精品解析：辽宁省名校联盟2025-2026学年高三上学期9月联合考试数学试题

辽宁省名校联盟2025年高三9月份联合考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则使最大的的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 7或8 D. 8或9 5. 已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增 6. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 7. 已知函数的定义域为.若对任意实数，有，则（ ） A. 210 B. 420 C. 2870 D. 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 存在最小值 C. 直线是曲线的一条切线 D. 有4个单调区间 10. 已知曲线（为自然对数的底数）与曲线有且仅有1个公共点，则关于数列，下列说法正确的有（ ） A. B. C. 为递减数列 D. 数列存在最小项 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知递减的等比数列，前三项的积为216，前三项的和为19，则___________. 12. 已知正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为_____． 13. 若函数恰有1个极值点，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知函数的图象为曲线，曲线关于点中心对称. （1）求点的坐标； （2）求不等式的解集. 15. 已知数列的前项和为. （1）设，证明：数列为等差数列； （2）求和. 16. 已知函数在上单调递增. （1）求的值； （2）设，证明：存在最小值且最小值小于1. 17. 已知函数在区间上有定义，记为的导函数，为的导函数.若，则称为上的“”函数.已知是上的“”函数. （1）求的取值范围； （2）已知直线为曲线在原点处的切线，求的最大值； （3）证明：当时，. 18. 已知方程的两实根分别为，数列的通项公式为的前项和为. （1）求； （2）求的值； （3）设数列的前项和为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省名校联盟2025年高三9月份联合考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的概念判断即可. 【详解】命题的否定为， 故选：D 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分式不等式确定集合，再由集合补集、并集运算逐个判断即可. 【详解】或， ， 所以或， 所以，错误，，正确， ，C，D错， 故选：B 3. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用指数函数的值域，结合不等式的性质及根式计算求解值域. 【详解】函数有意义，有， 因为，所以，所以， 所以函数的值域为. 故选：C. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则使最大的的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 7或8 D. 8或9 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，通过数列为等差数列，可列出关于首项和公差的等式求解，再将结果代入求解即可. 【详解】根据题意，数列为等差数列，所以（为正整数），， 因为，，所以， 解得， 所以，最大时，， 但由于为正整数，所以当或，最大. 故选：C. 5. 已知连续函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增 【答案】A 【解析】 【分析】结合图象确定导函数在区间，，，上的正负，结合导数与单调性的关系判断结论. 【详解】由图象可得当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递减， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 当时，， 此时，函数在上单调递增， 又，，为连续函数， 故BCD都错误，A正确. 故选：A. 6. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分，、，、，、，四种情况去绝对值并化简条件，结合二次函数性质求最小值即可. 【详解】当，时，可化为， 所以，，故， 当，时，可化为， 所以， 故，其中， 所以， 当，时，可化为， 所以，由可得， 故，其中， 所以，当且仅当，时等号成立， 当，时， ，， 故，矛盾， 所以当，时，取最小值，最小值为. 故选：C. 7. 已知函数的定义域为.若对任意实数，有，则（ ） A. 210 B. 420 C. 2870 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】先根据对称性得出周期，再应用赋值法得出特殊值，结合已知化简应用等差数列求和公式计算求解. 【详解】因为，所以，所以函数的周期为2，所以函数的周期为4， 因为且， 令得，令得， 令得， 令得，所以，所以， . 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】应用作差法比较代数式的大小判断A、B；由放缩及基本不等式判断C；应用特殊值举反例判断D. 【详解】A：由，则，则，对； B：由，则， 所以，则，对； C：由，则，对； D：若，则，错. 故选：ABC 9. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 存在最小值 C. 直线是曲线的一条切线 D. 有4个单调区间 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义判断A；对原函数进行求导，利用导数判断函数的单调性和求出最值；即可判断BD；再结合导数的几何意义判断C即可. 【详解】因为函数的定义域为，故， 故且，所以为非奇非偶函数；故A错误； 因为 ， 令，可得或. 当时，,单调递减; 当时，, 单调递增; 当时，,单调递减; 当时，, 单调递增; 故有4个单调区间，且存在最小值，故选项正确； 当时，,且， 故函数在处的切线方程为； 即直线是曲线的一条切线，故； 故选：. 10. 已知曲线（为自然对数的底数）与曲线有且仅有1个公共点，则关于数列，下列说法正确的有（ ） A. B. C. 为递减数列 D. 数列存在最小项 【答案】AC 【解析】 【分析】函数图像交点个数转化为方程的根的个数，再分离参数，数形结合求出的表达式，代入即可判断A、B选项，对于C、D选项，可以先取对数再构造函数求导来判断单调性以及最值的情况. 【详解】由题意有且仅有1个根，即只有一个根， 设 ，则， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 极小值， 画出如图所示，由图像可得， 当时，，故A选项正确； 当时，，故B选项错误； ， 设，， ，单调递减， 所以单调递减，单调递减，故C选项正确，D选项错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 已知递减的等比数列，前三项的积为216，前三项的和为19，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】列出等比数列通项公式，根据题目中的条件，列出首项与公比的等式，求解，再将代入即可. 【详解】根据题意，数列为等比数列，则，又因为数列为递减数列，则， 又因为前三项的积为，前三项的和为，所以，， 可以得到，即，，解得：或（舍）， 或（舍），所以，所以， 故答案为：. 12. 已知正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】化简，由已知等式，结合基本不等式，即可求出最小值. 【详解】根据题意，， 又由正实数a，b满足a+b＝1， 则（）（a+b）＝5， 又由24， 当且仅当b＝2a时等号成立， 则有59， 即的最小值为9. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，解题的关键是“1”的代换，属于中档题. 13. 若函数恰有1个极值点，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先对函数求导得到，函数恰有1个极值点，=0有且仅有一个变号零点，通过分析特征，结合二次函数的性质确定的取值范围. 【详解】， ， 即， 令， ， 得或， 函数恰有1个极值点， 有一个根；或无实根，或有两个相等的实数根， 若根为， 即解得：， 则， 在两侧符号不改变， 时，函数恰有一个极值点， 若无实数根， ， 则 化简得， 解得， 只有一个根且在两侧符号改变， 时，恰有1个极值点， 若有两个相等的实数根， 则， 化简得， 解得：或， 当时， 两侧符号不改变， 时恰有1个极值点， 当时，， 在两侧符号不改变， 时恰有1个极值点， 综上所述的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知函数的图象为曲线，曲线关于点中心对称. （1）求点的坐标； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）变形函数的解析式，求出函数的唯一对称中心，再利用平移变换求出点的坐标. （2）由（1）的信息解利用因式分解法解不等式即可. 【小问1详解】 函数， 显然曲线是函数的图象沿轴向左平移1个单位，再向下平移个单位而得， 由，得函数是奇函数，其图象关于点对称， 而都是R上的增函数，函数是R上的增函数， 又函数的图象不是直线，因此点是函数的图象的唯一对称中心， 则曲线关于点成中心对称，且点是曲线的唯一对称中心， 所以点的坐标为. 【小问2详解】 由（1）知，不等式， 则，解得，所以不等式的解集为. 15. 已知数列的前项和为. （1）设，证明：数列为等差数列； （2）求和. 【答案】（1）证明见解析； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据关系得，进而得，结合已知即可证； （2）由（1）及等差数列的定义写出，再应用错位相减法、等比数列的前n项和求. 【小问1详解】 由， 所以且， 又时也满足， 所以是首项为，公差为的等差数列，得证； 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以 ， 令，则， 所以， 所以，则. 16. 已知函数在上单调递增. （1）求的值； （2）设，证明：存在最小值且最小值小于1. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数后根据导数非负结合分类讨论可求的值； （2）求出的导数，根据虚设零点可求最小值，结合基本不等式可证最小值小于1. 【小问1详解】 ， 因为在上单调递增，故， 而时，，故即； 而时，，故即， 故. 【小问2详解】 , 故， 设，则， 故即在上单调递增. 而，， 故在存在一个零点且： 当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 而，故， 故， 而，双勾函数在为减函数，故， 故. 17. 已知函数在区间上有定义，记为的导函数，为的导函数.若，则称为上的“”函数.已知是上的“”函数. （1）求的取值范围； （2）已知直线为曲线在原点处的切线，求的最大值； （3）证明：当时，. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“”函数的定义，结合求导公式及三角函数值域的求法可得解； （2）根据导数的几何意义可知，再结合导数判断函数单调性与最值情况，即可得解； （3）构造函数，求导判断函数单调性，再结合函数的最值情况可得证. 【小问1详解】 由已知， 则，， 又，则， 由已知是上的“”函数， 则， 即， 解得； 【小问2详解】 由已知，， 则， 又直线为曲线在原点处的切线， 则， 设，即， 所以，， 由（1）得， 则恒成立， 所以在上单调递减，且， 即当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 即的最大值为； 【小问3详解】 设，， 则， ， ，恒成立，恒成立， 设，， 则恒成立， 所以在上单调递增， 即， 所以， 即在上单调递增， 所以， 即函数在上单调递增， 所以， 即成立. 18. 已知方程的两实根分别为，数列的通项公式为的前项和为. （1）求； （2）求的值； （3）设数列的前项和为，证明：. 【答案】（1），. （2） （3）证明如下： 当时， 由题设， ， ， 故，设， 则，其中，， 故且， 而，， 故、均为等比数列， 且前者首项为，公比为，后者首项为，公比为， 故， 且， 所以，其中， 而满足上式，故， 整理得： 因为，而， 故， 而， 故， 故即. 【解析】 【分析】（1）求出方程的根后可求； （2）利用代数变形可得，据此可求的值； （3）根据（2）的递归关系可得，利用构造法可求的通项公式，结合不等式的性质可证. 【小问1详解】 因为方程的两实根分别为，故， 故，. 故，. 【小问2详解】 由题设可得， ， 所以， 故， ， ， ， 累计可得：即. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $