专题04 几何图形初步认识章末压轴满分题型（专项训练）数学冀教版2024七年级上册

专题04 几何图形初步认识章末压轴满分题型（解析版）目录 压轴题型一、几何体中的点、棱、面关系压轴 压轴题型二、线段的和差问题 压轴题型三、线段中点问题 压轴题型四、线段动点问题 压轴题型五、三角板中角度计算 压轴题型六、几何图形中角度计算 压轴题型七、与余角、补角有关的计算 压轴题型八、角平分线有关的计算 压轴题型九、图形的旋转压轴 压轴题型一、几何体中的点、棱、面关系压轴 1．下列图形中，图（a）是正方体木块，把它切去一块，得到如图（b）（c）（d）（e）的木块． (1)我们知道，图（a）（b）的相关数据已经给出，请你将图（c），（d），（e）中木块的顶点数，棱数，面数填入表： 图号 顶点数x 棱数y 面数z （a） 8 12 6 （b） 6 9                   （c）                                                     （d）                                                     （e）                                                     (2)如表，各种木块的顶点数，棱数，面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试写出顶点数，棱数，面数之间的数量关系式． 【答案】(1)5，8，12，6，8，13，7，10，15，7 (2) 【分析】本题考查了截一个几何体，规律型：数字变化类． （1）只要将图（b）、（c）、（d）、（e）各个木块的顶点数、棱数、面数数一下即可； （2）通过观察找出每个图中“顶点数、棱数、面数”之间隐藏着的数量关系，这个数量关系用公式表示出来即可． 【详解】（1）解：见表： 图号 顶点数x 棱数y 面数z （a） 8 12 6 （b） 6 9 5 （c） 8 12 6 （d） 8 13 7 （e） 10 15 7 故答案为：5，8，12，6，8，13，7，10，15，7； （2）解：观察上表可得： ， ， ， ， ， ∴， ∴顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式为． 2．【项目式学习】：根据素材，探索完成任务． 材料一：简单多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形，如下图的几何体都是简单多面体． 简单多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 材料二：18世纪瑞士数学家欧拉发现简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式：，这一关系式被称为欧拉公式． 任务一：一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______； 任务二：某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和六边形两种多边形拼接而成，且有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，设该多面体表面三角形的个数为m个，六边形的个数为n个，求的值； 任务三：在任务二的条件下，已知，求代数式的值． 【答案】任务一：12；任务二：20；任务三：35 【分析】本题考查简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的关系，即欧拉公式，代数式求值，理解掌握欧拉公式是解题的关键． 任务一直接由欧拉公式求解即可； 任务二：顶点数为，面数为，棱数为，代入欧拉公式求解即可； 任务三：由任务二可知，得，代入，得，然后将变形为，再整理体代入即可求解． 【详解】解：任务一：由题意得：，解得：，故这个多面体的顶点数为； 任务二：由题意得，顶点数为，面数为，棱数为， 依照欧拉公式建立等式： ，即， 则的值为； 任务三：由任务二可知，则， 又， 则， 化简后，， 故． 3．如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 4 6 正方体 正八面体 正十二面体 正二十面体 12 20 30 (2)观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F）之间的关系； (3)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（2）中的结果求这个多面体的面数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)100 【分析】本题是对欧拉公式的考查，观察图形准确数出各图形的顶点数、面数、棱数是解题的关键． （1）中根据图形数出顶点数，面数，棱数，填入表格即可； （2）根据表格数据，由顶点数与面数的和减去棱数等于2进行解答； （3）中把顶点与棱数代入上步所得公式进行计算即可求解． 【详解】（1）所填数据如表所示： 正方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）因为， 所以． （3）由，得，所以，所以这个多面体的面数为100． 4．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，回答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 30 四面体棱数是_；正八面体顶点数是_． 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_． (2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是_． (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点出都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值． 【答案】(1)6；6； (2)12 (3) 【分析】本题考查了欧拉公式和数学常识，注意多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用． （1）观察可得顶点数面数棱数； （2）代入（1）中的式子即可得到面数； （3）得到多面体的棱数，求得面数即为的值． 【详解】（1）解：四面体的棱数为6； 正八面体的顶点数为6； 关系式为：； 故答案为：6；6；； （2）一个多面体的面数比顶点数小8， ， ，且， ， 解得； 故答案为：12； （3）有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； 共有条棱， 那么， 解得， ． 压轴题型二、线段的和差问题 5．如图，已知线段，点B，D在线段上，，点C在线段上，则图中所有线段长度之和等于（    ） A．400 B．612 C．1412 D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和与差，数形结合是解题的关键； 根据题意写出图中所有线段之和，再分组，利用线段的和与差，将所求结果用含和的式子表示，再代入计算即可． 【详解】记图中所有线段之和等于S，则 ， ， ， ， ． ，， ． 图中所有线段长度之和等于2024． 故选：D． 6．如图，直线上有两点，点是线段上的一点，． (1)若，则___________，___________． (2)在（1）的条件下，若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，、两点停止运动．当为何值时，． (3)为直线上一点，且满足，直接写出的值___________． 【答案】(1)12；6 (2)或12 (3)或或1 【分析】（1）根据，且，代入计算即可． （2）根据题意，得，，此时 ，当点与点重合时，，此时 根据，得，解答即可． （3）分点Q在上，上，点的左侧，点的右侧，结合，分类求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12，6． （2）解：∵动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为， 得，，此时 ， 当点与点重合时，，此时， 解得， ∵， ∴， ∴或， 解得或， 都符合题意， 故当为或时，． （3）解：当点Q在上时，，， ∵， ∴， ∴或， 解得或， 此时或； 当点Q在上时，，， ∵， ∴， ∴或， 解得（舍去）或， 此时； 当点Q在点左侧时，，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 此时； 当点Q在点右侧时，，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 此时． 综上所述，的值为或或1． 故答案为：或或1． 【点睛】本题考查了线段的和差倍分的计算，绝对值的应用，运动问题，分类思想，有理数的计算，熟练掌握线段的关系，绝对值的计算是解题的关键． 7．如图，为一根长为的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点M、N，分别将、沿点M、N折叠，点A、B分别落在绳子上的点、处（绳子无弹性，折叠处的长度忽略不计）． （1）当点与点恰好重合时， ． （2）当时， ． 【答案】 20 25或15 【分析】本题考查了折叠的性质，两点之间的距离． （1）由折叠的性质得，，，根据当点与点恰好重合时，求解即可； （2）分两种情况分别计算即可：当点落在点的左侧时，当点落在点的右侧时． 【详解】解：（1）由折叠的性质得，，， ∴当点与点恰好重合时，， 故答案为：20； （2）当点落在点的左侧时，如图， ∵，， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴； 当点落在点的右侧时，如图， ∵， ∴， ∴． 故答案为：25或15． 8．如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯移动．图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置．开关绕点O顺时针旋转后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4．已知，，则 ． 【答案】22 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，结合图形得出当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置，得出，再由图形中线段间的关系得出，即可求解． 【详解】解：由图3得，当点D在O的右侧时，即位置时，B与点E的距离为， 由图4得，当点D在O的左侧时，即位置时，B与点E重合，即位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：22． 压轴题型三、线段中点问题 9．如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； (4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 【答案】(1)1，3 (2) (3)的值为或1 (4)不变， 【分析】本题考查了两点间的距离，能够根据点的运动情况，进行分类讨论是解题的关键． （1）非负性求出的值即可； （2）根据题意，得到，进而求解即可； （3）分两种情况：当点Q在线段上时，当点Q在线段的延长线上时，分别求解即可； （4）先求出的值，进而求出的值，再分两种情况求出的值，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）由（1）和题意可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点Q在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知：， ∴ ∴， ∴； 当点Q在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或1； （4）不变； 当时，点C停止运动，此时，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴； ①如图，当M，N在点P的同侧时    ； ②如图，当M，N在点P的异侧时    ． ， 当点C停止运动，D点继续运动时，的值不变， ∴，值不变． 10．如图，、是线段上两点，、分别是线段，的中点，下列结论：①若，则；②，则；③；④．其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了两点间的距离，能够利用中点的性质求解一些线段之间的关系是解题的关键． 根据线段中点的定义与线段的和差结合图形进行分析． 【详解】解：如图： ， ， ， ， ， 即，故①正确； ， ， ， 、分别是线段，的中点， ，故②正确； ，， ， 又， ，故③正确； ，， ， ，， ，故④正确， 故答案为：①②③④． 11．【问题提出】同学们在解决数学问题的时候，我们往往运用分类讨论来解决问题的多种情况，如此题．例如若有，求的值．在解决此题时，我们可以进行以下思考： ①当时，此时可以解得 ． ②当时，此时可以解得 ． 【知识迁移】 仿照上面的分析思路，解决下面两个问题 （1）如图，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为，2，1，请在数轴上标出线段的中点D，并写出D的所代表的数；若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段的长，求线段的长． （2）如图，有公共端点P的两条线段、组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】问题提出：①7；②；知识迁移：（1）数轴见解析，D表示，或8；（2）4或28 【分析】问题提出：根据绝对值的意义进行求解即可； 知识迁移：（1）根据中点公式求出点D表示的数，并表示在数轴上即可；设点E表示的数为，根据题意得：，求出点E表示的数为7或，求出或； （2）分两种情况进行讨论：当点D在上时，当点D在上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：问题提出：①当时，，解得：； ②当时，，解得：． 故答案为：①7；②． 知识迁移：（1）∵点A，B在数轴上对应的数分别为，2， ∴的中点D所表示的数为：，点D在数轴上的数，如图所示：． 设点E表示的数为，根据题意得：， 解得：或， ∴点E表示的数为7或， ∴或， ∴或8． （2）当点D在上时，如图所示： ∵点E为线段的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点D在上时，如图所示： ∵点E为线段的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上分析可知，或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了线段中点的有关计算，绝对值的意义，线段上两点间的距离，用数轴上点表示有理数．解题的关键是数形结合，并注意进行分类讨论． 12．如图，已知A，为数轴上的两个点，点A表示的数是，点表示的数是10． (1)线段的中点对应的数为__________； (2)若点在数轴上，且，求的长； (3)若一只蚂蚁从点A出发，在数轴上每秒向右前进3个单位长度；同时一只毛毛虫从点出发，在数轴上每秒向右前进1个单位长度，它们在点处相遇，求点对应的数． 【答案】(1) (2)10或20 (3)30 【分析】本题主要考查了数轴与动点．熟练掌握数轴上动点表示的数，两点之间的距离公式，一元一次方程的应用，速度、时间、路程之间的关系，是解决问题的关键． （1）根据线段中点公式进行计算即可； （2）设出点D表示的数，分两种情况，点D在点B的左侧或右侧进行解答，运用两点间的距离公式列式表示与的长，根据列方程计算即可； （3）设运动时间为t，用含有t的式子表示蚂蚁对应的数和毛毛虫对应的数，根据它们相遇时对应的数相同列出方程，解方程求得t的值，从而得到点E对应的数． 【详解】（1）∵点A表示的数为，点B表示的数是10， ∴线段的中点C对应的数为，， 故答案为：； （2）设点D对应的数为x， 当点D在点B的左侧时，，， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点D在点B的右侧时，，， ∴， 解得， ∴； 故点BD的长为，10或20； （3）设运动t秒相遇， 则蚂蚁对应的数为，毛毛虫对应的数为， ∵在相遇点E，蚂蚁对应的数和毛毛虫对应的数相同， ∴，解得，， ∴点E表示的数为，． 压轴题型四、线段动点问题 13．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】本题主经考查了动点产生的线段的计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据中点，得，，根据，得； （2）①存在，当P、Q相遇时，，得，解得；当P、Q相遇后，，得，解得；②根据中点，得，得，根据，即得． 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    14．已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）． 【答案】/ 【分析】根据题意画出图形，分情况讨论，再利用线段和差分别表示线段的长度即可． 【详解】解：∵M为的中点，N为的中点， ∴，． ∵线段和线段在同一直线上， 线段（A在左，B在右）的长为a， 长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动， ∴分以下5种情况说明： ①当在左侧时，如图1， 即， ， ， ； ②当点D与点A重合时，如图2， 即 ， ； ③当在内部时，如图3， 即 ， ； ④当点C在点B右侧时， 同理可得：； ⑤当在右侧时， 同理可得：； 综上所述：线段的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查线段的和差，根据题意画出对应情况的图形是解题的关键，注意分类讨论思想的运用． 15．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） (1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值． (2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM． (3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）计算出CM和BD的长，进而可得出答案； （2）由AC=AM－CM，MD=BM－BD，MD=3AC结合（1）问便可解答； （3）由AN＞BN，分两种情况讨论：①点N在线段AB上时，②点N在AB的延长线上时；结合图形计算出线段的长度关系即可求解； 【详解】（1）解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm ∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm ∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm． （2）解：设运动时间为t， 则CM＝t，BD＝3t， ∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t， 又MD＝3AC， ∴BM﹣3t＝3AM﹣3t， 即BM＝3AM， ∴AM=BM 故答案为：． （3）解：由（2）可得： ∵BM＝AB﹣AM ∴AB﹣AM＝3AM， ∴AM＝AB， ①当点N在线段AB上时，如图 ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣AM＝MN ∴BN＝AM＝AB， ∴MN＝AB，即=． ②当点N在线段AB的延长线上时，如图 ∵AN﹣BN＝MN， 又∵AN﹣BN＝AB ∴MN＝AB， ∴=1,即=． 综上所述＝或 【点睛】本题考查求线段长短的知识，关键是细心阅读题目，根据条件理清线段的长度关系再解答． 16．如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）． （1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置； （2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值； （3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【答案】（1）点P在线段AB的处；（2）或；（3）结论②的值不变正确，. 【分析】（1）设运动时间为t秒，用含t的代数式可表示出线段PD、AC长，根据，可知点在线段上的位置； （2）由可知，当点Q在线段AB上时，等量代换可得，再结合可得的值；当点Q在线段AB的延长线上时，可得，易得的值. （3）点停止运动时，，可求得CM与AB的数量关系，则PM与PN的值可以含AB的式子来表示，可得MN与AB的数量关系，易知的值. 【详解】解：（1）设运动时间为t秒，则， 由得，即 ，，，即 所以点P在线段AB的处； （2）①如图，当点Q在线段AB上时， 由可知， ②如图，当点Q在线段AB的延长线上时， ， 综合上述，的值为或； （3）②的值不变. 由点、运动5秒可得， 如图，当点M、N在点P同侧时， 点停止运动时，， 点、分别是、的中点， 当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以； 如图，当点M、N在点P异侧时， 点停止运动时，， 点、分别是、的中点， 当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以； 所以②的值不变正确，. 【点睛】本题考查了线段的相关计算，利用线段中点性质转化线段之间的和差倍分关系是解题的关键. 压轴题型五、三角板中角度计算 17．探究三角尺中的学问： 已知点C为直线上一点，，． (1)如图1，若，图中与互余的角有_________． (2)如图2，已知射线是的平分线，且．求的度数． (3)如图3，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合，使三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放．当，直接写出此时三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数． 【答案】(1)和 (2) (3)或后或． 【分析】本题考查了角的互余、角平分线的性质、角的和差计算以及三角尺中角度的关系，解题的关键是利用平角（）、直角（）的度数特征，结合角的和差与比例关系建立等量关系． （1）根据互余定义，结合直角和平角性质，找出和为的角． （2）设比例系数，利用角平分线性质表示角，结合平角和直角列方程求解． （3）利用三角尺②的直角特征和的度数，结合的度数计算夹角，分四种情况讨论． 【详解】（1）解：∵， 即， ∴与互余； ∵直角三角形中， 则， 又∵， ∴与互余； （2）解：设，， ∵平分， ∴， ∴； ∵，， ∴， 解得； ∴， ∴； （3）解：分四种情况讨论： ①当与边的夹角，且在下方时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴； ②当与边的夹角，且在上方时，如图： ∵，，， ∴； ③当与边的夹角时，且在下方时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴； ④当与边的夹角时，且在上方时，如图： ∵，，， ∴； 综上所述，另一条直角边与边的夹角可能是或后或． 18．【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，； 在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点C转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 【答案】（1）②③，④；（2）①，② 【分析】本题主要考查几何图形中角的计算，角平分线定义，三角板中角的计算，补角的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，注意进行分类讨论． （1）分别求出图1中各个图中、的关系，然后进行判断即可； （2）①根据角平分线定义得出，然后再求出结果即可； ②根据角平分线定义得出，，根据，求出结果即可； 【详解】解：（1）图①中； 图②中； 图③中， ∴； 图④中； ∴与相等的摆法是②③；与互补的摆法是④； （2）①∵平分， ∴， ∴； ②∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ 19．如图，点为直线上一点，过点作射线，将一直角三角板按图中所示的方式摆放 探究一：将图①中的三角板绕点顺时针方向旋转一定的角度得到图②，使边恰好平分．若是否平分？请说明理由； 探究二：将图①中的三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图③， （1）使边在的内部，如果，则与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． （2）若继续旋转三角板，直到与重合，请继续探究：与之间存在怎样的数量关系？ 【答案】探究一： 平分，理由见解析；探究二：（1），理由见解析；（2）或 【分析】考查角平分线的，与三角板有关的角度计算． 探究一：由平分，，可求出，再根据，可得，进而得出结论； 探究二：（1）由，，可求出，再根据角的和差之间的关系得出； （2）分两种情况进行探究，即：当在的内部，且在直线的上方时；当在的内部，且在直线的下方时；得或． 【详解】解：探究一、平分，理由如下： 平分，且， ， ， ， ， ， 平分； 探究二、（1）， ， ， ， ， ， 即：， （2）分以下两种情况： 当在的内部，且在直线的上方时，如图④所示： ， ； 当在的内部，且在直线的下方时，如图⑤所示： ， 即 ， ． 综上所述，或． 20．【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、），在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，；在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 【拓展探索】 （3）爱动脑筋的小林改变和各个角的度数，其中，按如图4所示摆放并分别作的角平分线和的角平分线，把绕点旋转一周，请直接写出与、的数量关系． 【答案】（1）②③；④；（2）①；②；（3）或 【分析】（1）分别求出图1中各个图中、的关系，然后进行判断即可； （2）①根据角平分线定义得出，然后再求出结果即可； ②根据角平分线定义得出，，根据，求出结果即可； （3）分情况讨论：当在内部时，当在外部，且、在上方时，当在外部，且在上方，在下方时，当在外部，且在下方，在下方时，当在外部，且在下方，在上方时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】解：（1）图①中； 图②中； 图③中， ∴； 图④中； ∴与相等的摆法是②③；与互补的摆法是④； （2）①∵平分， ∴， ∴； ②∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ； （3）当在内部时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ， 即此时； 当在外部，且、在上方时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ∴ ， 即此时； 当在外部，且在上方，在下方时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴ ， 即此时； 当在外部，且在下方，在下方时，如图所示： ∵平分， ∴， ∵平分， ∴ ， ∴ ， 即此时； 当在外部，且在下方，在上方时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ， 即此时； 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查几何图形中角的计算，角平分线定义，三角板中角的计算，余角和补角的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，注意进行分类讨论． 压轴题型六、几何图形中角度计算 21．【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角尺，并利用它们作出一些角，例如． ①小明利用三角尺作出了一个的角； ②小乐利用三角尺作出了一个的角； 除上述提到的这些度数之外，你还能用三角尺作出 度的角（写出一种即可）． 【提出问题】 （2）如图1所示，李老师将两个三角尺放置在一起，于是产生了新的数学问题，，，，在，（，）内作射线，，且，，则 度； 【学以致用】 （3）如图2，小亮忘记了带三角尺，用纸片制作了任意两个三角形，其中，，他把这两个三角形的顶点及边，重合在一起，三角形固定，将三角形绕点顺时针旋转，当边与重合时，停止运动．在此过程中，在，内作射线，，使，．这时，小明说“的度数是一个定值，并且可以用，表示出来”；小乐说“的度数是一个随机值，无法用，表示出来”，请你帮小亮判定一下谁的说法正确，并说明理由． 【答案】（1）75；（2）90；（3）小明的说法正确，见解析 【分析】本题考查了角的和差倍分运算，三角板中角度的计算； （1）根据三角板的角度，可作出，，，，即可得解； （2）先求得，根据已知条件得出，根据，即可求解； （3）先得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 故答案为：75、105、135、150（任意一个均可得分）； （2）解：， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （3）解：小明的说法正确，理由如下： ，，， ， ， ． 22．一副三角尺（分别含和）按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为s． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是_____度； (2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转． ①当为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)85 (2)①；②存在，或 【分析】本题主要考查了旋转的性质、角平分线的定义、角度的和差、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想，是解此题的关键． （1）根据三角尺绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针旋转，进行计算； （2）①由旋转知，，由角平分线的定义可得，再由列方程求解； ②分两种情况，当在左侧时，当在右侧时，分别进行计算可得到答案． 【详解】（1）当时，绕点P顺时针旋转了， 又， 边经过的量角器刻度线对应的度数为． （2）①如图1所示： 由旋转知，， 平分，， ， 又， ， ， 解得， 当时，边平分． ②当或时，，理由如下： 由旋转知，， 当在左侧时，如图2， ， ， ， 若，则， 解得． 当在右侧时，如图3， ， ， ， 若，则， 解得． 综上可知，当或时，． 23．如图，已知同一平面内，，． (1)填空：______； (2)如平分，平分，直接写出的度数为______； (3)试问在（2）的条件下，如果将题目中改成，其他条件不变，你能求出的度数吗？若能，请你写出求解过程：若不能，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)，过程见解析 【分析】本题考查了角的有关计算的应用． （1）画出符合条件的两种情况，①当射线在内部时，②当射线在外部时，分别求出即可； （2）画出符合条件的两种情况，①当射线在内部，②当射线在外部，求出即可； （3）画出符合条件的两种情况，求出和的度数，即可求出答案． 【详解】（1）解：分为两种情况： ①如图，当射线在内部时， ； ②如图，当射线在外部时， ； 故答案为：或； （2）解：分以下两种情况： 如图3， ∵，，平分，平分， ∴，， ∴； 如图4， ∵，，平分，平分， ∴，， ∴； 故答案为：； （3）解：能求出的度数． 分以下两种情况： ①当在内部时，如图3， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴，， ∴； ②当在外部时，如图4， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴，， ∴； 综合上述，． 24．如图①，O为直线上一点，，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图①中的三角板绕点O逆时针旋转．若三角板的边恰好平分（如图②），求的度数； (2)将图①中的三角板绕点O逆时针旋转，当射线在内部时，请判断与之间的数量关系； (3)将图①中的三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线绕着点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转，当射线回到原处时均停止运动，设运动时间为．求时，t的值． 【答案】(1) (2) (3)20，40或 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，角的动态定义； （1）求解，结合角的和差可得答案； （2）设，表示，，再结合角的和差可得答案； （3）①当C在的右上方时，如图，，，②当C在的右下方时，如图，，，③当C在的左下方时，如图，，，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解： ，平分， ， ， ． （2）解：如图， 设， ， ， ， ， ． （3）解：①当C在的右上方时，如图， ，， ， ． ②当C在的右下方时，如图， ，， ， 即， ． ③当C在的左下方时，如图， ，， ， 即， ． 综上所述，当时，t的值为20或40或． 压轴题型七、与余角、补角有关的计算 25．已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则_____． (2)如图2，若，，平分，求． (3)如图3，若与互余，也与互余，请在图3中画出符合条件的射线加以计算后，直接写出的度数（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了角的有关计算，涉及了角平分线、余角的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，理解题意，找到角的和差关系进行求解； （1）根据角的和差关系，即可求解； （2）根据角的和差关系以及角平分线的定义，求解即可； （3）分两种情况，当在的上方时和当在的下方时，利用余角以及角的和差关系，求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：； （2）解：，， ， 平分， ， ； （3）解：①当在的上方时，如图， 与互余，也与互余， ，， ， ②当在的下方时，如图， 与互余，也与互余， ，， ， 综上所述，的度数为：或． 26．如图所示，已知，，，且．①图中小于平角的角共有6个；②图中所有小于平角的角之和为；③当绕点旋转一周，平分，平分，则始终等于；④若，，当绕点旋转一周，平分，平分，则始终等于．其中正确的结论 （填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了角的定义以及角的分类，角平分线的定义，角度和差的计算，根据题意画出图形，分类讨论，逐项分析判断，即可求解．分类讨论是解题的关键．根据角的定义，数出角的个数，即可判断①，根据图形结合已知将①中的6个角相加，即可判断②，分四种情况分别画出图形，根据角平分线的定义结合图形即可判断③，分三种情况讨论，分别画出图形，即可判断④，即可求解． 【详解】解：图中小于平角的角有：，共有6个，故①正确； ②图中所有小于平角的角之和为 ，故②正确； ③当绕点旋转一周， 如图所示，当在内部时， ∵平分，平分， ∴， ∴ 当在内部，在外部时， ∵平分，平分， ∴， ∴ 当在外部时 ∵平分，平分， ∴， ∴ 当在内部，在外部时， ∵平分，平分， ∴， ∴ 综上所述，始终等于，故③正确； ④若，，当绕点旋转一周， 如图所示，当在的内部，在外部时， ∵平分，平分， ∴ ∴ 如图所示，当在的外部，在内部时， ∵平分，平分， ∴ ∴ ； 如图所示，当、在的外部， ∵平分，平分， ∴ ∴ ； 始终等于或，故④不正确． 故答案为：①②③． 27．综合与实践 如图，O为直线上的一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，将三角板的一边与射线重合，此时______． (2)如图2，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，使得是平分线，求的度数． (3)如图3，将三角板持续绕点O逆时针旋转至内部，使得，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据即得； （2）由角平分线得，根据即得； （3）根据，，得，根据得，由即得 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角的计算．熟练掌握平角性质，直角性质，角平分线定义，余角定义，补角定义，角的和差倍分关系，是解题的关键． 28．如图，在同一平面内，，，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】题考查了余角和补角、角度的计算、余角的性质以及角平分线的定义等知识，熟练掌握，准确识图，是解题的关键． 由，根据等角的余角相等得到，结合即可判断①正确；由，结合即可判断②正确；由，而不能判断，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得，而，从而可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， 而， ∴， 即， ∴①正确； ， ∴②正确； ， 而， ∴③不正确； ∵E、O、F三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴④正确． ∴正确的结论有①②④． 故答案为：①②④． 压轴题型八、角平分线有关的计算 29．定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与∠α互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”． (1)若，且在内部，则__°； (2)若恰好平分，请求出的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)64 (2) (3)或，见解析 【分析】本题考查了补角的定义和性质，角平分线的定义，角的和差关系，根据题意，画出图形是解题的关键． （1）画出相应的图形，由角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可； （2）根据平角的定义以及角平分线的定义进行计算即可； （3）分（1）中的两种情况进行解答，分别用表示，进而解答即可． 【详解】（1）如图1，由于射线是的“好线”， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ 故答案为：64； （2）若恰好平分， ∴ ∴ （3）或，理由如下： 如图2﹣1，由于射线是的“好线”， 当时， ∵， ∴ ∵是的平分线， ∴ ∴是的平分线， ∴， ∴ ∴， 如图2﹣2，由于射线是的“好线” 当时， ∵， ∴， ∴ ∴ 综上所述或． 30．阅读理解：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”. 如图，点在直线上，、在直线上方，且，射线是的“分补线”． (1)若，且在内部，则_____，______； (2)若平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请直接写出与的数量关系：__________． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据“分补线”的定义与补角定义可得，再由余角定义即可求解； （2）根据“分补线”可得，，根据角平分线的定义可得，由，可得，即得； （3）分两种情况：，或，进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，∵射线是的“分补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；； （2）解：如图，∵是的“分补线”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；    （3）解：或 理由：当时， 由于， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ， ∵， ∴； 当时， 由于， ∴， ∵， ∴，此情况，重合， 同理可得：， ∴． 综上，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了新定义——角的“分补线”．熟练掌握新定义，角平分线定义，余角补角定义，角的和差倍分关系的计算，分类讨论，是解题的关键． 31．如图1，点为直线上一点，过点在直线的下方作射线，将一个直角三角板的直角顶点放在处，一边和射线重合，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角形绕点逆时针旋转至图2情形，此时，恰好平分，求的度数； (2)若． ①将图1中的三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，第秒时，直线恰好平分，求的值； ②将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图3情形，使在的内部，，，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】此题考查了三角板中角度的计算，角平分线的等定义，角的计算； （1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解； （2）①分当线段的延长线平分时，当线段旋转至内部平分时，分别画出图形，根据旋转的度数除以旋转速度，即可求解； ②根据、，然后作差，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ． （2）∵ ∴, ①当线段的延长线平分时，如图2 则此时, 三角板绕点逆时针旋转了， 秒　 当线段旋转至内部平分时，如图3 三角板绕点逆时针旋转了， 秒 综上所述，的值为或． ② ，， 、， ， ，， 所以与之间的数量关系为：． 32．定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． （1）若平分，且为的“分余线”，则 ； （2）如图，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，则的度数为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义——角“分余线”．熟练掌握新定义，角平分线定义，三等分角，角的和差倍分计算，是解题的关键． （1）根据角平分线定义，根据角“分余线”定义，得，即得； （2）根据角平分线定义得，根据，得，当时，得，得，当时，得，得． 【详解】解：（1）∵平分，且为的“分余线”， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）∵为的平分线，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 压轴题型九、图形的旋转压轴 33．如图，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角的直角顶点放在点O处，边在射线上，另一边在直线的下方．若直角绕点O按每秒的速度顺时针旋转一周，当直角的直角边所在直线恰好平分时，此时直角绕点O的运动时间为 秒． 【答案】22.5或58.5 【分析】根据，且可得．然后分两种情况讨论即可作答：①当射线恰好平分，此时旋转角为：；②当射线的反向延长线恰好平分，此时旋转角为：，分别求出旋转的时间即可． 【详解】解：∵，且， ∴． ①当平分时，， 此时旋转角为， 则旋转时间为：（秒）． ②当射线的反向延长线恰好平分， 此时旋转角为：， 则旋转时间为：（秒）． 故答案为：22.5或58.5． 【点睛】本题主要考查学生对几何中心旋转知识点的掌握，综合运用几何性质与旋转性质解决问题的能力．要注意培养数形结合思想，运用到考试中去．掌握旋转中角度的变化以及旋转反向是解答本题的关键． 34．【综合与实践】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放： (1)如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转______°，才能使落在上； (2)如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到，当时，为多少度？ (3)如图3，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，另一条直角边也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，直接写出旋转多少度时，所在直线与所在直线平行或垂直？ 【答案】(1)75 (2) (3)平行：105度或285度；垂直：15度或195度 【分析】（1）由图可知，当以O为中心顺时针旋转过，即可得到与重合，利用三角板的性质和角度之间的关系计算即可； （2）设，分别表示出，然后根据列方程求解； （3）平行和垂直各分两种情况，画出图形求解即可． 【详解】（1）由图可知，当以O为中心顺时针旋转过，即可得到与重合， 由三角板的性质可知： ∵，， ∴， ∴至少旋转，与重合． 故答案为：75； （2）由旋转的性质得， 设， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当在点O的右侧时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在点O的左侧时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴旋转的角度， 综上所述：旋转的角度为或时，所在直线与所在直线平行． 当在点O的上侧时，如图，延长交于点E， ∵， ∴， ∴， ∴． 当在点O的下侧时，如图，延长，相交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述：旋转的角度为或时，所在直线与所在直线垂直． 【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，以及四边形内角和，分类讨论是解（3）的关键． 35．如图1，点O为直线上一点，为射线，，将一个含角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，直角边与直线重合． (1)如图1，在内部，过点O作射线，使得，求的度数． (2)将图1中的三角尺绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，射线平分，在旋转的过程中，是否存在某个时刻t（秒），使得，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)如图2，平分，将三角尺绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，若射线从出发绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，设三角尺与射线运动时间为，在旋转过程中，若与始终满足（a与b为常数），求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)当时，；当时， 【分析】本题考查了角的旋转和计算．熟练掌握角旋转性质，角的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据已知得，得，即得； （2）当时，，根据角平分线得，由，得，解得；当时，无解；当时，，得，得，解得；当时，无解；故或； （3）由已知得，，当时，得，得，；当时，得，得， ． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）当时，， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴，不合； 当时，， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴，不合； 综上所述，或； （3）∵，平分， ∴， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， 故当时，；当时，． 36．若一个角是另一个角的二倍，则称这两个角互为“共轭角”． (1)已知且和互为“共轭角”，则______； (2)如图1，，是内部的一条射线，若图中存在“共轭角”，试求出的度数； (3)如图2，，，射线从绕点O逆时针旋转，速度为每秒，到停止运动；射线以每秒的速度从顺时针旋转到，再以每秒的速度逆时针返回，射线按照这种方式在内部往返，并随停止而停止．二者同时出发，设运动时间为t秒，在这一过程中，若和互为“共轭角”，求t的值． 【答案】(1)或 (2)或或 (3)t的值为28或40或52或55 【分析】本题考查了新定义——“共轭角”．熟练掌握新定义，角的计算，根据角的倍分关系分类讨论，解一元一次方程，是解题的关键． （1）分或两种情况分别求 解 即 可． （2） ，，种情况分别列方程 求 解 即 可； （3）分，，，四种情况，每种情况分和两种情形解答，舍去时间取值范围外的答案． 【详解】（1）解析：∵，和互为“共轭角”， ∴或． 故答案为：或． （2）①∵，图中存在“共轭角”， ∴． ∴． ②． ∵， ∴， ∴． ③． ∴． ∴． ∴． 答：的度数为或或． （3）∵，， ∴． ∵射线速度为每秒，运动时间为t秒， ∴，射线运动时间为秒． ∴，射线运动时间为60秒． ∵，射线以每秒的速度从顺时针旋转到， ∴射线往返一次需要的时间为：秒． ①当射线还未到达，即时， ∵射线速度为每秒，运动时间为t秒， ∴． ∴． Ⅰ、． ， ， ， ． 时间为负数，不合题意． Ⅱ、 ， ， ， ． 不在相应时间范围内，舍去． ②当射线从返回，即时， ∵射线速度为每秒，运动时间为t秒， ∴， Ⅰ、． ， ， ， ． Ⅱ、． ， ， ， ． 不在相应时间范围内，舍去． ③当射线第二次从出发，还未到达，， ， ∴． Ⅰ、． ， ， ， ． Ⅱ、． ， ， ， ． 不在相应时间范围内，舍去． ④当射线第二次从返回，即时， ． Ⅰ、． ． ， ， ． Ⅱ、． ． ， ， ． 答：t的值为28或40或52或55． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 几何图形初步认识章末压轴满分题型（原卷版）目录 压轴题型一、几何体中的点、棱、面关系压轴 压轴题型二、线段的和差问题 压轴题型三、线段中点问题 压轴题型四、线段动点问题 压轴题型五、三角板中角度计算 压轴题型六、几何图形中角度计算 压轴题型七、与余角、补角有关的计算 压轴题型八、角平分线有关的计算 压轴题型九、图形的旋转压轴 压轴题型一、几何体中的点、棱、面关系压轴 1．下列图形中，图（a）是正方体木块，把它切去一块，得到如图（b）（c）（d）（e）的木块． (1)我们知道，图（a）（b）的相关数据已经给出，请你将图（c），（d），（e）中木块的顶点数，棱数，面数填入表： 图号 顶点数x 棱数y 面数z （a） 8 12 6 （b） 6 9                   （c）                                                     （d）                                                     （e）                                                     (2)如表，各种木块的顶点数，棱数，面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试写出顶点数，棱数，面数之间的数量关系式． 2．【项目式学习】：根据素材，探索完成任务． 材料一：简单多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形，如下图的几何体都是简单多面体． 简单多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 材料二：18世纪瑞士数学家欧拉发现简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式：，这一关系式被称为欧拉公式． 任务一：一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______； 任务二：某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和六边形两种多边形拼接而成，且有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，设该多面体表面三角形的个数为m个，六边形的个数为n个，求的值； 任务三：在任务二的条件下，已知，求代数式的值． 3．如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 正四面体 4 4 6 正方体 正八面体 正十二面体 正二十面体 12 20 30 (2)观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F）之间的关系； (3)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（2）中的结果求这个多面体的面数． 4．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，回答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 30 四面体棱数是_；正八面体顶点数是_． 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_． (2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是_． (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点出都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值． 压轴题型二、线段的和差问题 5．如图，已知线段，点B，D在线段上，，点C在线段上，则图中所有线段长度之和等于（    ） A．400 B．612 C．1412 D．2024 6．如图，直线上有两点，点是线段上的一点，． (1)若，则___________，___________． (2)在（1）的条件下，若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，、两点停止运动．当为何值时，． (3)为直线上一点，且满足，直接写出的值___________． 7．如图，为一根长为的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点M、N，分别将、沿点M、N折叠，点A、B分别落在绳子上的点、处（绳子无弹性，折叠处的长度忽略不计）． （1）当点与点恰好重合时， ． （2）当时， ． 8．如图1，一款暗插销由外壳，开关，锁芯三部分组成，其工作原理如图2，开关绕固定点O转动，由连接点D带动锁芯移动．图3为插销开启状态，此时连接点D在线段上，如位置．开关绕点O顺时针旋转后得到，锁芯弹回至位置（点B与点重合），此时插销闭合如图4．已知，，则 ． 压轴题型三、线段中点问题 9．如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； (4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 10．如图，、是线段上两点，、分别是线段，的中点，下列结论：①若，则；②，则；③；④．其中正确的结论是 （填序号）． 11．【问题提出】同学们在解决数学问题的时候，我们往往运用分类讨论来解决问题的多种情况，如此题．例如若有，求的值．在解决此题时，我们可以进行以下思考： ①当时，此时可以解得 ． ②当时，此时可以解得 ． 【知识迁移】 仿照上面的分析思路，解决下面两个问题 （1）如图，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为，2，1，请在数轴上标出线段的中点D，并写出D的所代表的数；若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段的长，求线段的长． （2）如图，有公共端点P的两条线段、组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 12．如图，已知A，为数轴上的两个点，点A表示的数是，点表示的数是10． (1)线段的中点对应的数为__________； (2)若点在数轴上，且，求的长； (3)若一只蚂蚁从点A出发，在数轴上每秒向右前进3个单位长度；同时一只毛毛虫从点出发，在数轴上每秒向右前进1个单位长度，它们在点处相遇，求点对应的数． 压轴题型四、线段动点问题 13．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 14．已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）． 15．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上） (1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值． (2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝　　BM． (3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值． 16．如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）． （1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置； （2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值； （3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 压轴题型五、三角板中角度计算 17．探究三角尺中的学问： 已知点C为直线上一点，，． (1)如图1，若，图中与互余的角有_________． (2)如图2，已知射线是的平分线，且．求的度数． (3)如图3，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合，使三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放．当，直接写出此时三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数． 18．【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，； 在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点C转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 19．如图，点为直线上一点，过点作射线，将一直角三角板按图中所示的方式摆放 探究一：将图①中的三角板绕点顺时针方向旋转一定的角度得到图②，使边恰好平分．若是否平分？请说明理由； 探究二：将图①中的三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图③， （1）使边在的内部，如果，则与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． （2）若继续旋转三角板，直到与重合，请继续探究：与之间存在怎样的数量关系？ 20．【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、），在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，；在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 【拓展探索】 （3）爱动脑筋的小林改变和各个角的度数，其中，按如图4所示摆放并分别作的角平分线和的角平分线，把绕点旋转一周，请直接写出与、的数量关系． 压轴题型六、几何图形中角度计算 21．【问题初探】 （1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角尺，并利用它们作出一些角，例如． ①小明利用三角尺作出了一个的角； ②小乐利用三角尺作出了一个的角； 除上述提到的这些度数之外，你还能用三角尺作出 度的角（写出一种即可）． 【提出问题】 （2）如图1所示，李老师将两个三角尺放置在一起，于是产生了新的数学问题，，，，在，（，）内作射线，，且，，则 度； 【学以致用】 （3）如图2，小亮忘记了带三角尺，用纸片制作了任意两个三角形，其中，，他把这两个三角形的顶点及边，重合在一起，三角形固定，将三角形绕点顺时针旋转，当边与重合时，停止运动．在此过程中，在，内作射线，，使，．这时，小明说“的度数是一个定值，并且可以用，表示出来”；小乐说“的度数是一个随机值，无法用，表示出来”，请你帮小亮判定一下谁的说法正确，并说明理由． 22．一副三角尺（分别含和）按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为s． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是_____度； (2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转． ①当为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 23．如图，已知同一平面内，，． (1)填空：______； (2)如平分，平分，直接写出的度数为______； (3)试问在（2）的条件下，如果将题目中改成，其他条件不变，你能求出的度数吗？若能，请你写出求解过程：若不能，请说明理由． 24．如图①，O为直线上一点，，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图①中的三角板绕点O逆时针旋转．若三角板的边恰好平分（如图②），求的度数； (2)将图①中的三角板绕点O逆时针旋转，当射线在内部时，请判断与之间的数量关系； (3)将图①中的三角板绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线绕着点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转，当射线回到原处时均停止运动，设运动时间为．求时，t的值． 压轴题型七、与余角、补角有关的计算 25．已知点B、O、C在同一条直线上，． (1)如图1，若，，则_____． (2)如图2，若，，平分，求． (3)如图3，若与互余，也与互余，请在图3中画出符合条件的射线加以计算后，直接写出的度数（用含的式子表示） 26．如图所示，已知，，，且．①图中小于平角的角共有6个；②图中所有小于平角的角之和为；③当绕点旋转一周，平分，平分，则始终等于；④若，，当绕点旋转一周，平分，平分，则始终等于．其中正确的结论 （填序号） 27．综合与实践 如图，O为直线上的一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，将三角板的一边与射线重合，此时______． (2)如图2，将三角板绕点O逆时针旋转一定角度，使得是平分线，求的度数． (3)如图3，将三角板持续绕点O逆时针旋转至内部，使得，求的度数． 28．如图，在同一平面内，，，点E为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ．（填序号） 压轴题型八、角平分线有关的计算 29．定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与∠α互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”． (1)若，且在内部，则__°； (2)若恰好平分，请求出的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由． 30．阅读理解：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“分补线”. 如图，点在直线上，、在直线上方，且，射线是的“分补线”． (1)若，且在内部，则_____，______； (2)若平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，请直接写出与的数量关系：__________． 31．如图1，点为直线上一点，过点在直线的下方作射线，将一个直角三角板的直角顶点放在处，一边和射线重合，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角形绕点逆时针旋转至图2情形，此时，恰好平分，求的度数； (2)若． ①将图1中的三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，第秒时，直线恰好平分，求的值； ②将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图3情形，使在的内部，，，请直接写出与之间的数量关系． 32．定义：从（）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． （1）若平分，且为的“分余线”，则 ； （2）如图，在内部作射线，，使为的平分线，在的内部作射线，使．当为的“分余线”时，则的度数为 ． 压轴题型九、图形的旋转压轴 33．如图，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角的直角顶点放在点O处，边在射线上，另一边在直线的下方．若直角绕点O按每秒的速度顺时针旋转一周，当直角的直角边所在直线恰好平分时，此时直角绕点O的运动时间为 秒． 34．【综合与实践】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放： (1)如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转______°，才能使落在上； (2)如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到，当时，为多少度？ (3)如图3，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，另一条直角边也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，直接写出旋转多少度时，所在直线与所在直线平行或垂直？ 35．如图1，点O为直线上一点，为射线，，将一个含角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，直角边与直线重合． (1)如图1，在内部，过点O作射线，使得，求的度数． (2)将图1中的三角尺绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，射线平分，在旋转的过程中，是否存在某个时刻t（秒），使得，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)如图2，平分，将三角尺绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，若射线从出发绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转，设三角尺与射线运动时间为，在旋转过程中，若与始终满足（a与b为常数），求的值． 36．若一个角是另一个角的二倍，则称这两个角互为“共轭角”． (1)已知且和互为“共轭角”，则______； (2)如图1，，是内部的一条射线，若图中存在“共轭角”，试求出的度数； (3)如图2，，，射线从绕点O逆时针旋转，速度为每秒，到停止运动；射线以每秒的速度从顺时针旋转到，再以每秒的速度逆时针返回，射线按照这种方式在内部往返，并随停止而停止．二者同时出发，设运动时间为t秒，在这一过程中，若和互为“共轭角”，求t的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $