精品解析：辽宁省沈阳市东北育才学校2025-2026学年高三上学期第一次模拟考试数学试卷

2025—2026学年度东北育才学校高中 高三年级第一次模拟考试数学科试卷 考试时长：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的． 1. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，再结合必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】，即，解得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选： . 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式把 集合具体化，然后再计算，，即可得答案. 【详解】由得，即 ，所以； 由得，所以． 所以． 故选：A 3. 已知，则有（ ） A. 最大值0 B. 最小值0 C. 最大值－4 D. 最小值－4 【答案】C 【解析】 【分析】利用均值不等式求解即可. 【详解】因为， 所以，，当且仅当，即时等号成立， 所以，，即有最大值， 故选：C 4. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法和复合函数单调性的判断方法，换元后可知只要满足即可，从而可求出实数的取值范围. 【详解】令，则， 因为函数在区间上单调递减， 且在定义域内递增， 所以，解得， 故选：B 5. 已知函数在处有极小值，则的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 或6 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数在处有极小值，得到，解出关于的方程，再验证是否为极小值即可． 【详解】 函数， ， 又在处有极值， ， 解得或6， 又由函数在处有极小值，故， 时，， 所以函数在处有极大值，不符合题意. 故选：A 6. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合指数函数的图象与性质即可判断AB选项错误，对C代入判断C错误，则可得到D正确. 【详解】根据函数 的图象， 知 ， 而对A选项排除A； 对B选项，因为，则， 则，但图象中函数值可以大于 1 ， 排除B； 根据C选项的解析式， ， 而根据函数 的图象， 知 ， 排除 C. 故选：D. 7. 已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（ ） A. 1013 B. 1014 C. 2026 D. 2028 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等差数列的性质求出数列的通项公式，再分析数列的规律，进而求出其前2026项的和. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则由，得 化简得，解得，， 又，故数列的通项公式为， 设数列的前 项和为， 则， ， 从 到共项，两两一组，可分为组， . 故选：. 8. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数导数，判断函数单调性，再根据函数单调性，比较函数值的大小，判断结果. 【详解】由题意得， 令，即，解得， 当时，， 在上单调递减， 当 时，， 在上单调递增， 可知， 所以 为偶函数，可知 令，则， 令，即，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，， ，即， 所以，即， 所以，即. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分．每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分． 9. 已知是公比q的正项等比数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】 根据条件即可求出等比数列的首项和公差，然后依次判断每个选项正误即可. 【详解】公比q为正数，且，，， 又，解得，. ，，， ∴数列是公比为2的等比数列.，故ABC正确， ，数列是公差为的等差数列，故D错误. 故选：ABC. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率是 B. 已知随机变量服从二项分布，若，则 C. 已知随机变量服从正态分布，若，则 D. 已知随机事件A，B满足，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，根据超几何分布可计算判断；对B，由二项分布的均值和方差公式计算判断；对C，根据正态分布的对称性求出概率判断；对D，根据全概率和条件概率的计算公式求解. 【详解】对于A，从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为，故A错误； 对于B，，，解得，故B正确； 对于C，，则正态曲线的对称轴为，根据正态曲线的对称性可得，故C错误； 对于D，，， 所以，故D正确. 故选：BD. 11. 设函数的定义域为R，且满足，为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 关于对称 C. D. 的导函数的周期为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由为奇函数可得对恒成立，故对恒成立，即可判断选项A，B；结合，可得，推导可得，即可判断选项C，选项D. 【详解】∵为奇函数，对恒成立， ∴对恒成立，∴函数为奇函数， 且函数的图象关于对称，故选项A错误，选项B正确； ∵，∴， 故，而的图象关于对称，即有， 故，则， ∴， ∴函数是周期为8的周期函数， 对于。令，可得， ∴，故选项C正确； 又，∴，∴的周期为8，故选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知且，则______． 【答案】64 【解析】 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 13. 将3个不同小球随机放入4个不同盒子中，记小球最多的盒子里小球数目为，则________. 【答案】 【解析】 【分析】求出的可能取值和对应的概率，利用期望公式进行求解即可. 【详解】由题意得的可能取值为1，2，3， 其中，， ，故. 故答案为： 14. 已知，函数，．则 的值域为__________；记函数 的值域为，函数的值域为，若，则的最大值是________. 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】利用导数确定函数的单调性，求出函数值域，再由集合的包含关系得参数最值． 【详解】由题意， 设， 因为， 则，所以是增函数， 又， 所以时，， 递减， 时，， 递增， 又，所以 的值域为， 若，则的值域是，满足， 若，则的值域是，而，因此不满足， 综上，的取值范围是，从而的最大值是1， 故答案为：；1. 四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若，且数列的前n项和为，求证：． 【答案】（1） （2）证明：， ∴． 故命题得证． 【解析】 【分析】（1）由数列的递推公式利用累乘法求解； （2）由（1）求出，再由裂项法求和即可证明． 【小问1详解】 由，则（n≥2）， 两式左右分别相减得，即． 得， 则，，…，，， 将以上个式子相乘得． 上式对仍成立，所以． 【小问2详解】 略 16. 已知函数是定义域为的奇函数，. （1）求的值； （2）用定义法证明 的单调性； （3）当时，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1）， （2） 由已知得，则， 任取，且令，则 ，得到， 故，则 是减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数性质得，进而解得即可. （2）利用定义法得到函数的单调性即可. （3）利用奇函数性质得，再由单调性得，即，最后利用均值不等式求解参数范围即可. 【小问1详解】 因为函数是定义域为的奇函数， 所以，得， 又，即，解得， 则，经检验符合题意. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得在时恒成立， 因为是单调递减的奇函数， 所以，即在时恒成立， 得到，且令，即恒成立， 又，当且仅当时等号成立， 得到，得到，即. 17. 已知函数. （1）当时，求的极大值； （2）若在有最小值，且最小值大于，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，，求导得，研究单调性求出极值； （2）求导，分类讨论，求出最小值，解方程得到答案. 【小问1详解】 当时，， ， 令，解得或， 当或，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以当时，的极大值为. 【小问2详解】 ，， 当时，，，单调递增，无最小值，不符题意； 当时，令，则或， 当时，，，所以单调递增，无最小值， 当时，当，，当，， 所以在单调递减，在上单调递增，所以当时，有最小值， 最小值为， 所以，即， 化简得，即， 解得，即. 18. 近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积 （单位：亩） 1 2 3 4 5 管理时间 （单位：月） 8 10 13 25 24 并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示: 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 （1）求出相关系数 的大小，并判断管理时间 与土地使用面积 是否线性相关？ （2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？ （3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为 ,求 的分布列及数学期望． 参考公式： 其中．临界值表： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考数据： 【答案】（1）线性相关；（2）有；（3）详见解析. 【解析】 【分析】（1）分别求出，，从而，，，求出，从而得到管理时间 与土地使用面积 线性相关． （2）完善列联表，求出，从而有的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性． （3） 的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，由此能求出的分布列和数学期望． 【详解】解：依题意： 故 则， 故管理时间 与土地使用面积 线性相关． （2）依题意，完善表格如下： 愿意参与管理 不愿意参与管理 总计 男性村民 150 50 200 女性村民 50 50 100 总计 200 100 300 计算得的观测值为 故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性． （3）依题意， 的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为， 故 故 的分布列为 X 0 1 2 3 P 则数学期望为 （或由，得 【点睛】本题主要考查相关系数的求法、独立检验的应用、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法以及二项分布等． 19. 已知函数． （1）当时，在处的切线方程； （2）当 时，恒成立，求 的取值范围； （3），使，证明． 【答案】（1） （2） （3） 即， 不妨设， 由（2）知 时，，即， 所以时，． 所以时，，即． 因为， 所以， 即， 所以． 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求解； （2）引入函数，利用求得必要条件，再证明其也是充分的即得； （3）不妨设，由整理得，利用（2）的结论，得，从而有时，，得出时，，即，然后对进行记放缩后可证得结论成立. 【小问1详解】 当时，， 因为，所以在处的切线方程为 ． 【小问2详解】 当 时，恒成立，即恒成立， 设， ， 要使得当 时，恒成立，则，即． 下面验证的充分性： 当 时，， 设，， 设，则， 当 时，，所以单调递增，即， 所以单调递增，即，所以当 时，，充分性得证， 所以 的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度东北育才学校高中 高三年级第一次模拟考试数学科试卷 考试时长：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的． 1. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则有（ ） A. 最大值0 B. 最小值0 C. 最大值－4 D. 最小值－4 4. 已知函数在区间上单调递减，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在处有极小值，则 的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 或6 6. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（ ） A. 1013 B. 1014 C. 2026 D. 2028 8. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分．每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分． 9. 已知是公比q的正项等比数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率是 B. 已知随机变量服从二项分布，若，则 C. 已知随机变量服从正态分布，若，则 D. 已知随机事件A，B满足，则 11. 设函数的定义域为R，且满足，为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 关于对称 C. D. 的导函数的周期为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知且，则______． 13. 将3个不同小球随机放入4个不同盒子中，记小球最多的盒子里小球数目为，则________. 14. 已知，函数，．则的值域为__________；记函数的值域为 ，函数的值域为 ，若，则 的最大值是________. 四、解答题：本题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和为，满足，． （1）求数列的通项公式； （2）若，且数列的前n项和为，求证：． 16. 已知函数是定义域为的奇函数，. （1）求的值； （2）用定义法证明的单调性； （3）当时，恒成立，求实数k的取值范围. 17. 已知函数. （1）当时，求的极大值； （2）若在有最小值，且最小值大于，求 的取值范围. 18. 近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示： 土地使用面积 （单位：亩） 1 2 3 4 5 管理时间 （单位：月） 8 10 13 25 24 并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示: 愿意参与管理 不愿意参与管理 男性村民 150 50 女性村民 50 （1）求出相关系数 的大小，并判断管理时间 与土地使用面积 是否线性相关？ （2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？ （3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为 ,求 的分布列及数学期望． 参考公式： 其中．临界值表： 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 参考数据： 19. 已知函数． （1）当时，在处的切线方程； （2）当 时，恒成立，求 的取值范围； （3），使，证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $