3.2 勾股定理的逆定理 学案 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“勾股定理的逆定理”核心知识点，梳理其作为勾股定理逆命题的逻辑关系，明确“三边满足a²+b²=c²（c为最长边）则为直角三角形”的应用条件，结合定义理解、易错点分析搭建学习支架，助力学生掌握三角形形状判断及实际问题解决方法。 资料以核心素养为导向，通过易错知识点拨（如定理理解的图形演示）培养数学思维的推理意识，典型例题覆盖网格问题（如4×3网格线段计算）发展几何直观，实际应用案例（如儿童游乐场面积计算）强化模型意识。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，提升应用能力。

3.2 勾股定理的逆定理 【重难点】 1、正确理解和区分勾股定理和勾股定理逆定理； 2、会用勾股定理逆定理判断直角三角形； 3、会用勾股定理逆定理解决实际问题. 【知识梳理】 一、勾股定理的逆定理定义 定义：如果三角形的三边长a、b、c满足a² + b² = c²（其中c为最长边），那么这个三角形是直角三角形。这个定理就是勾股定理的逆定理。 二、勾股定理逆定理的理解与应用 1、理解： 勾股定理的逆定理是勾股定理的逆命题，即如果三角形的三边满足某种数量关系（a² + b² = c²），则这个三角形具有某种性质（是直角三角形）。 逆定理的验证过程通常涉及计算三角形的三边平方和，并与最长边的平方进行比较。 2、应用： 勾股定理的逆定理是判断三角形形状的重要工具，特别是在只知道三角形三边长度而不知道其角度时。 在实际应用中，如测量、建筑、工程等领域，经常需要利用勾股定理的逆定理来判断直角三角形的存在性。 高频易错知识点拨 易错知识点01：定理理解不透彻 错误表现：学生可能只是机械地记住了勾股定理的逆定理的公式，而没有真正理解其背后的数学逻辑和几何意义。因此，在应用时容易出现混淆或错误。 纠正建议：教师应通过图形演示、实例分析等方式，帮助学生深入理解勾股定理的逆定理，明确其应用条件和判断方法。 易错知识点02：计算失误 错误表现：在计算三角形的三边平方和时，学生可能因粗心大意或计算能力不足而导致错误。例如，在计算过程中漏乘、加错或减错等。 纠正建议：加强学生的计算能力训练，提高计算的准确性和速度。同时，引导学生养成检查计算过程的习惯，减少因计算失误导致的错误。 易错知识点03：应用条件判断错误 错误表现：学生可能在没有明确三角形三边长度的情况下就盲目应用勾股定理的逆定理进行判断，或者将非直角三角形的三边误判为满足定理条件。 纠正建议：强调应用勾股定理的逆定理时必须具备的前提条件，即已知三角形的三边长度且最长边的平方等于另外两边的平方和。同时，通过实例分析帮助学生掌握判断三角形形状的正确方法。 易错知识点04：忽视特殊情况 错误表现：学生可能忽视了一些特殊情况下的判断，如等腰直角三角形等。在等腰直角三角形中，两条直角边相等，且都满足勾股定理的逆定理条件。 纠正建议：在讲解勾股定理的逆定理时，教师应适当引入特殊情况下的判断方法，帮助学生全面理解和掌握该知识点。 【典型例题】 一、判断三边能否构成直角三角形 【例1】已a、b、c是的三边，下列条件不能判定为直角三角形的是（   ） A．a² = c²-b² B． a:b:c=5:12:13 C．∠C=∠A+∠B D．∠A:∠B:∠C=3:4:5 【变式训练】 1.如图，小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2.如图，P是直线l外一点，A、B、C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC=90°，若PA=4，PC=3，AC=5，PB，则点A到直线PC的距离是 ． 3.如图，∆ABC内部有一点D，且∠ADC=90°，AB=13，BC=12，AD=4，CD=3．    (1)判断∆ABC的形状； (2)求四边形ABCD的面积． 二、图形上与已知两点构成直角三角形的点 【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 【变式训练】 1、同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为5cm，点C到直线AB的距离为2cm，且△ABC为直角三角形，则满足上述条件的点C有________个． 2.如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=_______s时，△POQ是等腰三角形；当t=______s时，∆POQ是直角三角形． 2.在10×10网格中，点A和直线l的位置如图所示； （1）将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位得到点B，在图1中网格中标出点B，并写出线段AB的长度___________； （2）在（1）中的条件下，在直线l上确定一点P，使的值最小，在图1中保留画图痕迹，并直接写出线段PA+PB的最小值：_____________； （3）点C为直线l上格点，是以AB为斜边的直角三角形，在图2网格中标出C，写出线段AC=_______； 三、在网格中判断直角三角形 【例3】如图，在4×3正方形网格中，每个小正方形的边长都是1． (1)分别求出线段AB、CD的长度； (2)在图中画线段EF，使得EF的长为，以AB、CD、EF三条线段能否构成直角三角形，并说明理由． 【变式训练】 1.如图，在4×4的正方形网格，其中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为______. 【答案】2 2.如图，每个小方格的边长都为1． (1)求图中格点∆ABC的面积； (2)判断∆ABC的形状，并证明你的结论． 3.如图，在平面直角坐标系中，∆ABC的顶点在格点上． (1)请在图中作出∆ABC关于y轴对称的； (2)写出点B’，点C’的坐标，以为顶点的三角是 三角形； (3)点P在图中格点上，若∆PBC是等腰三角形，则点P的个数是________． 四、利用勾股定理的逆定理求解 【例4】如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=4，PB=3，PC=5，以BC为边在∆ABC外作∆BQC≌∆BPA，连接PQ，则∠APB的度数为___________． 【变式训练】 1.已知如图一块钢板，AB=12cm,BC=13cm,CD=3cm，AD=4cm，∠ADC=90°，求这块钢板的面积． 2.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，CD=3，DA=1． (1)求∠DBA的度数； (2)求四边形ABCD的面积． 3.如图，∆ABC中，∠A为钝角． (1)尺规作图：作边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E； (2)若BD2+CE2=DE2，求∠BAC的度数． 五、勾股定理逆定理的实际应用 【例5】某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，AB=25cm，BC=9m，CD=12m，DA=20m，∠C=90°，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（     ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 【变式训练】 1.如图，阳光中学有一块四边形的空地ABCD，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮．经测量∠A=90°，AB=9m,DA=12m,BC=8m,CD=17m，若每平方米草皮需要100元，种植这块草皮需要投入多少资金?（其他费用不计） 2.如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为AC=15km，与公路上另一停靠站B的距离为BC=20km，停靠站A，B之间的距离为AB=25km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，． (1)求证：； (2)求修建的公路CD的长． 2.在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB=3千米，CH=2.4千米，HB=1.8千米． (1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线AC的长． 六、勾股定理逆定理的拓展问题 【例6】【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C、D重合，连接AE、EB．设AB、DE交于点G．∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=a，AC=DF=b(a＞b)，AB=DE=c．请你回答以下问题：    （1）AB与DE的位置关系为______． （2）填空：S四边形ADBE=______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板DFE，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形ABE是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线a∥b及点P，作等腰直角∆PAB，使得点A、B分别在直线a、b上且∠APB．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知∆ABC中，∠A=45°，∠B=22.5°，BC=6，则∆ABC的面积=______．    【答案】问题初探：（1）；（2）；（3）见解析；问题再探：见解析；问题拓展：9 【分析】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的性质． 问题初探：（1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形的面积，于是得到结论． 问题再探：如图，过点P作直线b于点F交直线a于点E，截取，，连接PA,PB,AB即可； 问题拓展：过点B作交AC延长线于点E，过点C作于点D，证明，得，根据勾股定理得，然后代入三角形面积公式即可解决问题． 【变式训练】 1.在∆ABC中，BC=a,AC=b,AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，∆ABC是直角三角形；当a2+b2=c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究∆ABC的形状（按角分类）． (1)当∆ABC三边分别为6、8、9时，∆ABC为________三角形；当∆ABC三边分别为6、8、11时，∆ABC为_______三角形； (2)猜想：当a2+b2________c2时，c2为锐角三角形；当a2+b2________c2时，∆ABC为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当a=5,b=12时， 当∆ABC为直角三角形时，则c的取值为________； 当∆ABC为锐角三角形时，则c的取值范围________； 当∆ABC为钝角三角形时，则c的取值范围________． 2.阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2=b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2>b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2<b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，62=36＜42+52，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求x2的值． （3）当a=2，b=4时，判断∆ABC的形状，并求出对应的c2的取值范围． 3.（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA=3,OB=5,OC=5,△BAO≌△BCD，连接OD． ①∠OBD=_________度；（答案直接填写在横线上） ②OD=____________﹔（答案直接填写在横线上） ③求∠BDC的度数． （2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内一点，连接OA、OB、OC，△BAO≌△BCD，连接OD．当OA、OB、OC，满足什么条件时，∠ODC=90°．请给出证明． 第 2 页 共 2 页 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $