专题03 几何图形初步认识章末易错考点题型（专项训练）数学冀教版2024七年级上册

专题03 几何图形初步认识章末易错考点题型（原卷版） 目录 易错题型一、常见的几何体及其分类 易错题型二、几何体中的点、棱、面 易错题型三、截一个几何体 易错题型四、直线、线段和射线联系与区别 易错题型五、两点确定一条直线 易错题型六、尺规作线段 易错题型七、线段的和差 易错题型八、两点间的距离 易错题型九、线段中点的有关计算 易错题型十、与线段有关的动点问题 易错题型十一、角的表示与分类 易错题型十二、钟面角 易错题型十三、方向角 易错题型十四、角的大小比较 易错题型十五、三角板中角度计算问题 易错题型十六、几何图形中角度计算 易错题型十七、角度的四则运算 易错题型十八、实际问题中角度计算 易错题型十九、余角和补角 易错题型二十、角平分线有关计算 易错题型二十一、旋转的相关概念 易错题型二十二、旋转的性质 易错题型一、常见的几何体及其分类 1．如图是由若干块小正方体积木搭成的立体模型．在此形状上要把它搭成一个大正方体，至少还需要（   ）块这样的小正方体． A．20 B．21 C．22 D．23 2．下列几何体属于柱体的有 个． 3．下图由个棱长为厘米的正方体搭成的，将这个立方图形表面涂上红色．其中只有三个面涂上红色的正方体有( )个，只有四面涂上红色的正方体有( )个． 易错题型二、几何体中的点、棱、面 4．下列说法正确的是（   ） A．棱柱的各条棱长都相等 B．有九条棱的棱柱底面一定是三角形 C．长方体和正方体不是棱柱 D．五棱柱有五个面 5．若一个七棱柱的一条侧棱长，底面的每条边长都是，则所有棱长的和为 ． 6．如图，图①至图③都是将正方体截去一部分后得到的多面体． (1)根据要求填写表格： 图号 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e） 图① ___________ ___________ ___________ 图② ___________ ___________ ___________ 图③ ___________ ___________ ___________ (2)猜想f，v，e之间的数量关系． (3)根据（2）中的猜想，若一个多面体的顶点数为2024，棱数为4043，试求出它的面数． 易错题型三、截一个几何体 7．用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，那么这个几何体不可能是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．五棱柱 D．正方体 8．图①为一个长方体，其内部是一个形状规则的空心几何体，用一个平行于底面的截面自下而上截这个长方体依次得到如图②所示的截面图，则这个长方体内空心部分的几何体可能为 ． 9．三棱柱的上、下底面都是完全相同的三角形，正三棱柱的上、下底面都是完全相同的等边三角形．如图，大正三棱柱的底面周长为11，侧棱长为8，在大正三棱柱中截取了一个底面周长为3的小正三棱柱． (1)请写出截面的形状 ，并求出截面的面积； (2)请直接写出四边形的周长 ． 易错题型四、直线、线段和射线联系与区别 10．一趟高铁从西安站出发，沿途经过渭南站、华山站、洛阳龙门站，最后到郑州站，那么从西安站到郑州站这一趟的高铁票最多需要准备（   ） A．6种 B．20种 C．10种 D．12种 11．如图是广深港高铁线路图，往返于广州南站和深圳北站的高铁列车中途停靠庆盛站、虎门站和光明城站，则有 种不同的票价，要准备 种车票． 12．已知线段，在上逐一画点（所画点与M，N不重合），当画2个点时，共有6条线段；当画3个点时，共有10条线段，则当画n个点时，共有线段 条． 易错题型五、线段的应用 13．在纸上画出四个点（其中任意三个点都不在同一直线上），经过每两个点用直尺画一条直线，一共可以画 条． 14．下列说法：（1）两点确定一条直线；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．如图1，经过平面上的两个点可以画一条直线，如图2，图3，经过平面上三个点中任意两个点画直线，一共可以画一条或三条直线．那么经过平面上四个点中任意两个点画直线，一共可以画几条直线？请画图说明． 易错题型六、尺规作线段 16．如图，A，B，C，D四个点在同一平面内，根据下列语句画图． (1)画射线，直线； (2)延长至点E，使得； (3)连接与交于点F． 17．如图，已知平面上四个点，请按要求完成作图： (1)画直线，画射线，连接； (2)在线段上求作点，使得．（保留作图痕迹） 18．如图，按要求完成画图及作答： (1)用适当的语句表述点与直线的关系：_________； (2)画射线，画直线； (3)连接，并反向延长至点，使． 易错题型七、线段的和差 19．如图，C为线段的中点，D在线段上，且．求： (1)的长； (2)的长． 20．如图所示，点C在线段上，，，点分别是的中点． (1)求的长度； (2)求的长度； (3)若点P在直线上，且，点为的中点，求的长度． 21．已知点C是线段延长线上一点，点M、N分别是与的中点，点D是线段的中点，，，求的长度． 易错题型八、两点间的距离 22．已知两点在线段上，点C在点D左侧，，点M、N分别是的中点，，求线段的长． 23．如图，线段cm，点是的中点，点在上且cm，求线段的长度． 24．如图所示，点C在线段上，，，点N是的中点． (1)如图①，求的长度； (2)如图②，若M是线段上的一点，且，试判断点M是否是线段的中点，并说明理由． 易错题型九、线段中点的有关计算 25．如图，点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点 (1)如果，求的长 (2)如果，求的长 26．如图，已知，且点是的中点． (1)求的长； (2)若线段上有一点，且，求的长． 27．如图所示，点在点左侧，，点，分别是，的中点． (1)若，点在线段上，求的长度； (2)若点在直线上，求的长度． 易错题型十、与线段有关的动点问题 28．如图，是线段上的点，，两点分别从同时出发，以个单位长度/秒，个单位长度/秒的速度沿直线向左运动，当点和点分别在线段上时，求的值． 29．如图，已知线段，点M从点A出发以的速度沿的方向运动，同时点N从点B出发以的速度沿的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动时间为． 根据题意回答下列问题： (1)当时，______；当时，______． (2)若C为线段上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点． ①若，求线段的长； ②若，求线段的长． 30．如图，已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），若． （1）求线段，的长； （2）若点，分别为线段，的中点，，求线段的长； （3）当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明． 易错题型十一、角的表示与分类 31．下列四个图中的也可以用,表示的是（    ） A． B． C． D． 32．下列说法中，正确的有 个 ①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角； ④平角等于；⑤周角等于． 33．如图，正方形网格中有四个点A、B、C、D，它们都在网格线的交点上，请利用网格，只应用没有刻度的直尺，按照下列要求画图及回答问题： （1）画出直线AB，并找出线段AB的中点O； （2）画出射线OC和射线OD； （3）在以上图形中，共有 　 　个锐角，共有 　 　个小于180°的角． 易错题型十二、钟面角 34．如图所示，钟表上时，时针与分针之间所成的角是（   ） A． B． C． D． 35．下图是一个圆形钟面． （1）点在圆心的 偏 ， °的位置上． （2）如果点绕圆心沿弧线顺时针移动后就能到达点，点在圆心的 偏 ， 的位置上． 36．（1）钟表的分针每分钟转_________，时针每分钟转_________； （2）若时针由2点30分走到2点55分，问：分针，时针各转过多大的角度？ （3）当钟表上的时间是2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数是多少？ 易错题型十三、方向角 37．如图，在观测站O发现客轮A、货轮B分别在它北偏东、东南方向，则的大小是（   ） A． B． C． D． 38．4月12日我国在南海举行建国以来海上最大的军事演习在演习中，位于点O处的演习指挥部观测到军舰A位于点O的北偏东方向（如图），同时观测到舰B位于点O处的南偏西方向，那么的大小是（   ） A． B． C． D． 39．如图①，货轮停靠在码头O，发现灯塔A在它的东北（北偏东）方向上，货轮在码头O的西北方向上，货轮在码头O的南偏西方向上． (1)仿照表示灯塔A方位的方法，画出表示货轮B方位的射线，再画出表示货轮P方位的射线． (2)如图（2），两艘货轮从码头O出发，货轮向北偏东的方向航行，货轮向北偏西的方向航行，求的度数． 易错题型十四、角的大小比较 40．已知，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 41．若，，，则（    ） A． B． C． D． 42．比较大小： （填“”或“”或“”）． 易错题型十五、三角板中角度计算问题 43．如图，两个直角三角形如图所示摆放，，点在上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 44．如图一块直角三角板，其中．直尺的一边经过顶点，若的度数是的倍，则的度数为 ． 45．将一副三角尺如图所示在同一平面摆放，其中含的三角尺的边在直线上，另一个三角尺的直角顶点与点O重合． (1)如图1，当三角尺的边在直线上时，求的度数； (2)如图2，将三角板绕点O逆时针方向旋转，恰好平分时，则射线是的平分线吗？请说明理由． 易错题型十六、几何图形中角度计算 46．将一副直角三角尺如图放置． (1)若，求的大小； (2)求与的数量关系． 47．如图，是直角，平分，平分，求的度数． 48．如图，点在直线上，（和在直线上方）． (1)写出的补角和的余角； (2)若平分，求的度数． 易错题型十七、角度的四则运算 49．计算： (1)； (2)． 50．计算： (1)； (2) 51．计算： (1) (2) 易错题型十八、实际问题中角度计算 52．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年12月9日15点40分，“天宫课堂”第一课正式开讲．在时刻15：40时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（    ） A．150° B．120° C．130° D．140° 53．“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为 ． 54．一束光在空气与某透明物质的界面处发生了反射和折射现象，其光路如图所示．入射光线与界面的入射角为，折射角为，则反射光线与折射光线形成的 ． 易错题型十九、余角和补角 55．如果是的余角的补角，， ，若，则的补角= ． 56．如图，利用工具测量角，有如下4个结论：①；②；③与互为余角；④与互为补角．上述结论中正确的是 （填序号）． 57．如图，已知点O为直线上一点，，平分，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 易错题型二十、角平分线有关计算 58．如图，射线在的内部，，分别是，的平分线． (1)若，，则 度； (2)若的度数为，的度数为β，则是多少度？（用α，β表示） (3)请写出与的数量关系，并说明理由． 59．如图，直线经过点O，平分，平分，若，． (1)求的度数． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 60．某数学兴趣小组利用直尺和三角板研究角的平分线，如图所示． (1)如图①，，点O在直线上，则的度数为__________； (2)如图②，点O在直线上，当（在的左侧）时，平分，平分，求的度数． 易错题型二十一、旋转的相关概念 61．如图是一个正五角星，将这个正五角星绕着它的中心旋转与自身重合，至少应旋转的度数为（ ） A． B． C． D． 62．如图，在正方形网格中，图②是由图①绕点、、、中的某一点逆时针旋转得到，其旋转角度是 ． 63．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．画出绕点逆时针旋转后的 易错题型二十二、旋转的性质 64．如图，绕点顺时针旋转到的位置，已知，则等于（   ） A． B． C． D． 65．如图，将一块直角三角尺绕直角顶点按顺时针方向旋转度后得到，若，则旋转角 °． 66．如图，在中，，，点D为内一点，连接AD、CD．把绕点C逆时针旋转得到了． (1)的形状是______； (2)延长AD交BE于F，交BC于M，判断AD和BE的数量关系和位置关系． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 几何图形初步认识章末易错考点题型（解析版） 目录 易错题型一、常见的几何体及其分类 易错题型二、几何体中的点、棱、面 易错题型三、截一个几何体 易错题型四、直线、线段和射线联系与区别 易错题型五、两点确定一条直线 易错题型六、尺规作线段 易错题型七、线段的和差 易错题型八、两点间的距离 易错题型九、线段中点的有关计算 易错题型十、与线段有关的动点问题 易错题型十一、角的表示与分类 易错题型十二、钟面角 易错题型十三、方向角 易错题型十四、角的大小比较 易错题型十五、三角板中角度计算问题 易错题型十六、几何图形中角度计算 易错题型十七、角度的四则运算 易错题型十八、实际问题中角度计算 易错题型十九、余角和补角 易错题型二十、角平分线有关计算 易错题型二十一、旋转的相关概念 易错题型二十二、旋转的性质 易错题型一、常见的几何体及其分类 1．如图是由若干块小正方体积木搭成的立体模型．在此形状上要把它搭成一个大正方体，至少还需要（   ）块这样的小正方体． A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】B 【分析】本题考查了常见的几何体，根据一个大正方体的棱长都相等，且观察原来的立体模型，得出这个大正方体每条棱上必须有3个正方体，进行列式计算，即可作答． 【详解】观察这个立体模型，得出原来的立体模型的小正方体积木有6个 根据题意可知：这个大正方体每条棱上必须有3个正方体， 一共有（个）， ∴（个）， 答：还需要21块小正方体积木， 故选：B． 2．下列几何体属于柱体的有 个． 【答案】3 【分析】根据柱体的定义逐项分析判定即可得出答案． 【详解】解：①是四棱柱或长方体，所以①属于柱体； ②是三棱锥，所以②不属于柱体； ③是圆柱，所以③属于柱体； ④是圆锥体，所以④不属于柱体； ⑤是球体，所以⑤不属于柱体； ⑥是三棱柱，所以⑥属于柱体． 所以属于柱体的有①③⑥共3个． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了认识立体图形，认识基本几何体是解决本题的关键． 3．下图由个棱长为厘米的正方体搭成的，将这个立方图形表面涂上红色．其中只有三个面涂上红色的正方体有( )个，只有四面涂上红色的正方体有( )个． 【答案】 【分析】本题考查了涂色问题的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据正方形的排列特点，找到露出在外面的面既是涂色面，依次即可得出答案． 【详解】解：观察图形可得：三个面涂上红色的正方体有个，四面涂上红色的正方体有个， 故答案为：，． 易错题型二、几何体中的点、棱、面 4．下列说法正确的是（   ） A．棱柱的各条棱长都相等 B．有九条棱的棱柱底面一定是三角形 C．长方体和正方体不是棱柱 D．五棱柱有五个面 【答案】B 【分析】本题考查了棱柱的相关知识点，棱柱有条棱，棱柱有个面，根据棱柱的相关知识点逐项分析即可得解，熟练掌握棱柱的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：A、棱柱的侧棱都相等，但底面的棱不一定都相等，故原说法错误，不符合题意； B、根据棱柱有条棱，令，则，故有九条棱的棱柱底面一定是三角形，故原说法正确，符合题意； C、长方体和正方体都是棱柱，故原说法错误，不符合题意； D、棱柱有个面，故五棱柱有个面，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 5．若一个七棱柱的一条侧棱长，底面的每条边长都是，则所有棱长的和为 ． 【答案】98 【分析】本题考查立体图形的认识，求出所有棱长是解本题的关键． 【详解】解：∵一个七棱柱有侧棱7条棱，底边有14条， ∴ ． 故答案为；98． 6．如图，图①至图③都是将正方体截去一部分后得到的多面体． (1)根据要求填写表格： 图号 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e） 图① ___________ ___________ ___________ 图② ___________ ___________ ___________ 图③ ___________ ___________ ___________ (2)猜想f，v，e之间的数量关系． (3)根据（2）中的猜想，若一个多面体的顶点数为2024，棱数为4043，试求出它的面数． 【答案】(1)7，9，14，6，8，12，7，10，15 (2) (3)2021 【分析】本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结果得出规律． （1）根据图形数填写即可； （2）根据（1）中结果得出结论即可； （3）代入（2）中结论求出即可． 【详解】（1）解：根据要求填写表格： 图号 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e） 图① 7 9 14 图② 6 8 12 图③ 7 10 15 （2）由（1）得：f，v，e之间的数量关系是； （3）把代入， ， ． 易错题型三、截一个几何体 7．用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，那么这个几何体不可能是（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．五棱柱 D．正方体 【答案】B 【分析】此题主要考查了截一个几何体，明确截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关是解题的关键．根据圆柱、圆锥、五棱柱、正方体的特点判断即可． 【详解】解：A、用垂直于地面的一个平面截圆柱截面为长方形，故此选项不符合题意； B、圆锥由一个平面和一个曲面，截面最多有三条边，截面不可能是长方形，故此选项符合题意； C、五棱柱的截面可以是长方形，故此选项不符合题意； D、正方体的截面可以是长方形，故此选项不符合题意． 故选：B． 8．图①为一个长方体，其内部是一个形状规则的空心几何体，用一个平行于底面的截面自下而上截这个长方体依次得到如图②所示的截面图，则这个长方体内空心部分的几何体可能为 ． 【答案】圆锥 【分析】本题考查截面的知识，熟练掌握截一个几何体并灵活运用是解决本题的关键；知识点为截一个几何体：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫截面，由截面形状去想象几何体与给一个几何体想象它的截面是一个互逆的思维过程， 要根据所给截面形状仔细分析，展开想象．通过观察可发现：在长方体内部的圆自下而上由大圆逐渐变成小圆、点；根据圆的变化规律即可想象出该几何体的形状． 【详解】解：观察截面图特征：从图②中可以看到，平行于底面的截面是圆形，并且随着截面自下而上移动，圆形的面积逐渐变小，最后变成一个点； 当平面从圆锥底面逐渐向上移动时，由于圆锥的形状是从底面逐渐收缩到顶点，所以截面圆的半径会逐渐减小，其面积也随之逐渐变小，当平面经过圆锥顶点时，截面就变成一个点，这与图②所呈现的截面变化情况是相符的； 故答案为：圆锥． 9．三棱柱的上、下底面都是完全相同的三角形，正三棱柱的上、下底面都是完全相同的等边三角形．如图，大正三棱柱的底面周长为11，侧棱长为8，在大正三棱柱中截取了一个底面周长为3的小正三棱柱． (1)请写出截面的形状 ，并求出截面的面积； (2)请直接写出四边形的周长 ． 【答案】(1)长方形，8 (2)10 【分析】本题考查了截一个几何体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意即可得出截面的形状为长方形；由题意得出，再根据长方形面积公式计算即可得解； （2）由题意可得，，再列式计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：截面的形状为长方形； ∵在大正三棱柱中截取了一个底面周长为3的小正三棱柱， ∴， ∴截面的面积为； （2）解：由题意可得：，， ∴四边形的周长． 易错题型四、直线、线段和射线联系与区别 10．一趟高铁从西安站出发，沿途经过渭南站、华山站、洛阳龙门站，最后到郑州站，那么从西安站到郑州站这一趟的高铁票最多需要准备（   ） A．6种 B．20种 C．10种 D．12种 【答案】C 【分析】本题考查排列组合的实际应用，需计算单程路线中不同起点到终点的车票种类数． 【详解】解：高铁从西安出发，依次经过渭南、华山、洛阳龙门，终点为郑州，共5个车站．每张车票对应一个起点和一个终点，且终点必须在起点之后，分类计算如下： 西安为起点，有4个终点（渭南、华山、洛阳龙门、郑州），共4种； 渭南为起点，有3个终点（华山、洛阳龙门、郑州），共3种； 华山为起点，有2个终点（洛阳龙门、郑州），共2种； 洛阳龙门为起点，有1个终点（郑州），共1种； 郑州为起点，无后续车站，共0种． 总车票种类数为：． 因此，最多需要准备10种高铁票， 故选：C． 11．如图是广深港高铁线路图，往返于广州南站和深圳北站的高铁列车中途停靠庆盛站、虎门站和光明城站，则有 种不同的票价，要准备 种车票． 【答案】 10 20 【分析】本题主要考查了线段条数问题，分别用A、B、C、D、E表示广州南站，深圳北站，庆盛站、虎门站和光明城站，那么图中线段的条数即为票价种类数，由于两个站之间有往返票，则两个站之间有2种票，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，分别用A、B、C、D、E表示广州南站，深圳北站，庆盛站、虎门站和光明城站， ∵一共有广州南站，深圳北站，庆盛站、虎门站和光明城站，共5个站，且每两个站之间有一种票价， ∴图中线段的条数即为票价种类数， ∵图中有线段，共10条线段， ∴有10种不同的票价， ∵两个站之间有往返票， ∴两个站之间有2种票， ∴要准备种车票， 故答案为：10；20． 12．已知线段，在上逐一画点（所画点与M，N不重合），当画2个点时，共有6条线段；当画3个点时，共有10条线段，则当画n个点时，共有线段 条． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形规律探索，熟练掌握从特殊情况归纳出一般规律是解题的关键．通过分析画不同数量点时的线段总数，找出规律，进而推导出画个点时的线段总数表达式． 【详解】解：∵ 当画个点时，线段总数为条，即； 当画个点时，线段总数为条，即； 当画个点时，线段总数为条，即； 当画个点时，线段总数为条，即； ∴ 当画个点时，线段总数为条． 故答案为：． 易错题型五、线段的应用 13．在纸上画出四个点（其中任意三个点都不在同一直线上），经过每两个点用直尺画一条直线，一共可以画 条． 【答案】6 【分析】本题考查了直线，熟练掌握直线的性质是解题关键．根据两点确定一条直线解答即可得． 【详解】解：画出图形如下： 一共可以画直线的条数为（条）， 故答案为：6． 14．下列说法：（1）两点确定一条直线；（2）画一条射线，使它的长度为；（3）线段和线段是同一条线段；（4）射线和射线是同一条射线；（5）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段，掌握直线、射线、线段的定义是正确判断的关键．根据线段的性质，射线、直线、线段的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：（1）两点确定一条直线，因此（1）正确； （2）由于射线是无限长的，无法度量其长度，因此（2）不正确； （3）线段和线段是同一条线段，因此（3）正确； （4）射线和射线是两条不同的射线，因此（4）不正确； （5）直线和直线是同一条直线，因此（5）正确， 综上所述，错误的结论有（2）（4），共2个， 故选：B． 15．如图1，经过平面上的两个点可以画一条直线，如图2，图3，经过平面上三个点中任意两个点画直线，一共可以画一条或三条直线．那么经过平面上四个点中任意两个点画直线，一共可以画几条直线？请画图说明． 【答案】过同一平面内四个点中的任意两个点，可以画1条、4条或6条直线，图形见解析 【分析】分三种情况讨论，当四点在同一直线上时，当只有三点在同一直线上时，当任意三个点都不在同一直线上，即可求解． 【详解】解：分三种情况讨论： ①如图1，当四点在同一直线上时，可以画1条直线； ②如图2，当只有三点在同一直线上时，可以画4条直线； ③如图3，当任意三个点都不在同一直线上，可以画6条直线； 综上所述，过同一平面内四个点中的任意两个点，可以画1条、4条或6条直线． 【点睛】本题主要考查了画直线，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 易错题型六、尺规作线段 16．如图，A，B，C，D四个点在同一平面内，根据下列语句画图． (1)画射线，直线； (2)延长至点E，使得； (3)连接与交于点F． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）根据直线和射线的定义作出图形，即可求解； （2）根据线段的定义作出图形，即可求解； （3）根据要求进行连接线段，并标注点F，即可求解； 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： （3）解：如图： 17．如图，已知平面上四个点，请按要求完成作图： (1)画直线，画射线，连接； (2)在线段上求作点，使得．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了基本作图，掌握线段、射线、直线的定义，是解答本题的关键． （1）依据要求直接作图即可； （2）以A为圆心，以为半径，画弧交于点P，即可作答． 【详解】（1）解：如图，直线，射线，线段即为所求； （2）解：如图，点即为所求； 18．如图，按要求完成画图及作答： (1)用适当的语句表述点与直线的关系：_________； (2)画射线，画直线； (3)连接，并反向延长至点，使． 【答案】(1)点在直线外 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查射线，直线和线段的作图．熟练掌握射线，直线和线段的定义是解题的关键． （1）根据点与直线的关系即可填空； （2）根据直线和射线的定义求解即可； （3）作射线并反向延长，依次截取两次使即可求解． 【详解】（1）根据题意得，点与直线l的关系：点在直线l外； （2）如图所示，射线，直线即为所求； （3）如图所示，点D即为所求； 易错题型七、线段的和差 19．如图，C为线段的中点，D在线段上，且．求： (1)的长； (2)的长． 【答案】(1)7 (2)1 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，线段中点的有关计算，解题的关键是熟练掌握线段中点的定义． （1）根据，求出，根据中点定义，求出结果即可； （2）根据，，求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， ∵C为线段的中点， ； （2）解：∵，， ∴． 20．如图所示，点C在线段上，，，点分别是的中点． (1)求的长度； (2)求的长度； (3)若点P在直线上，且，点为的中点，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算，熟练掌握线段中点的计算是解题关键． （1）先根据线段的和差可得，再根据线段中点的定义求解即可得； （2）先根据线段中点的定义可得，再根据线段的和差求解即可得； （3）分两种情况：①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，先根据线段的和差可得的长，再根据线段中点的定义可得的长，然后根据线段的和差求解即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴． （2）解：∵点是的中点，， ∴， 由（1）已得：， ∴． （3）解：①如图，当点在线段上时， ∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 由（1）已得：， ∴； ②如图，当点在线段的延长线上时， ∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 由（1）已得：， ∴； 综上，的长为或． 21．已知点C是线段延长线上一点，点M、N分别是与的中点，点D是线段的中点，，，求的长度． 【答案】或 【分析】此题考查了线段长度的计算问题，解题的关键是掌握线段中点平分线段长度以及线段的和差关系． 首先求出，然后分两种情况讨论：当点D在点B左边时和当点D在点B右边时，然后分别求出，由线段中点和线段的和差求解即可． 【详解】解：∵点M是的中点，， ∴， 如图所示，当点D在点B左边时， ∵， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴ ∵点N是的中点 ∴； 如图所示，当点D在点B右边时， ∵， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴ ∵点N是的中点 ∴； 综上所述，的长度为或． 易错题型八、两点间的距离 22．已知两点在线段上，点C在点D左侧，，点M、N分别是的中点，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的和差相关计算，掌握线段中点的概念、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 根据中点的定义先求出，，然后计算，再根据，求出的值，进一步求出即可． 【详解】解：如图： 点M、N分别是的中点， ， ， ， 23．如图，线段cm，点是的中点，点在上且cm，求线段的长度． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键．根据线段中点的性质，可得的长，根据线段的和差，可得答案． 【详解】 解：由线段，点是的中点，得 ． 由线段的和差，得 ， 线段的长度是． 24．如图所示，点C在线段上，，，点N是的中点． (1)如图①，求的长度； (2)如图②，若M是线段上的一点，且，试判断点M是否是线段的中点，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)点M的的中点，理由见解析 【分析】本题主要考查了两点间的距离，解题关键是正确识别图形，理解线段之间的和差倍分关系． （1）先根据已知条件求出，再根据，求出，最后根据线段中点的定义求出即可； （2）先根据已知条件求出，再根据，求出，最后根据线段中点的定义求出，再根据，求出，根据线段中点的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴； （2）解：点M是的中点，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴点M是的中点． 易错题型九、线段中点的有关计算 25．如图，点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点 (1)如果，求的长 (2)如果，求的长 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段中点的性质及线段的和差计算，解题的关键是利用中点性质将线段长度进行转化，结合已知条件通过和差关系求解． （1）主要关键步骤：由M是中点得求出长度；再由与的差求出长度；最后由N是中点得求出长度． （2）主要关键步骤：由M、N分别是、中点得、；根据推出，进而求出长度． 【详解】（1）解：∵点M是线段的中点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵点N是线段的中点 ∴ （2）∵点M是线段的中点，点N是线段的中点 ∴ ∵ ∴ 26．如图，已知，且点是的中点． (1)求的长； (2)若线段上有一点，且，求的长． 【答案】(1)10 (2)2或4 【分析】本题主要考查线段的和差以及线段中点的定义，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解题关键． （1）先根据线段的和差得到，再由线段中点的定义即可求解． （2）先求出的长，再根据线段的和求出的长． 【详解】（1）解：∵， ， 点是的中点， ； （2）解：， ∴， 当点在之间时，； 当点在之间时，； 综上，的长为2或4． 27．如图所示，点在点左侧，，点，分别是，的中点． (1)若，点在线段上，求的长度； (2)若点在直线上，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段的和差，线段的中点，熟练掌握线段中点，线段的和差意义是解题的关键． （1）已知，，可得的长度，又因点N是的中点，即，可得的长度； （2）根据题意画出示意图，求出，根据点，分别是，的中点，求出，可得的长度． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点N是的中点， ∴． （2）解：∵，，点在直线上， ∴点C在点A的左侧如图， ∴， ∵点N是的中点， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴． 易错题型十、与线段有关的动点问题 28．如图，是线段上的点，，两点分别从同时出发，以个单位长度/秒，个单位长度/秒的速度沿直线向左运动，当点和点分别在线段上时，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离,线段的和差，设，则，设运动的时间为，则，，可得，，进而得到，即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，设，则， 设运动的时间为，则，， ∴，， ∴， ∴． 29．如图，已知线段，点M从点A出发以的速度沿的方向运动，同时点N从点B出发以的速度沿的方向运动，其中一个点到达端点时，另一个点也同时停止，设运动时间为． 根据题意回答下列问题： (1)当时，______；当时，______． (2)若C为线段上一点，当点M与N相遇时，设相遇的位置为点． ①若，求线段的长； ②若，求线段的长． 【答案】(1)， (2)①，②线段的长为或 【分析】本题考查代数式，一元一次方程，线段的运算，熟练掌握线段的运算是解题的关键； （1）根据速度时间关系，可以求得相对应线段的长度，利用线段之间运算即可求解； （2）①由题意，得，，根据相遇关系列方程，求得的值，求出的值，进而求解； ②根据题意，求得的长度，进而分情况讨论，即可求解； 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，，， ， 故答案为：， （2））①由题意，得，， 当点，相遇时，，， 则， 所以， 因为， 所以， 所以； ②由①可得，， 因为， 所以， 当点C在点D左侧时，， 当点C在点D右侧时，， 故线段的长为或． 30．如图，已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），若． （1）求线段，的长； （2）若点，分别为线段，的中点，，求线段的长； （3）当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明． 【答案】（1），；（2）9；（3）②正确，，见解析 【分析】（1）利用两个非负数和为0，可得每个非负数为0，可求，即可； （2）分类考虑当点在点的右侧和点在点的左侧时，利用中点可求AM，DN，利用线段和差求AD，可求MN=AD-AM-DN即可； （3）利用PA=PC+AC，PB=PC-BC，求出PA+PB=2PC即可． 【详解】解：（1）由，， ， 得，， 所以，； （2）当点在点的右侧时，如图， 因为点，分别为线段，的中点，， 所以，， 又因为， 所以， 当点在点的左侧时，如图， 因为点，分别为线段，的中点， 所以，， 所以 所以． 综上，线段的长为9； （3）②正确，且．理由如下： 因为点与点重合，所以， 所以，所以， 所以． 【点睛】本题考查非负数的性质，线段中点，线段和差，线段的比问题，掌握非负数的性质，线段中点，线段和差，线段的比，关键是利用线段和差PA=PC+AC，PB=PC-BC，求出PA+PB=2PC． 易错题型十一、角的表示与分类 31．下列四个图中的也可以用,表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示进行分析即可． 【详解】A项，可以用表示，但没有办法表示任何角，故该选项不符合题意； B项，可以用表示，也可以表示∠1，故该选项符合题意； C项，不能表示，故该选项不符合题意； D项，可以用表示，但没有办法表示任何角，故该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法． 32．下列说法中，正确的有 个 ①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角； ④平角等于；⑤周角等于． 【答案】3 【分析】本题主要考查了锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义，属于基础题.掌握锐角、直角、钝角、平角以及周角的定义是解答本题的关键．实际解答时，要学会举反例． 【详解】①小于的角也可能是 ，不一定是锐角，原说法错误； ②等于的角是直角，说法正确； ③平角大于但不是钝角，原说法错误； ④平角等于，说法正确； ⑤周角等于，说法正确， 故正确的有3个， 故答案为：3． 33．如图，正方形网格中有四个点A、B、C、D，它们都在网格线的交点上，请利用网格，只应用没有刻度的直尺，按照下列要求画图及回答问题： （1）画出直线AB，并找出线段AB的中点O； （2）画出射线OC和射线OD； （3）在以上图形中，共有 　 　个锐角，共有 　 　个小于180°的角． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2，5 【分析】（1）根据直线和线段中点的定义，即可求解； （2）根据射线的定义，即可求解； （3）根据题意可得锐角有∠AOC，∠BOD，小于180°的角有∠AOC，∠BOD，∠COD，∠AOD，∠BOC，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，直线AB，点O即为所求； （2）射线OC、OD即为所求； （3）锐角有∠AOC，∠BOD，共有2个， 小于180°的角有∠AOC，∠BOD，∠COD，∠AOD，∠BOC，共5个． 【点睛】本题主要考查了直线、射线和线段中点的定义，角的分类，熟练掌握直线、射线和线段中点的定义，角的分类是解题的关键． 易错题型十二、钟面角 34．如图所示，钟表上时，时针与分针之间所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是钟面角，熟练掌握钟表表盘与角度相关的特征是关键．因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，再用大格数乘即可求解． 【详解】解：∵钟表上时，时针与分针之间相差个大格， ∴时针与分针的夹角是． 故选：C． 35．下图是一个圆形钟面． （1）点在圆心的 偏 ， °的位置上． （2）如果点绕圆心沿弧线顺时针移动后就能到达点，点在圆心的 偏 ， 的位置上． 【答案】 北 东 南 东 【分析】本题考查了钟面角和用角度表示方向． （1）钟表上的大格是把一个圆平均分成了等份，每一份是，所以两个大格之间的夹角是度；点在圆心的北偏东的位置上； （2）如果点绕圆心沿弧线顺时针移动，到达点，点在数字的位置，点在圆心的南偏东的位置上． 【详解】解：（1）点在圆心的北偏东的位置上． 故答案为：北，东，． （2）如果点绕圆心沿弧线顺时针移动，到达点，点在数字的位置，点在圆心的南偏东的位置上． 故答案为：南，东，． 36．（1）钟表的分针每分钟转_________，时针每分钟转_________； （2）若时针由2点30分走到2点55分，问：分针，时针各转过多大的角度？ （3）当钟表上的时间是2时15分时，时针与分针所成的锐角的度数是多少？ 【答案】（1）6，0.5；（2）分针转过的角度为，时针转过的角度为；（3）22.5度 【分析】本题考查钟面角，掌握时针和分针一分钟转动的度数是解题的关键． （1）根据时针一小时即60分钟转，分针一小时即60分钟转即可解答； （2）若时针由2点30分走到2点55分，共经过25分钟，时针一分钟转动，分针一分钟转，据此作答； （3）钟表上2时，时针指到2上，再过15分钟，转过的角度是，2时15分钟时，分针指到3上，与2构成的角度是，即可求出时针与分针所成的锐角的度数． 【详解】解：（1）钟表的分针每分钟转，时针每分钟转， 故答案为：6，0.5； （2）分针转过的角度为，时针转过的角度为． 答：分针转过的角度为，时针转过的角度为； （3）． 答：时针与分针所成的锐角的度数是． 易错题型十三、方向角 37．如图，在观测站O发现客轮A、货轮B分别在它北偏东、东南方向，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方向角，根据方向角的定义以及平角的定义进行计算即可． 【详解】解：如下图： 由题意得：， ， 故选：B． 38．4月12日我国在南海举行建国以来海上最大的军事演习在演习中，位于点O处的演习指挥部观测到军舰A位于点O的北偏东方向（如图），同时观测到舰B位于点O处的南偏西方向，那么的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了方向角，解题的关键是正确理解方向角． 利用方向角的定义求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 39．如图①，货轮停靠在码头O，发现灯塔A在它的东北（北偏东）方向上，货轮在码头O的西北方向上，货轮在码头O的南偏西方向上． (1)仿照表示灯塔A方位的方法，画出表示货轮B方位的射线，再画出表示货轮P方位的射线． (2)如图（2），两艘货轮从码头O出发，货轮向北偏东的方向航行，货轮向北偏西的方向航行，求的度数． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考核知识点是方向角．理解方向角的定义和角的和差关系是关键． （1）根据方向角的定义，结合题意画出方向角即可； （2）根据角的和差关系可得：即可求出结论． 【详解】（1）解：如图所示，射线的方向就是西北方向，即货轮所在的方向，射线的方向就是货轮所在的方向， （2）解：依题意可得，， ∴ ． 易错题型十四、角的大小比较 40．已知，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查角的大小比较，将化成后，再进行比较即可． 【详解】解：因为， 所以， 又因为， 所以， 故选：C． 41．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度的比较大小，解题的关键是将角度的度量单位化成统一的形式． 将统一化成“度、分、秒”的形式，即可比较大小． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选：A． 42．比较大小： （填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了角度制和角的大小比较，理解并掌握角度制是解题关键．将化为，再进行比较即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 即， 故答案为：． 易错题型十五、三角板中角度计算问题 43．如图，两个直角三角形如图所示摆放，，点在上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，根据平角的定义可得，代入已知角的度数计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点在上 ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 44．如图一块直角三角板，其中．直尺的一边经过顶点，若的度数是的倍，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查角的计算，平角的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先求得，再根据的度数是的倍，求出的度数，即可由求解． 【详解】解：，， ， 的度数是的倍， ，解得， ， 故答案为：． 45．将一副三角尺如图所示在同一平面摆放，其中含的三角尺的边在直线上，另一个三角尺的直角顶点与点O重合． (1)如图1，当三角尺的边在直线上时，求的度数； (2)如图2，将三角板绕点O逆时针方向旋转，恰好平分时，则射线是的平分线吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)恰好平分，射线是的平分线；的延长线平分，则射线不是的平分线；理由见详解 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，角平分线的有关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据三角板的性质以及角的和差运算关系列式计算，即可作答． （2）分情况讨论且作图，说明恰好平分，射线是的平分线；的延长线平分，则射线不是的平分线，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解：恰好平分，射线是的平分线；的延长线平分，则射线不是的平分线，理由如下： 如图： ∵恰好平分，， ∴， ∴， 则； 此时射线是的平分线； 当的延长线平分，如图： 此时射线不在的内部，不是的平分线， 综上：恰好平分，射线是的平分线；的延长线平分，则射线不是的平分线， 易错题型十六、几何图形中角度计算 46．将一副直角三角尺如图放置． (1)若，求的大小； (2)求与的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是角度的和差计算，数形结合是解题的关键； （1）根据余角的概念求出，结合图形计算即可； （2）根据，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：， ∴， ∴． 47．如图，是直角，平分，平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，由角平分线的定义可得，，进而根据即可求解，掌握角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， 即 ∴ ． 48．如图，点在直线上，（和在直线上方）． (1)写出的补角和的余角； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)的补角是的余角是 (2)125° 【分析】本题考查了补角的意义，余角的意义，角平分线的意义，角的和差，解题关键是掌握上述知识，并能熟练求解． （1）根据补角的意义、余角的意义直接求解； （2）先利用两角之差求得，再利用角平分线的意义求得，然后利用两角之和求得的度数． 【详解】（1）解：∵和在直线上方， ∴， ∴的补角是， ∵， ∴， ∴的余角是． （2）因为，， 所以． 因为平分， 所以， 所以． 易错题型十七、角度的四则运算 49．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了进行度、分、秒的混合运算，是角度计算中的一个难点，注意以60为进制即可． （1）进行度、分、秒的加减混合运算即可； （2）先进行度、分、秒的乘法计算，再算减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 50．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角的四则运算法则求解即可． （2）根据角的四则运算法则求解即可． 本题考查了角的四则运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式= =． （2）解：原式= =． 51．计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据角度制的进率为60进行计算求解即可； （2）根据角度制的进率为60进行计算求解即可． 本题主要考查了角的四则运算，熟练掌握度分秒的转换是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 易错题型十八、实际问题中角度计算 52．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2021年12月9日15点40分，“天宫课堂”第一课正式开讲．在时刻15：40时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（    ） A．150° B．120° C．130° D．140° 【答案】C 【分析】根据时钟上一大格是，时针1分钟转进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ， 在时刻时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是：， 故选：C． 【点睛】本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握时钟上一大格是，时针1分钟转． 53．“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了方位角的计算，角度的计算，如图，根据题意得，由即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意：， 则， ∴， 故答案为：． 54．一束光在空气与某透明物质的界面处发生了反射和折射现象，其光路如图所示．入射光线与界面的入射角为，折射角为，则反射光线与折射光线形成的 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了利用光的反射定律和折射定律求角的度数，掌握光的反射和折射定律是解题的关键．过点作法线，由界面、入射角等于反射角即可求解． 【详解】解：过点作法线，得到界面， 由图可知是入射光线，是反射光线，是折射光线， 界面， ，得到， 入射角等于反射角， ， 与界面的夹角是， ， 故； 故答案为120°． 易错题型十九、余角和补角 55．如果是的余角的补角，， ，若，则的补角= ． 【答案】 160 20 【分析】本题主要考查了余角和补角的计算，根据互为余角的两个角的和为，互为补角的两个角和为求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角为， ∵是的余角的补角， ∴， ∵， ∴的补角， 故答案为：160，20． 56．如图，利用工具测量角，有如下4个结论：①；②；③与互为余角；④与互为补角．上述结论中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．根据余角和补角的定义，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：由图知，故①正确， ， ，故②错误， ， 与互为余角，故③正确； ， ， 与互为补角．故④正确； 故答案为：①③④． 57．如图，已知点O为直线上一点，，平分，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、余角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，利用平角的定义求出的度数，再利用角平分线的定义即可求出的度数； （2）根据余角的定义得到，结合（1）中的结论即可求解． 【详解】（1）解：平分，， ， ， 又平分， ， 的度数为． （2）解：与互余， ， ， 由（1）得，，， ， 的度数为． 易错题型二十、角平分线有关计算 58．如图，射线在的内部，，分别是，的平分线． (1)若，，则 度； (2)若的度数为，的度数为β，则是多少度？（用α，β表示） (3)请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)40 (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义和角度的和差倍分计算，根据图形得出角之间的关系是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求得及的度数，再由角之间的和差关系计算即可； （2）同（1）的方法，即可求解； （3）根据角平分线的定义表示出及，再由角之间的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，分别是，的平分线，且，， ∴，， ∴， 故答案为：40； （2）解：∵，分别是，的平分线，且，， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵射线在的内部，，分别是，的平分线， ∴， ∴． 59．如图，直线经过点O，平分，平分，若，． (1)求的度数． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差计算，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键． （1）由求出的度数，根据角平分线的定义得出的度数，求出，进而求解即可； （2）首先由角平分线的定义得出的度数，根据平角的定义与角的和差即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴ ∴ ∴． 60．某数学兴趣小组利用直尺和三角板研究角的平分线，如图所示． (1)如图①，，点O在直线上，则的度数为__________； (2)如图②，点O在直线上，当（在的左侧）时，平分，平分，求的度数． 【答案】(1)90 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角度计算，平角，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据平角的定义计算即可； （2）根据平角的定义可得，再结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：90； （2）解：，， ， 平分，平分， ，， ． 易错题型二十一、旋转的相关概念 61．如图是一个正五角星，将这个正五角星绕着它的中心旋转与自身重合，至少应旋转的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：， 因而一个正五角星绕着它的中心至少旋转能与自身重合． 故选：D． 62．如图，在正方形网格中，图②是由图①绕点、、、中的某一点逆时针旋转得到，其旋转角度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，连接对应点，作对应点连线的垂直平分线，交点即为旋转中心，结合网格即可求得旋转角，即可求解． 【详解】解：如图， 旋转中心为点，旋转角为 故答案为：． 63．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．画出绕点逆时针旋转后的 【答案】见解析 【分析】本题考查了旋转作图，掌握旋转的性质是解题的关键．将的顶点A、B、C绕点O逆时针旋转得到、、，顺次连接、、即可． 【详解】解：如图，即为所求， ． 易错题型二十二、旋转的性质 64．如图，绕点顺时针旋转到的位置，已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了旋转的性质，由旋转性质可知，然后由即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转到的位置， ∴， ∴， 故选：． 65．如图，将一块直角三角尺绕直角顶点按顺时针方向旋转度后得到，若，则旋转角 °． 【答案】30 【分析】本题考查了旋转的性质，找到旋转角，然后根据直角三角尺得到的值，计算的值即可得出答案，理解旋转前和旋转后的图形完全相等及找到旋转角是解本题关键． 【详解】解：是绕直角顶点O按顺时针方向旋转度后所得， ， ， ， 又， ， ， 故答案为：30． 66．如图，在中，，，点D为内一点，连接AD、CD．把绕点C逆时针旋转得到了． (1)的形状是______； (2)延长AD交BE于F，交BC于M，判断AD和BE的数量关系和位置关系． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)，． 【分析】本题考查了图形的旋转及性质，垂直定义，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，正确理解相关的概念及性质是解决本题的关键． （1）根据图形旋转的性质即可； （2）由旋转的性质可得，对顶角，再根据三角形内角和定理推出，结论即可得证； 【详解】（1）结论：是等腰直角三角形． 证明：由逆时针旋转得到了可知：点是三角形的旋转中心，旋转角为； ∴，， 即：是等腰直角三角形． （2）结论：，． 证明： 由逆时针旋转得到了可知，，， 在中，， 在中，， 而 ， 即， 综上所述：，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $