专题04 全等三角形模型之半角模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题04 全等三角形模型之半角模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.半角模型 6 17 首先阿基米德则通过物体旋转时的力学规律研究，为旋转几何提供物理背景；随着引入坐标系描述旋转后点的位置变化，并深入研究旋转对称性，推动旋转问题的量化分析；直到近代大三‌核心旋转模型逐渐的形成。这一方法从早期经验认知，历经阿拉伯数学家的理论发展，至近现代形成系统模型，最终成为几何证明的标准化工具。 ‌半角模型‌：90°含45°、120°含60°等特殊旋转，通过截长补短构造全等三角形，解决角度和线段问题。 （2024·黑龙江·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下：由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有．（2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 【答案】图②的结论是：；图③的结论是：；证明见解析 【详解】解：图②的结论是： 证明：∵∴是等边三角形，∴， 以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，  ，，， 又即 又，，；∵∴，∴，∴， 在中,可得：即 整理得 图③的结论是： 证明：以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H   ，， ， 又即 又，， 在中，， ，；， 在中,可得：即 整理得 1）半角模型 条件：如图1，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型） 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 图1 图2 条件：如图2，ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型） 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2； 条件：如图3，ABC是等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；（等边型120-60） 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BED=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 图3 图4 图5 条件：如图4，ABC是等边三角形，∠EAD=30°；（等边型60-30） 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，FH=CF=BD， ∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2； 条件：如图5，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；（任意型） 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 模型1.半角模型 例1（24-25八年级上·山东·期中）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点，，当绕点旋转到时（如图），易证． (1)当绕点旋转到时（如图），上面的结论还成立吗？说明理由． (2)当绕点旋转到如图的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？说明理由． (3)图中，若，，求的面积为 ． 【答案】(1)成立，理由见解析；(2)，理由见解析；(3)． 【详解】（1）解：上面的结论还成立，理由如下： 如图，在的延长线上，截取，连接， 在和中， ，∴，∴，， ∵，，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴； （2）解：，理由如下：如图，在上截取，连接 在和中，，∴， ∴，，∴ ，即， ∵，∴ 在和中，，∴， ∴，∴，∴； （3）解：∵ ，∴， ∴的面积，∴的面积为，故答案为：． 例2（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方形中，点E，F分别是上的动点（不与点B，C，D重合），且，与对角线分别相交于点G，H，连接，则下列结论： ①；②；③若正方形的面积为16，则的周长为8； ④若，则．其中正确的序号为 ． 【答案】③④ 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形，∴， ∴，∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴，故②错误，不符合题意； ∵正方形的面积为16，∴边长， ∴，故③正确，符合题意； 将绕点逆时针旋转至，连接，则， ∴，，，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴∴，∴， ∵，∴，过点作于点， ∴，∴， ∴，故④正确，符合题意， 对于①，条件不足以证明，故不符合题意，∴正确的有③④，故答案为：③④． 例3（24-25八年级下·安徽宣城·期中）如图1，在等腰三角形中，，，、在斜边上，且． (1)将绕点按顺时针方向旋转得，连接（如图2）． ①试说明的理由；②求证：；(2)如图3，若原题中点仍在线段上，而点在的延长线上时，试判断、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)①理由见解析，②见解析(2)，理由见解析 【详解】（1）证明：①如图2，将绕点按顺时针方向旋转得，连接，则， 在中，，， ，； ②由旋转可得，， 在和中，，，， ，中，，； （2） 理由：如图，将绕点按顺时针方向旋转得，连接， 则，，， ，， 在和中，，，∴ ，， 中，，． 例4（24-25八年级上·江西·期末）在等边的两边，所在直线上分别有两点M，N，D为为外一点，且，，．探究：当M，N分别在直线，上移动时，，，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系． 【操作发现】（1）如图1，当点M，N分别在边，上，且时，试猜想，，之间的数量关系，并求出此时的值．小明和小丽经过仔细思考，分别得到如下两种解题思路： 思路一：如图1-1，由，，易证是等边三角形；由等边，，，易证和均为直角三角形，且，进而可得，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值； 思路二：如图1-2，延长至点E，使，易证，从而可证，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值； 故，，之间的数量关系是________；此时________（直接写出结果）； 【类比探究】（2）如图2，点M，N边分别在，上，且当时， 猜想，，之间的数量关系并加以证明；②此时_________（直接写出结果）； （3）如图3，当M，N分别在边，的延长线上时，猜想，，之间的数量关系并加以证明；②若此时，则_____（用x，L表示，直接写出结果）． 【答案】（1），；（2），证明见解析；；（3），证明见解析； 【详解】解：（1），；理由如下： ，，是等边三角形，， ，，， 是等边三角形，，， 在和中，， ，，， ，； ，，，，是等边三角形， ，的周长， 等边的周长，； （2），理由如下：如图2，延长到E，使，连接， 是等边三角形，，，，， ，即，， 在和中，，，， ，，， ，即， 在和中，，， ，，；根据（1）可得 （3），理由如下：如图3，在上截取，连接， 由（2）知：，， 在和中，，，， ，， 在和中，，， ，，； ②．如图3，等边的周长为L， ，的周长 ．故答案为． 例5（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在等边三角形中，在边上取两点，使．若，则以为边长的三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 【答案】C 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，则，，，，∵是等边三角形，∴， ∵ ，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵ ，∴， 又∵，∴是以为边长的钝角三角形，故选：． 例6（24-25·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2．∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，求DE的长． 【答案】DE＝3﹣3． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转120°得到，取的中点G，连接，如图所示： 过点作于点，如图，∵，，∴， 在中， ，∴， ∴，∴，∴，∴． ∵，∴，∴为等边三角形， ∴，∴，∴为直角三角形， ∵，∴，∴． 在和中，，∴，∴． 设，则，在中，， ＝x，∴，∴，∴，答：的长为． 例7（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）观察猜想： (1)如图1，在直角中，，，点D为边上一动点（与点B不重合），连接，将绕点A逆时针旋转到，那么、之间的位置关系为______，数量关系为______； 数学思考：(2)如图2，在中，，，D、E为上两点，且，求证：． 拓展延伸：(3)如图3，在中，，，，若以、、为边的三角形是以为斜边的直角三角形，当时，求的长． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：与位置关系是，数量关系是． 理由：在中，，，， ∵绕点逆时针旋转得到，∴，， ∴，即， 又，∴，∴，， ∴，即 ，故答案为：． （2）证明：如图，把绕点顺时针旋转得到，连接，       则．∴，，．∴， ∵，，∴， 在和中，，∴．∴， 又∵，∴，． （3）解：如图，将绕点顺时针旋转得到， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴， 又∵，∴，∴， ∵以、、为边的三角形是直角三角形，∴以、、为边的三角形是直角三角形， ∴是直角三角形，若，且，， ，，，综上，的长为． 例8（24-25广东八年级上期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且.（1）求证：；（2）连结AC，若，求的度数. 【答案】（1）见解析；（2）20° 【详解】（1）旋转△BCF使BC与CD重合， ∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形， ∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，∴∠ADC+∠ABC=180°， 由旋转可知：∠ABC=∠CDF′，∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角，∴A，D，F′共线， ∵∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=∠BCD， ∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF-ED； （2）∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°， 又∵AD//BC，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°． 例9（24-25七年级下·辽宁阜新·期末）问题背景： 如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） 探索延伸：(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系． 【答案】(1)EF=BE+FD(2)（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．证明见解析； (3)结论EF=BE+FD不成立，结论是：EF=BE-FD．证明见解析． 【详解】（1）解：EF=BE+FD．延长FD到点G．使DG=BE．连接AG， ∵∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS）． ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60°．∴∠GAF=∠EAF=60°． 又∵AF=AF，∴△AGF≌△AEF（SAS）．∴FG=EF． ∵FG=DF+DG．∴EF=BE+FD．故答案为：EF=BE+FD； （2）解：（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立． 证明：如图②中，延长CB至M，使BM=DF，连接AM． ∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，∴∠1=∠D， 在△ABM与△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS）．∴AF=AM，∠2=∠3． ∵∠EAF=∠BAD，∴∠2+∠4=∠BAD=∠EAF．∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF． 在△AME与△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS）． ∴EF=ME，即EF=BE+BM，∴EF=BE+DF； （3）解：结论EF=BE+FD不成立，结论：EF=BE-FD． 证明：如图③中，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF． 在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）． ∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF． ∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG=EF，∵EG=BE-BG，∴EF=BE-FD． 1．（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）如图，正方形中，点、分别在边、上，连接、、，且，下列结论：①；②；③正方形的周长的周长；④，其中正确的是（    ）    A．①② B．①②③ C．②③ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：①当E、F不是和的中点时，，则不成立，故①错误； ②延长至G，使得，连接，如图1，    ∵四边形为正方形∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴，故②正确； ③∵，∴， ∴的周长， ∵正方形的周长，∴正方形的周长的周长，故③正确； ④∵，∴，∴， ∵，∴，即， ∴，故④错误；故选：C． 2．（24-25·浙江·八年级期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，，， ，， 在和中，，， ， ，即是直角三角形，， ， 即与的面积之和为21，故选：B． 3．（24-25八年级下·辽宁·期末）如图，正方形的边长为5，点M在延长线上，，作交延长线于点N，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，在上截取，连接． ，， ，．，即． 又，．，．，设， ，，，，， ，，解得，，，故答案为：． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在与中，，，、分别是、上的点，，下列结论：①；②若，则；③平分；④平分．其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①③④ 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， 则，，，， ，，， ，， ，， 点、、共线，， 在和中，，，， ，，故①正确；，， 与不一定相等，与不一定相等， 与不一定相等，与不一定相等，故②错误； ，，平分，故③正确； 过点作于点，延长线于点，则， ，，， 在和中，，，， 点在的平分线上，平分，故④正确，故答案为：①③④． 5．（24-25·江苏·八年级专题练习）如图，直线l上依次有，，，四点，且，以为边作等边，连接，；若，，则的长是 ． 【答案】/ 【详解】解：设则为等边三角形， ，，，把绕点顺时针旋转得到， ，，， ，， 在和中，，，， ，，，过点作于，如图， ，点与点重合，即， 在中，，即，．故答案为． 6．（24-25九年级上·广西玉林·期中）（1）【探究】如图①，正方形中，、分别在边上，且．我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．求证：． （2）【拓展】如图②，在四边形中，cm，，， 以为顶点的，、与、边分别交于、两点且，求五边形的周长． 【答案】（1）证明详见解析；（2）五边形的周长为． 【详解】（1）证明：∵将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． ∴，，，， ∵四边形是正方形，∴，， ∴，∴点、、三点共线，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴，； （2）解：将绕点顺时针旋转，使点与点重合，得到，    ，，，，， ，，， ，，，， ∴五边形的周长， ∴五边形的周长． 7．（24-25·江苏·八年级专题练习）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：___________； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请画出图形（除图②外），并直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）图形见解析， 【分析】（1）延长到，使，连接．证明，则，，，证明，得出，由此可得，；（2）思路和作辅助线的方法同（1）； （3）根据（1）的证法，可得出，，那么． 【详解】解：（1）延长至，使，连接， ∵，，，∴， ∴，，∴，∴， 在和中，∵，∴，∴， ∵，且∴，故答案为：． （）解：（）中的结论仍成立， 证明：如图所示，延长至，使， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴，即， 在和中，，∴， ∴，即． （），证明：如图所示，在上截取使，连接， ∵，，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴， 在和中，  ，∴，∴， ∵，且，∴． 8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）（1）【探索发现】如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别是边BC，CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为8，则正方形ABCD的边长为　 　． （2）【类比延伸】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M，N分别在边BC，CD上的点，∠MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠ADC＝120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，AN，△ABM是等边三角形，AM⊥AD于点A，∠DAN＝15°，请直接写出△CMN的周长． 【答案】（1）4；（2）MN＝NM+DN，理由见解析；（3）6+4 【详解】解：（1）如图1中，∵△MAN≌△MAG，∴MN＝GM，∵DN＝BG，GM＝BG+BM，∴MN＝BM+DN， ∵△CMN的周长为：MN+CM+CN＝8，∴BM+CM+CN+DN＝8，∴BC+CD＝8，∴BC＝CD＝4，故答案为4； （2）结论：MN＝NM+DN．理由：如图2中，延长CB至E，使BE＝DN，连接AE， ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠D＝∠ABE， 在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AN＝AE，∠DAN＝∠BAE， ∵∠BAD＝2∠MAN，∴∠DAN+∠BAM＝∠MAN，∴∠MAN＝∠EAM， 在△MAN和△MAE中，，∴△MAN≌△MAE（SAS），∴MN＝EM＝BE+BM＝BM+DN； （3）如图3，延长BA，CD交于G，∵∠BAM＝60°，∠MAD＝90°，∴∠BAD＝150°，∴∠GAD＝30°， ∵AD＝2，∴DG＝1，AG＝，∵∠DAN＝15°，∴∠GAN＝45°，∴AG＝GN＝， ∴BG＝2+，∴BC＝2BG＝4+2，CG＝BG＝2+3， ∴CD＝CG﹣DG＝2+2，由（2）得，MN＝BM+DN， ∴△CMN的周长＝CM+CN+MN＝CN+DN+CM+BM＝BC+CD＝4+2+2+2＝6+4． 9．（24-25八年级上·江苏·专题练习）【问题背景】如图1：在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________． 【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长 ． 【答案】【问题背景】；【探索延伸】成立；见解析；【学以致用】10 【详解】（1）解：如图1，延长到点G，使，连接， 在和中，∵， ，，， ∵，， ， 在和中，∵，，， ，；故答案为：． （2）解：结论仍然成立；理由：如图2，延长到点G．使．连接， ，， 在和中，∵，，，， ，，， 在和中，∵，，， ，； （3）解：如图3，延长到点G，截取，连接， 在与中，， ，，． ，，， ． 在与中，，，， 的周长． 10．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且，连接．(1)求证：；(2)在图1中，若G在上，且，连接，求证：；(3)根据你所学的知识，运用（1）（2）解答中积累的经验，完成下题： 如图2，在四边形中，是的中点，且，直接写出的长； 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：在正方形中， ，，，．； （2）证明：，． ．即．，． ，，，．． ∵，； （3）解：如图，过C作，交延长线于G， 在直角梯形中，，，∴， ，∴，∴四边形是矩形， ∵，四边形为正方形．． ，由（2）结论可知，，∵为中点， ，设，则，． 在中，，，解得：．． 11．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图1，，分别是正方形的边，上的动点，且满足，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 小聪同学的想法：将顺时针旋转，得到，然后通过证明三角形全等可得出结论． 请你参考小聪同学的思路完成下面的问题．    (1)线段，，之间的数量关系是______．(2)如图2，在正方形中，，连接，分别交，于点，，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：结论： 理由：∵四边形是正方形，∴， 由旋转的性质可知：， ∵，∴，∴， ∵，∴三点共线， 又∵，∴，∴，∵，∴． （2）结论：,证明如下：      如图所示，将绕点A顺时针旋转得到．∵，∴， 由旋转的性质可知：，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴． 12．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）【问题提出】(1)如图1，将正方形纸片折叠，使边、都落在对角线上，展开得到折痕、，连接，则的度数为_______； 【问题解决】(2)如图2，在正方形中，点E、F分别在边、上，保持的度数不变，将绕着点A顺时针旋转90°，得到，请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)保持的度数不变，将图3中的正方形纸片沿对角线剪开得到图4，求证：． 　　　　 【能力提升】(4)如图5，保持的度数不变，将正方形改为长与宽不相等的矩形，且，请直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3)见解析(4) 【详解】（1）解：四边形是正方形，， 由折叠得，， ，故答案为：． （2）BE+DF=EF，理由：如图2， ∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABE=∠BAD=90°， 由旋转得BG=DF，AG=AF，∠ABG=∠D=90°，∠BAG=∠DAF， ∴∠ABE+∠ABG=180°，∴点G、B、E在同一条直线上， ∵∠EAF=45°，∴∠EAG=∠BAE+∠BAG=∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF=45°，∴∠EAG=∠EAF， ∵AE=AE，AG=AF，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴EG=EF， ∵BE+DF=BE+BG=EG，∴BE+DF=EF． （3）证明：如图4，将△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，连接MH， ∵AB=AD，∠BAD=90°，∴∠ABD=∠D=45°， 由旋转得∠ABH=∠D=45°，BH=DN，AH=AN，∠BAH=∠DAN， ∴∠MBH=∠ABD+∠ABH=90°，∴BM2+BH2=MH2， ∵∠MAN=45°，∴∠MAH=∠BAM+∠BAH=∠BAM+∠DAN=90°-∠MAN=45°，∴∠MAH=∠MAN， ∵AM=AM，AH=AN，∴△MAH≌△MAN（SAS），∴MH=MN，∴BM2+DN2=MN2． （4），理由：如图5，将线段向两方延长，交的延长线于点，交的延长线于点，四边形是矩形，， ，，， ，，，，， ，， ，，， 将绕点顺时针旋转，得到，连接、， 则，，，，，， 点在的延长线上，，， ，，， ，， ，， ，AH=AF，，， ，． 13．（24-25九年级上·天津河西·期中）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，A为公共顶点，，若固定不动，绕点A旋转，与边的交点分别为D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）． (1)直接写出的度数；(2)在旋转过程中，试证明始终成立． （提示：由于符合勾股定理的形式，若通过将或进行旋转或轴对称变化，变换边、角的位置，最终使转化为一个直角三角形的三边就可以使得问题解决了．） 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：∵和是等腰直角三角形，∴,， ∵∴； （2）证明：如图，将绕点A顺时针旋转至的位置， 则，旋转角． 连接，在和中，∵． ∴，∴， 又，∴，即． 14．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在正方形中，E是边上一点（与C、D不重合），连接，将沿所在的直线折，得到（点F在正方形的内部）．延长交于点G，连接． (1)求证：；(2)若，，求的长；(3)若，当点E在边上移动时，的周长是否发生变化？若不变，求出其值：若变化，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)的周长不变为，理由见解析 【详解】（1）解：∵正方形，∴，， 由折叠性质可知：，，， ，， 在和中，，. （2）解：，，设， ∵，∴， ，．，， 在中，，；∴. （3）解：的周长不变为，理由如下：，， ，，的周长为； 15．（24-25九年级上·江西上饶·期中）探究：（1）如图1，在正方形中，E，F分别是，上的点，且，试判断，与三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：________________． （2）如图2，若把（1）向中的条件变为“在四边形中，，，E，F分别是边，上的点，且”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）在（2）问中，若将绕点A逆时针旋转，当点E，F分别运动到，的延长线上时，如图3所示，其余条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？请直接给出结论：________________． 【答案】（1），详见解析（2），详见解析（3），详见解析 【详解】（1）解：结论：，理由：如图，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，四边形为正方形， ，，，B，C三点共线， ，， 在和中，，， ，，故答案为：； （2）解：结论仍然成立．理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，则， ，，，， ，，， ，，、、三点共线， 在与中，，，， ，； （3）发生变化、、、之间的关系是，理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转，使与重合，点落在上点处，得到 ，，，， ，且， ， 即，在与中，，，， ，，，故答案为：． 16．（2025·广东韶关·一模）【知识技能】（1）如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系．梳理解答思路并完成填空． A．旋转法：把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，则，，可得，即，，三点共线． 易证______，故，，之间的数量关系为______． B．截长补短法：延长至点，使得，由，，即，可以得到． 【数学理解】（2）如图2，在中，，，点，均在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探索】（3）如图3，正方形的边长为，，连接，分别交，于点，．若恰好为线段上靠近点的三等分点，求线段的长． 【答案】（1）；  （2）；理由见解析 （3） 【详解】解：（1），， ，， ，，， 故答案为：；； （2）．理由：如图1，把绕点顺时针旋转得到，连接， ，，，，． ，，，， ，，，， 在和中，，，． 在中，，； （3）正方形的边长为，，． 如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接． 由（2），可得．设，，，， 根据勾股定理可得，解得，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形模型之半角模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.半角模型 6 17 首先阿基米德则通过物体旋转时的力学规律研究，为旋转几何提供物理背景；随着引入坐标系描述旋转后点的位置变化，并深入研究旋转对称性，推动旋转问题的量化分析；直到近代大三‌核心旋转模型逐渐的形成。这一方法从早期经验认知，历经阿拉伯数学家的理论发展，至近现代形成系统模型，最终成为几何证明的标准化工具。 ‌半角模型‌：90°含45°、120°含60°等特殊旋转，通过截长补短构造全等三角形，解决角度和线段问题。 （2024·黑龙江·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下：由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有．（2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 1）半角模型 条件：如图1，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型） 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 图1 图2 条件：如图2，ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型） 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2； 条件：如图3，ABC是等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；（等边型120-60） 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BED=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 图3 图4 图5 条件：如图4，ABC是等边三角形，∠EAD=30°；（等边型60-30） 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，FH=CF=BD， ∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2； 条件：如图5，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；（任意型） 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 模型1.半角模型 例1（24-25八年级上·山东·期中）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点，，当绕点旋转到时（如图），易证． (1)当绕点旋转到时（如图），上面的结论还成立吗？说明理由． (2)当绕点旋转到如图的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？说明理由． (3)图中，若，，求的面积为 ． 例2（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方形中，点E，F分别是上的动点（不与点B，C，D重合），且，与对角线分别相交于点G，H，连接，则下列结论： ①；②；③若正方形的面积为16，则的周长为8； ④若，则．其中正确的序号为 ． 例3（24-25八年级下·安徽宣城·期中）如图1，在等腰三角形中，，，、在斜边上，且．(1)将绕点按顺时针方向旋转得，连接（如图2）． ①试说明的理由；②求证：；(2)如图3，若原题中点仍在线段上，而点在的延长线上时，试判断、、之间的数量关系并说明理由． 例4（24-25八年级上·江西·期末）在等边的两边，所在直线上分别有两点M，N，D为为外一点，且，，．探究：当M，N分别在直线，上移动时，，，之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系． 【操作发现】（1）如图1，当点M，N分别在边，上，且时，试猜想，，之间的数量关系，并求出此时的值．小明和小丽经过仔细思考，分别得到如下两种解题思路： 思路一：如图1-1，由，，易证是等边三角形；由等边，，，易证和均为直角三角形，且，进而可得，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值； 思路二：如图1-2，延长至点E，使，易证，从而可证，从而得出，，之间的数量关系，并求出的值； 故，，之间的数量关系是________；此时________（直接写出结果）； 【类比探究】（2）如图2，点M，N边分别在，上，且当时， 猜想，，之间的数量关系并加以证明；②此时_________（直接写出结果）； （3）如图3，当M，N分别在边，的延长线上时，猜想，，之间的数量关系并加以证明；②若此时，则_____（用x，L表示，直接写出结果）． 例5（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在等边三角形中，在边上取两点，使．若，则以为边长的三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 例6（24-25·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2．∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，求DE的长． 例7（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）观察猜想： (1)如图1，在直角中，，，点D为边上一动点（与点B不重合），连接，将绕点A逆时针旋转到，那么、之间的位置关系为______，数量关系为______； 数学思考：(2)如图2，在中，，，D、E为上两点，且，求证：． 拓展延伸：(3)如图3，在中，，，，若以、、为边的三角形是以为斜边的直角三角形，当时，求的长． 例8（24-25广东八年级上期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且.（1）求证：；（2）连结AC，若，求的度数. 例9（24-25七年级下·辽宁阜新·期末）问题背景： 如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） 探索延伸：(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系． 1．（24-25八年级下·山东东营·阶段练习）如图，正方形中，点、分别在边、上，连接、、，且，下列结论：①；②；③正方形的周长的周长；④，其中正确的是（    ）    A．①② B．①②③ C．②③ D．②③④ 2．（24-25·浙江·八年级期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 3．（24-25八年级下·辽宁·期末）如图，正方形的边长为5，点M在延长线上，，作交延长线于点N，则的长为 ． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在与中，，，、分别是、上的点，，下列结论：①；②若，则；③平分；④平分．其中正确的是 （填写序号）． 5．（24-25·江苏·八年级专题练习）如图，直线l上依次有，，，四点，且，以为边作等边，连接，；若，，则的长是 ． 6．（24-25九年级上·广西玉林·期中）（1）【探究】如图①，正方形中，、分别在边上，且．我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．求证：． （2）【拓展】如图②，在四边形中，cm，，， 以为顶点的，、与、边分别交于、两点且，求五边形的周长． 7．（24-25·江苏·八年级专题练习）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：___________； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请画出图形（除图②外），并直接写出线段，，之间的数量关系． 8．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）（1）【探索发现】如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别是边BC，CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到△BAG位置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为8，则正方形ABCD的边长为　 　． （2）【类比延伸】如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M，N分别在边BC，CD上的点，∠MAN＝60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠ADC＝120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，AN，△ABM是等边三角形，AM⊥AD于点A，∠DAN＝15°，请直接写出△CMN的周长． 9．（24-25八年级上·江苏·专题练习）【问题背景】如图1：在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ___________． 【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长 ． 10．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且，连接．(1)求证：；(2)在图1中，若G在上，且，连接，求证：；(3)根据你所学的知识，运用（1）（2）解答中积累的经验，完成下题： 如图2，在四边形中，是的中点，且，直接写出的长； 11．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图1，，分别是正方形的边，上的动点，且满足，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 小聪同学的想法：将顺时针旋转，得到，然后通过证明三角形全等可得出结论． 请你参考小聪同学的思路完成下面的问题． (1)线段，，之间的数量关系是______．(2)如图2，在正方形中，，连接，分别交，于点，，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．    12．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）【问题提出】(1)如图1，将正方形纸片折叠，使边、都落在对角线上，展开得到折痕、，连接，则的度数为_______； 【问题解决】(2)如图2，在正方形中，点E、F分别在边、上，保持的度数不变，将绕着点A顺时针旋转90°，得到，请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)保持的度数不变，将图3中的正方形纸片沿对角线剪开得到图4，求证：． 　　　　 【能力提升】(4)如图5，保持的度数不变，将正方形改为长与宽不相等的矩形，且，请直接写出线段、、之间的数量关系． 13．（24-25九年级上·天津河西·期中）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，A为公共顶点，，若固定不动，绕点A旋转，与边的交点分别为D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）． (1)直接写出的度数；(2)在旋转过程中，试证明始终成立． （提示：由于符合勾股定理的形式，若通过将或进行旋转或轴对称变化，变换边、角的位置，最终使转化为一个直角三角形的三边就可以使得问题解决了．） 14．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在正方形中，E是边上一点（与C、D不重合），连接，将沿所在的直线折，得到（点F在正方形的内部）．延长交于点G，连接． (1)求证：；(2)若，，求的长；(3)若，当点E在边上移动时，的周长是否发生变化？若不变，求出其值：若变化，请说明理由． 15．（24-25九年级上·江西上饶·期中）探究：（1）如图1，在正方形中，E，F分别是，上的点，且，试判断，与三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：________________． （2）如图2，若把（1）向中的条件变为“在四边形中，，，E，F分别是边，上的点，且”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）在（2）问中，若将绕点A逆时针旋转，当点E，F分别运动到，的延长线上时，如图3所示，其余条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？请直接给出结论：________________． 16．（2025·广东韶关·一模）【知识技能】（1）如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系．梳理解答思路并完成填空． A．旋转法：把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，则，，可得，即，，三点共线． 易证______，故，，之间的数量关系为______． B．截长补短法：延长至点，使得，由，，即，可以得到． 【数学理解】（2）如图2，在中，，，点，均在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探索】（3）如图3，正方形的边长为，，连接，分别交，于点，．若恰好为线段上靠近点的三等分点，求线段的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $