专题03 全等三角形模型之手拉手模型（几何模型讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题03 全等三角形模型之手拉手模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.全等模型--手拉手模型 5 15 “手拉手”全等模型是中国数学教育界基于中考命题实践凝练的原创教学模型，其发展历程体现了‌问题驱动‌（压轴题）→ ‌方法整合‌（旋转构造）→ ‌概念普及‌（拟人化命名）的典型路径，是中国特色几何模型教学的典范，模型定义为：‌两个顶角相等的等腰三角形共顶点，左底角互连、右底角互连的结构。‌后来该模型被纳入常规几何教学，衍生出等边三角形、正方形等特殊形态的应用变式，并总结出核心结论。 解题是通过三角形SAS型全等（核心在于倒角，即等角加（减）公共角）进行解决。 （2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：． 【答案】(1)见解析(2)①；②见解析 【详解】（1）证明：在和中，，，， ，，．是斜边的中点， ，，，．， ，．； （2）解：①；理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．，，， ，，，，， ，，． ，．在和中，，，， ，．是中点，是中点，是中位线， ．，，． ，．故答案为：； ②证明： ∵，，，． 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 模型1.全等模型--手拉手模型 例1（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，有如下四个结论：①，②，③，④平分，⑤平分，其中结论正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：由题意得：， ，∴，∴，∴，故①正确； ∴，∵，∴， ∴，∴是等边三角形，∴，， ∵，，∴，即，∴，故③正确； ∵，∴，设边上的高为，边上的高为， 则，∴，∴平分，故④正确； ∴，又即，∴，∴， 又，∴，故②错误； 若平分，则，又，∴，又，∴， 而题干没有这一条件，则平分不成立，故⑤错误；故选∶B 例2（24-25八年级·广东·培优）如图，在中，，，，且，连接、、，则下列结论：①，②为等腰三角形，③，④，其中正确的是（    ）． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：①∵，，∴， ∵，∴，∴，故①正确； ②∵，，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴为等腰三角形，故②正确； ③延长交于点G，交于点F，如图所示： ∵,∴，∵， 又∵， ∴，∴，故③正确． ④过点D作于点M，作于点N，如图所示： 则，∴四边形为矩形，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴垂直平分，∴，故④正确． 综上分析可知，正确的结论为①②③④．故选：D． 例3（24-25八年级上·重庆南岸·开学考试）如图，在等腰中，，点F在边上，延长交于点E，，．(1)试说明：；(2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）∵，∴，即， 在和中，，∴； （2）∵，，∴， ∵，∴ ∵，∴，∴． 例4（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，与中，，，，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，求证：． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：，即，， 又， ， ，， ，， 又，； （2）证明：延长交于F，在上取，连接， ，，， 则，， 平分，，，，， ，则，， ，即，，则．即：． 例5（24-25七年级下·广东揭阳·期末）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：    (1)如图1、两个等腰三角形和中，，，，连接、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是________，此时和的数量关系是________； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，两线交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)如图3，已知，以为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，两线交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 【答案】(1)，(2)且，理由见解析(3)， 【详解】（1）解：∵，∴．∴， 在和中，，∴，∴， ∴和全等的三角形是，此时和的数量关系是．故答案为：，； （2）且； 理由如下：∵，∴．∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，即， ∴，∴，综上所述：且． （3）和都为等边三角形，，，， ，即， 在和中，，；，， ∴， ∴． 例6（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】（1）如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________； 【探究证明】（2）如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由； 【模型应用】（3）如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，则的面积为____________________． 【拓展提高】（4）如图4，在中，，，点E为外一点，点D为中点，，，请直接写出的度数． 【答案】（1），，（2），，理由见解析（3）（4）． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，∴， 在和中，，∴，∴，， 又，∴；故答案为：，，； （2）解：，；理由如下：∵和均为等腰直角三角形， ∴，∴， 在和中，，∴，∴，， 又，∴，∴，； （3）解：如图所示，作交于E点，连接， ∵，∴为等腰直角三角形，∴，，， 由旋转的性质可知，，，∴，∴， ∴，，∴， ∴的面积为，故答案为：； （4）解：设，作，使， ∵，，∴，∴，∴，， ∵，，∴， ∵，∴，， ∴，∴，∴， 连接并延长至点，使，连接，，， ∵，，∴，∴，， ∴，，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴是线段的垂直平分线，∴，∴， ∵，，∴，∴． 例7（24-25山东临沂·八年级统考期末）【知识背景】我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题． (1)【问题初探】如图（1），中，，，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作，使，，连接BE，猜想BE和CD有怎样的数量关系，并说明理由． (2)【类比再探】如图（2），中，，，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作，使，，连接BE，则______．（直接写出答案，不写过程；需要作辅助线的，请说明辅助线的作法，并在图（2）中作出辅助线） (3)【方法迁移】如图（3），是等边三角形，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作等边三角形ADE连接BE，则BD，BE，BC之间有怎样的数量关系？（直接写出答案，不写过程）． (4)【数学思考】如图（4），是等边三角形，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作等边三角形MDE，连接BE猜想的度数，并说明理由． 【答案】(1)BE＝CD．证明见详解；(2)90°；(3)BC＝BD+BE．证明见详解；(4)∠EBD＝120°． 【详解】（1）证明：问题初探：BE＝CD．如图（1），∵∠DAE＝∠BAC＝90°， ∴∠BAE+∠BAD=∠BAD+∠CAD，∴∠BAE＝∠CAD， 在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD； （2）解：在图（2）中过点M作MF∥AC交BC于点F， ∵，，∴∠ACB=∠ABC=， ∵MF∥AC，∴∠BMF=∠A=90°，∠BFM=∠C=45°，∴MB=MF， ∵∠DME＝∠BMF＝90°，∴∠BME＝∠DMF， 在△BME和△FMD中，，∴△BME≌△FMD（SAS）， ∴∠MBE＝∠MFD=45°；∴∠EBD＝∠MBE+∠ABC＝90°．故答案为：90°； （3）解：BC＝BD+BE．如图（3），∵△ABC和△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=60°，∴∠BAE＝∠CAD， 在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD，∴BC＝BD+CD＝BD+BE； （4）拓展创新：∠EBD＝120°．理由：在图（4）中过点M作MG∥AC交BC于点G， 如图则∠BMG=∠A=60°，∠BGM=∠C=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BM=GM， ∵∠DME＝∠BMG＝60°，∴∠BME+∠BMD=∠BMD+∠GMD=60°，∴∠BME＝∠DMG， 在△BME和△GMD中，，∴△BME≌△GMD（SAS）， ∴∠MBE＝∠MGB＝60°，∴∠EBD＝∠MBE+∠MBG＝120°． 例8（24-25·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．（正多边形的各边相等，各个内角也相等） ①如图1，求证：△ABE≌△ADC；②探究：如图1，∠BOD= ； ③如图2，∠BOD= ；④如图3，∠BOD= ． 【答案】①见解析；②60°；③90°；④108° 【详解】解：①证明：如图， ∵△ABD和△AEC是等边三角，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠ABD=∠ADB=60°， ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE． 在△ABE和△ADC中，，∴△ABE≌△ADC（SAS）； ②，，∵∠AFD=∠OFB，∴∠BOD=∠BAD=60°； ③如图， 四边形和四边形是正方形， ，，，， ，即， 在和中，，，， ∵∠AHB=∠OHD，∴∠BOD=∠BAD=90°； ④如图，五边形和五边形是正五边形， ，，， ，，， 在和中，，，， ∵∠AMB=∠OMD，∴∠BOD=∠BAD=（5-2）×180°÷5=108°． 1．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴，即， 在和中，，∴，∴； 如图所示，设交于O，∵， ，，∴， ∵，，∴，选：C． 2．（2022·天津·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN， ∴AB=AC，AM=AN，∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意； ∵△ABM≌△ACN，∴∠ACN=∠B，而∠CAB不一定等于∠B， ∴∠ACN不一定等于∠CAB，∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意； ∵△ABM≌△ACN，∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，∴∠BAC=∠MAN， ∵AM=AN，AB=AC，∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等， ∴∠B=∠AMN，∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意； ∵AM=AN，而AC不一定平分∠MAN，∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意；故选：C． 3．（24-25八年级上·江苏·专题练习）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，即， 在和中，，， ，，，故①正确，符合题意； 由三角形的外角性质得：，，故②正确，符合题意； 作于，于，如图所示，则， 在和中，，，，平分， ，当时，才平分， 假设，，，平分，， 在和中，，，， ，，与矛盾，③错误； 没有条件可以证明平分，④错误；正确的个数有个；故选：． 4．（24-25·贵州遵义·八年级期末）在中，，且E为边的中点，连接，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为_______． 【答案】6 【详解】解：延长BC到F，使BF=2BC，即， ∵在中，， ∴，，∴是等边三角形，∴，， 又∵在等边三角形中，，， ∴，∴ （SAS），∴， 又∵，E为边的中点，∴， ∴，∴．故答案为6． 5．（24-25九年级上·湖北黄石·期末）如图，是等边三角形外一点，，，则的最大值是 ． 【答案】5 【详解】解：∵将AD顺时针旋转60°，得，连结，则AD=DD′=AD′，∴△ADD′是等边三角形， 又∵等边三角形，∴∠BAC=∠，∴∠BAD′+∠D′AC=∠CAD+∠D′AC=60°， ∴AB=AC，AD′=AD，∴△ABD′≌△ACD（SAS）， ∴BD′=CD，∴BD′+DD′≥BD，当B、D′、D三点在一线时，BD最大， BD最大=BD′+DD′=CD+AD=2+3=5．故答案为：5． ． 6．（2023·湖北·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∵，， ∴，故①正确；∴， ∴，，故③正确； ∵，，， ∴，；故②错误；∴， ∵，∴四边形是平行四边形，∴，故④正确；故答案为①③④． 7.（24-25八年级上·四川遂宁·期末）小王在探究等边三角形“手拉手”问题，得出以下四个结论． 如图，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则；已知条件同，则；如图，已知，均为等边三角形，点在内部，连接、，则、、三点共线； 如图，已知为等边三角形，点在外，并且与点位于线段的异侧，连接、．若，则．以上结论正确的是 ． 【答案】 【详解】解：，均为等边三角形， ，，，， ，即， 在和中，，，故正确； 由知，，， ，，故正确；，均为等边三角形， ，，，， ，即， 在和中，，， ，， 若，则，、、三点共线， 缺少，无法证明，故错误；如图，在上取一点，使得，设交于点， 为等边三角形，，，，， ，，在和中，， ，，，， 是等边三角形，，，故正确；故答案为：． 8．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，为等腰直角三角形，，点D为边上一点，以为边作等腰直角三角形，且，连接，若，，求的面积． 【答案】5 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，，∴， 在和中，，∴， ∵，，∴，，∴， ∴，∴的面积为5． 9．（24-25·江苏·八年级专题练习）问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______． 拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】问题发现：，；拓展探究：成立，理由见解析 【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示： ∵，∴， 又∵,∴（SAS），， ∵，∴， ∴，∴，，故答案为：，； 拓展探究：成立．理由如下：设与相交于点，如图1所示： ∵，∴， 又∵，，∴（SAS），∴，， ∵，∴，∴，∴， 即，依然成立． 10．（24-25·安徽八年级月考）综合与实践 特例研究：将矩形和按如图1放置，已知，连接． 如图1，当点在上时，线段与之间的数量关系是__ ；直线与直线之间的位置关系是_ ； 拓广探索：图2是由图1中的矩形绕点顺时针旋转一定角度得到的，请探索线段与之间的数量关系和直线与直线之间的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【详解】解：，延长交于点G， ∵四边形为矩形，且AD=DC，∴BC=CD，=90º， 由旋转的FC=EC，∴△FBC≌△EDC（SAS），， ∵∠DCE=90º，∴∠DEC+∠CDE=90º，∴∠FDG+∠GFD=90º∠FGD=90º ， ，理由如下：如答图，延长交于点交于点， ，四边形为矩形，， ，， ，矩形为正方形．， 在和中，．． ． ． 11．（24-25·江苏·八年级专题练习）已知为等边三角形． （1）如图1，点D为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：． （2）如图2，当点D在边的延长线上时，以为边作等边三角形，求证：无论点D的位置如何变化，的内角平分线的交点P始终在的角平分线上． （3）如图3，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．试判断线段，，之间存在何种数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3），证明见解析． 【详解】（1）∵和都是等边三角形， ∴． ∴，即． 在和中，，∴． （2）过点P作于点M，交射线BA于点N，∴， ∵为内角平分线，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，即， 在和中，，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴平分，即无论点D的位置如何变化， 的内角平分线的交点P始终在的角平分线上． （3）在上截，连接， ∵，∴， 在和中，∴，∴， ∵为等腰直角三角形，∴ ∵E为斜边中点，∴，∴∴，∴， ∴，∴为等边三角形，∴，∴． 12．（2024·辽宁大连·八年级统考期中）如图，在等边三角形ABC中，点E是边CA延长线上一点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．(1)如图1，若点D在边BC上，求证：CE=CF+CD； (2)如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2) CD=CF+CE，理由见解析 【详解】（1）证明：在CA上截取CG=CD，连接DG，如图1所示： ∵△ABC和△DEF是等边三角形，∴∠B=∠ACB=∠EDF=60°，BC=AC，DE=DF， ∵CG=CD，∴△CDG是等边三角形，∴DG=DC=CG，∠GDC=60°=∠EDF，∴∠EDG=∠FDC， 在△DEG和△DFC中， ，∴△DEG≌△DFC（SAS），∴GE=CF，∵CE=GE+CG，∴CE=CF+CD； （2）解：CD=CF+CE，理由如下：在CA的延长线上截取CG=CD，连接DG，如图2所示： 同（1）得：△CDG是等边三角形，△DEG≌△DFC（SAS），∴DG=DC=CG，GE=CF，∵CG=GE+CE，∴CD=CF+CE． 13．（2022·黑龙江·中考真题）和都是等边三角形． (1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．(2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)图②结论：，证明见解析 (3)图③结论： 【解析】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC， ∵点P与点A重合，∴PB=AB，PC=AC，PA=0，∴或； (2)解：图②结论： 证明：在BP上截取，连接AF， ∵和都是等边三角形，∴，， ∴，∴，∴（SAS），∴， ∵AC=AB，CP=BF，   ∴（SAS）， ∴，，∴， ∴，∴是等边三角形，∴，∴； (3)解：图③结论：，理由：在CP上截取，连接AF， ∵和都是等边三角形，∴，， ∴，∴，∴（SAS），∴， ∵AB=AC，BP=CF，∴（SAS），   ∴，， ∴，∴，∴是等边三角形， ∴，∴，即． 14．（2024·贵州黔东南·八年级校考期末）如图，将图1的正方形纸片沿对角线剪开，得到图2的两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成图3所示的图形，使得点B（E）重合． (1)求证：△ABD≌△CBF；(2)猜测AD与CF的位置关系，并说明理由； (3)若∠ABF=120°请判断△BGH的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)AD⊥CF ，理由见解析(3)△BGH是等边三角形，理由见解析 【解析】（1）由题意，得  AB=CB=DB=FB， ∠ABC=∠DBF=90°， ∴∠ABC+∠CBD=∠DBF+∠CBD ，∴∠ABD=∠CBF ，∴△ABD≌△CBF． （2）AD⊥CF ，理由： ∵△ABD≌△CBF ，∴∠ADB=∠CFB ，又∠DBF=90°，∴∠CFB+∠BHF=90°， 又∠BHF=∠PHD ，∴∠ADB+∠PHD=90°，即∠APF=90°，∴AD⊥CF． （3）△BGH是等边三角形．理由：∵△ABD≌△CBF ，∴∠BAD=∠BFC ， ∵AB=FB ，∠ABG=∠FBG=90°，∴△ABG≌△FBH ，∴BG=BH ， 又∠GBH=360°-120°-90°-90°=60° ，∴△BGH是等边三角形 15．（24-25福建福州市·九年级月考）如图，和均为等边三角形，连接BE、CD． （1）请判断：线段BE与CD的大小关系是 ； （2）观察图，当和分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变? （3）观察如图和4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形,猜想类似的结论是___________,在如图中证明你的猜想. （4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明）,如图,BB1与EE1的关系是 ;它们分别在哪两个全等三角形中 ;请在如图中标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,能构造出两个全等三角形？ 【答案】(1) BE=CD （2）线段BE与CD的大小关系不会改变 （3）AE＝CG，证明见解析 （4）这些结论可以推广到任意正多边形.如图5，BB1=EE1，它们分别在△AE1E和△AB1B中，如图6，连接FF1，可证△AB1B≌△AF1F．图形见解析. 【详解】（1）线段BE与CD的大小关系是BE=CD；（2）线段BE与CD的大小关系不会改变； （3）AE=CG．证明：如图4，正方形ABCD与正方形DEFG中， ∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°， 又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE，∴△ADE≌△CDG，∴AE=CG． （4）这些结论可以推广到任意正多边形． 如图5，BB1=EE1，它们分别在△AE1E和△AB1B中，如图6，连接FF1，可证△AB1B≌△AF1F． 16．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】(1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接．①如图2，若点在边上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论）． ②如图3，若点在边的延长线上， 试证明线段、、之间的关系． (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明．(3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 【答案】(1)①；②；(2)(3)有最小值，最小值为2 【详解】（1）①结论：. 证明：过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，，∴， ∴是等边三角形，∴，∵是等边三角形，∴， ∴，即， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，故答案为：； ②结论： 证明：过点E作，交与点G， ∵是等边三角形，，∴， ∴是等边三角形，∴， ∵是等边三角形，∴， ∴，即， 在和中，，∴，∴， ∵，∴； （2）解：，理由如下：∵，是等边三角形， ∴，，，∴， 在中，，∴， ∵，∴垂直平分，∴， ∴，∴，在上截取， ∵，，∴是等边三角形，∴， ∴，即， 在和中，，∴，∴， ∵，∴． （3）解：有最小值，最小值为2 以为边，在下方构造等边三角形，连接， ∵，点D为中点，∴，∵是等边三角形， ∴， ∴，即，在和中，， ∴，∴，∵，∴， ∵点Q在直线上，∴当时，取最小值，此时，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 全等三角形模型之手拉手模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.全等模型--手拉手模型 5 15 “手拉手”全等模型是中国数学教育界基于中考命题实践凝练的原创教学模型，其发展历程体现了‌问题驱动‌（压轴题）→ ‌方法整合‌（旋转构造）→ ‌概念普及‌（拟人化命名）的典型路径，是中国特色几何模型教学的典范，模型定义为：‌两个顶角相等的等腰三角形共顶点，左底角互连、右底角互连的结构。‌后来该模型被纳入常规几何教学，衍生出等边三角形、正方形等特殊形态的应用变式，并总结出核心结论。 解题是通过三角形SAS型全等（核心在于倒角，即等角加（减）公共角）进行解决。 （2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：． 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 模型1.全等模型--手拉手模型 例1（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，有如下四个结论：①，②，③，④平分，⑤平分，其中结论正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例2（24-25八年级·广东·培优）如图，在中，，，，且，连接、、，则下列结论：①，②为等腰三角形，③，④，其中正确的是（    ）． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 例3（24-25八年级上·重庆南岸·开学考试）如图，在等腰中，，点F在边上，延长交于点E，，．(1)试说明：；(2)若，，求的度数． 例4（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，与中，，，，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，求证：． 例5（24-25七年级下·广东揭阳·期末）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：    (1)如图1、两个等腰三角形和中，，，，连接、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是________，此时和的数量关系是________； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，两线交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)如图3，已知，以为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，两线交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 例6（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】（1）如图1，若和均为等边三角形，，，，，点A、D、E在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________； 【探究证明】（2）如图2，已知，分别以为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，线段和交于点O．请判断线段和的关系，并说明理由； 【模型应用】（3）如图3，在中，，，将线段绕着点C逆时针旋转至线段，连接，则的面积为____________________． 【拓展提高】（4）如图4，在中，，，点E为外一点，点D为中点，，，请直接写出的度数． 例7（24-25山东临沂·八年级统考期末）【知识背景】我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题． (1)【问题初探】如图（1），中，，，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作，使，，连接BE，猜想BE和CD有怎样的数量关系，并说明理由． (2)【类比再探】如图（2），中，，，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作，使，，连接BE，则______．（直接写出答案，不写过程；需要作辅助线的，请说明辅助线的作法，并在图（2）中作出辅助线） (3)【方法迁移】如图（3），是等边三角形，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作等边三角形ADE连接BE，则BD，BE，BC之间有怎样的数量关系？（直接写出答案，不写过程）． (4)【数学思考】如图（4），是等边三角形，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作等边三角形MDE，连接BE猜想的度数，并说明理由． 例8（24-25·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点．（正多边形的各边相等，各个内角也相等） ①如图1，求证：△ABE≌△ADC；②探究：如图1，∠BOD= ； ③如图2，∠BOD= ；④如图3，∠BOD= ． 1．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·天津·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（       ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏·专题练习）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25·贵州遵义·八年级期末）在中，，且E为边的中点，连接，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为_______． 5．（24-25九年级上·湖北黄石·期末）如图，是等边三角形外一点，，，则的最大值是 ． 6．（2023·湖北·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 7.（24-25八年级上·四川遂宁·期末）小王在探究等边三角形“手拉手”问题，得出以下四个结论． 如图，已知，均为等边三角形，点在线段上，且不与点、点重合，连接，则；已知条件同，则；如图，已知，均为等边三角形，点在内部，连接、，则、、三点共线； 如图，已知为等边三角形，点在外，并且与点位于线段的异侧，连接、．若，则．以上结论正确的是 ． 8．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，为等腰直角三角形，，点D为边上一点，以为边作等腰直角三角形，且，连接，若，，求的面积． 9．（24-25·江苏·八年级专题练习）问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______． 拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 10．（24-25·安徽八年级月考）综合与实践 特例研究：将矩形和按如图1放置，已知，连接． 如图1，当点在上时，线段与之间的数量关系是__ ；直线与直线之间的位置关系是_ ； 拓广探索：图2是由图1中的矩形绕点顺时针旋转一定角度得到的，请探索线段与之间的数量关系和直线与直线之间的位置关系，并说明理由． 11．（24-25·江苏·八年级专题练习）已知为等边三角形． （1）如图1，点D为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：． （2）如图2，当点D在边的延长线上时，以为边作等边三角形，求证：无论点D的位置如何变化，的内角平分线的交点P始终在的角平分线上． （3）如图3，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点E，连接，交于点F．试判断线段，，之间存在何种数量关系，并证明你的结论． 12．（2024·辽宁大连·八年级统考期中）如图，在等边三角形ABC中，点E是边CA延长线上一点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．(1)如图1，若点D在边BC上，求证：CE=CF+CD； (2)如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系，并说明理由． 13．（2022·黑龙江·中考真题）和都是等边三角形． (1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．(2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 14．（2024·贵州黔东南·八年级校考期末）如图，将图1的正方形纸片沿对角线剪开，得到图2的两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成图3所示的图形，使得点B（E）重合． (1)求证：△ABD≌△CBF；(2)猜测AD与CF的位置关系，并说明理由； (3)若∠ABF=120°请判断△BGH的形状，并说明理由． 15．（24-25福建福州市·九年级月考）如图，和均为等边三角形，连接BE、CD． （1）请判断：线段BE与CD的大小关系是 ； （2）观察图，当和分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变? （3）观察如图和4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形,猜想类似的结论是___________,在如图中证明你的猜想. （4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明）,如图,BB1与EE1的关系是 ;它们分别在哪两个全等三角形中 ;请在如图中标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,能构造出两个全等三角形？ 16．（24-25八年级上·湖南株洲·阶段练习）【问题提出】如图1，、都是等边三角形，求证：． 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即．如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题． 【方法应用】(1)等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边：等边三角形，连接．①如图2，若点在边上，线段、、之间的关系为__________（直接写出结论）． ②如图3，若点在边的延长线上， 试证明线段、、之间的关系． (2)如图4，等腰中，，，，且交于点，以为边作等边，直线交直线于点，连接交于点，写出、、之间的数量关系，并加以说明．(3)如图5，在中，，，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则是否有最小值，如有，求出它的最小值，没有，请说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$