精品解析：陕西省汉中市2026届高三上学期第一次校际联考数学试题

2026届高三第一次校际联考 数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集的定义即可求得答案. 【详解】由集合，，得， 故选：B 2. 一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（ ） A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】对A，根据极差的定义判断；对B，举反例说明；对C，根据平均数的定义，利用反证法证明；对D，举反例说明. 【详解】对于A，去掉最大值后，新极差为原次大值与最小值之差， 若原次大值等于最大值，则极差不变，若原次大值不等于最大值，则极差改变，故A错误； 对于B，去掉最大值后，中位数可能改变，可能不变，如原数据为，中位数为2， 去掉3后，数据为，中位数还是2，故B错误； 对于C，设原平均数为，且按照从小到大的顺序， 假设去掉最大值后平均数不变，则， 所以，解得，由于原数据不全相等，则， 故矛盾，所以平均数一定改变，故C正确； 对于D，众数不一定改变，如数据为，众数为2，去掉4后，众数仍为2，故D错误. 故选：C. 3. 已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由已知求得抛物线的焦点，再设，由抛物线的性质求得可得答案. 【详解】因为为抛物线的焦点，所以， 设，因为，则，故到轴的距离为3. 故选：A． 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解出的范围，与的范围比较大小，即可得到. 【详解】解得，，小于表示的范围. 所以，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，根据正弦函数的性质即得. 【详解】∵函数， ∴函数为最小正周期为的奇函数. 故选：A. 6. 已知是等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 1028 B. 1023 C. 1024 D. 1025 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式得到方程组，解得首项和公比，代入等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 由题意可得，解得， 则. 故选：B. 7. 若用长为4cm，宽为2cm的矩形纸片卷成一个圆柱筒，则这个圆柱筒的最大体积为（ ） A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 【答案】D 【解析】 【分析】我们可以分圆柱的底面周长为4，高为2和圆柱的底面周长为2，高为4，两种情况进行讨论，最后综合讨论结果，即可得到答案． 【详解】若圆柱的底面周长为4cm，则底面半径，， 此时圆柱的体积， 若圆柱的底面周长为2cm，则底面半径，， 此时圆柱的体积 ∴圆柱的最大体积为cm3. 故选：D． 8. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（ ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.1 劲风 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 【答案】A 【解析】 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得，视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设数列是等差数列；公差为，是其前项和，且，则（ ） A. B. C. 有最大值 D. 有最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得，即可结合选项逐一求解. 【详解】由是等差数列，且，故，A正确， ，B正确， 由于且，故， 当时，，故当或8时，取最大值，无最小值，C正确，D错误， 故选：ABC 10. 已知定义在上的偶函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. ， C. D. 方程有唯一实数解 【答案】BC 【解析】 【分析】由偶函数的性质结合导数的单调性和极值点逐一判断可得. 【详解】对于A，因为为偶函数，所以，故A错误； 对于B，由偶函数在对称区间上的单调性是相反的可知，时，函数为增函数，所以，故B正确； 对于C，由偶函数的对称性质可得1位于增区间，2位于减区间，所以，故C正确； 对于D，由函数图象结合偶函数性质可知，函数的极值点最少有两个且不相同， 所以方程最少有两个不同解，故D错误. 故选：BC. 11. 已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，两点，直线与椭圆相交于，两点，则（ ） A. 椭圆的焦距为2 B. 为定值 C. 当以，，，四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 D. 直线和的斜率的乘积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用给定的椭圆基本量求出焦距长度判断A，利用椭圆的对称性合理转化长度判断B，利用平行四边形性质求出的坐标，再求解平行四边形面积判断C，设出关键点的坐标，利用点在椭圆上消去参数，判断斜率乘积为定值求解D即可. 【详解】对于A，由，得到， 可得椭圆C的焦距为2，故A正确； 对于B，如图，设椭圆的左焦点为，连接 由椭圆的对称性有，故B正确； 对于C，由题意得，且， 又因为四边形为平行四边形，有， 可得点的坐标为，代入椭圆中，得到， 解得，即的坐标为， 则平行四边形的面积为，故C错误； 对于D，由，设点的坐标分别为， 代入椭圆中有．又由， ，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数的虚部为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，结合复数的定义，即可求解. 【详解】由复数的运算法则，可得， 所以复数的虚部为. 故答案为：. 13. 若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由奇偶性求得函数解析式，然后分类讨论解不等式可得. 【详解】是定义在上的奇函数，且当时，， 所以， 时，， 时，，解得， 时，，解得， 故答案为：. 14. 已知，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦的和差角公式展开化简可得到的值，再把按倍角公式展开化成关于的式子，代入即得答案. 【详解】由正弦的和差角公式得： ， ， 代入方程：， 得， 得， 解得：， 利用倍角公式得： ，  代入得： . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理边角转化，可求得，即可求出角； （2）结合（1）的结论和三角形面积公式可求得，由余弦定理有 ，据此可求出，从而可得到的周长. 【详解】由，利用正弦定理得， 因为，所以. 又因为为锐角，所以. （2）由，所以， 又，即， 则，即. 又，所以. 所以的周长为. 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 16. 已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． （1）求双曲线的方程； （2）若的中点为，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件，结合双曲线的性质列方程组，联立求解，即可得双曲线的方程； （2）联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式，即可求解. 【小问1详解】 根据题意，双曲线的实轴长为，离心率为，则 ，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，双曲线的方程为， 设，， 联立，化简得， 则，且，， 由为的中点，得，解得，，且满足， 所以直线的方程为. 17. 如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理和性质定理，结合平行线的性质、平行四边形的判定定理和性质进行证明即可； （2）结合（1）的结论建立空间直角坐标系，利用线面角的定义、空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 证明：如图，取的中点，连接，， 平面，平面， 平面平面， 为等边三角形，， 又平面平面，平面， 平面. ，点为中点， ，且， 又，，， 四边形是平行四边形，， 平面. 【小问2详解】 由（1）可知平面，平面， ，，两两垂直， 故以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，. ，，. 设平面的法向量， 则即 令，则，，. 设直线与平面的夹角为， 则， 直线与平面夹角的正弦值为. 18. 已知函数，其中． （1）求在处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）极大值，极小值0 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程即可； （2）求导，令，根据导数的符号确定函数单调性，进而得到极值即可； （3）在上有解，即，令，则在上单调递增，令，在上单调递减，则，然后求解即可. 【小问1详解】 ， ， ，且， 在处的切线方程为：. 【小问2详解】 令，得或， 当和时，，则函数单调递增； 当时，，则函数单调递减， 为函数的极大值点，极大值为； 为函数的极小值点，极小值为. 【小问3详解】 根据题意关于的不等式在上有解， 即在上有解， 设，，，， 由于，在上单调递增，， 在上单调递减，， 则，解得， 实数的取值范围为. 19. 已知排球比赛的规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分.才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立． （1）估计甲队每局获胜的概率； （2）如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分的概率分布列和数学期望； （3）如果甲、乙两队约定比赛2场，求两队积分相等的概率． 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）用频率估计概率，结合题意求概率即可； （2）由题意可知，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，结合独立重复性实验概率公式求分布列和期望； （3）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A，分析可得，结合题意运算求解. 【小问1详解】 用频率估计概率，6局中甲共赢4局，则甲队每局获胜的概率为. 【小问2详解】 由题意可知，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 可得的分布列为： 0 1 2 3 所以. 【小问3详解】 记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A， 设第场甲、乙两队积分分别为，，则，其中， 因为两队积分相等，则， 即，可得， 又因为，，，， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三第一次校际联考 数学试题 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（ ） A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 众数 3. 已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 6. 已知是等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 1028 B. 1023 C. 1024 D. 1025 7. 若用长为4cm，宽为2cm的矩形纸片卷成一个圆柱筒，则这个圆柱筒的最大体积为（ ） A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 8. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（ ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.1 劲风 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设数列是等差数列；公差为，是其前项和，且，则（ ） A. B. C. 有最大值 D. 有最小值 10. 已知定义在上的偶函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. ， C. D. 方程有唯一实数解 11. 已知椭圆的右焦点为，左，右顶点分别为，两点，直线与椭圆相交于，两点，则（ ） A. 椭圆的焦距为2 B. 为定值 C. 当以，，，四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 D. 直线和的斜率的乘积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数的虚部为____________． 13. 若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为____________． 14. 已知，则的值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在锐角中，角所对的边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的周长. 16. 已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． （1）求双曲线的方程； （2）若的中点为，求直线的方程． 17. 如图，已知是等边三角形，，，平面，点为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值． 18. 已知函数，其中． （1）求在处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 19. 已知排球比赛的规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分.才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分；以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩： 1 2 3 4 5 6 甲 25 21 27 27 23 25 乙 18 25 25 25 25 17 假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立． （1）估计甲队每局获胜的概率； （2）如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分的概率分布列和数学期望； （3）如果甲、乙两队约定比赛2场，求两队积分相等的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $