专题02 几何图形初步认识常考几何模型（专项训练）数学冀教版2024七年级上册

专题02 几何图形初步认识常考几何模型（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、点、棱、面关系（公式记忆） 1 题型二、线段的动点问题模型 2 题型三、线段的中点问题模型 3 题型四、三角板中的角度计算模型 5 题型五、几何图形中的角度计算模型 6 题型六、角的旋转问题模型 8 题型七、角平分线有关计算模型 8 题型八、余角、补角计算模型 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、点、棱、面关系（公式记忆） 1．图①至图③是将正方体截去一部分后得到的多面体． (1)根据要求填写下面表格： 面数f 顶点数v 棱数e 图① 图② 图③ (2)直接写出f，v，e之间的数量关系． 2．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些几何体： 操作探究： (1)观察下列几何体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 ______ 棱数E 6 ______ 12 ______ 面数F 4 5 ______ 8 (2)总结规律：通过填表发现：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是______，这就是伟大的数学家欧拉（L．Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式． 3．仔细观察下面的正四面体、正六面体、正八面体，解决下列问题： (1)填空： ①正四面体的顶点数______，面数______，棱数______； ②正六面体的顶点数______，面数______，棱数______； ③正八面体的顶点数______，面数______，棱数______； (2)若将多面体的顶点数用v表示，面数用f表示，棱数用e表示，则v，f，e之间的数量关系可用一个公式来表示：________ 4．如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体．    (1)根据要求填写表格： 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e） 图1 7 14 图2 8 12 图3 7 10 (2)请写出f、v、e三个数量间的关系式 ． 题型二、线段的动点问题模型 5．如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒： （1）写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______ （用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？ （3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 6．如图，数轴上的点，表示的数分别为-10和20，动点从点出发，以2个单位秒的速度沿数轴的正方向运动，点为的中点． （1）点出发多少秒时，； （2）当点在线段上运动时，求的值； （3）若点为的中点，请直接写出的长． 7．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=8cm，CB=6cm，D为动点，沿着C→A→B→C的路径运动（再次到达C点则停止运动），点D的运动速度为2cm/秒，设点D运动时间为t秒．    （1）当点D在AC上运动时，若DC=BC，则t= ； （2）若点D与△ABC某一顶点的连线平分△ABC的周长，求t的值． 8．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．    （1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数是　 　； （2）数轴上存在点P到点A、点B的距离之和为10，则x＝　 　； （3）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合，则﹣3表示的点与数　 　表示的点重合； （4）若数轴上M、N两点之间的距离为2021（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是：M：　 　，N：　 　． 题型三、线段的中点问题模型 9．已知如图线段、，按要求利用直尺和圆规作图： (1)作线段（保留作图痕迹） (2)已知，，、、三点在同一直线上，若为中点，为中点，请画出图形并求出的长度． 10．在如图所示的数轴上，某点从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点A，再向左平移4个单位长度到达点B，最后向右平移10个单位长度到达点C． (1)分别写出点A，B，C表示的数． (2)若点P在线段上运动，当时，求出点P表示的数． (3)若点Q从点C出发，在线段的延长线上运动，M是的中点，N是的中点，试说明是一个定值． 11．如图，点C为线段上一点，点B为的中点，且． (1)图中共有 条线段； (2)求的长； (3)若点E在直线上，且，求的长． 12．如图，点B、C在线段上，且． (1)如图（Ⅰ）若点M为的中点，且．则 ， ． (2)如图（Ⅱ）若点M、N分别为的中点，且，求（用m、n表示）． 题型四、三角板中的角度计算模型 13．根据以下素材，探索完成任务． 探究三角尺中的学问 素材1 已知点C为直线上一点，，． 素材2 如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合，按三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放． 问题解决 任务1 问题1：如图1，若，图中哪些角与互余？ 任务2 问题2：如图2，已知射线是的平分线，且，求的度数； 任务3 问题3：探究当，求三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数，请直接写出探究结论，不必写出探究过程． 14．将一副三角板如图1摆放，使，在同一条直线上，，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将三角板绕点O逆时针旋转，其它条件不变，得到图2，请直接写出的度数______． 15．以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即． (1)如图，若直角三角板的一边放在射线上，则___________； (2)如图，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置， 若恰好平分，则___________； 若在内部，请通过计算写出与有怎样的数量关系． 16．已知为直线上一点，以为端点作射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处． (1)如图①，若直角三角尺的一边与射线重合，则； (2)将直角三角尺摆放至如图②所示的位置时，恰好平分，请判断是否平分，并说明理由； (3)将直角三角尺摆放至如图③所示的位置时，若恰好，求的度数． 题型五、几何图形中的角度计算模型 17．如图，直线与相交于点，． (1)如图1，若平分，求的度数； (2)如图2，若，且平分，求的度数． 18．已知：，射线在内部且不与重合，． (1) ；（用α表示） (2)设． 如图1，当时， ____________； 如图2，当时， ____________； (3)求当等于多少度时，值与α无关，并说明理由． 19．【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图1，若，平分，平分．求的度数； 【问题推广】（2）如图2，，从点O出发在内引射线OD，满足．若平分．求的度数； 【拓展提升】（3）如图3，在的内部作射线，在的内部作射线．若；求和的数量关系． 20．如图1，点A为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点A处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方． (1)将三角板绕点A逆时针旋转，若恰好平分（如图2），则 ． (2)将三角板绕点A在直线上方逆时针旋转，当落在内部，且时，则 ． (3)将图1中的三角板和射线同时绕点A，分别以每秒和每秒的速度逆时针旋转一周后停止，求第几秒时，恰好与在同一直线上？ 题型六、角的旋转问题模型 21．如图，点，，在同一条直线上，，射线在直线的上方绕点旋转，记，平分． (1)若与互补，则角等于多少度？ (2)若，则为多少度？ 22．一块三角板按如图1方式摆放，其中边与直线重合，，射线在直线上方，且，作的角平分线． (1)求图1中的度数； (2)如图2，将三角板绕点O按逆时针方向旋转一个角度α，在转动过程中三角板一直处于直线的上方． ①当，求的度数； ②时，求旋转角α的值． 23．已知，是过点的一条射线，分别平分． (1)如图①，如果射线在的内部，，则 ； (2)如图②，如果射线在的内部绕点旋转，，则 ； (3)如果射线在的外部绕点旋转，，请借助图③探究的度数． 24．已知：，，，是从点O引出的三条射线． (1)如图1，若平分，平分，当时， ；当射线绕点O在内部旋转时， ． (2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余． (3)如图3，当射线在外，若，平分，平分． ①当小于时，猜想与的关系，并说明理由． ②当大于而小于时，直接写出的度数． 题型七、角平分线有关计算模型 25．已知点在直线上，是直角，平分．     (1)如图1，若，求的度数______； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，其它条件不变，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． (3)将图1中的绕顶点逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由． 26．已知是过点的一条射线，分别平分． (1)当射线在的内部时 ①如图①，若，则_________； ②如图②，若，求的度数（用含的式子表示）； (2)当射线在的外部时，，请借助备用图探究的度数是________（直接写出答案） 27．已知点O在直线上，在直线的同侧，作射线，，平分．（注：，，不重合） (1)，，的位置如图1所示． ①若，，补全求的度数的过程； 解：∵， ∴________________． ∵平分， ∴________________， ∴________________． ②已知条件Ⅰ：；条件Ⅱ：．请选择其中一个条件，并说明在此条件下； (2)已知，如图2所示．若和互为余角，直接写出的度数．（用含a的代数式表示） 28．【问题背景】 如图，在内部，是的平分线，是的平分线． 【问题探究】 （1）如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ （2）如图2，当时，尝试发现与的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图3，当时，猜想：与、有数量关系吗？并说明理由． 题型八、余角、补角计算模型 29．如图1，已知，点为直线上一点，在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为________，的度数为________； (2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)在三角板绕点旋转一周的过程中，求与之间的数量关系． 30．在一节数学课上，老师与同学们以“同一平面内，点在直线上，用三角尺画，使；作射线，使平分”为问题背景，展开研究． (1)如图①，，求的度数． (2)如图②，请通过你所学习的相关知识来说明． (3)如图③，若点、在直线同侧，且点靠近点，请求出与之间有怎样的数量关系． 31．定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为． (1)若，求的度数； (2)若恰好平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，求出与的数量关系． 32．如图1，是平角，，是的平分线，求的度数． (1)将下面的解答过程补充完整： 解：如图1，因为是平角， 所以 所以， 因为是的平分线， …… (2)如图2，若将原题中改为，添加平分，其余条件不变，那么和具有怎样的数量关系？并说明的度数是否影响它们的数量关系？ (3)如图3，点E、F分别在长方形的边，上，连接．将对折，点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．当时，直接写出的度数． 1．如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点，若，则线段的长度是（　　） A．17 B．18 C．19 D．20 2．已知点C在直线上，若，E为线段的中点，则的长为（　　） A．或 B．或 C． D． 3．如图，点O是直线上一点，平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中正确的是（    ） A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 4．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 5．如图，已知，平分，射线在内部，，作射线，使射线是三等分线，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 6．如图，一条直线上从左到右依次有共19个点，已知点A与其他点的距离之和为2024，点D与其他点的距离之和为1949，若，则点B与点C之间的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．A，B，C是数轴上的三个点，点A表示的数，且点A，点B之间的距离为3，点C为线段的中点，则点C表示的数是 ． 8．一副直角三角板按如图放置，点在同一直线上，，，，和同时以相同的速度绕点分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了 ． 9．一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点转动一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线的上方． （1）当在左边且平分时， ； （2）当在右边且平分时， ． 10．一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，两边组成的角时，的值为 ． 11．如图，平分，平分． （1）若，则的度数为 ； （2）若与互补，则 ． 12．若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动．在，出发的同时，点也从出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点为的三等分点时，点恰好为中点，此时的长为 ． 13．如图，，平分，平分，求 的度数． 14．阅读材料并回答问题： 如图①，，平分，若，请你补全图形，并求的度数． 以下是小明的解答过程： 解：如图②，因为，平分， 所以　 　　 　． 因为， 所以　 　． (1)请你将小明的解答过程补充完整； (2)你觉得小明的解答是否正确？如果不正确，指出错误之处并给出正确的解答过程． 15．以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即． (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则　　； (2)如图2，将直角三角板绕点O顺时针转动到某个位置， ①若恰好平分，则　　； ②若在内部，请直接写出与的数量关系为 　　； (3)将直角三角板绕点O顺时针转动（与重合时为停止）的过程中，恰好有，求此时的度数． 16．已知：平面内四点A，B，C，D，有，点E在线段上移动，点F在线段上移动，点G在线段上移动，将以为折痕折叠，点B落在处，将以为折痕折叠，点C落在处． (1)如图1，点在同一直线上，，求的度数； (2)如图2，，求的度数； (3)如图3，点落在上，，求的度数． 17某数学活动小组在做角的拓展图形练习时，经历了如下过程： (1)操作发现：点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线AB的下方，如图．将图中的三角板绕点旋转，当直角三角板的边在的内部，且恰好平分时，如图．则下列结论正确的是 （填序号）； ；；；的平分线在直线上 (2)数学思考：当三角板绕点旋转时，如果直角三角板的边在的内部且另一边在直线的下方，那么与的差不变，请你说明理由； 如果直角三角板的，边都在的内部，那么与的和不变，请直接写出与的和，不要求说明理由； (3)类比探索：三角板绕点继续旋转，当直角三角板的边在的内部时，如图，与相差多少度？为什么？ 18．已知，O为直线上的一点，，射线在的内部，且平分． (1)如图1，当，在直线上方时，若，求和的度数； (2)图1中，若，直接写出的度数（用含a的式子表示）； (3)如图2，当，在直线的上方和下方时，经探究，小王得到的结论是：，他的结论是否正确，请说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 几何图形初步认识常考几何模型（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、点、棱、面关系（公式记忆） 1 题型二、线段的动点问题模型 2 题型三、线段的中点问题模型 3 题型四、三角板中的角度计算模型 5 题型五、几何图形中的角度计算模型 6 题型六、角的旋转问题模型 8 题型七、角平分线有关计算模型 8 题型八、余角、补角计算模型 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、点、棱、面关系（公式记忆） 1．图①至图③是将正方体截去一部分后得到的多面体． (1)根据要求填写下面表格： 面数f 顶点数v 棱数e 图① 图② 图③ (2)直接写出f，v，e之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】本题考查了几何图形认知、多面体的面数、顶点数和棱数的计算，以及欧拉公式的应用．解题的关键在于准确数出每个图形的面数、顶点数和棱数，并通过计算归纳出这些数量之间的关系，即欧拉公式，从而验证并理解这一重要的几何定理．本题需先观察图①至图③中多面体的面数、顶点数、棱数，完成表格填写；再通过计算各图中的值，归纳出f、v、e之间的数量关系． 解：（1） 面数f 顶点数v 棱数e 图① 7 9 14 图② 6 8 12 图③ 7 10 15 （2）． 2．综合与实践 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些几何体： 操作探究： (1)观察下列几何体，并把下表补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 ______ 棱数E 6 ______ 12 ______ 面数F 4 5 ______ 8 (2)总结规律：通过填表发现：顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的数量关系是______，这就是伟大的数学家欧拉（L．Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念． （1）观察几何体，补充表格即可； （2）通过观察，发现棱数顶点数面数． 【详解】（1）解： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 正八面体 图形 顶点数V 4 6 8 6 棱数E 6 9 12 12 面数F 4 5 6 8 （2）解：观察表得， 顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是， 故答案为：． 3．仔细观察下面的正四面体、正六面体、正八面体，解决下列问题： (1)填空： ①正四面体的顶点数______，面数______，棱数______； ②正六面体的顶点数______，面数______，棱数______； ③正八面体的顶点数______，面数______，棱数______； (2)若将多面体的顶点数用v表示，面数用f表示，棱数用e表示，则v，f，e之间的数量关系可用一个公式来表示：________ 【答案】(1)①4，4，6；②8，6，12；③6，8，12 (2) 【分析】本题考查的是多面体的定义，关键点在于：多面体指四个或四个以上多边形所围成的立体图形； （1）观察图形，结合多面体的顶点、面和棱的定义进行填空即可； （2）根据（1）中，多面体的顶点数，面数和棱数，总结规律可得v，f，e之间的数量关系式； 【详解】（1）①正四面体的顶点数，面数，棱数； ②正六面体的顶点数，面数，棱数； ③正八面体的顶点数，面数，棱数； 故答案为：①4，4，6；②8，6，12；③6，8，12； （2）根据（1）中数据可得： ① ② ③ 故v，f，e之间的数量关系是： 4．如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体．    (1)根据要求填写表格： 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e） 图1 7 14 图2 8 12 图3 7 10 (2)请写出f、v、e三个数量间的关系式 ． 【答案】(1) 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e） 图1 7 9 14 图2 6 8 12 图3 7 10 15 (2) 【分析】（1）根据顶点、面、棱的定义，观察图形即可求得答案． （2）根据表格数据，观察规律即可求得答案． 【详解】（1）根据顶点、面、棱的定义，观察图形即可填写表格． 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e） 图1 7 9 14 图2 6 8 12 图3 7 10 15 （2）根据表格数据，可知． 【点睛】本题主要考查顶点、面、棱的定义，根据顶点、面、棱的定义正确识别图形中的顶点、面、棱是解题的关键． 题型二、线段的动点问题模型 5．如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒： （1）写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______ （用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？ （3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【答案】（1）-6，；（2）点运动7秒时追上点；（3）线段的长度不发生变化，其值为7 【分析】（1）根据点表示的数和AB的长度即可求解； （2）根据题意列出方程，求解即可； （3）分类讨论即可：①当点在点、两点之间运动时，②当点运动到点的左侧时，根据中点的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为8，且， ∴点表示的数为， 点P表示的数为， 故答案为：-6，； （2）设点、同时出发，点运动时间秒追上，依题意得， ， 解得， ∴点运动7秒时追上点； （3）线段的长度没有发生变化都等于7；理由如下： ①当点在点、两点之间运动时： ， ②当点运动到点的左侧时： ， ∴线段的长度不发生变化，其值为7． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，掌握中点的定义、一元一次方程的应用是解题的关键． 6．如图，数轴上的点，表示的数分别为-10和20，动点从点出发，以2个单位秒的速度沿数轴的正方向运动，点为的中点． （1）点出发多少秒时，； （2）当点在线段上运动时，求的值； （3）若点为的中点，请直接写出的长． 【答案】（1）10s或30s；（2）30；（3）15． 【分析】（1）分两种情况进行讨论：①当点在点B的左侧时，②当点在点B的右侧时，列式计算即可； （2）根据点为的中点，可得，根据线段之间的关系可求得，即可求出结果； （3）利用线段的中点定义，即可得出MN的长． 【详解】解：（1）设点出发时，， ①当点在点B的左侧时： 解得：． ②当点在点B的右侧时： 解得：． ∴当点出发10s或30s时，． （2）∵点为的中点， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （3）∵点为的中点，点为的中点， ∴，． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了与线段有关的动点问题，掌握数轴上点的表示方法以及线段的中点定义是解答此题的关键． 7．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=8cm，CB=6cm，D为动点，沿着C→A→B→C的路径运动（再次到达C点则停止运动），点D的运动速度为2cm/秒，设点D运动时间为t秒．    （1）当点D在AC上运动时，若DC=BC，则t= ； （2）若点D与△ABC某一顶点的连线平分△ABC的周长，求t的值． 【答案】(1)3(2)见详解 【分析】（1）DC=BC=6,便可计算 （2）分类讨论：当点D与顶点A连线平分、当点D与顶点C连线平分、当点D与顶点C连线平分△ABC的周长，从而再去求解． 【详解】解：（1）DC=BC  6=2t  t=3 （2）△ABC中，∠C=90°，CA=8cm，CB=6cm ∴ 当点D与顶点A连线平分△ABC的周长时    ∴AC+DC=AB+BD 即：8+6-BD=10+BD ∴BD=2 t==10 当点D与顶点C连线平分△ABC的周长时    ∴AC+AD=BD+BC 即：8+AD=10-AD+6 ∴AD=4 t==6 当点D与顶点C连线平分△ABC的周长时    ∴BC+CD=AB+AD 即：6+CD=8-CD+10 ∴CD=6 t==3 综上所述，当t=3秒或者6秒或者10秒时，若点D与△ABC某一顶点的连线平分△ABC的周长． 【点睛】本题考查三角形动点知识，关键在于分类讨论求解，分类才是关键． 8．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．    （1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数是　 　； （2）数轴上存在点P到点A、点B的距离之和为10，则x＝　 　； （3）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合，则﹣3表示的点与数　 　表示的点重合； （4）若数轴上M、N两点之间的距离为2021（M在N的左侧），且M、N两点经过（3）折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是：M：　 　，N：　 　． 【答案】（1）1；（2）﹣4或6；（3）5；（4）﹣1009.5，1011.5 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）对点P的位置分情况讨论如下：①点P在点A左边，则有点P到点A的距离为3，进而求解即可；②点P在线段AB上，不符合题意，舍去；③点P在点B右边，则有点P到点B的距离为3，进而求解即可； （3）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合，则对折点对应的数值为1，然后根据题意进行求解即可； （4）若数轴上M、N两点之间的距离为2021（M在N的左侧），且M，N两点经过（3）折叠后互相重合，则对折点对应的数值为1，然后根据题意进行求解即可． 【详解】解：（1）∵点P到点A、点B的距离相等， ∴点P为线段AB的中点， ∴点P对应的数为1； 故答案为：1； （2）∵点P到点A、点B的距离之和为10， 对点P的位置分情况讨论如下： ①点P在点A左边， ∵点P到点A、点B的距离之和为10，且线段AB的距离为4， ∴点P到点A的距离为3， ∴x＝﹣4； ②点P在线段AB上，不符合题意，舍去； ③点P在点B右边， ∵点P到点A、点B的距离之和为10，且线段AB的距离为4， ∴点P到点B的距离为3， ∴x＝6； ∴综上所述：x＝﹣4或6； 故答案为：﹣4或6； （3）若将数轴折叠，使﹣1与3表示的点重合，则对折点对应的数值为1， ∵﹣3到1的距离为4， ∴5到1的距离也为4， ∴则﹣3表示的点与数5表示的点重合； 故答案为：5； （4）若数轴上M、N两点之间的距离为2021（M在N的左侧），且M，N两点经过（3）折叠后互相重合，则对折点对应的数值为1， ∴点M到1的距离为1010.5， ∴M对应的数为﹣1009.5， ∵点N到1的距离为1010.5， ∴N点对应的数为1011.5． 故答案为：﹣1009.5，1011.5． 【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及线段中点，熟练掌握数轴上的动点问题及线段中点是解题的关键． 题型三、线段的中点问题模型 9．已知如图线段、，按要求利用直尺和圆规作图： (1)作线段（保留作图痕迹） (2)已知，，、、三点在同一直线上，若为中点，为中点，请画出图形并求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，的长度为或 【分析】本题考查了尺规作图—作线段，与线段中点有关的计算，线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）作射线，在射线上依次截取，，即可得解； （2）分两种情况：当点在点的左边时，当点在点的右边时，分别画出图形，结合线段的和差计算即可得解． 【详解】（1）解：如图：线段即为所求， ； （2）解：如图，当点在点的左边时， ， ∵为中点，为中点， ∴，， ∴， 如图，当点在点的右边时， ， ∵为中点，为中点， ∴，， ∴， 综上所述，的长度为或． 10．在如图所示的数轴上，某点从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点A，再向左平移4个单位长度到达点B，最后向右平移10个单位长度到达点C． (1)分别写出点A，B，C表示的数． (2)若点P在线段上运动，当时，求出点P表示的数． (3)若点Q从点C出发，在线段的延长线上运动，M是的中点，N是的中点，试说明是一个定值． 【答案】(1) (2)或0 (3)见解析 【分析】本题主要考查了数轴以及两点间的距离，线段的和差，解题的关键是正确理解题意，根据两点之间的距离等于差的绝对值求解． （1）根据数轴的意义解答即可； （2）分点在线段上和点在线段上时两种情况讨论即可； （3）根据线段中点的定义以及线段的和差关系解答即可． 【详解】（1）解：从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点A，则点表示的数为， 再向左平移4个单位长度到达点B，则点表示的数为， 最后向右平移10个单位长度到达点C，则点表示的数为． （2）解：可分为以下两种情况讨论： ①当点在线段上时，． ， ． 解得． 点表示的数为． ②当点在线段上时，． ， ． 解得． 点表示的数为0． 综上所述，点表示的数为或0． （3）解：设点表示的数为，则，． 是的中点，是的中点， ． ． 是一个定值． 11．如图，点C为线段上一点，点B为的中点，且． (1)图中共有 条线段； (2)求的长； (3)若点E在直线上，且，求的长． 【答案】(1)6 (2) (3)或 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，线段的和差，正确的理解题意是解题关键． （1）根据线段的定义，有两个端点，根据题目所给线段，枚举出所有线段即可； （2）根据点B为的中点，，即可求得的长； （3）分两种情况讨论：当点E在上时，当点E在延长线上时，根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：图中的线段有共6条， 故答案为：6； （2）解：∵点B为的中点，， ∴． ∵， ∴； （3）解：分两种情况讨论： ①如图（1），当点E在上时， ∵， ∴； ②如图（2），当点E在延长线上时， ∵， ∴； 综上所述，的长为或． 12．如图，点B、C在线段上，且． (1)如图（Ⅰ）若点M为的中点，且．则 ， ． (2)如图（Ⅱ）若点M、N分别为的中点，且，求（用m、n表示）． 【答案】(1)4，4 (2) 【分析】本题考查列代数式、两点间的距离、线段和差，弄清线段长度之间的数量关系是解题的关键． （1）根据与的数量关系求出，从而求出，再由中点的定义求出，根据求出即可； （2）根据与的数量关系分别将用含 n的代数式表示出来，从而将用含n的代数式表示出来，进而由中点的定义分别将用含n的代数式表示出来，再根据将用含m和n的代数式表示出来即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴． 故答案为：4，4； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵点M、N分别为的中点， ∴， ∵， ∴． 题型四、三角板中的角度计算模型 13．根据以下素材，探索完成任务． 探究三角尺中的学问 素材1 已知点C为直线上一点，，． 素材2 如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合，按三角尺②的一条直角边与边的夹角为摆放． 问题解决 任务1 问题1：如图1，若，图中哪些角与互余？ 任务2 问题2：如图2，已知射线是的平分线，且，求的度数； 任务3 问题3：探究当，求三角尺②的另一条直角边与边的夹角的度数，请直接写出探究结论，不必写出探究过程． 【答案】问题1：和 问题2： 问题3：或后或． 【分析】本题考查了角的互余、角平分线的性质、角的和差计算以及三角尺中角度的关系，解题的关键是利用平角（）、直角（）的度数特征，结合角的和差与比例关系建立等量关系． 问题1：根据互余定义，结合直角和平角性质，找出和为的角． 问题2：设比例系数，利用角平分线性质表示角，结合平角和直角列方程求解． 问题3：利用三角尺②的直角特征和的度数，结合的度数计算夹角，分四种情况讨论． 【详解】解：任务 1（问题 1）：∵，即， ∴与互余； ∵直角三角形中，则， 又∵， ∴与互余； 任务2（问题2）：设，， ∵平分， ∴， ∴； ∵，， ∴， 解得； ∴， ∴； 任务3（问题3）：分四种情况讨论： ①当与边的夹角，且在下方时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴； ②当与边的夹角，且在上方时，如图： ∵，，， ∴； ③当与边的夹角时，且在下方时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴； ④当与边的夹角时，且在上方时，如图： ∵，，， ∴； 综上所述，另一条直角边与边的夹角可能是或后或． 14．将一副三角板如图1摆放，使，在同一条直线上，，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将三角板绕点O逆时针旋转，其它条件不变，得到图2，请直接写出的度数______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角板中的角度计算，角平分线的有关计算等知识． （1）利用平角的定义分别求出，，再利用角平分线的定义分别求出， ，最后根据角的和差即可求出答案． （2）利用平角的定义分别求出，，再利用角平分线的定义分别求出， ，最后根据角的和差即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，，在同一条直线上， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵平分． ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵平分． ∴， ∴． 15．以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即． (1)如图，若直角三角板的一边放在射线上，则___________； (2)如图，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置， 若恰好平分，则___________； 若在内部，请通过计算写出与有怎样的数量关系． 【答案】(1)； (2)；当在的内部时，，理由见解析． 【分析】本题主要考查了平角、余角的定义，角度和差，角平分线的定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用平角、余角的定义可求解； （）由平角定义得，又恰好平分，，然后通过余角定义即可求解； 由题意得，通过，，得出，从而求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 当在的内部时，，理由如下： 由题意得， ∵，， ∴， ∴． 16．已知为直线上一点，以为端点作射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处． (1)如图①，若直角三角尺的一边与射线重合，则； (2)将直角三角尺摆放至如图②所示的位置时，恰好平分，请判断是否平分，并说明理由； (3)将直角三角尺摆放至如图③所示的位置时，若恰好，求的度数． 【答案】(1) (2)平分，见解析 (3) 【分析】本题考查角的计算与角平分线、平角等知识的综合运用，解题关键是依据已知角的关系，结合平角、角平分线定义列等式求解． （1）根据余角进行计算即可； （2）根据角平分线的定义求出．又因为，所以，．根据等角的余角相等，可推出，进而判断出平分． （3）设，由可得．再根据平角这个关系列出方程，求解得出的值，最后算出的度数． 【详解】（1）∵，，且与重合， ∴． 故答案为； （2）解：OB平分，理由如下： 为直线MN上一点， ， ， ， 又恰好平分， ， 又， ， ， ， 平分； （3）解：设， ， ， 又， ， ， ， ， ， 即． 题型五、几何图形中的角度计算模型 17．如图，直线与相交于点，． (1)如图1，若平分，求的度数； (2)如图2，若，且平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平角的性质，理解题意，找准角度之间的数量关系是解题关键． （1）先根据角平分线的定义，得到，再利用平角进行求解，即可求出的度数； （2）根据平角和角平分线的定义，求得，再根据，求得，，进而得到，即可求出的度数． 【详解】（1）解：，平分， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 18．已知：，射线在内部且不与重合，． (1) ；（用α表示） (2)设． 如图1，当时， ____________； 如图2，当时， ____________； (3)求当等于多少度时，值与α无关，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当等于60度时，值与α无关 【分析】本题考查角的有关计算，利用数形结合思想，结合代数式的推导，是解题关键． （1）根据，结合图形，得出结论； （2）根据条件中角的倍分关系，结合图中角的和差关系，通过代数式推导，可得结果； （3）先结合图中角的关系分别表示和，再观察两个式子的特点，猜想验证． 【详解】（1）解：由题意知， 故答案为：； （2）在图1中，， 在图2中，，， 故答案为：； （3）当等于60度时，值与α无关，理由如下： 当时，在图1中，，，， 在图2中，，，， 所以，当等于60度时，值始终为2，与α大小无关． 19．【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图1，若，平分，平分．求的度数； 【问题推广】（2）如图2，，从点O出发在内引射线OD，满足．若平分．求的度数； 【拓展提升】（3）如图3，在的内部作射线，在的内部作射线．若；求和的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据角的平分线，角的和差计算即可． （2）根据角的平分线，角的和差计算即可． （3）由，设，则，根据角的平分线，角的和差计算即可． 本题考查了角的和差计算，角的平分线，熟练掌握角的平分线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ． 又∵平分，平分， ． ， ； （2）解：∵，， ． 故， ∴， 又∵平分， ． ． （3）解：由， 设，则 ∵， ∴． ∴． ∴， ∴， ∴． 20．如图1，点A为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点A处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方． (1)将三角板绕点A逆时针旋转，若恰好平分（如图2），则 ． (2)将三角板绕点A在直线上方逆时针旋转，当落在内部，且时，则 ． (3)将图1中的三角板和射线同时绕点A，分别以每秒和每秒的速度逆时针旋转一周后停止，求第几秒时，恰好与在同一直线上？ 【答案】(1)65 (2)150 (3)第10秒或第秒 【分析】本题考查了角的和差运算、角平分线的定义，较难的是题（3），正确分类讨论是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，再根据求解即可得； （2）设，则，根据求出的值，再根据求解即可得； （3）设第秒时，恰好与在同一条直线上，先求出三角板逆时针旋转一周所需时间为45秒，三角板逆时针旋转所需时间为秒；射线逆时针旋转一周所需时间为120秒，射线逆时针旋转至射线位置所需时间为秒，再分四种情况：①、②、③和，分别根据角的关系建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵恰好平分，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：65． （2）解：设，则， 如图，当落在内部时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：150． （3）解：设第秒时，恰好与在同一条直线上， 由题意得：三角板逆时针旋转一周所需时间为（秒），三角板逆时针旋转所需时间为（秒）；射线逆时针旋转一周所需时间为（秒），射线逆时针旋转至射线位置所需时间为（秒）， ①如图，当时，恰好与在同一直线上， 则，， ∵此时， ∴， 解得，符合题设； ②如图，当时，恰好与在同一直线上， 则，， ∵此时， ∴， 解得，不符合题设，舍去； ③如图，当时，恰好与在同一直线上， 则，， ∵此时， ∴， 解得，不符合题设，舍去； ④如图，当时，恰好与在同一直线上， 则此时三角板已停止运动，旋转至的位置上，恰好与在同一直线上， ∴， 解得，符合题设； 综上，第10秒或第秒，恰好与在同一直线上． 题型六、角的旋转问题模型 21．如图，点，，在同一条直线上，，射线在直线的上方绕点旋转，记，平分． (1)若与互补，则角等于多少度？ (2)若，则为多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角的和差关系、平角定义、补角定义以及角平分线定义，熟练掌握这些角的相关定义和关系是解题的关键． （1）利用平角定义可得，从而可得，再利用平角定义可得，然后根据补角的定义进行计算，即可解答； （2）利用角的和差关系可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵与互补， ∴， ∴， 解得：； （2）解：如图： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 22．一块三角板按如图1方式摆放，其中边与直线重合，，射线在直线上方，且，作的角平分线． (1)求图1中的度数； (2)如图2，将三角板绕点O按逆时针方向旋转一个角度α，在转动过程中三角板一直处于直线的上方． ①当，求的度数； ②时，求旋转角α的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查角的和差计算与角平分线性质的应用，解题关键是利用平角、角平分线定义及余角关系，通过角的和差运算求解角度． （1）先求出，再根据平分即可得出的度数；   （2）①先求出，再根据平分可得出的度数；②先根据平分得，则，进而得，则与互为余角，据此可得的值． 【详解】（1），，   ，   平分，   ； （2）①，，，   ，   平分，   ；   ②，平分，   ，   ，   ，   ，   与互为余角，   ． 23．已知，是过点的一条射线，分别平分． (1)如图①，如果射线在的内部，，则 ； (2)如图②，如果射线在的内部绕点旋转，，则 ； (3)如果射线在的外部绕点旋转，，请借助图③探究的度数． 【答案】(1)40 (2) (3)的度数为或 【分析】此题考查角平分线的定义，关键是根据角平分线的定义解答． （1）根据角平分线的定义解答即可； （2）根据角平分线的定义解答即可； （3）分两种情况，利用角平分线的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵分别平分， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵分别平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：分两种情况： ①如图： ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴； ②如图： ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 24．已知：，，，是从点O引出的三条射线． (1)如图1，若平分，平分，当时， ；当射线绕点O在内部旋转时， ． (2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余． (3)如图3，当射线在外，若，平分，平分． ①当小于时，猜想与的关系，并说明理由． ②当大于而小于时，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①互余，理由见解析；② 【分析】本题考查了角平分线的定义、余角等知识，熟练掌握角平分线的计算是解题关键． （1）先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据求解即可得；先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据求解即可得； （2）先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据角的和差可得，由此即可得； （3）①先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据角的和差可得，由此即可得； ②先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据角的和差可得，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴与互余． （3）解：①与互余，理由如下： 如图，当小于时， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴与互余． ②如图，当大于而小于时， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 题型七、角平分线有关计算模型 25．已知点在直线上，是直角，平分．     (1)如图1，若，求的度数______； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，其它条件不变，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． (3)将图1中的绕顶点逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为______（用含有的式子表示），不必说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，互余互补的计算，数形结合，找准各个角之间的关系是解决问题的关键． （1）根据邻补角定义，由得到，再由平分得到，由是直角得到； （2）根据邻补角定义得到，再由平分得到，由是直角得到； （3）根据邻补角定义得到，即，再由平分得到，由是直角得到． 【详解】（1）解：是直线上一点，， ， 平分， ， 是直角， ， 故答案为：； （2）解：是直线上一点， ， 平分， ， 是直角， ； ； （3）解：是直线上一点， ， ， ， 平分， ， 是直角， ， 故答案为：． 26．已知是过点的一条射线，分别平分． (1)当射线在的内部时 ①如图①，若，则_________； ②如图②，若，求的度数（用含的式子表示）； (2)当射线在的外部时，，请借助备用图探究的度数是________（直接写出答案） 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义，分情况确定射线的位置是解题的关键． （1）①由，求角度即可； ②借助①的角的数量关系即可求得的度数； （2）分情况讨论射线的位置，在（1）的基础上求的度数即可． 【详解】（1）解：①分别平分， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②由①知， ， ， 即的度数为； （2）解：射线在的外部分两种情况， 如图③， 分别平分， ， ， ， ， ， ， ， 如图④， ， ， ， ， ， ， 即的度数为或 故答案为：或 27．已知点O在直线上，在直线的同侧，作射线，，平分．（注：，，不重合） (1)，，的位置如图1所示． ①若，，补全求的度数的过程； 解：∵， ∴________________． ∵平分， ∴________________， ∴________________． ②已知条件Ⅰ：；条件Ⅱ：．请选择其中一个条件，并说明在此条件下； (2)已知，如图2所示．若和互为余角，直接写出的度数．（用含a的代数式表示） 【答案】(1)①；；；；；；②见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度计算、角平分线、余角等知识，确定各角度之间的关系是解题关键． （1）①首先确定，结合角平分的定义可知，进而可得； ②选条件Ⅰ：易得，然后结合即可证明结论；选条件Ⅱ：首先由角平分线的定义可得，结合易得，进而可知，即可证明结论； （2）分当在左侧时和当在右侧时两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：①若，补全求的度数的过程． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：；；；；；； ②选条件Ⅰ，理由如下： ∵平分，， ∴， ∴； 选条件Ⅱ，理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）的度数为或． 分两种情况讨论： ①如下图，当在左侧时， ∵和互为余角，， ∴，， ∴， ∴； ②如下图，当在右侧时， ∵和互为余角，， ∴， ∴ ∴． 28．【问题背景】 如图，在内部，是的平分线，是的平分线． 【问题探究】 （1）如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ （2）如图2，当时，尝试发现与的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图3，当时，猜想：与、有数量关系吗？并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）与α有关，与β无关，，理由见解析 【分析】本题考查了角度的运算，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意可得，再根据角平分线的定义可得，，从而根据求得的度数； （2）同理（1），，，，从而求得的度数； （3）同理（1），，，，从而求得的度数； 【详解】解：（1）是直角，， ， 是的平分线，是的平分线， ，， ； （2）同理（1），， ，， ； （3）与α有关，与β无关，，理由如下： 同理（1），， ，， ． 题型八、余角、补角计算模型 29．如图1，已知，点为直线上一点，在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为________，的度数为________； (2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)在三角板绕点旋转一周的过程中，求与之间的数量关系． 【答案】(1)120，150 (2)30 (3)或 【分析】本题考查角平分线的定义，邻补角互补，角的和差． （1）根据邻补角互补求出，，再由角的和差即可求出； （2）根据角平分线求出，再由角的和差即可求解； （3）分两种情况讨论：①当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，②当三角板绕点O旋转至一边不在的内部时，根据角的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； 故答案为：120，150； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：分两种情况： 当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，如图， 设的延长线为，则， ∵， ∴， ∵， ∴； 当三角板绕点O旋转至一边不在的内部时，如图： ∵，， ∴； 综上所述，与的关系为：或． 故答案为：或． 30．在一节数学课上，老师与同学们以“同一平面内，点在直线上，用三角尺画，使；作射线，使平分”为问题背景，展开研究． (1)如图①，，求的度数． (2)如图②，请通过你所学习的相关知识来说明． (3)如图③，若点、在直线同侧，且点靠近点，请求出与之间有怎样的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了角平分线、角的和差、邻补角等知识点，弄清楚角之间的关系成为解题的关键。 （1）分别求得、，再由角平分线的性质得，再根据即可解答； （2）由邻补角的性质可得；根据角平分线的定义可得，设，所以，然后用x表示出分别求得、，然后比较即可解答； （3）由题意可得，再根据角平分线的定义可得，进而得到、然后比较即可解答． 【详解】（1）解：由图①可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即； （2）解：由图②知： ∵平分， ∴， 设，所以， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴； （3）解：由图③知：， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与之间的数量关系是：. 31．定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为． (1)若，求的度数； (2)若恰好平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，求出与的数量关系． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题考查角平分线，余角与补角，掌握角平分线的定义，余角与补角的定义，理解“好线”的定义是正确解答的关键． （1）画出相应的图形，由角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可； （2）根据平角的定义以及角平分线的定义进行计算即可； （3）分（1）中的两种情况进行解答，分别用表示，进而答案即可． 【详解】（1）解：①如图，当在内部时， ∵射线是的“割补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当在外部时， ∵射线是的“割补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或； （2）解：若恰好平分， ∴， ∴； （3）解：或，理由如下： ①如图，， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴； ②如图，， ∵， ∴， ∴ ， ， ∴， 综上所述或． 32．如图1，是平角，，是的平分线，求的度数． (1)将下面的解答过程补充完整： 解：如图1，因为是平角， 所以 所以， 因为是的平分线， …… (2)如图2，若将原题中改为，添加平分，其余条件不变，那么和具有怎样的数量关系？并说明的度数是否影响它们的数量关系？ (3)如图3，点E、F分别在长方形的边，上，连接．将对折，点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．当时，直接写出的度数． 【答案】(1)补充见解析 (2)与互为余角，的度数不会影响它们的数量关系，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了角度的计算，角平分线的应用，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； （1）利用平角定义求相关角的度数即可； （2）根据角平分线定义得出，，整理得到再求得与互为余角．在推导过程中，始终以的形式存在，只要不变，度数变化就不影响与的数量关系； （3）根据折叠性质，通过这些角的等量关系，利用平角的性质，经过一系列角度的转化和计算即可． 【详解】（1）所以 所以 （2），与互为余角．的度数不会影响它们的数量关系． 理由： 因为平分，平分， 所以，， 所以 所以，与互为余角 （3）由题意得，， ， ， ， ． 1．如图，点C在线段上，点M、N分别是的中点，若，则线段的长度是（　　） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】A 【分析】本题主要考查线段中点的定义、线段的和差等知识点，弄清楚线段的和差关系是解题的关键． 根据线段中点的定义可求解，结合可求解，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵点M、N分别是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 2．已知点C在直线上，若，E为线段的中点，则的长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差，线段的中点的相关计算，掌握线段的中点的计算方法是解题的关键．根据线段的和差，分类讨论，当点C在线段外时；当点C在线段之间时，根据线段的中点的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示， ， ， E为线段的中点， ； 如图所示， ， ， E为线段的中点， ； 故选：B． 3．如图，点O是直线上一点，平分，，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中正确的是（    ） A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线、余角与补角，根据，得出，即可判断①；根据平分，得出，即可判断②；设，得出，根据，得出，根据与互为余角，得出，即可判断③；根据，得出，根据平分，得出，即可判断④； 【详解】解：∵， ， ∴与互为余角，故①正确． ∵平分， ∴，无法推断得到，故②错误． 设， ， ， ∵平分， ∴，则， ， ∴，即，故③正确． ， ， ∵平分， ∴，故④正确． 综上：正确的有①③④． 故选：C． 4．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的应用，线段的中点性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 根据两点间距离进行计算即可判断①；利用路程除以速度即可判断②；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，由题意求出的长， 再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断④； 【详解】∵A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且， ∴B对应的数为，故①正确； ∵， ∴点P到达点B时，，故②是正确的； 当点P在点B右边时， ∵， ∴， ∴； 当点P在点B左边时， ∵， ∴， ∴， ∴时，或，故③错误； 在点P的运动过程中，当点P在点B右边时， ； 在点P的运动过程中，当点P在点B左边时， ； ∴在点P的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故④错误； ∴正确结论有①②， 故选：A． 5．如图，已知，平分，射线在内部，，作射线，使射线是三等分线，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查角的和差，角平分线与三等分线，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由角平分线得到，结合可得，再根据射线是三等分线可分和两种情况求解可得． 【详解】解： 平分，， ， ， ， ∵是三等分线， ∴①若， 则， ； ②若， 则， ； 综上，的度数为或， 故选：C． 6．如图，一条直线上从左到右依次有共19个点，已知点A与其他点的距离之和为2024，点D与其他点的距离之和为1949，若，则点B与点C之间的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查线段的和差，图形变换的规律，根据线段的规律得出方程是解题的关键． 设，则，再得出一个端点是的线段和一个端点是的线段，再求出两者之差，即可． 【详解】解：设，则，则， ∵，，     ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 7．A，B，C是数轴上的三个点，点A表示的数，且点A，点B之间的距离为3，点C为线段的中点，则点C表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查数轴，线段的中点，掌握数轴表示数的方法以及数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键． 根据数轴表示数的方法以及数轴上两点的距离的计算方法求出点所表示的数，再根据线段中点的定义进行计算即可． 【详解】解：由题意可知：， 设点表示的数为， 点表示的数是， ， 即， 解得或， 当时，设点表示的数为， 点是的中点， ， 当时，设点表示的数为， 点是的中点， ， 综上所述，点所表示的数为或． 故答案为：或． 8．一副直角三角板按如图放置，点在同一直线上，，，，和同时以相同的速度绕点分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了 ． 【答案】或或或 【分析】此题主要考查了角平分线定义和几何图形中角度计算问题，作的平分线为，的平分线为，求出，然后分如图，当共线时，设旋转角度为，即，如图，当共线时，设旋转角度为，即，如图，当和重合，即同向共线时，再求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作的平分线为，的平分线为， ∴，， ∴， 如图，当共线时，即反向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当共线时，即反向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当和重合，即同向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当和重合，即同向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了或或或 故答案为：或或或． 9．一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点转动一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线的上方． （1）当在左边且平分时， ； （2）当在右边且平分时， ． 【答案】 30 105 【分析】本题考查了角平分线及角度加减，解题的关键是熟练掌握角平分线有关计算． （1）根据角平分线的定义得出，然后结合已知和角的和差关系求解即可； （2）根据角平分线定义求出，然后结合已知和角的和差关系求解即可． 【详解】解：（1）当在左边且平分时，如图2，此时， ，， ， 故答案为∶30； （2）当在右边且平分时，如图， ， ， ， ， ， 故答案为∶105． 10．一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边，与直线重合，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，两边组成的角时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线及角度加减，解题的关键是熟练掌握角平分线有关计算． 设三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，得到，点B的对应点为,当平分时，得，结合，由计算即可得到答案． 【详解】解：设三角板绕着点O顺时针旋转一个角度，到的位置，点B的对应点为． 当平分时， ∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 11．如图，平分，平分． （1）若，则的度数为 ； （2）若与互补，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的定义，互补的含义，角的和差运算； （1）由角平分线的性质可得，，结合角的和差运算可得答案； （2）由角平分线的性质可得，，结合与互补，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴； 故答案为： （2）∵平分，平分， ∴，， ∵与互补， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为： 12．若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动．在，出发的同时，点也从出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点为的三等分点时，点恰好为中点，此时的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了两点间的距离，解题关键是正确识别图形，理解线段与线段之间的和差倍分关系．先根据已知条件可知，然后分两种情况讨论：①当点靠近点的的三等分点，②当点靠近点的的三等分点，根据三等分点的定义和中点的定义，把、和都用表示出来，求出，从而求出即可． 【详解】解：、两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动， ， ①当点靠近点的的三等分点，如图所示： ， 为中点， ， ， ， ， ②当点靠近点的的三等分点，如图所示： ， 为中点， ， ， ， ， 综上，的长为或， 故答案为：或． 13．如图，，平分，平分，求 的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查的是角平分线的定义，角的和差，根据角平分线的定义求出和的度数，然后利用角的和差解答即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 14．阅读材料并回答问题： 如图①，，平分，若，请你补全图形，并求的度数． 以下是小明的解答过程： 解：如图②，因为，平分， 所以　 　　 　． 因为， 所以　 　． (1)请你将小明的解答过程补充完整； (2)你觉得小明的解答是否正确？如果不正确，指出错误之处并给出正确的解答过程． 【答案】(1)，， (2)不正确，见解析 【分析】本题考查角平分线的定义、角的计算，根据题意考虑到所有符合题意的情况进行分类讨论是解题的关键． （1）根据角平分线的定义及图中角的和差情况，直接求得； （2）根据题意发现，OD可能在内部，也可能在内部时，从而判断小明的解答不正确，进而写出正确的解答过程． 【详解】（1）解：因为，平分， 所以． 因为， 所以． 故答案为：，，． （2）不正确． 理由：可能在内部，也可能在内部，小明的解答只考虑了在内部的情况，并未考虑在内部的情况，所以小明的解答不正确．正确的解答过程如下： ，平分， ． ， 当在内部时， ， 当在内部时， ． 的度数为或． 15．以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即． (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则　　； (2)如图2，将直角三角板绕点O顺时针转动到某个位置， ①若恰好平分，则　　； ②若在内部，请直接写出与的数量关系为 　　； (3)将直角三角板绕点O顺时针转动（与重合时为停止）的过程中，恰好有，求此时的度数． 【答案】(1) (2)①，② (3)或 【分析】本题主要考查了余角和补角，角平分线的定义，熟练掌握余角和补角，角平分线的定义进行求解是解决本题的关键． （1）由进行计算即可得出答案； （2）①由，可计算出的度数，根据角平分线定义可得，再由余角的定义可得计算即可得出答案；②根据余角的定义可得，由已知可得，等量代换即可得出答案； （3）根据余角的定义可得，由已知可得，等量代换可得，由，即可算出的度数，再由计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：当在内部，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 当在的外部，∵， ， ∴， ∴ ∴， 综上所述，的度数为或． 16．已知：平面内四点A，B，C，D，有，点E在线段上移动，点F在线段上移动，点G在线段上移动，将以为折痕折叠，点B落在处，将以为折痕折叠，点C落在处． (1)如图1，点在同一直线上，，求的度数； (2)如图2，，求的度数； (3)如图3，点落在上，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了折叠的性质、平角的定义及垂直的定义，熟记折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠可得，再根据平角的定义得到得到，即可得到； （2）由折叠得到，再由平角得到求出，即可得到； （3）由折叠得到，，再由平角求出，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：由折叠可得， ， ， ∴， ； （2）解：由折叠得到， ， ，且， ， ； （3）解：，， ∴由折叠得到，， ， ， ． 17某数学活动小组在做角的拓展图形练习时，经历了如下过程： (1)操作发现：点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线AB的下方，如图．将图中的三角板绕点旋转，当直角三角板的边在的内部，且恰好平分时，如图．则下列结论正确的是 （填序号）； ；；；的平分线在直线上 (2)数学思考：当三角板绕点旋转时，如果直角三角板的边在的内部且另一边在直线的下方，那么与的差不变，请你说明理由； 如果直角三角板的，边都在的内部，那么与的和不变，请直接写出与的和，不要求说明理由； (3)类比探索：三角板绕点继续旋转，当直角三角板的边在的内部时，如图，与相差多少度？为什么？ 【答案】(1) (2)；； (3)． 【分析】本题考查角平分线的定义，三角板中角度计算，解题的关键是仔细观察图形，找到各个量之间的关系． （1）利用角平分线的定义结合直角三角板的内角度数，即可分别判断得出答案； （2）根据，即可得出答案； 根据，即可得出答案； （3）因为，，所以，，然后作差即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴，故正确； ∵，， ∴，， ∴，故正确； ∵，， ∴平分错误； ∵，， ∴， ∴， ∴的平分线在直线上，故正确； 故答案为：． （2）解：∵，， ∴， ∴与的差不变； ； 由题意可得：， ∴， ∴与的和为． （3）解：∵，， ∴． 18．已知，O为直线上的一点，，射线在的内部，且平分． (1)如图1，当，在直线上方时，若，求和的度数； (2)图1中，若，直接写出的度数（用含a的式子表示）； (3)如图2，当，在直线的上方和下方时，经探究，小王得到的结论是：，他的结论是否正确，请说明理由． 【答案】(1) ； (2) (3)正确，详见解析 【分析】本题主要考查与角平分线有关的角的计算，余角和补角，灵活运用余角和补角的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （3）设，则，根据角平分线的定义得到，根据余角的性质得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：由已知得， ∵， ∴， ，平分， . （2）解：由已知得， ，平分， . （3）解：设，则，平分， ， ， ， ， 即 ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $