第一章 勾股定理单元检测-2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第一章 勾股定理 (时间：120分钟　满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题　共40分) 一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．下列几组数中，不能作为直角三角形的三边长的是(　　) A．8，15，17 B．4，6，8 C．3，4，5 D．6，8，10 2．下列条件中，不能使△ABC是直角三角形的是(　　) A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a2＋b2＝c2 C．a∶b∶c＝2∶2∶3 D．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 3．下列4组数中，是勾股数的是(　　) A．1.5，2.5，2 B．，2 C．12，16，20 D．0.5，1.2，1.3 4．如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是(　　) A．121 B．144 C．169 D．196 5．如图，在△ABC中，若AB＝12，BC＝13，AC＝5，则BC边上的高AD为(　　) A．12 B．13 C． D．60 6．如图，圆柱的底面周长是14 cm，圆柱高为24 cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为(　　) A．14 cm B．15 cm C．24 cm D．25 cm 7．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，A，B，C三点均在正方形格点上，则下列结论中错误的是(　　) A．S△ABC＝10 B．∠BAC＝90° C．AB＝2 D．点A到直线BC的距离是2 8．如图，在长方形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝9 cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为(　　) A．3 cm2 B．4 cm2 C．12 cm2 D．6 cm2 9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB＝12，BD＝13，P是线段BC上一动点，则PD的最小值是(　　) A．5 B．6 C．12 D．13 10．如图是秋千的示意图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1 m，将它往前推4 m至点C处时(即水平距离CD＝4 m)，踏板离地的垂直高度CF＝3 m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是(　　) A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m 第Ⅱ卷(非选择题　共80分) 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 11．在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝5，AB＝13，则BC＝ ． 12．若测得一块三角形稻田的三边长分别是7 m，24 m，25 m，则这块稻田的面积为 m2． 13．如果直角三角形的三边长分别为10，6，x，那么最短边上的高为 ． 14．如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D，C，G，J，I在同一水平线上，则正方形BEFG的面积为 ． 15．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠A＝60°，BC＝10，CD＝8，则∠ADC的度数为 ． 16．如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以12 n mile/h的速度向北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行．2 h 后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两地相距40 n mile，则乙船的速度是 n mile/h． 三、解答题(本大题共6个小题，共56分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(6分)如图，学校准备在一块空地ABCD上种草皮绿化，已知∠ADC＝90°，AD＝4 m，CD＝3 m，AB＝13 m，BC＝12 m，求这块地的面积． 18．(8分)如图，∠B＝∠OAF＝90°，BO＝3 cm，AB＝4 cm，AF＝12 cm，求图中半圆(阴影部分)的面积．(结果保留π) 19．(8分)如图，有一张长方形纸片ABCD，折叠长方形纸片的一边AD，使点D落在边BC上的点F处，已知AB＝CD＝8 cm，BC＝AD＝10 cm，求EC的长． 20．(10分)如图，直线MN表示一条铁路，A，B是两个城市，它们到铁路的垂直距离分别为AA1＝20 km，BB1＝40 km，已知A1B1＝80 km．现要在A1，B1之间设一个中转站P，使两个城市到中转站的距离之和最短，请你设计一种方案确定点P的位置，并求这个最短距离． 21．(12分)如图，笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客通行，决定在河边新建一个漂流点H(A，H，B在同一条直线上)，并新修一条路CH，测得BC＝5 km，CH＝4 km，BH＝3 km． (1)CH是否为从旅游地C到河边的最近的路线？请通过计算加以说明． (2)求原来路线AC的长． 22．(12分)在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a． (1)若∠C＝90°，则a，b，c之间满足的数量关系为 ； (2)若△ABC为钝角三角形，a＝2，b＝1，直接写出c的取值范围； (3)如图，若△ABC为锐角三角形，c为最长边．求证：a2＋b2＞c2． 第一章 勾股定理 (时间：120分钟　满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题　共40分) 一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．下列几组数中，不能作为直角三角形的三边长的是(　B　) A．8，15，17 B．4，6，8 C．3，4，5 D．6，8，10 2．下列条件中，不能使△ABC是直角三角形的是(　C　) A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a2＋b2＝c2 C．a∶b∶c＝2∶2∶3 D．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 3．下列4组数中，是勾股数的是(　C　) A．1.5，2.5，2 B．，2 C．12，16，20 D．0.5，1.2，1.3 4．如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是(　C　) A．121 B．144 C．169 D．196 5．如图，在△ABC中，若AB＝12，BC＝13，AC＝5，则BC边上的高AD为(　C　) A．12 B．13 C． D．60 6．如图，圆柱的底面周长是14 cm，圆柱高为24 cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为(　D　) A．14 cm B．15 cm C．24 cm D．25 cm 7．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，A，B，C三点均在正方形格点上，则下列结论中错误的是(　A　) A．S△ABC＝10 B．∠BAC＝90° C．AB＝2 D．点A到直线BC的距离是2 8．如图，在长方形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝9 cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为(　D　) A．3 cm2 B．4 cm2 C．12 cm2 D．6 cm2 9．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB＝12，BD＝13，P是线段BC上一动点，则PD的最小值是(　A　) A．5 B．6 C．12 D．13 10．如图是秋千的示意图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1 m，将它往前推4 m至点C处时(即水平距离CD＝4 m)，踏板离地的垂直高度CF＝3 m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是(　B　) A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m 第Ⅱ卷(非选择题　共80分) 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 11．在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝5，AB＝13，则BC＝ 12 ． 12．若测得一块三角形稻田的三边长分别是7 m，24 m，25 m，则这块稻田的面积为 84 m2． 13．如果直角三角形的三边长分别为10，6，x，那么最短边上的高为 8或10 ． 14．如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D，C，G，J，I在同一水平线上，则正方形BEFG的面积为 7 ． 15．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠A＝60°，BC＝10，CD＝8，则∠ADC的度数为 150° ． 16．如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以12 n mile/h的速度向北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行．2 h 后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两地相距40 n mile，则乙船的速度是 16 n mile/h． 三、解答题(本大题共6个小题，共56分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(6分)如图，学校准备在一块空地ABCD上种草皮绿化，已知∠ADC＝90°，AD＝4 m，CD＝3 m，AB＝13 m，BC＝12 m，求这块地的面积． 解：如图，连接AC． 由勾股定理，得AC2＝AD2＋CD2＝42＋32＝25， 所以AC＝5 m． 又因为AC2＋BC2＝25＋122＝132＝AB2， 所以△ABC是直角三角形． 所以这块地的面积＝△ABC的面积－△ACD的面积＝×5×12－×3×4＝24(m2)． 18．(8分)如图，∠B＝∠OAF＝90°，BO＝3 cm，AB＝4 cm，AF＝12 cm，求图中半圆(阴影部分)的面积．(结果保留π) 解：在Rt△ABO中，∠B＝90°，BO＝3 cm，AB＝4 cm， 所以AO＝5 cm． 则在Rt△AFO中，由勾股定理，得FO＝13 cm， 所以图中半圆(阴影部分)的面积为π·＝(cm2)． 19．(8分)如图，有一张长方形纸片ABCD，折叠长方形纸片的一边AD，使点D落在边BC上的点F处，已知AB＝CD＝8 cm，BC＝AD＝10 cm，求EC的长． 解：依题意，得BC＝AD＝AF＝10 cm， DE＝EF． 在△ABF中，∠ABF＝90°． 所以BF＝＝＝6(cm)． 所以FC＝10－6＝4(cm)． 设EC＝x cm，则EF＝DE＝(8－x)cm． 因为∠C＝90°， 所以EC2＋FC2＝EF2． 所以x2＋42＝(8－x)2， 解得x＝3．所以EC＝3 cm． 20．(10分)如图，直线MN表示一条铁路，A，B是两个城市，它们到铁路的垂直距离分别为AA1＝20 km，BB1＝40 km，已知A1B1＝80 km．现要在A1，B1之间设一个中转站P，使两个城市到中转站的距离之和最短，请你设计一种方案确定点P的位置，并求这个最短距离． 解：如图，作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则点P就是要确定的中转站的位置．过点A′作A′B′⊥BB1，交BB1的延长线于点B′． 在Rt△A′B′B中，A′B′＝80 km，BB′＝BB1＋B1B′＝40＋20＝60(km)， 所以A′B2＝A′B′2＋BB′2＝802＋602＝1002． 所以A′B＝100 km． 所以这个最短距离为100 km． 21．(12分)如图，笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客通行，决定在河边新建一个漂流点H(A，H，B在同一条直线上)，并新修一条路CH，测得BC＝5 km，CH＝4 km，BH＝3 km． (1)CH是否为从旅游地C到河边的最近的路线？请通过计算加以说明． (2)求原来路线AC的长． 解：(1)CH是从旅游地C到河边的最近的路线．理由如下： 在△HBC中， 因为CH2＋BH2＝42＋32＝25，BC2＝25， 所以CH2＋BH2＝BC2． 所以△HBC是直角三角形，且∠CHB＝90°，即CH⊥AB． 所以CH是从旅游地C到河边的最近的路线． (2)设AC＝AB＝x km， 则AH＝(x－3)km． 在Rt△ACH中，由勾股定理，得AC2＝AH2＋CH2， 即x2＝(x－3)2＋42． 解得x＝． 故原来路线AC的长为 km． 22．(12分)在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a． (1)若∠C＝90°，则a，b，c之间满足的数量关系为 a2＋b2＝c2 ； (2)若△ABC为钝角三角形，a＝2，b＝1，直接写出c的取值范围； (3)如图，若△ABC为锐角三角形，c为最长边．求证：a2＋b2＞c2． (2)解：如图，△ABC是钝角三角形，C是最长边，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，设CD＝x． 在Rt△ADC中，AD2＝AC2－DC2＝b2－x2． 在Rt△ADB中，AD2＝AB2－BD2＝c2－(a＋x)2． 所以b2－x2＝c2－(a＋x)2， 整理，得a2＋b2＝c2－2ax． 因为a>0，x>0，所以2ax>0， 所以a2＋b2＝c2－2ax<c2． 所以△ABC为钝角三角形，c为最长边时，a2＋b2<c2． 因为a＝2，b＝1，所以c2>5． 因为c>0，所以c>，此时c的取值范围为<c<3． 当△ABC为钝角三角形，a为最长边时， 12＋c2<22，c2<3．因为c>0，所以c<．此时c的取值范围为1<c<． 综上，c的取值范围是1<c<或<c<3． (3)证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D，设CD＝x． 在Rt△ADC中，AD2＝b2－x2． 在Rt△ADB中，AD2＝c2－(a－x)2． 所以b2－x2＝c2－(a－x)2， 即a2＋b2＝c2＋2ax． 因为a＞0，x＞0， 所以2ax＞0．所以a2＋b2＞c2． 所以若△ABC为锐角三角形，c为最长边，则a2＋b2＞c2． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $