专题03 圆中的重要模型之圆中的翻折模型（几何模型讲义）数学浙教版九年级上册

专题03 圆中的重要模型之圆中的翻折模型 圆中的翻折模型是将圆的一部分沿某条直线翻折，从而形成的具有特定几何性质的模型。需要用到的知识点有翻折变换的性质、圆的性质、等圆相交和弦翻折的特征等；翻折后会形成新的圆形或圆环，对应边相等，对应角相等对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型主要用于创建各种不同的图形和图案，是一种做题方法比较有趣的几何模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 2 19 阿拉伯学者系统证明圆弧翻折后，‌折痕必垂直平分对应弦‌（即垂径定理），确立了“翻折→对称→垂直关系”的逻辑链。‌中国宋代数学学者基于弦长与圆心角关系，明确“等弧翻折得等弦”的性质，强化对称构图思想。法国数学家布里昂雄发现翻折的‌对偶性质‌：圆内折痕两侧的弧、角、弦存在对称等价关系，奠定现代模型核心原理。近代形成 ‌“弧翻折必出等腰”的定性定理‌：圆内以弦为对称轴翻折圆弧，所得两弦相等（即生成等腰三角形），成为模型的核心判定条件。 圆中的翻折模型作为几何学中处理圆内对称问题的核心工具，其历史演进脉络融合了东西方数学思想。 （2025·江苏无锡·一模）如图，是半径为2的的弦，将弧沿将翻折后，恰好经过圆心，点是翻折的弧上的一动点；连接并延长交于，点为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】连接，作，求出，并根据特殊的直角三角形性质求出边长和角度，确定为等边三角形，再连接，求出；根据三角形两边之差小于第三边的性质可得，从而可求得答案．本题考查圆的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，以及利用三角形三边关系求线段最值，作出相关辅助线是解题关键． 【详解】如图，连接，作，交M，交圆于点N， 由翻折可知：，， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ， 为等边三角形， 连接， 点为的中点， 由三线合一性质可得：，即， 由垂径定理可得：为中点， ，当三点共线时取等号， ． 故答案为：． （2025·陕西西安·二模）如图，为的直径，为圆上一点，为劣弧上一点，将劣弧沿弦所在的直线翻折，翻折后点恰好与圆心重合，则的大小等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折的性质，圆周角定理，等边三角形的判定及性质，连接，，由等边三角形的判定方法得为等边三角形，结合圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，， ， ， 由翻折得：， ， 为等边三角形， ， ∴， ∴， ， 故选：C． 模型1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA 1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD. 由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD， ∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。 模型2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60° 2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA， ∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。 1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称； 4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。 例1（24-25九年级上·浙江杭州·期中）折叠一张圆形纸片，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点D，再将沿翻折交于点E．若，则的度数为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换，圆周角定理等知识，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 作点D关于直线的对称点L，点E关于直线的对称点F，连接、，进而垂直平分垂直平分，结合圆周角定理推出，即可求出的度数． 【详解】解：作点D关于直线的对称点L，点E关于直线的对称点F，连接、， ∵垂直平分垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴的度数为， 故选：B． 例2（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，内接于，将弧沿弦翻折，弧交弦于点D，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/68度 【分析】本题主要考查了折叠的性质，圆的内接四边形，三角形的内角和，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补．根据折叠的性质和圆的内接四边形的性质可得，再根据邻补角的定义和三角形的内角和即可得出结论． 【详解】解：∵弧沿弦翻折，弧交弦于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 例3（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是的直径，点A在上，将沿翻折交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形， 设点的对称点为点，连接，进而得到，直径得到，进而求出的度数，再根据圆内接四边形的内对角互补，求出的度数即可． 【详解】解：设点的对称点为点，连接，则：， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴； 故选C． 例4（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，四边形内接于，，．劣弧沿弦翻折，刚好经过圆心．当对角线最大时，弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，折叠的性质，勾股定理，三角函数等；过作于，连接，由垂径定理得，由翻折得，由三角函数得，当为直径时，对角线最大时，即可求解；掌握圆的基本性质，垂径定理，折叠的性质，能找出取得最大值的条件，并能熟练利用勾股定理，三角函数进行求解是解题的关键． 【详解】解：过作于，连接， ， 劣弧沿弦翻折，刚好经过圆心， ， ， ， ， ， 当为直径时，对角线最大时， ， ， ， ； 故答案为：． 例5（2025·广东广州·二模）如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点，若，的度数为，则 ． 【答案】 【分析】作点O关于的对称点，作点D关于的对称点， 连接，根据对称的性质，等腰三角形的性质，弧长公式解答即可． 本题考查了圆的对称性，等腰三角形的性质，弧长公式，熟练掌握对称性，弧长公式是解题的关键． 【详解】解：作点O关于的对称点，作点D关于的对称点， 连接， 根据题意，得， 故为所在圆的圆心， 又的度数为， 故， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为：， 故答案为：． 例6（2025·河北·模拟预测）如图1，扇形AOB中，，，点在半径上，连接．把沿翻折，点的对称点为点． (1)当点Q刚好落在弧上，求弧的长； (2)如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为点H，，求的长，猜想并直接写出三者之间的数量关系． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）如图所示，连接，根据折叠的性质可得是等边三角形，可得，再根据弧长公式即可求解； （2）如图所示，过点作，垂足为点，则，根据题意可得，由此即可求解: 【详解】（1）解：扇形中，，， 点P在半径上，连接，如图． 把沿翻折，点的对称点为点， ， ， ， 是等边三角形， ， 弧AQ的长； （2）如图，过点作，垂足为点，则． ， ． ， ， ，即． ，理由如下： ， ，，即， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查折叠的性质，圆的基础知识，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键. 例7（2025·河南·模拟预测）如图，是的弦，把沿翻折，点A在翻折后的上，点C在上．若，则的度数是（   ） A．80° B．100° C．120° D．140° 【答案】B 【分析】本题考查圆的相关性质（圆周角定理、翻折的性质），解题的关键是利用圆内接四边形的性质以及翻折前后的角的关系． 利用圆内接四边形对角互补以及翻折后角的等量关系求解． 【详解】如解图， 把折叠部分展开，点A的对应点为，则四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 即， 故选B． 例8（2025·河南郑州·三模）如图，是半圆的直径，点为半圆上一点．将半圆沿翻折，点的对应点落在上，点的对应点为．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，不规则图形的面积，根据翻折和等边三角形的判定可得是等边三角形，然后过D点作于点E，根据勾股定理求出DE长，再根据解答即可． 【详解】解：如图，连接，，，， 由翻折可知，， ∴四边形是菱形，， ∴是等边三角形， 过D点作于点E， 则，， ． 故答案为：． 1．（2025·江苏无锡·一模）如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是翻折变换，圆周角定理，连接，根据直径所对的圆周角是直角求出，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据翻折可得，再根据计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， 根据翻折可得，，， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，弦，将沿翻折，恰好与弦相切于点，若的半径是13，则切线长的值是（　　） A．13.5 B．15 C．16.5 D．18 【答案】D 【分析】过点分别作，的垂线，，由，的半径是13，作根据垂径定理可以求出，再利用勾股定理可求得弦心距，再由轴对称（翻折）得到点关于的对称点是对应的圆心，，连接，由切线性质可得，，由三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，，，进而在中用勾股定理可求出，长，即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，则于， 由垂径定理的， 连接， 在中，， ， 过点作于，同理可得，， 将沿翻折，恰好与弦相切于点， 由翻折对称得，是对应的圆心，连接， ，，， 过点作于， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，，， （勾股定理）， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理，切线的性质，轴对称和勾股定理，以及矩形的判定与性质，是一道几何综合性很强的试题． 3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在半径为的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的恰好与，相切，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、正方形的判定与性质、弧长公式、切线性质；画出折叠后所在的，连接，，根据题意可得，且，得到四边形是正方形，即，最后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图：画出折叠后所在的，连接，， ∵恰好与、相切 ∴ ∵, ∴四边形是正方形 ∴ ∴劣弧的长为． 故选：B． 4．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关定理及性质是解答本题的关键．延长交于点D，过点B作于点H，连结，先根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，得到，即，然后根据直径所对的圆周角是直角，得到，利用勾股定理求出的长，进一步求出和的长，再根据等腰三角形三线合一性质，得到，由此即得答案． 【详解】解：延长交于点D，过点B作于点H，连结， 和是圆周角所对的弧， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：C． 5．（2025·吉林·一模）如图，内接于，将沿弦翻折到内，点D是翻折后所得弧上一点，若，则的大小为（  　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，圆内接四边形的性质．利用圆内接四边形对角互补的性质求得，再由折叠的性质即可求解． 【详解】解：如图，四边形内接于， ∵， ∴， 由折叠的性质知， 故选：A． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，点为圆上一点，，若将劣弧沿弦翻折交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理以及折叠问题的知识，根据同弦所对的两个圆周角互补求解是解题的关键，此题难度不大．连接，根据直径所对的圆周角是直角求出和，根据翻折的性质，可知所对的圆周角为，所对的圆周角为，再根据，可得，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， 根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为， ∴， ∵， ， ． 故选：A． 7．（2024九年级下·浙江·专题练习）方方同学将图①中圆形纸片沿直径向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦向上翻折得到图④．若点恰为弧的中点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质、圆周角的知识，根据折叠和圆的相关知识得出，再利用圆周角知识求值，掌握圆的相关知识是解此题的关键． 【详解】解：如图，设圆的半径为，连接，可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴如图④：， ∴． 故选：A． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图1为一圆形纸片，A，B，C为圆周上三点，其中为直径，沿弦所在的直线翻折，交直径于点D，如图2所示，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，圆周角与弧的关系， 由折叠的性质和圆周角与弧的关系得到：，又是圆的直径，即可求出的度数． 【详解】解：如图2，设上的点D翻折前为点E，连接， 由折叠的性质得到：，， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， 即， ∴， 故选∶B． 9．（2025九年级下·陕西·学业考试）如图，已知内接于，将沿弦翻折后恰好经过弦的中点，则弦的长为 ，的半径为 ． 【答案】 【分析】连接，设点D关于的对称点为点E，连接，，得到，，得到，，得到，根据，得到，推出，得到，推出，根据，，得到；连接，过点A作，得到，得到过圆心O，，设圆的半径为R，得到， ，根据，得到，得到． 【详解】如图，连结，延长交于点，过点作于点． ， 是的中点，， ， ， ， ， ， ， ． ，， 垂直平分， ，， ． 设．在中，， 即， 解得． 【点睛】本题考查了圆弧折叠，圆周角定理，等腰三角形，全等三角形，相似三角形，勾股定理，熟练掌握折叠图形的全等性，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，是解决此类问题的关键． 10．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．如图，若点D与圆心O不重合，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查对折的性质，直径对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质；设上点D的对应点为点E，连接，则得，；由是直径及圆内接四边形的性质可得的度数，从而求得结果． 【详解】解：设上点D的对应点为点E，连接，如图， 由折叠性质得：，； ∴， ∵是直径， ∴； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，为半圆O的直径，，为弦，若将沿弦翻折后恰好经过圆心，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】过点作的垂线交于点，交于点，连接、、．根据垂径定理得点是的中点，根据折叠的性质，得点是，从而得，故；根据垂直平分求得与的数量关系，从而求得的度数，进而求出的度数，故可求得的度数；根据扇形的面积公式计算扇形的面积，再根据菱形的面积公式计算菱形的面积，从而根据求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：过点作的垂线交于点，交于点，连接、、． ∵， ∴点是的中点， 根据折叠的性质，得点是的中点， ∴，即，则四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，则是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、垂径定理、翻折变换，掌握垂径定理、折叠的性质、扇形及菱形的面积计算公式是解题的关键． 12．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，为的直径，且，弦于点，将沿翻折后交于点，若为中点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理以及圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．连接，求出，再根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接， 为的直径，且， ， 为中点， ， 将沿翻折后交于点， 弦于点， ． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，点为的中点，将弦下方的部分沿弦翻折，使点与圆心重合．点为优弧上一点，连接、、．若，，则 ．    【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理、折叠的性质、等边三角形的性质与判定、含角的直角三角形的性质等知识，熟练运用圆周角定理、折叠的性质、等边三角形的性质与判定并作出合理的辅助线构建三角形是解题的关键．连接，交于点N，过点B作，先证明是等边三角形，再求得及的长即可． 【详解】如图，连接，交于点N，过点B作， 将弦下方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合． ， ，， ， ， ， ∵在中，，即 ∴， ， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ， 故答案： 14．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E，作，若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据弧与圆周角的关系可得，再由点E恰好是翻折后的的中点，得到，则，如图所示，连接，在上截取，连接，则，证明都是等腰直角三角形，得到，设，则，则，据此可得． 【详解】解：∵、、所在的圆是等圆，、、所对的圆周角都是， ∴， ∵点E恰好是翻折后的的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 如图所示，连接，在上截取，连接， ∴， ∵的度数为， ∴ ∴， ∵， ∴都是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了弧与圆周角之间的关系，折叠的性质，等边对等角，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，证明是解题的关键． 15．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结．若的半径长为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．如图，延长交于点，连接，利用折叠的性质可判断和所在圆为等圆，则根据圆周角定理得到，所以，根据圆周角定理得到，再利用勾股定理可计算出即可． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， 劣弧沿弦翻折，交翻折后的弧于点，而和都对， ， ， 为直径，的半径长为， ，， 在中，， 故答案为：． 16．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 【答案】或或2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 17．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，半的直径为10，点C、D是半弧上的两点，将弧沿翻折．    (1)如图1，连接交翻折后的弧于点Q，连接、．判断的形状，并说明理由； (2)如图2，若翻折后的弧与相切，且切点E在直径上，当时，求的长； (3)如图3，已知，连接交翻折后的弧于点Q，当点Q为的中点时，求长． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据在同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等，弦相等解答即可； （2）作出点O关于的对称点M，则与是等圆，连接，设与交点为N，由翻折后的弧与相切，且切点E在直径上，则，， 得到四边形是菱形，利用勾股定理，垂径定理解答即可． ； （3）过点作垂足为，过点作垂足为，连接，，根据正方形的性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质，解答即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形． 理由如下：，且弧与弧是等圆中的弧， ， ∴是等腰三角形． （2）解：作出点O关于的对称点M，则与是等圆， 连接，设与交点为N， 由翻折后的弧与相切，且切点E在直径上， 则，， ∴四边形是菱形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．    （3）解：过点作垂足为，过点作垂足为，连接，，    ∵，点Q为的中点， ∴，， ∴， ∵，，， ∴四边形矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴正方形， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 18．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿翻折交于点D，连接． (1)如图1，若点D与圆心O重合，，则的半径______，弧的长=______． (2)如图2，若点D与圆心O不重合，， ______． (3)如图3，若点D与圆心O不重合，，求的长． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题主要考查了圆的综合应用、折叠的性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． （1）如图1：过点O作于E，由垂径定理可得到的长，由折叠的性质可得，根据勾股定理计算即可求得半径r，然后运用三角函数求得，再运用弧长公式求解即可； （2）如图2：连接，根据翻折的性质弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为，在根据角的和差求解即可； （3）如图3：过C作于G，连接、，可求得半径的长度，根据计算得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点O作于E，则， ∵翻折后点D与圆心O重合， ∴， 在中，，即，解得； ∴，即， ∵， ∴， ∴弧的长为． （2）解：如图2，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， 根据翻折的性质，弧所对的圆周角为，弧所对的圆周角为， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3：过C作于G，连接、， ∵， ∴的半径为， 由（2）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 在中，， 在中，． 19．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）点，，在上，将沿折叠后，与交于． (1)若，求的度数． (2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是圆的综合题目，考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，本题综合性强，熟练掌握圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）将还原后点的对应点为，连接、，则，，求出，由三角形的外角性质即可得出答案； （2）由（1）得，证出，由等腰三角形的性质得出，，设，则，在中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可； 【详解】（1）解：将还原后点的对应点为，连接、，如图所示： 则，， ， ； （2）（2）由（1）得， ，， ， 点是翻折所得的中点， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由三角形内角和定理得：， 解得， 即． 20．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图1．扇形中，，，点P在半径上，连接． (1)把沿翻折，点O的对称点为点Q． ①当点Q刚好落在弧上，求弧的长； ②如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为H，探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧与交于点F，若，求的长． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2) 【分析】（1）①连接，证明是等边三角形，即可得，问题随之得解；②过点O作，垂足为点G，则，证明，即可作答； （2）将沿着翻折得，过点Q作，垂足为点H，过点P作，垂足为点D，即有四边形是矩形，则，结合（1）②的结论以及折叠的性质可得，，进而有，则 ．设，则，，由得，，解方程即可求解． 【详解】（1）①如图所示，连接， 由翻折可知，． ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ②．理由如下， 如图所示，过点O作，垂足为点G，则，    在与中， ， ∴， ∴，且， ∴，，即， ∴， ∴． （2）如图所示，将沿着翻折得，过点Q作，垂足为点H，过点P作，垂足为点D，    ∴四边形是矩形，即有， 根据垂径定理有， 根据（2）有：， 根据折叠有：，， ∵， ∴， ∴， ∴中，． 设，则，， 由得，， 解得：． 即． 【点睛】本题主要考查了弧长公式，垂径定理，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，构造合理的辅助线，熟练掌握折叠的性质以及垂径定理，是解答本题的关键． 21．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图1，扇形中，，，点C在半径上，连接．把沿翻折，点O的对称点为点D．    (1)当点D刚好落在弧上，求弧的长； (2)如图2，点D落在扇形内，的延长线与弧交于点E，过点D作，垂足为F，，求的长； (3)若点D落在扇形外，与弧交于点E，过点D作，垂足为F，试探究与之间的数量关系．请直接写出你的结论为：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了折叠的性质，垂径定理，三角形全等的判定和性质．熟练掌握相关知识点，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，通过证明为等边三角形，得出，进而得出，根据弧长公式即可求解； （2）过点O作于点G，通过证明，得出，再根据垂径定理即可求解； （3）根据题意补全图形，过点O作于点H，通过证明，得出，再根据垂径定理即可得出． 【详解】（1）解：连接， ∵沿翻折得到， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴．    （2）解：过点O作于点G， ∵沿翻折得到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴．    （3）解：如图：过点O作于点H， ∵沿翻折得到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：．    16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆中的重要模型之圆中的翻折模型 圆中的翻折模型是将圆的一部分沿某条直线翻折，从而形成的具有特定几何性质的模型。需要用到的知识点有翻折变换的性质、圆的性质、等圆相交和弦翻折的特征等；翻折后会形成新的圆形或圆环，对应边相等，对应角相等对应点之间的连线被折痕垂直平分。这种模型主要用于创建各种不同的图形和图案，是一种做题方法比较有趣的几何模型。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型拓展 4 模型运用 4 模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰） 2 19 阿拉伯学者系统证明圆弧翻折后，‌折痕必垂直平分对应弦‌（即垂径定理），确立了“翻折→对称→垂直关系”的逻辑链。‌中国宋代数学学者基于弦长与圆心角关系，明确“等弧翻折得等弦”的性质，强化对称构图思想。法国数学家布里昂雄发现翻折的‌对偶性质‌：圆内折痕两侧的弧、角、弦存在对称等价关系，奠定现代模型核心原理。近代形成 ‌“弧翻折必出等腰”的定性定理‌：圆内以弦为对称轴翻折圆弧，所得两弦相等（即生成等腰三角形），成为模型的核心判定条件。 圆中的翻折模型作为几何学中处理圆内对称问题的核心工具，其历史演进脉络融合了东西方数学思想。 （2025·江苏无锡·一模）如图，是半径为2的的弦，将弧沿将翻折后，恰好经过圆心，点是翻折的弧上的一动点；连接并延长交于，点为的中点，连接，则的最小值为 ． （2025·陕西西安·二模）如图，为的直径，为圆上一点，为劣弧上一点，将劣弧沿弦所在的直线翻折，翻折后点恰好与圆心重合，则的大小等于（    ） A． B． C． D． 模型1）条件：如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，结论：CD=CA 1）证明：如图，设折叠后的所在的圆心是G，连接AC，CD. 由题意得（折叠）：，即：，∴∠CAB=∠DCB+∠CBD， ∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∴∠CAB=∠CDA，∴CD=CA。 模型2）条件：特别地，弧BC折叠后过圆心，结论：CD=CA，∠CAB=60° 2）证明：如图，连接AC，CD，CO；由1）中证明知：CO=CA， ∵OA=OC，∴CO=CA=OA，∴△OAC为等边三角形，∴∠CAB=60°。 1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分； 2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧、弦相等；同弧或等弧所对的圆周角相等； 3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称； 4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。 例1（24-25九年级上·浙江杭州·期中）折叠一张圆形纸片，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点D，再将沿翻折交于点E．若，则的度数为（　） A． B． C． D． 例2（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，内接于，将弧沿弦翻折，弧交弦于点D，连接，若，则的度数为 ． 例3（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是的直径，点A在上，将沿翻折交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例4（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，四边形内接于，，．劣弧沿弦翻折，刚好经过圆心．当对角线最大时，弦的长为 ． 例5（2025·广东广州·二模）如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点，若，的度数为，则 ． 例6（2025·河北·模拟预测）如图1，扇形AOB中，，，点在半径上，连接．把沿翻折，点的对称点为点． (1)当点Q刚好落在弧上，求弧的长； (2)如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为点H，，求的长，猜想并直接写出三者之间的数量关系． 例7（2025·河南·模拟预测）如图，是的弦，把沿翻折，点A在翻折后的上，点C在上．若，则的度数是（   ） A．80° B．100° C．120° D．140° 例8（2025·河南郑州·三模）如图，是半圆的直径，点为半圆上一点．将半圆沿翻折，点的对应点落在上，点的对应点为．若，则图中阴影部分的面积为 ． 1．（2025·江苏无锡·一模）如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，弦，将沿翻折，恰好与弦相切于点，若的半径是13，则切线长的值是（　　） A．13.5 B．15 C．16.5 D．18 3．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在半径为的中，将劣弧沿弦翻折，使折叠后的恰好与，相切，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·吉林·一模）如图，内接于，将沿弦翻折到内，点D是翻折后所得弧上一点，若，则的大小为（  　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，为的直径，点为圆上一点，，若将劣弧沿弦翻折交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（2024九年级下·浙江·专题练习）方方同学将图①中圆形纸片沿直径向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦向上翻折得到图④．若点恰为弧的中点，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图1为一圆形纸片，A，B，C为圆周上三点，其中为直径，沿弦所在的直线翻折，交直径于点D，如图2所示，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（2025九年级下·陕西·学业考试）如图，已知内接于，将沿弦翻折后恰好经过弦的中点，则弦的长为 ，的半径为 ． 10．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）在中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点D，连接．如图，若点D与圆心O不重合，，则的度数为 ． 11．（24-25九年级上·江苏淮安·期中）如图，为半圆O的直径，，为弦，若将沿弦翻折后恰好经过圆心，则图中阴影部分的面积为 ． 12．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，为的直径，且，弦于点，将沿翻折后交于点，若为中点，则 ． 13．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，点为的中点，将弦下方的部分沿弦翻折，使点与圆心重合．点为优弧上一点，连接、、．若，，则 ．    14．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E，作，若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 ． 15．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连结并延长交翻折后的弧于点，连结．若的半径长为，，则 ． 16．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 17．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，半的直径为10，点C、D是半弧上的两点，将弧沿翻折．    (1)如图1，连接交翻折后的弧于点Q，连接、．判断的形状，并说明理由； (2)如图2，若翻折后的弧与相切，且切点E在直径上，当时，求的长； (3)如图3，已知，连接交翻折后的弧于点Q，当点Q为的中点时，求长． 18．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）中，为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿翻折交于点D，连接． (1)如图1，若点D与圆心O重合，，则的半径______，弧的长=______． (2)如图2，若点D与圆心O不重合，， ______． (3)如图3，若点D与圆心O不重合，，求的长． 19．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）点，，在上，将沿折叠后，与交于． (1)若，求的度数． (2)如图，点恰是翻折所得的中点，若，求的度数． 20．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图1．扇形中，，，点P在半径上，连接． (1)把沿翻折，点O的对称点为点Q． ①当点Q刚好落在弧上，求弧的长； ②如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为H，探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧与交于点F，若，求的长． 21．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图1，扇形中，，，点C在半径上，连接．把沿翻折，点O的对称点为点D．    (1)当点D刚好落在弧上，求弧的长； (2)如图2，点D落在扇形内，的延长线与弧交于点E，过点D作，垂足为F，，求的长； (3)若点D落在扇形外，与弧交于点E，过点D作，垂足为F，试探究与之间的数量关系．请直接写出你的结论为：______． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $