∵，的角平分线，交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴； ∵， ∴ ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由折叠性质得：，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴； 故答案为：． （3）解：∵，分别是线段，上的点，射线与的平分线所在的直线相交于点， ∴有以下两种情况： ①射线与的平分线相交于点，设射线交于，如图1所示： 由（1）得：， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②射线与的平分线所在的直线相交于点H时，设射线交于K，如图2所示： 同理：， 在中，， ∴． 综上所述：与之间的数量关系是：或． 例4（24-25七年级下·河南南阳·期末）【教材呈现】以下是华师版教学七下第92页的部分内容． 如图，在 中． 平分 平分 求 的度数． 解 ∵平分 (已知)， 同理可得 ． ∵ (                )， (等式的性质) = ． （1）对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容(理由或数学式)． 【拓展延伸】 （2）如图1， 在中，、的平分线交于点P， 将 沿折叠，使得点A与点P重合， 若， 求的度数； （3）如图2， 在中， 角平分线、交于点O，， 交边于点D，点E在的延长线上，作的平分线交的延长线于点F．若则 ． 【答案】（1），三角形内角和定理，，；（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义. （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）根据角平分线得到，，进而可知，即可求出，根据得到，根据三角形内角和即可得解. 【详解】解：（1）∵平分（已知）， ∴． 同理可得． ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． 故答案为：，三角形内角和定理，，； （2）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ； （3）是角平分线，是角平分线 ∴，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 例5（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）是一张三角形的纸片，点D、E分别是边、上的点．将沿折叠，点A落在点的位置． (1)如图①，当点落在四边形的边上时，的大小为________度，与之间的数量关系是________． (2)如图②，当点落在四边形的内部时，直接写出与、之间的数量关系是________． (3)如图③，当点落在四边形的外部时，写出与、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查折叠问题，三角形的外角性质，关键是掌握折叠的性质，熟练应用三角形的外角性质来解决问题． （1）由折叠的性质得到，，由邻补角的性质得到，求出，由三角形的外角性质得到； （2）由折叠的性质得到，由三角形的外角性质推出，，因此； （3）由折叠的性质得到，由三角形的外角性质推出，，得到． 【详解】（1）解：如图 由折叠的性质得到：，， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：如图， ，理由如下： 连接， 由折叠的性质得到：， ，， ， 故答案为：； （3）解：如图， ，理由如下： 连接， 由折叠的性质得到：， ，， ． 1．（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图，把三角形纸片沿折叠，使点A与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理；先求得的值，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵三角形纸片沿折叠，使点与点重合，且落在四边形的内部， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2、（24-25七年级下·全国·期末）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质，连接．首先求出，再证明即可解决问题． 【详解】解：连接． ∵平分，平分，， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义以及平行线的性质．利用三角形的外角性质，可得出，由，利用“两直线平行，同位角相等”，可得出，，结合角平分线的定义，可得出，，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数． 【详解】是的外角， ． ∵， ，． 平分，平分， ，， ． 又是的外角， ， 即， ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，用铁丝折成一个四边形（点在直线的上方），且，若要使，的平分线相交构成的角的度数为，则可保持不变，将增大 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质与角平分线的计算，熟知三角形外角与内角之间的关系是解题的关键．连接并延长至点，根据三角形外角的性质可推出，结合已知条件和角平分线的定义可得，同理可得，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接并延长至点， ∵， ， ， ， 分别平分， ， 同理可得，， ， 需将增大． 故答案为：10． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，是的中点，点是边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，则的度数为 ；当时，则的度数为 ． 【答案】 /度 或 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理的应用，平行线的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 当时，，分两种情况考虑，根据翻折可得或，再根据三角形内角和定理，即可解决问题． 【详解】解：由折叠可知，， 当点在上方时，如图所示，    ∵ ∴， 由翻折可知：， ∴． 当点在下方时，如图所示， ∵ ∴， 由翻折可知：， ∴， ∴．   故答案为：；或． 6．（24-25七年级下·福建福州·期末）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③；④ 【答案】①②④ 【分析】此题考查了三角形内角和定理和外角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解． 由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理可求，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义以及三角形内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合，可判定④． 【详解】∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故②正确； 如图，∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴． 故④正确； 综上正确的有：①②④． 故答案为：①②④． 7．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，已知中，，将、按照如图所示折叠，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，折叠性质，三角形的外角性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．由折叠可得，，利用三角形的外角性质与三角形内角和定理可求得的度数，的度数，从而可求解． 【详解】解：由折叠知：，． ， ． ， ， ， ． ． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图，已知线段，相交于点O，连接，，可以得到、的关系式是 ． （2）如图，若和的平分线和相交于点P，与，分别交于点M，N．猜测之间的关系，并证明你的结论． （3）若和的三等分线和相交于点P，与，分别交于点M，N，其中，则之间又有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2），见解析； （3），见解析． 【分析】本题考查了对顶角的性质、三角形内角和定理，角平分线的性质等知识点，掌握题目中（1）的规律是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可作答； （2）由题意设，，再根据（1）的结论建立方程组即可； （3）设，之后同（2）根据（1）的结论建立方程组即可求解． 【详解】解：（1）在中，， 在中，， 又， ， 故答案为：； （2）之间的数量关系是：，证明如下： 和的平分线和相交于点P， 设，， 由（1）的结论：在和中， ，即， 由（1）的结论：在和中， ，即， 得：， ； （3）之间的数量关系是：，理由如下： 设， ， 由（1）的结论：在和中， ，即， 由（1）的结论：在和中， ，即， ， ， 整理得：． 9．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图①，求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出，再根据角平分线的定义，即可求解； （2）延长交于D，如图所示，根据三角形的外角性质可得，，即可求证； （3）根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和即可解答． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴； （2）解：延长交于D，如图所示： ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： ∵的外角，的角平分线交于点Q， ∴，， ∴ ， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线，解题的关键是掌握三角形的内角和为，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 10．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）综合性学习：长方形内的旋转与翻折 【阅读】 长方形的四个角都是直角，它们都是，且旋转或翻折之后对应的角不变（如图1）．例如，翻折到之后，，． 【理解】 （1）如图1，四边形是长方形，、的数量关系是　　　． （2）如图2，四边形是长方形，四边形是由四边形翻折而来，若是，则的度数是　　　°． 【运用】 （3）如图3，长方形、分别由长方形旋转而来，若，，则的度数是　　　°． （4）如图4，长方形，将翻折至，当时，则的度数是　　　°． （5）如图5，长方形，在中，一个锐角是．将旋转（），得到，点和点的对应点分别是和，若，旋转角是　　　°． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】本题主要考查了理由余角和补角、三角形内角和求角的度数，根据折叠、旋转性质，结合图形得出角的关系（相等、互余、互补等）是解题关键． （1）根据可得，，进而由平角的定义可得，由此得出，结合即可得出结论； （2）由折叠可知，根据周角的定义和，可求，在由邻补角求出的度数； （3）先根据同角的余角相等证明，进而由即可求解； （4）先折叠可以证明，进而可得：，再由，可得，结合已知解方程即可求出； （5）由旋转可知：，，分两种情况：当在内时，，当在内时，，结合求解即可． 【详解】解：（1）如图： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， （2）由折叠可知：， ∵，， ∴， ∴； （3）∵长方形、， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， （4）由翻折可知：，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴，即， 又∵， ∴． （5）∵长方形，在中，一个锐角是． ∴， 由旋转可知：，， 当在内时，， 又∵，即， ∴，解得， 当在内时，， ∴，解得（不合题意舍去）， 综上可得：旋转角是． 11．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）杨老师在数学课上告诉同学们，过某一个点作辅助线，构造平行线，就可以利用平行线的性质求角度．请根据杨老师提示的方法，解决下列问题： 【探究感知】（1）如图1，．，则的度数为________； 【类比应用】（2）如图2，．求的度数？ 【拓展延伸】（3）如图3，．与的平分线相交于点F，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确作辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点C作，根据平行线的判定和性质求解即可； （2）过点C作直线，根据平行线的性质，得到，再判定，得到，即可求出的度数； （3）过点F作，根据角平分线的定义，得到，再根据平行线的性质，得到，最后利用，即可求出的度数． 【详解】解：（1）过点C作， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： （2）过点C作直线， ， ， ， ， ； （3）过点F作， ， ， ． 12．（24-25八年级上·全国·期末）（）如图，，点在之间，且在的左侧平面区域内一点，连结．求证：． （）如图，在（）的条件下，作出和的平分线，两线交于点，猜想之间的关系，并证明你的猜想． （）如图，在（）的条件下，作出的平分线和的平分线，两线交于点，猜想之间的关系，不用证明，直接写结论． 【答案】 （）见解析； （），证明见解析； （） 【分析】（）利用平行线的性质即可得出结论； （）先判断出，进而得出，最后用三角形的内角和即可得出结论； （）先由（）知，，再利用角平分线的定义和三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】 解：（）如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （），证明如下： 由（）知，， ∵， ∴， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∴， 在中， ， 即； （），证明如下： 由（）知，， ∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，来证明和猜想角度之间的关系．通过作辅助线和利用已知条件，逐步推导出所需的结论． 13．（24-25七年级下·四川广安·期末）已知：如图，线段、相交于点，连接、，我们把形如图的图形称之为“字形”，和的平分线和相交于点，试解答下列问题： (1)在图中，试说明：． (2)在图中，若，，根据（1）中得到的数量关系，求的度数； (3)如果图中和为任意角，其他条件不变，直接写出与、之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． （1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等，可得结论； （2）根据角平分线的定义得出，，由（1）得，，两式相加即可得答案， （3）同（2）的方法即可得出结论． 【详解】（1）解：∵线段、相交于点， ∴， ∵，， ∴． （2）解：由（1）可知：，， ∵和的平分线和相交于点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：∵和的平分线和相交于点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 14．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）四边形中， (1)，． ①如图1，若，试求出的度数； ②如图2，若的角平分线交于点，且，试求出的度数； (2)如图3，若和的角平分线交于点，探究与、的关系． 【答案】(1)①；②； (2). 【分析】本题考查了多边形的内角和公式的求解原理，平行线的性质以及三角形的内角和定理，角平分线的定义，仔细分析图形是解题的关键． （1）①根据四边形的内角和等于360°列式即可求解； ②先根据平行线的性质求出与的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，然后根据四边形的内角和等于360°求解即可； （2）先根据再根据角平分线的定义可得，进而利用三角形的内角和定理得出，结合四边形的内角和等于得出，整体代入化简即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴， 解得； ②∵，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （2）∵、分别是和的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，由线段，，，组成的图形像，称为“形”． (1)如图1，形中，若，，则________°； (2)如图2，形中，若，，则________°； (3)如图3，连接形中两点，若，，试猜想与的数量关系，并说明理由； (4)在（3）的条件下，当点在射线上从上向下移动的过程中，请直接写出与所有可能的数量关系． 【答案】(1)60 (2)60； (3)，理由见解析； (4)或． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键． （）过作，利用平行线的性质计算即可求解； （）设与交于点，利用平行线的性质和外角性质即可求解； （）过点作交于点，利用平行线的性质及三角形的内角和定理可求得，结合（）的结论可求解； （）可分两种情况：当当，位于两侧时，当，位于同侧时，利用平行线的性质及三角形外角的性质可分别计算求解； 【详解】（1）解：过作， ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴， 故答案为：60； （2）如图，设与交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 故答案为：60； （3）解：，理由如下： 过点作交于点， ∴， 则，， ∴ ∴， 由（）可得， ∵， ∴， ∴； （4）如图，当，位于两侧时， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 即； 当，，三点共线时，， ∴； 当，位于同侧时， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 即， 综上，或． 16．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）数学中，我们把有一个内角大于的四边形称为镖形． （1）如图，在镖形中，试探索内角、、与钝角之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图，__________；（用含的代数式表示） （3）如图，已知直角的直角顶点落在直线上，过点、分别作的垂线段，垂足为、，若、的平分线交于点，则_________； （4）如图，在（）的条件下，、分别为，的角平分线，它们的交点为；、分别为、的角平分线，它们的交点为；以此类推，则______． 【答案】（），理由见解析；（）；（）；（）． 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线定义，找规律，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用三角形外角性质即可求解； （）利用（）中结论即可求解； （）利用（）中结论可得，又，，则，所以，，从而可得，，由平分，平分，则，然后代入即可求解； （）由（）得，同（）理得，则，，，；故有． 【详解】解：（），理由， 如图，延长交于点， ∵，， ∴； （）由（）得，， ∵， ∴， 故答案为：； （）由（）得， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）解：由（）得， 同（）理得：， ∴， 由（）得， 同（）理得：， ∴， ∴， ； ∴， 故答案为：． 17．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（面积问题）如图， (1)问题发现：如图1，已知中，点D为的中点，连接，则______（填“>”“<”或“=”）． (2)问题探究：如图2，已知四边形，E，F分别为的中点，连接，四边形与四边形的面积之比是多少？ (3)实践应用：如图3，已知有一块六边形花圃，其中G，H，M，N分别为上的点，且．连接，将花圃分成五块，图中标出的三块区域种植花草，其余两块为观赏区，三块种植区的面积由上至下分别为，，，观赏区的总面积为多少？ 【答案】(1)= (2) (3) 【分析】本题考查三角形的面积与底与高的关系，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）分析题意，连结后，与是等底同高的三角形，所以它们的面积相等；   （2）如图连接，根据E、F是的中点，得出=， =，由此得出四边形的面积正好是原四边形面积的一半； （3）如图连结，得出，分别求出相应三角形面积的大小，然后再求出它们的和即可． 【详解】（1）解：∵点为的中点， ∴， （等底同高）； （2）如图，连接， ∵点为的中点， ∴，, ∴点为的中点， ∴，, ∴． ∴四边形与四边形的面积之比是； （3）如图，连接， ， ， ，， ，， ， ， ， ∴观赏区的总面积是：, ∴观赏区的总面积为． 18．（24-25七年级下·上海崇明·期末）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴， （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵ ， ∴； 如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 19．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． (1)如图1，在中，O是与的平分线和的交点，试分析与的关系； (2)如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． (3)如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活运用三角形的外角的性质是解本题的关键． （1）首先根据角平分线的定义，可得，再根据三角形内角和定理，即可求解； （2）先由角平分线的定义，得出，再由三角形的外角的性质得出，再根据三角形外角的性质，即可得出结论； （3）根据角平分线的定义，可得，根据三角形的外角性质和三角形的内角和定理，即可得出结论． 【详解】（1）解： 平分，平分， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 平分，平分， ， 由三角形外角性质可知：， ， 是的一个外角， ； （3）解：，理由如下： 平分，平分， ， ， 由三角形内角和可知：， ． 20．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点． （1）若，，则_____度，_____度； （2）与的数量关系为_____，并说明理由； 【应用】如图②，在中，的平分线与的平分线相交于P，的外角平分线与的外角平分线相交于点 直接写出与的数量关系为__________． 【答案】探究：（1），；（2）；应用： 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质的应用等知识，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键． 探究：（1）由三角形内角和定理进行计算即可； （2）由角平分线定义得，再根据三角形内角和定理，即可得到结论； 应用：由角平分线定义可得，，再根据三角形内角和定理，即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）．理由如下： ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 应用：解：．理由如下： ∵∠ABC的外角平分线与的外角平分线相交于点， ∴， ∴中，又∵， ∴ 故答案为：． 21．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ②根据角平分线的定义可得，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ， ． （2）解：∵在和中，， 在和中，， ， ∵平分平分， ， ，即， ． ②、、之间的关系为． 理由如下：如下图， ∵和分别平分和， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ， ∴、、之间的关系为． 22．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）已知，，点为射线上一点． (1)如图，若，，则_____； (2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的关系，请说明你的结论： (3)如图，平分，交于点，交于点，且，，，求的度数． 【答案】(1)； (2)，见解析； (3)． 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和及外角等于不相邻的两个内角和等知识点是解题的关键． （）延长交于，依据平行线的性质，可得，再根据是的外角，即可得到； （）依据，可得，再根据是的外角，即可得到，即； （）设，则，进而得出，依据，可得，求得，即可得出的度数， 【详解】（1）解：如图，延长交于， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由： ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； （3）解：∵， 设，则， ∵，，， 又∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， 在中，． 23．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图1，平分，平分，且，． (1)求证：． (2)如图2，延长，交于点F，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，，由平行线的性质可得，，即可得出，即可得证； （2）利用三角形内角和定理求出，再由平行线的性质计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 24．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，，分别平分与，且交于点()，判断，与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】；见解析． 【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，角的计算的题目，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 由角平分线的性质得，，，由三角形外角的性质得， ，结合，，综合可得结果； 【详解】解：，与之间的数量关系是， 证明：如图，延长交于点，设与交于点， 平分， ， 平分， ， ，， ， ， ， 又，， ， ． 25．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）（1）如图，过的顶点作直线，求证：； （2）已知内部两条射线、交于点， 如图，若，则 度直接写出答案即可 如图，若，、分别平分、，求的度数； （3）如图，在四边形中，、的角平分线交于点，，和之间有什么数量关系？说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质可得，，再结合平角是计算即可得解； （2）①根据三角形内角和是计算即可得解；②根据三角形内角和是并结合角平分线的定义计算即可得解； （3）连接，根据三角形内角和是并结合角平分线的定义计算即可得解． 【详解】（1）证明：， ，， ， ． （2）解：，， ， 故答案为：． ，， ， 、分别平分、， ，， ， 则． （3）连接，如图： 、的角平分线交于点， ，， ， ， 即， 整理得：， 则， 即， 整理得：A． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.飞镖（燕尾）模型 6 模型2.鹰爪（风筝）模型 10 模型3.翻角模型 14 16 ‌ 燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌。凹四边形中，从顶点延伸的两条边如同燕尾分叉，而整体轮廓又像投掷的飞镖，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。部分资料戏称其为“回旋镖模型”，强调角度关系循环往复的特点。‌ ‌鹰爪（‌风筝）模型‌强调图形末端的尖锐角如同鹰爪抓握状，更侧重动态联想。 翻角模型是‌动态几何思想‌与‌静态角度守恒‌的结合，通过操作发现不变量的过程，深化了对三角形刚性结构的理解。‌‌‌ 普及高峰期（‌2023–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“见飞镖，找四角”、“内翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！ （2025·山东济宁·模拟检测）如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． (1)观察“规形图”，试探究规角与、、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用结论，解决下列问题： ①如图②，在中，、的平分线交于点P，若，则_________度． ②如图③，平分，平分，若的度数是_________． （2025·广东汕头·模拟检测）请认真完成下列的数学活动 我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究 （1）如图①，与分别为的两个外角，试探究与之间的数量关系． 初步运用 （2）如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则 ．小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在中，，分别平分外角，，则与之间的数量关系为 （请利用上面的结论直接写出答案）． 拓展提升 （3）如图④，在四边形中， ，分别平分外角，，设，试说明与的数量关系． 1）飞镖模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 图3 图4 图5 2）鹰爪模型：如图2，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 3）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图5，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 图1 图2 飞镖模型拓展1：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 飞镖模型拓展2：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 模型1.飞镖（燕尾）模型 例1（24-25七年级下·山东淄博·阶段练习）【问题】如图1，在中，平分，平分， （1）若，则_______； （2）若，则_______． 【探究】 （1）如图2，在中，三等分，三等分．若，则_______； （2）如图3，O是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； 例2（24-25七年级下·江苏镇江·期中）模型规律：如图1，延长交于点D，则． 因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．      模型应用 (1)直接应用： ①如图2，，，，则 °； ②如图3， °； (2)拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则 °； ②如图5，、分别为、的10等分线（，2，3，…，8，9）．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 °； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，，则 °； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为 ． 例3（24-25八年级上·全国·期中）阅读下面的材料，并解决问题． (1)已知在中，，图1﹣3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1， ；如图2， ；如图3， ； 如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． (2)如图5，点O是两条内角平分线的交点，求证：． (3)如图6，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数． 例4（24-25七年级上·江苏镇江·期末）【模型认识】 如图1，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型． 【初步探索】 如图1，已知，，，求的度数． 方法借鉴：不妨延长交于点E，将飞镖分解成和 请你根据方法借鉴求的度数．（可标注、等） 【归纳结论】 、、和的数量关系是　　　． 【深入探究】 如图2，若，，且，求的度数． 【拓展延伸】 如图3，若改变飞镖形状，使得、、都小于，，原结论是否发生变化？若变化，写出变化后的结论并证明；若不变，请说明理由． 例5（24-25七年级下·广东佛山·期末）（1）如图①，已知线段，相交于点，连接，，可以得到、、、的关系式是______． （2）如图②，若和的平分线和相交于点，与，分别交于点，．猜测，，之间的关系，并证明你的结论． （3）若和的三等分线和相交于点，与，分别交于点，，其中，，则，，之间又有怎样的数量关系，并说明理由． 模型2.‌鹰爪（‌风筝）模型 例1（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则 ． 例2（24-25山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理． （1）【定理证明】    已知：如图①，求证：． （2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点． （3）若，，则_______．（4）若，则_______． 【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点． （5）若，，则_________． （6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为__________． （7）分别作和的平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，说明理由．    例3（24-25七年级下·四川资阳·期末）在中，，D、E分别是边上的点，P是直线上的一个动点，连结．设． (1)如图1，若点P在线段上，且，求的度数； (2)如图2，若点P在线段延长线上，交于点F，试探究之间的关系，并说明理由； (3)如图3，若点P在线段延长线上，交于点F，试探究之间的关系，并说明理由． 模型3.翻角模型 例1（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点处． (1)若，判断与的位置关系并说明理由； (2)若与不平行，，则______． 例2（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题；聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)问题再现： 如图，在中，、的角平分线交于点，若，则 ______． (2)问题推广： ①如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则 ______． ②如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，，则 ______． 例3（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）在中，和的角平分线和交于点． (1)【问题呈现】如图①，若，求的度数； (2)【问题推广】如图②，将沿折叠，使得点与点重合，若，则 °； (3)【问题拓展】若，分别是线段，上的点，若，，射线与的平分线所在的直线相交于点（不与点重合），直接写出与之间的数量关系（用含的式子表示）． 例4（24-25七年级下·河南南阳·期末）【教材呈现】以下是华师版教学七下第92页的部分内容． 如图，在 中． 平分 平分 求 的度数． 解 ∵平分 (已知)， 同理可得 ． ∵ (                )， (等式的性质) = ． （1）对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容(理由或数学式)． 【拓展延伸】 （2）如图1， 在中，、的平分线交于点P， 将 沿折叠，使得点A与点P重合， 若， 求的度数； （3）如图2， 在中， 角平分线、交于点O，， 交边于点D，点E在的延长线上，作的平分线交的延长线于点F．若则 ． 例5（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）是一张三角形的纸片，点D、E分别是边、上的点．将沿折叠，点A落在点的位置． (1)如图①，当点落在四边形的边上时，的大小为________度，与之间的数量关系是________． (2)如图②，当点落在四边形的内部时，直接写出与、之间的数量关系是________． (3)如图③，当点落在四边形的外部时，写出与、之间的数量关系，并说明理由． 1．（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图，把三角形纸片沿折叠，使点A与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2、（24-25七年级下·全国·期末）如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分，平分，若，则 ． 3．（24-25七年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点，若，则的度数为 ． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，用铁丝折成一个四边形（点在直线的上方），且，若要使，的平分线相交构成的角的度数为，则可保持不变，将增大 ． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，是的中点，点是边上一动点，将沿翻折，使点落在点处，则的度数为 ；当时，则的度数为 ． 6．（24-25七年级下·福建福州·期末）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③；④ 7．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，已知中，，将、按照如图所示折叠，若，则 ． 8．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图，已知线段，相交于点O，连接，，可以得到、的关系式是 ． （2）如图，若和的平分线和相交于点P，与，分别交于点M，N．猜测之间的关系，并证明你的结论． （3）若和的三等分线和相交于点P，与，分别交于点M，N，其中，则之间又有怎样的数量关系，并说明理由． 9．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图①，求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 10．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）综合性学习：长方形内的旋转与翻折 【阅读】 长方形的四个角都是直角，它们都是，且旋转或翻折之后对应的角不变（如图1）．例如，翻折到之后，，． 【理解】 （1）如图1，四边形是长方形，、的数量关系是　　　． （2）如图2，四边形是长方形，四边形是由四边形翻折而来，若是，则的度数是　　　°． 【运用】 （3）如图3，长方形、分别由长方形旋转而来，若，，则的度数是　　　°． （4）如图4，长方形，将翻折至，当时，则的度数是　　　°． （5）如图5，长方形，在中，一个锐角是．将旋转（），得到，点和点的对应点分别是和，若，旋转角是　　　°． 11．（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）杨老师在数学课上告诉同学们，过某一个点作辅助线，构造平行线，就可以利用平行线的性质求角度．请根据杨老师提示的方法，解决下列问题： 【探究感知】（1）如图1，．，则的度数为________； 【类比应用】（2）如图2，．求的度数？ 【拓展延伸】（3）如图3，．与的平分线相交于点F，求的度数． 12．（24-25八年级上·全国·期末）（）如图，，点在之间，且在的左侧平面区域内一点，连结．求证：． （）如图，在（）的条件下，作出和的平分线，两线交于点，猜想之间的关系，并证明你的猜想． （）如图，在（）的条件下，作出的平分线和的平分线，两线交于点，猜想之间的关系，不用证明，直接写结论． 13．（24-25七年级下·四川广安·期末）已知：如图，线段、相交于点，连接、，我们把形如图的图形称之为“字形”，和的平分线和相交于点，试解答下列问题： (1)在图中，试说明：． (2)在图中，若，，根据（1）中得到的数量关系，求的度数； (3)如果图中和为任意角，其他条件不变，直接写出与、之间的数量关系． 14．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）四边形中， (1)，． ①如图1，若，试求出的度数； ②如图2，若的角平分线交于点，且，试求出的度数； (2)如图3，若和的角平分线交于点，探究与、的关系． 15．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，由线段，，，组成的图形像，称为“形”． (1)如图1，形中，若，，则________°； (2)如图2，形中，若，，则________°； (3)如图3，连接形中两点，若，，试猜想与的数量关系，并说明理由； (4)在（3）的条件下，当点在射线上从上向下移动的过程中，请直接写出与所有可能的数量关系． 16．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）数学中，我们把有一个内角大于的四边形称为镖形． （1）如图，在镖形中，试探索内角、、与钝角之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图，__________；（用含的代数式表示） （3）如图，已知直角的直角顶点落在直线上，过点、分别作的垂线段，垂足为、，若、的平分线交于点，则_________； （4）如图，在（）的条件下，、分别为，的角平分线，它们的交点为；、分别为、的角平分线，它们的交点为；以此类推，则______． 17．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（面积问题）如图， (1)问题发现：如图1，已知中，点D为的中点，连接，则______（填“>”“<”或“=”）． (2)问题探究：如图2，已知四边形，E，F分别为的中点，连接，四边形与四边形的面积之比是多少？ (3)实践应用：如图3，已知有一块六边形花圃，其中G，H，M，N分别为上的点，且．连接，将花圃分成五块，图中标出的三块区域种植花草，其余两块为观赏区，三块种植区的面积由上至下分别为，，，观赏区的总面积为多少？ 18．（24-25七年级下·上海崇明·期末）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 19．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． (1)如图1，在中，O是与的平分线和的交点，试分析与的关系； (2)如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． (3)如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？ 20．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点． （1）若，，则_____度，_____度； （2）与的数量关系为_____，并说明理由； 【应用】如图②，在中，的平分线与的平分线相交于P，的外角平分线与的外角平分线相交于点 直接写出与的数量关系为__________． 21．（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 22．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）已知，，点为射线上一点． (1)如图，若，，则_____； (2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的关系，请说明你的结论： (3)如图，平分，交于点，交于点，且，，，求的度数． 23．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图1，平分，平分，且，． (1)求证：． (2)如图2，延长，交于点F，求的度数． 24．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，，分别平分与，且交于点()，判断，与之间的数量关系，并证明你的结论． 25．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）（1）如图，过的顶点作直线，求证：； （2）已知内部两条射线、交于点， 如图，若，则 度直接写出答案即可 如图，若，、分别平分、，求的度数； （3）如图，在四边形中，、的角平分线交于点，，和之间有什么数量关系？说明理由． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $