第十三章 三角形（B卷·综合能力提升卷）2025-2026学年 人教版八年级数学 上册

第13章 三角形（B卷·综合能力提升卷） （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024八上·沙洋期中）已知一个三角形的两边长分别为7和3，则这个三角形的第三边长可能是（　　） A．3 B．4 C．9 D．12 【答案】C 【解析】【解答】解：设第三边长为x，根据三角形的三边关系得， ∴， 即． 所以这个三角形的第三边可能是9． 故答案为：C． 【分析】设第三边长为x，根据三角形的三边关系得，再求出x的取值范围即可。 2．（2024八上·廉江期末）如图，是的外角，平分，若，，则等于（　　） A．40° B．50° C．45° D．55° 【答案】D 【解析】【解答】解：∵∠A=70°，∠B=40°， ∴∠ACD=∠A+∠B=110°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ECD=∠ACD=55°， 故答案为：D． 【分析】利用三角形外角的性质可得∠ACD=∠A+∠B=110°，再利用角平分线的定义可得∠ECD=∠ACD=55°。 3．（2024八上·宝安开学考）如图，将一副三角板平放在一平面上（点D在上），则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解： 故答案为：B 【分析】根据直角三角板可得，再利用三角形外角的性质可得。 4．（2024八上·柯桥月考）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，知 A、2+5＜8，不能组成三角形； B、7+24＞25，能够组成三角形； C、3+3=6，不能组成三角形； D、1+2=3，不能组成三角形． 故答案为：B． 【分析】根据三角形三边的关系逐项判断即可。 5．（2024八上·威县期中）已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为（　　） A．2a＋2b－2c B．2a＋2b C．2c D．0 【答案】D 【解析】【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三条边长， ∴a+b-c＞0，c-a-b＜0， ∴原式=a+b-c+（c-a-b） =0. 故答案为：D. 【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边及有理数的减法法则得出a+b-c＞0，c-a-b＜0，进而根据绝对值的意义去掉绝对值符号，再合并同类项即可. 6．（2023八上·沙市区期中）如图，锐角∠AOB＝x，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠QNO＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β，x的数量关系正确的是（　　） A．α﹣β＝2x B．2β+α＝90°+2x C．β+α＝90°+x D．β+2α＝180°﹣2x 【答案】A 【解析】【解答】解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点， 连接交于Q，交于P，则此时的值最小． 此时，，． ∵∠OPM=∠NPQ=∠AOB+∠OQP，∠OQP=∠AQN=∠AOB+∠ONQ， ∴，， ∴，即：， 故答案为：A 【分析】作M关于OB的对称点M'，N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OA于Q，交OB于P，则此时MP+PQ+QN最小，易知∠OPM=∠OPM'=∠NPQ，∠OQP=∠AQN'=∠AQN，再结合∠OPM=∠NPQ=∠AOB+∠OQP，∠OQP=∠AQN=∠AOB+∠ONQ，即可求出答案. 7．（2023八上·越城月考）如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于G，若∠BDC＝130°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 【答案】B 【解析】【解答】解：如图，连接AG，GD，并延长GD， ∵∠GBD=∠MDB-∠DGB，∠GCD=∠MDC-∠DGC， ∴∠GBD+∠GCD=∠MDB-∠DGB+∠MDC-∠DGC=∠MDB+∠MDC-（∠DGB+∠DGC） =∠BDC-∠BGC=130°-100°=30°， ∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线， ∴∠ABG+∠ACG=∠GBD+∠GCD=30°， ∴∠A=∠BAG+∠CAG=180°-∠BGA-∠ABG+180°-∠ACG-∠AGC=360°-（∠ABG+∠ACG）-（360°-∠BGC）=360°-30°-260°=70°. 故答案为：B. 【分析】连接AG，GD，并延长GD，根据三角形外角的性质推得∠GBD+∠GCD=30°，结合角平分线定义得出∠ABG+∠ACG=30°，然后根据三角形内角和定理推出∠A=360°-（∠ABG+∠ACG）-（360°-∠BGC），代入数值即可解答. 8．（2021八上·温岭竞赛）五条长度均为整数厘米的线段：a1，a2，a3，a4，a5，满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，其中a1＝1厘米，a5＝9厘米，且这五条线段中的任意三条都不能构成三角形，则a3＝（　　） A．3厘米 B．4厘米 C．3或4厘米 D．不能确定 【答案】A 【解析】【解答】解：根据三角形的三边关系，如果五条线段中的任意三条都不能构成三角形且五条长度均为整数厘米的线段， ∵a1＜a2＜a3＜a4＜a5，则a2≥2； 若a1，a2，a3不能构成三角形，则a3−a2≥1， ∴a3≥3； 若a3，a4，a5不能构成三角形，则a5−a4≥a3，即a4≤a5−a3＝6； 若a2，a3，a4不能构成三角形，则a2＋a3≤a4，即a3≤a4−a2＝4； 此时a3＝3或4，但当a3＝4时，没有任何一个整数能使a3、a4、a5不能构成 三角形，故排除； ∴a3＝3． 故答案为：A. 【分析】利用三角形三边关系定理，如果五条线段中的任意三条都不能构成三角形且五条长度均为整数厘米的线段，结合已知可得到a2≥2；分情况讨论：若a1，a2，a3不能构成三角形，可得到a3≥3；若a3，a4，a5不能构成三角形；若a2，a3，a4不能构成三角形；可推出a3＝3或4，但当a3＝4时，没有任何一个整数能使a3、a4、a5不能构成 三角形，由此可得到a3的值. 9．（2020八上·南宁月考）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，CD⊥AC交AB于点D，∠BCD=∠A，则∠BEA的度数（　　） A．155° B．135° C．108° D．100° 【答案】B 【解析】【解答】解：∠AEB=∠BCE+∠CBE =∠ECF+∠BCD+∠CBE =90°+∠A+∠B， ∠BCE=∠A+∠ABE=∠A+∠B， ∴∠AEB+∠BCE=90°+2（∠A+∠B）=180°， ∴∠A+∠B=45°， ∴∠AEB=90°+∠A+∠B=135°. 故答案为：B. 【分析】利用三角形外角的性质把∠AEB和∠BEC分别用含∠A+∠B的代数式表示，然后利用补角的性质列等式求得∠A+∠B为45°，则∠BCE的度数可知. 10．（2024八上·顺德期末）如图，，、、分别平分、、．以下结论，其中正确的是（　　） ①；②；③；④． A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】【解答】解：∵AD平分∠EAC， ∴∠CAE=2∠EAD=2∠DAC， ∵∠EAC是△ABC的一个外角， ∴∠EAC=∠ABC+∠ACB， ∵∠ABC=∠ACB， ∴∠EAC=2∠ABC=2∠ACB， ∴∠EAD=∠DAC=∠ACB=∠ABC， ∵∠EAD=∠ABC， ∴AD∥BC，①正确； ∴∠ADB=∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴， ∴，②正确； ∵CD平分∠ACF， ∴， ∵∠ACF是△ABC的一个外角， ∴∠BAC=∠ACF-∠ABC， ∵∠DCF是△DCB的一个外角， ∴， ∴∠BAC=2∠BDC，③正确； ∵AD∥BC， ∴∠ADC=∠DCF， ∴∠ACD=∠ADC， ∵∠ABC=2∠ABD，∠DAC=∠ABC， ∴∠DAC=2∠ABD， ∵∠ADC+∠ACD+∠DAC=180°， ∴2∠ADC+2∠ABD=180°， ∴∠ADC+∠ABD=90°，④正确； ∴以上结论，其中正确的是①②③④，； 故答案为：D. 【分析】根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠CAE=2∠EAD=2∠DAC，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠EAC=2∠ABC=2∠ACB，推得∠EAD=∠DAC=∠ACB=∠ABC，根据同位角相等，两直线平行即可得出AD∥BC，判断①正确，根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBC，根据角平分线的等于可得，推得，判断②正确，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠BAC=∠ACF-∠ABC，，即∠BAC=2∠BDC，判断③正确，根据两直线平行，内错角相等可得∠ADC=∠DCF，推得∠ACD=∠ADC，∠DAC=2∠ABD，根据三角形内角和是180°可得2∠ADC+2∠ABD=180°，即∠ADC+∠ABD=90°，判断④正确，即可得出答案. 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．（2023八上·新昌月考）如图，中，，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则　 　． 【答案】10° 【解析】【解答】解：∵， ∴， 由折叠可知， ∴， 故答案为：． 【分析】先求出，再利用折叠的性质求出，最后利用角的运算求出即可. 12．（2023八上·绍兴月考）已知等腰三角形的两边长分别为和，则它的第三边长为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：①如果等腰三角形三边长分别是、、，，不能构成三角形； ②如果等腰三角形三边长分别是、、，，能构成三角形；那么这时三角形的第三边长为． 故答案为：． 【分析】利用等腰三角形的性质及三角形三边的关系分析求解即可. 13．（2023八上·建始期中）已知的三边长分别是1，2，a，化简　 　． 【答案】4 【解析】【解答】解：因为的三边长分别为1，2，a， 所以． 解得． ∴，， ∴． 故答案为：4． 【分析】根据三角形三边关系可得，再根据绝对值性质去绝对值，化简即可求出答案. 14．（2019八上·江岸月考）△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且2∠B＝5∠A，若∠B的最大值m°，最小值n°，则m+n＝　 　. 【答案】175 【解析】【解答】解：∵2∠B＝5∠A，即∠B＝ ∠A， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣ ∠A， 又∵∠A≤∠C≤∠B， ∴∠A≤180°﹣ ∠A， 解得∠A≤40°； 又∵180°﹣ ∠A≤ ∠A， 解得∠A≥30°， ∴30°≤∠A≤40°， 即30°≤ ∠B≤40°， ∴75°≤∠B≤100° ∴m+n＝175. 故答案为：175. 【分析】由2∠B＝5∠A，得∠B＝ ∠A，根据三角形内角和定理得∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣ ∠A；根据题意有∠A≤∠C≤∠B，则∠A≤180°﹣ ∠A，和180°﹣ ∠A≤ ∠A，解两个不等式得30°≤∠A≤40°，而∠A＝ ∠B，得到∠B的范围，从而确定m，n. 15．（2023八上·武汉月考）如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=64°，∠BCD+∠DCA=180°，那么∠BDC为　 　度. 【答案】32 【解析】【解答】解：过C点作∠ACE=∠CBD，如图所示： ∵∠BCD+∠DCA=180°，∠BCD+∠CBD+∠BDC=180°， ∴∠ECD=∠BDC， ∵对角线BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ABD=∠ACE， ∴∠BAC=∠CEB=64°， ∴∠BDC=∠CEB=32°． 故答案为：32． 【分析】过C点作∠ACE=∠CBD，利用角平分线的定义及等量代换可得∠BAC=∠CEB=64°，再求出∠BDC=∠CEB=32°即可． 16．（2021八上·诸暨月考）若三角形的周长为13，且三边均为整数，则满足条件的三角形有　 　种． 【答案】5 【解析】【解答】解：设三边长分别为a≤b≤c，则a+b=13-c>c≥， ∴≤c<， ∴c=5或6， 当①当c=5时， b=4 ， a=4或b=3 ， a=5 ； ②当c=6时，b=4，a=3或b=6，a=1或b=5 ， a=2 ； ∴满足条件的三角形的个数为5. 故答案为：5. 【分析】在三角形的三边中，除等边三角形三边相等外，必有一边是最长边；先确定最长边的取值范围，然后分类讨论，结合三角形的三边关系，即可解答. 三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（2022八上·松原期末）已知中，于点D，AE平分，过点A作直线，且，． （1）求的外角的度数； （2）求的度数． 【答案】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵AE平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得，再利用角的运算求出即可； （2）根据角平分线的定义可得，再结合，利用角的运算求出即可。 18．（2022八上·江油月考）已知在中，的对边分别为. （1）化简代数式　 　. （2）若，，求的各内角度数； 【答案】（1）2a （2）解：，， ， ， ， 解得， 故，， 故的各内角度数分别为，，. 【解析】【解答】解：（1）在中，的对边分别为， ，， ，， ， 故答案为：2a； 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得a+b-c>0、b-a-c<0，然后根据绝对值的非负性以及合并同类项法则化简即可； （2）根据已知条件可得∠C=∠A+36°，结合内角和定理可求出∠A的度数，进而可得∠B、∠C的度数. 19．（2022八上·南昌期中）如图，在中，，点D在斜边AB上，，设，． （1）填写表格： 20 40 60 … 　 　 　 　 　 　 … （2）猜想y与x的数量关系，并说明理由． （3）在图1的条件下，点E在边上，且，如图2．求的度数． 【答案】（1）10；20；30 （2）解：猜想：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】【解答】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， 当时，， 当时，， 如下表格： x 20 40 60 … y 10 20 30 … 故答案为：10，20，30； 【分析】（1）先根据等边对等角得出 ， 再根据三角形的内角和定理得出 ， 从而得出 当时，，当时，，当时，，即可得出答案； （2）由 ， 得出，再由 ， 即可得出答案； （3）先根据直角三角形的性质得出 ， 再根据等腰三角形的性质和角的差即可得出结论。 20．（2023八上·太康期末）在中，，． （1）若是整数，求的长． （2）已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长． 【答案】（1）解：由三角形三边关系可得，在中，，， 则，即 又∵是整数， ∴， （2）解：∵是的中线， ∴， 由的周长为10可得，，则， 三角形的周长， 【解析】【分析】（1）利用三角形三边的关系可得，再结合是整数，可得； （2）根据中线的性质可得BD=CD，再利用三角形的周长公式及等量代换可得三角形的周长。 21．（2023八上·自贡月考）如图，在 中， 为边 上的高，点D为边 上的一点，连接 ． （1）当 为边 上的中线时，若 ， 的面积为30，求 的长； （2）当 为 的角平分线时，若 ， ，求 的度数． 【答案】（1）解：∵AE⊥BC，AE=6，△ABC的面积为30， ∴ ×BC×AE=30， ∴ ×BC×6=30， ∴BC=10， ∵AD是△ABC的中线， ∴CD= BC=5； （2）解：∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-36°-66°=78° ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD= ∠BAC=39°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB=90°， ∴∠BAE=90°-∠B=54°， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=54°-39°=15°． 【解析】【分析】（1）先利用三角形的面积公式求出BC的长，再根据 为边 上的中线，可得求出CD的长； （2）先利用三角形的内角和求出∠BAC和∠CAE的度数，再根据角平分线的定义求出∠CAD，最后利用∠CAD-∠CAE即可得到答案。 22．（2023八上·惠州月考）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． （1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝　 　；（用α的代数式表示，请直接写出结论） （2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数． 【答案】（1）2α﹣180° （2）解：结论：∠BPC+∠BQC=180°． 理由：如图②中， ∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q， ∴∠QBC+∠QCB（∠MBC+∠NCB） （360°﹣∠ABC﹣∠ACB） （180°+∠A） =90°∠A， ∴∠Q=180°﹣（90°∠A）=90°∠A， ∵∠BPC=90°∠A， ∴∠BPC+∠BQC=180°． （3）解：延长CB至F， ∵BQ为△ABC的外角∠MBC的角平分线， ∴BE是△ABC的外角∠ABF的角平分线， ∴∠ABF=2∠EBF， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ACB=2∠ECB， ∵∠EBF=∠ECB+∠E， ∴2∠EBF=2∠ECB+2∠E， 即∠ABF=∠ACB+2∠E， 又∵∠ABF=∠ACB+∠A， ∴∠A=2∠E， ∵∠ECQ=∠ECB+∠BCQ ∠ACB∠NCB =90°， 如果△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①∠ECQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°； ②∠ECQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°； ③∠Q=2∠E，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=30°，则∠A=2∠E=60°； ④∠E=2∠Q，∵∠Q+∠E=90°，∴∠E=60°，则∠A=2∠E=120°． 综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°． 【解析】【解答】（1）如图①中， ∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB） =180°（∠ABC+∠ACB） =180°（180°﹣∠A）， =90°∠A， ∵∠BPC=α， ∴∠A=2α﹣180°． 故答案为2α﹣180°． 【分析】(1)根据三角形内角和定理得出∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB），再由角平分线的定义得到 ∠BPC=90°∠A，即可解答； (2)根据角平分线的定义和三角得出 ∠QBC+∠QCB（∠MBC+∠NCB） ，再由邻补角的性质和在△ABC中利用三角形内角和定理求出∠QBC+∠QCB=90°+∠A，则得∠BQC=90°-∠A， 再在△ABC中和△BPC中，根据三角形内角和求出 ∠BPC=90°+∠A，然后求∠BPC+∠BQC的度数即可； (3)根据角平分线定义和三角形外角的性质证明∠A=2∠E，再根据角平分线定义和平角的定义求出∠ECQ=90°， 然后分四种情形讨论，即 ①∠ECQ=2∠E=90°，②∠ECQ=2∠Q=90°，③∠Q=2∠E，④∠E=2∠Q， 分别求解，即可解答. 23．（2021八上·讷河期中）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出 之间的数量关系：　 　﹔ （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数　 　个； （3）如果图2中，若 ，试求 的度数 （4）如果图2中， 和 为任意角，其他条件不变，试问 与 之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可） 【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B （2）6 （3）解：由（1）得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ① ∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ② ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P ∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝ ∠PCB ①＋②得：∠DAP＋∠D＋∠PCB＋∠B ＝∠P＋∠DCP＋∠PAB＋∠P 又∵ ∴ ∴ （4）解：关系：2∠P＝∠D＋∠B 【解析】【解答】解：（1） 故答案为： （2）交点有点M、O、N， 以M为交点的8字形有1个，为△AMD与△CMP， 以O为交点的8字形有4个，为△AOD与△COB，△AOM与△CON，△AOM与△COB，△CON与△AOD， 以N为交点的8字形有1个，为△ANP与△CNB， 所以，“8字形”图形共有6个； 故答案为：6 （4）关系：2∠P＝∠D＋∠B 由（1）得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ① ∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ② ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P ∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝ ∠PCB ①＋②得：∠DAP＋∠D＋∠PCB＋∠B ＝∠P＋∠DCP＋∠PAB＋∠P 【分析】（1）根据 可得； （2）根据“8字形”的定义及特征求解即可； （3） 由（1）得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ①，∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ② ，再求出①＋②得：∠DAP＋∠D＋∠PCB＋∠B ＝∠P＋∠DCP＋∠PAB＋∠P，即可得到再结合可得即可得到∠P； （4）关系：2∠P＝∠D＋∠B，方法同（3），利用角的运算及转换求解即可。 24．（2021八上·嘉祥月考）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出 之间的数量关系：　 　﹔ （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数　 　个； （3）如果图2中，若 ，试求 的度数 （4）如果图2中， 和 为任意角，其他条件不变，试问 与 之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可） 【答案】（1） （2）6 （3）解：由（1）得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ① ∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ② ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P ∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝ ∠PCB ①＋②得：∠DAP＋∠D＋∠PCB＋∠B ＝∠P＋∠DCP＋∠PAB＋∠P 又∵ ∴ ∴ （4）2∠P＝∠D＋∠B 【解析】【解答】解：（1） 故答案为： （2）交点有点M、O、N， 以M为交点的8字形有1个，为△AMD与△CMP， 以O为交点的8字形有4个，为△AOD与△COB，△AOM与△CON，△AOM与△COB，△CON与△AOD， 以N为交点的8字形有1个，为△ANP与△CNB， 所以，“8字形”图形共有6个； 故答案为：6 （4）关系：2∠P＝∠D＋∠B 由（1）得：∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP① ∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P② ∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P ∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝ ∠PCB ①＋②得：∠DAP＋∠D＋∠PCB＋∠B ＝∠P＋∠DCP＋∠PAB＋∠P 【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°及对顶角相等得到结论：“8字形”中的两个三角形非公共点处的两个角的和相等，即； （2）根据题干所给的“8字形”的定义，找出“8字形”的个数即可； （3）根据图形及“8字形”的定义可以得到 ∠DAP＋∠D＝∠P＋∠DCP ①；∠PCB＋∠B＝∠PAB＋∠P ② ，再将①＋②得：∠DAP＋∠D＋∠PCB＋∠B ＝∠P＋∠DCP＋∠PAB＋∠P，再计算即可； （4）根据（3）的计算过程即可得到结论。 25．（2022八上·九江期末）如图，AD为△ABC的高，AE、BF为△ABC的角平分线，若，． （1）求∠DAE的度数； （2）若点M为线段BC上任意一点，当△BMF为直角三角形时，请直接写出∠CFM的度数． 【答案】（1）解：∵BF为△ABC的角平分线． ∴， ∵AD为△ABC的高 ∴ ∴ 在△ABF中 ∵AE为△ABC的角平分线 ∴ ∴ （2）解：①如图，当∠BFM=90°时 ∵∠AFB=70°， ∴∠C=∠AFB-∠CBF=40° ∵∠BFM=90°， ∴∠FMC=∠CBF+∠BFM=120° ∴∠CFM=180°-∠C-∠FMC =20°； ②如图，当∠BMF=90°时 ∵ ∴∠BFM=90°-∠CBF=60°，∠AFB=70° ∵∠BFM+∠AFB+∠CFM=180° ∴∠CFM=180°-∠AFB-∠BFM=50°． 综上，∠CFM的度数为20°或50°． 【解析】【分析】（1）先求出，，再利用角的运算可得； （2）分两种情况： ①当∠BFM=90°时，②当∠BMF=90°时，再分别画出图形并利用角的运算求解即可。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 三角形（B卷·综合能力提升卷） （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024八上·沙洋期中）已知一个三角形的两边长分别为7和3，则这个三角形的第三边长可能是（　　） A．3 B．4 C．9 D．12 2．（2024八上·廉江期末）如图，是的外角，平分，若，，则等于（　　） A．40° B．50° C．45° D．55° 3．（2024八上·宝安开学考）如图，将一副三角板平放在一平面上（点D在上），则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（2024八上·柯桥月考）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A． B． C． D． 5．（2024八上·威县期中）已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为（　　） A．2a＋2b－2c B．2a＋2b C．2c D．0 6．（2023八上·沙市区期中）如图，锐角∠AOB＝x，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠QNO＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β，x的数量关系正确的是（　　） A．α﹣β＝2x B．2β+α＝90°+2x C．β+α＝90°+x D．β+2α＝180°﹣2x 7．（2023八上·越城月考）如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于G，若∠BDC＝130°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 8．（2021八上·温岭竞赛）五条长度均为整数厘米的线段：a1，a2，a3，a4，a5，满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，其中a1＝1厘米，a5＝9厘米，且这五条线段中的任意三条都不能构成三角形，则a3＝（　　） A．3厘米 B．4厘米 C．3或4厘米 D．不能确定 9．（2020八上·南宁月考）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，CD⊥AC交AB于点D，∠BCD=∠A，则∠BEA的度数（　　） A．155° B．135° C．108° D．100° 10．（2024八上·顺德期末）如图，，、、分别平分、、．以下结论，其中正确的是（　　） ①；②；③；④． A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．（2023八上·新昌月考）如图，中，，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则　 　． 12．（2023八上·绍兴月考）已知等腰三角形的两边长分别为和，则它的第三边长为　 　． 13．（2023八上·建始期中）已知的三边长分别是1，2，a，化简　 　． 14．（2019八上·江岸月考）△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且2∠B＝5∠A，若∠B的最大值m°，最小值n°，则m+n＝　 　. 15．（2023八上·武汉月考）如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=64°，∠BCD+∠DCA=180°，那么∠BDC为　 　度. 16．（2021八上·诸暨月考）若三角形的周长为13，且三边均为整数，则满足条件的三角形有　 　种． 三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（2022八上·松原期末）已知中，于点D，AE平分，过点A作直线，且，． （1）求的外角的度数； （2）求的度数． 18．（2022八上·江油月考）已知在中，的对边分别为. （1）化简代数式　 　. （2）若，，求的各内角度数； 19．（2022八上·南昌期中）如图，在中，，点D在斜边AB上，，设，． （1）填写表格： 20 40 60 … 　 　 　 　 　 　 … （2）猜想y与x的数量关系，并说明理由． （3）在图1的条件下，点E在边上，且，如图2．求的度数． 20．（2023八上·太康期末）在中，，． （1）若是整数，求的长． （2）已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长． 21．（2023八上·自贡月考）如图，在 中， 为边 上的高，点D为边 上的一点，连接 ． （1）当 为边 上的中线时，若 ， 的面积为30，求 的长； （2）当 为 的角平分线时，若 ， ，求 的度数． 22．（2023八上·惠州月考）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P． （1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝　 　；（用α的代数式表示，请直接写出结论） （2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由； （3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数． 23．（2021八上·讷河期中）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出 之间的数量关系：　 　﹔ （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数　 　个； （3）如果图2中，若 ，试求 的度数 （4）如果图2中， 和 为任意角，其他条件不变，试问 与 之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可） 24．（2021八上·嘉祥月考）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出 之间的数量关系：　 　﹔ （2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数　 　个； （3）如果图2中，若 ，试求 的度数 （4）如果图2中， 和 为任意角，其他条件不变，试问 与 之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可） 25．（2022八上·九江期末）如图，AD为△ABC的高，AE、BF为△ABC的角平分线，若，． （1）求∠DAE的度数； （2）若点M为线段BC上任意一点，当△BMF为直角三角形时，请直接写出∠CFM的度数． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $