3.1 勾股定理的探究(2)----勾股定理的证明 学案 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

盐城市北蒋实验学校八年级数学导学活动单 八年级数学·上册· 第3章 勾股定理 3.1勾股定理的探究(1)----勾股定理的发现 【学习目标】 1、经历探究勾股定理的过程，掌握勾股定理的内容，会运用勾股定理进行相关的运算； 2、通过经历“观察-发现-猜想-验证-归纳”的探究过程，发展合情推理的能力； 3、经历用面积关系探究勾股定理的过程，理解直角三角形三边之间的关系，体会数形结合、由特殊到一般的思想方法. 【学习重点】掌握勾股定理的内容，会运用勾股定理进行相关的运算. 【学习难点】运用勾股定理进行相关的运算. 【学习过程】 一、情景导入 直角三角形是一种特殊的三角形，我国古代将其较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，这一章将学习这三者之间的一种特殊关系，即勾股定理. 两千多年来，勾股定理的证明一直让人们着迷，至今已有数百种证法，其中多数用到了图形剪拼中的面积关系. 勾股定理不仅在数学史上具有重要的里程碑意义和文化价值，而且在生活中也有重要的实用价值.本章我们将一起学习勾股定理. 二、新课讲解 1、相传2 500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的底面中反映了直角三角形三边的某种数量关系，我们也来观察下图中的底面，看看有什么发现？ 2、问题：如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外画一个正方形，所画的三个正方形面积之间有怎样的数量关系？ S正方形ABDE= ；S正方形ACFG= ；S正方形BCIH= ； S正方形ABDE、S正方形ACFG、S正方形BCIH的关系是 ； 三、探索活动 1、操作：在上面的方格纸上，任意画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外部作正方形，仿照上面的方法找出三个正方形面积之间的关系，并与同学交流. 2、发现： SBC SAC SAB 数量关系 1 2 3 你所画的三个正方形的面积之间存在的关系是： . 3、猜想：根据上面的活动，可以猜想直角三角形的三条边之间存在的关系是 . 4、归纳：于是，我们得到：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即：如图，Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴a2+b2=c2 根据勾股定理，只要知道直角三角形三边中的任意两条边长，就可以求出第三条边长. 四、例题讲解 1、讲解例1 如图，已知直角三角形的两边长，求第三边长. 2、尝试练习： (1)(书本第88页练习第1题)求图中x的值. (2)(书本第89页练习第2题)求图中x，y的值. (3)(书本第89页练习第3题)求图中x的值. 3、讲解例2 在数轴上画出对应的点. 五、反馈提升： (1)（2025春•肇庆月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，BC，AB为边在三角形外部作正 方形，若以AC和BC为边的正方形面积分别为5和3，则以AB为边的正方形面积S的值为 　 　 ． (2)(书本第91页习题第3题)如图，设每个小方格的面积为1，在图中画出以格点为端点且长度分别为，，的线段. (3)（2025春•西和县期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，求网格中△ABC的周长． (4)（2025春•花溪区校级月考）在△ABC中，∠C＝90°，设AB＝c，BC＝a，AC＝b． ①已知a＝8，b＝15，求c； ②已知c＝13，b＝5，求a． 3.1勾股定理的探究(1)----勾股定理的发现(课时作业) 班级 姓名 作业时间 【基础练习】 1、（2025春•清城区校级月考）直角三角形两直角边分别为6cm和8cm，则其斜边的长度为（ 　　） A．2cm B．7cm C．10cm D．14cm 2、（2025春•从江县校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，AC＝6，则AB2为（　　） A．4 B．11 C．23 D．61 第2题图 第3题图 第5题图 第6题图 第7题图 3、（2025春•浦北县校级月考）如图，两个大正方形的面积分别为132和108，则小正方形M的面积为（　 　） A．240 B． C． D．24 4、（2025春•临潭县校级月考）在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，则下列结论正确的是（　 　） A．a2+b2＝c2 B．a2+c2＝b2 C．b2+c2＝a2 D．无法确定 5、如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（　　 ） A．50 B．16 C．25 D．41 6、（2025春•通城县期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ 　　） A．1012 B．2023 C．2024 D．2025 7、（2025春•垦利区期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　 　） A． B． C． D． 8、（2025春•唐县期末）回顾所学，完成框图． 9、（2025•叙永县三模）如图，已知AB＝AC，B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为 　 　 ． 10、（2025春•天津月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°． ①若a＝40，c＝41，则b＝　 　 ；②若c＝13，b＝5，则a＝　 　 ； ③已知a：b＝3：4，c＝15，则a＝　 　 ；b＝　 　 ． 11、（2025春•禹城市校级月考）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长为 . 12、（2025春•襄阳期末）如图，四边形A、B、C、D、E都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为5，14，6，则正方形D的边长为　 　 ． 第12题图 第13题图 第14题图 13、（2024秋•方城县期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则DC的长是 　 ． 14、（2025春•宁明县期末）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，CD＝6，则AD2+BC2＝　 　 ． 15、（2025春•南昌县校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c是△ABC的三边长． （1）若a＝5，b＝12，则c= ； （2）若c＝40，a：b＝3：4，求a，b的值． 16、（2025春•枞阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． （1）作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，则CD＝　 　 ； （2）请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值； （3）利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积． 【拓展提升】 17、（2025春•长汀县期中）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形． （1）①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定　 　 可爱三角形； ②若三角形的三边长分别是4，2，2，则该三角形　 　（选填“是”或“不是”）可爱三角形； （2）若Rt△ABC是可爱三角形，∠C＝90°，AC＝3，求BC的长． 3.1勾股定理的探究(1)----勾股定理的发现(课时作业)(答案) 班级 姓名 作业时间 【基础练习】 1、（2025春•清城区校级月考）直角三角形两直角边分别为6cm和8cm，则其斜边的长度为（ C　） A．2cm B．7cm C．10cm D．14cm 2、（2025春•从江县校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，AC＝6，则AB2为（　B ） A．4 B．11 C．23 D．61 第2题图 第3题图 第5题图 第6题图 第7题图 3、（2025春•浦北县校级月考）如图，两个大正方形的面积分别为132和108，则小正方形M的面积为（　D　） A．240 B． C． D．24 4、（2025春•临潭县校级月考）在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，则下列结论正确的是（　D　） A．a2+b2＝c2 B．a2+c2＝b2 C．b2+c2＝a2 D．无法确定 5、如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（　A ） A．50 B．16 C．25 D．41 6、（2025春•通城县期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ D　） A．1012 B．2023 C．2024 D．2025 7、（2025春•垦利区期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（　 B　） A． B． C． D． 8、（2025春•唐县期末）回顾所学，完成框图． 9、（2025•叙永县三模）如图，已知AB＝AC，B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为　1　 ． 10、（2025春•天津月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°． ①若a＝40，c＝41，则b＝　 9 　 ；②若c＝13，b＝5，则a＝　12　 ； ③已知a：b＝3：4，c＝15，则a＝　 9 　 ；b＝　 12 　 ． 11、（2025春•禹城市校级月考）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长为 5或 . 12、（2025春•襄阳期末）如图，四边形A、B、C、D、E都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C的面积依次为5，14，6，则正方形D的边长为　 5 　 ． 第12题图 第13题图 第14题图 13、（2024秋•方城县期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则DC的长是 　 ． 14、（2025春•宁明县期末）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，CD＝6，则AD2+BC2＝　61 　 ． 15、（2025春•南昌县校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c是△ABC的三边长． （1）若a＝5，b＝12，则c= 13 ； （2）若c＝40，a：b＝3：4，求a，b的值． 解：（1）由勾股定理得：c13，即c的值为13； （2）设a＝3x，则b＝4x，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝402， 解得：x＝8或x＝﹣8（不符合题意，舍去）， ∴a＝3x＝24，b＝4x＝32． 16、（2025春•枞阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． （1）作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，则CD＝　14﹣x　 ； （2）请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值； （3）利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积． 解：（1）∵BC＝14，BD＝x，∴DC＝14﹣x，故答案为：14﹣x； （2）∵AD⊥BC，∴AD2＝AC2﹣CD2，AD2＝AB2﹣BD2， ∴132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2，解得：x＝9； （3）由（2）得：AD12，∴S△ABC•BC•AD14×12＝84． 【拓展提升】 17、（2025春•长汀县期中）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形． （1）①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定　 是 　 可爱三角形； ②若三角形的三边长分别是4，2，2，则该三角形 是 （选填“是”或“不是”）可爱三角形； （2）若Rt△ABC是可爱三角形，∠C＝90°，AC＝3，求BC的长． 解：（1）①设等边三角形的边长为a， ∵a2+a2＝2a2，∴等边三角形一定是“可爱三角形”，故答案为：是； ②∵42+（2）2＝40＝（2）2，∴该三角形是“可爱三角形”，故答案为：是； （2）∵Rt△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，即BC2＝AB2﹣AC2， ∵Rt△ABC是可爱三角形，AC＝3， ∴分三种情况讨论： ①AB2+AC2＝2BC2，即AC2+BC2+AC2＝2BC2，∴BC2＝2AC2＝2×（3）2＝36，∴BC＝6（负值已舍去）； ②AB2+BC2＝2AC2，即AC2+BC2+BC2＝2AC2，∴BC2AC2（3）2＝9，∴BC＝3（负值已舍去）； ③AC2+BC2＝AB2≠2AB2，此种情况不成立；综上所述，BC的长为6或3． 3.1勾股定理的探究(2)----勾股定理的证明 【学习目标】 1、会利用“拼图”及面积相等的方法来证明勾股定理； 2、通过用不同的方法证明勾股定理，体会数形结合的思想. 【学习重点】会利用“拼图”及面积相等的方法来证明勾股定理； 【学习难点】2、通过用不同的方法证明勾股定理，体会数形结合的思. 【学习过程】 一、复习回顾 1、勾股定理的内容是什么？ . 符号语言：Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴ . 2、(1)直角三角形两直角边分别为6cm和8cm，则其斜边的长度为 ； (2)已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长为 ； (3)若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则斜边的长度为 . 二、导入新课 勾股定理是非常重要的数学定理.两千多年来，勾股定理的证明一直让人们着迷，至今已有数百种证法，那他们是如何证明这个定理的呢？ 赵爽，字君卿，又名婴，东汉末至三国时代的吴国人。生平不详，大约生活于公元3世纪初，他是中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家. 三、新课讲解 1、思考：“赵爽弦图”证明的思路是什么？ 2、问题：根据“弦图”的思路，用4张如图所示的直角三角形纸片构成一个边长 为c的大正方形，你能用这个图形证明勾股定理吗？ 如图，大正方形ABCD的边长为c，则S正方形ABCD= ； 又，大正方形ABCD是由四个直角三角形和一个小正方形拼成， 所以，S正方形ABCD=4S△+S正方形= + = = . 所以， 3、操作交流：用4张如图所示的直角三角形纸片构成一个边长为c的大正方形，你能用这个图形证明勾股定理吗？ 4、尝试操作：连接上图中小正方形的对角线，得到如图，你你能用这个图形证明勾股定理吗？ 四、例题讲解 1、讲解例1：图中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形.试利用这个图形中的面积关系验证勾股定理. 2、尝试练习1：如图，把火柴盒放倒.在这个过程中也能验证勾股定理，你能利用这个图形来验证勾股定理吗？ 3、尝试练习2：勾股定理神秘且美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感，性惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图摆收时，可以用“面积法”来证明勾股定理a2+b2＝c2，图中∠BAD＝90°，四边形ACFE是正方形．请你用该图证明勾股定理，写出过程． 五、反馈提升 1、（2025春•平塘县期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼 接而成．若AB＝13，AH＝5，则正方形EFGH的边长是（　 　） A．5 B．6 C．7 D．8 第1题图 第2题图 第3题图 2、（2025春•大冶市期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以Rt△ABC（∠ACB＝90°）的三条边为边长向外作正方形ABED、正方形ACHI、正方形BCGF，连接CE．若S正方形ABED＝25，S正方形BCGF＝16，则CE的长为　 　 ． 3、（2024秋•朝阳区校级期中）我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵 爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大 正方形面积为49，小正方形面积为4，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个推断：①x2+y2 ＝49；①x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的推断是　 　 ． 3.1勾股定理的探究(2)----勾股定理的证明(课时作业) 班级 姓名 作业时间 【基础练习】 1、（2024秋•江阳区期末）四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，则阴影部分面积为（　　） A．a2﹣b2 B．2ab C．a2+b2 D．4ab 第1题图 第2题图 第4题图 2、（2025•贵州模拟）如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长AD为10，AE的长为6，则小正方形的边长EF为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 3、（2025春•昭平县期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 4、（2024秋•吴兴区期末）赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形．图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实．如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为a和b，若ab＝8，且a2+b2＝25，则黄实为（　　） A．36 B．25 C．16 D．9 5、（2025春•任泽区期末）如图，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　　） A．56 B．60 C．65 D．75 6、（2025春•松山区期末）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），下列四个说法：①a2+b2＝49，②a﹣b＝2，③2ab+4＝49，④a+b＝9．其中说法正确的是（　　） A．①②③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 第5题图 第6题图 第7题图 7、（2025春•北京期中）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形ABCDE，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知c＝4，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么BC的长是 ． 8、（2024春•丹凤县期末）如图，是我国古代弦图变形得到的数学风车，是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成，直角三角形的斜边，直角边BC＝1，点D在AC上，AD＝1，则中间正方形的面积为　 　 ． 9、（2024•金凤区校级二模）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则空白部分的面积为　 　 ． 第8题图 第9题图 第10题图 10、（2024秋•浦江县校级月考）同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ （1）填空：如图①，若a＝1，b＝3，则c＝ ；若a+b＝4，c＝3，则直角三角形的面积是 　； （2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明a2+b2＝c2； （3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝CD＝8，BC＝AD＝10，求EF的长． 【拓展提升】 11、（2025春•渝北区期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． 【结论探究】（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【问题拓展】（3）△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，CH⊥AB，垂足为H，请直接写出CH的值． 3.1勾股定理的探究(1)----勾股定理的证明(课时作业)（答案） 班级 姓名 作业时间 【基础练习】 1、（2024秋•江阳区期末）四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，则阴影部分面积为（　C　） A．a2﹣b2 B．2ab C．a2+b2 D．4ab 第1题图 第2题图 第4题图 2、（2025•贵州模拟）如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长AD为10，AE的长为6，则小正方形的边长EF为（　D　） A．6 B．4 C．3 D．2 3、（2025春•昭平县期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（　D　） A． B． C． D． 4、（2024秋•吴兴区期末）赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形．图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实．如图，设每一个勾股形的两条直角边长分别为a和b，若ab＝8，且a2+b2＝25，则黄实为（　D　） A．36 B．25 C．16 D．9 5、（2025春•任泽区期末）如图，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　C　） A．56 B．60 C．65 D．75 6、（2025春•松山区期末）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），下列四个说法：①a2+b2＝49，②a﹣b＝2，③2ab+4＝49，④a+b＝9．其中说法正确的是（　A　） A．①②③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 第5题图 第6题图 第7题图 7、（2025春•北京期中）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形ABCDE，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知c＝4，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么BC的长是 ． 解：已知c＝4，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10， 根据题意：c2﹣2ab＝10，c＝4，则ab＝16﹣10＝6， ∵BC＝a+b，a2+b2＝c2＝16，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝16+12＝28， ∴a+b＝2（负值舍去），即BC＝2，故答案为：． 8、（2024春•丹凤县期末）如图，是我国古代弦图变形得到的数学风车，是由四个全等的直角三角形和中间的正方形组成，直角三角形的斜边，直角边BC＝1，点D在AC上，AD＝1，则中间正方形的面积为　 1 　 ． 解：∵∠ACB＝90°，AB，BC＝1，∴AC3， ∴中间正方形的边长＝AC﹣AD﹣1＝3﹣1﹣1＝1，∴中间正方形的面积为1，故答案为：1． 9、（2024•金凤区校级二模）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则空白部分的面积为　 60 　 ． 第8题图 第9题图 第10题图 解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P， 所以，四边形AOLP是正方形， ∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴AO＝AB+AC＝3+4＝7， ∴KL＝3+7＝10，LM＝4+7＝11， 因此，矩形KLMJ的面积为10×11＝110， ∴空白部分的面积为110﹣32﹣42﹣52＝60，故答案为：60． 10、（2024秋•浦江县校级月考）同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ （1）填空：如图①，若a＝1，b＝3，则c＝ ；若a+b＝4，c＝3，则直角三角形的面积是 　； （1）解：根据勾股定理得，， ∵a+b＝4，c＝3，∴， 故答案为：，； （2）观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明a2+b2＝c2； （2）证明：图②的面积， 又∵图②的面积， ∴，∴a2+2ab+b2＝ab+ab+c2，∴a2+b2＝c2； （3）如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝CD＝8，BC＝AD＝10，求EF的长． （3）解：由折叠的性质得：AF＝AD＝10，DE＝FE， ∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝10，CD＝AB＝8，∠B＝∠C＝90°， 在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，即82+BF2＝102，解得：BF＝6， ∵BC＝10，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4， 设EF＝x，则DE＝x，∴EC＝DC﹣DE＝8﹣x， 在Rt△ECF中，EC2+CF2＝EF2，即（8﹣x）2+42＝x2，解得：x＝5，∴EF＝5． 【拓展提升】 11、（2025春•渝北区期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． 【结论探究】（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； （1）证明：∵梯形ABCD的面积可表示为， 也可以表示为，∴，整理，得a2+b2＝c2； 【结论应用】（2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ （2）设AB＝AC＝x千米，∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣0.6）千米， 在Rt△ACH中，由勾股定理，得CA2＝CH2+AH2，即x2＝0.82+（x﹣0.6）2， 解得，即千米，∴（千米）， 答：新路CH比原路CA少千米； 【问题拓展】（3）△ABC中，AC＝10，BC＝17，AB＝21，CH⊥AB，垂足为H，请直接写出CH的值． （3）CH＝8．理由：如图，设AH＝y， ∵AB＝21，∴BH＝21﹣y，∵CH⊥AB，垂足为H， ∴△ACH，△BCH都是Rt△， 在Rt△ACH中，∵AC＝10，∴由勾股定理，得CH2＝AC2﹣AH2＝102﹣y2， 在Rt△BCH中，∵BC＝17，∴由勾股定理，得CH2＝BC2﹣BH2＝172﹣（21﹣y）2， ∴102﹣y2＝172﹣（21﹣y）2，解得y＝6， 在Rt△ACH中，由勾股定理，得CH8， 1 学科网（北京）股份有限公司 $