9.4 三元一次方程组 （第1课时）教案-2024-2025学年青岛版七年级数学下册

课题 9.4三元一次方程组 课型 新授 主备人 日期 2025.3.17 备课组成员 课标分析 能解简单的三元一次方程组。 教材分析 本节通过实际问题情境，将建立数学模型与探索解三元一次方程组融合为一个课时，使学生经历列一次方程组解决实际问题的过程。 学情分析 学生在9.3已经学会了用代入法和加减法进行消元，去解二元一次方程组，并且根据方程特点选择合适的方法。知道了解二元一次方程组就是运用转化思想，将二元一次方程组转化成一元一次方程。 教学目标 1. 能解简单的三元一次方程组。 2. 深刻转化的数学思想，提高学生解决问题的能力。 学习目标 1.能解简单的三元一次方程组。 2.深刻转化的数学思想。 重点：能解简单的三元一次方程组. 难点：根据方程特点选择合适的方法解三元一次方程组. 教学程序 教师指导 教学程序 任务一 三元一次方程组的概念 探究一：(1)小亮与爸爸、爷爷三人年龄之和为120岁,爷爷的年龄比小亮与爸爸年龄之和多12岁,爸爸与小亮年龄之差正好等于爷爷与爸爸年龄之差.他们三人的年龄分别是多少? 问题1：题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？ 问题2：你能设出未知数，并根据等量关系列出方程吗？ 预设答案：问题中有三个未知量：小亮、爸爸和爷爷的年龄； 设小亮、爸爸和爷爷的年龄分别为x，y，z岁，根据等量关系： 小亮+爸爸+爷爷=120，即x + y + z = 120 ①； 小亮+爸爸+12=爷爷， 即x+y+12=z②； 爸爸—小亮=爷爷—爸爸，即y—x=z—y③. 师生活动：教师引导学生分析题目的数量关系，学生独立思考作答. 教师：这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程联立，得到方程组： 追问：观察列出的三个方程，你有什么发现？你能模仿二元一次方程组，总结出三元一次方程组的定义吗？ 预设答案：（1）方程组中含有三个未知数； （2）每个方程中含有未知数的项的次数都为1； （3）方程组中一共有三个方程。 总结：含有三个未知数的一次方程组，叫作三元一次方程组. 任务一 意图说明 把实际问题转化为数学问题,让学生通过思考相等关系及题目中的已知量和未知量,引入含三个未知数的方程，类比二元一次方程组的概念，得到三元一次方程组的概念，从而培养学生的归纳总结能力，锻炼学生的抽象能力和自主探究能力. 任务二 三元一次方程组的解法及应用 如何解 呢？ 教师引导：我们知道二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数,化成一元一次方程求解.那么,能不能用同样的思路,用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个或两个未知数,把它们化成二元一次方程组或一元一次方程再求解呢?尝试一下. 解：把②分别代入①③，得到两个只含x，y的方程组： 解这个方程组，得 将其代入方程，得z=66， 所以原三元一次方程组的解为 学生活动：教师引导学生分析解题思路后，学生独立思考作答，选一名学生进行板书，教师巡视. 总结：解三元一次方程的基本思路：消元. 【合作探究】既然利用代入消元法可以解三元一次方程组，那是不是也可以利用加减消元法解三元一次方程组呢？做一做例1 解方程组 问题1：方程组中各未知数的系数有什么特点？如果利用代入消元法求解简便吗？ 问题2：若使用加减消元法，你觉得消哪一个比较简便？如何消？说出你的思路. 学生讨论后发言：可以方程和方程的系数成倍数关系，可以×2+消去y，得到一个关于x与z的方程.再与方程联立，解关于x与z的方程组即可. 追问：方程和方程的系数也成倍数关系，尝试用另一种方法求解. 答案见课本例1 . 教师总结：解三元一次方程组的步骤： ①利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数，得出一个二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解. 【即时测评】见导学案 设计意图：通过教师的引导让学生初步用消元法解三元一次方程组，培养学生的迁移思想，锻炼应用能力和运算能力.通过例题，让学生探讨不同的解法，加深学生解三元一次方程组的过程中的“消元”思想. 【例题精析】 例2 从甲地到乙地有一段上坡、一段平路、一段下坡，全程是98km.汽车从甲、乙两地之间往返行驶，若汽车在平地上的速度为40km/h，上坡的速度为20km/h，下坡的速度为30km/h，那么从甲地到乙地需用时2.8h，从乙地到甲地需用时2.7h.求从甲地到乙地时，平地、上坡、下坡的路程各有多少千米？ 师生活动：教师引导学生分析数量关系，学生独立思考作答，教师巡视并作最后的讲解. 分析:甲地到乙地路程=上坡路程+平路路程+下坡路程=98km，甲地到乙地用时2.8h，乙地到甲地用时2.7h，而且汽车在三段路上的速度已知，因此，可直接设三段路的路程.注意，从甲地到乙地的路段与从乙地到甲地的路段是相反的. 解： 解得： 所以从甲地到乙地时，平地为80km，上坡为12km，下坡为6km. 任务二 设计意图 让学生学会用消元方法解三元一次方程组，以及列三元一次方程组解决实际问题，并在解三元一次方程组的过程中，体会“消元”思想，以及怎么消元，先消哪个元，以提高学生的解三元一次方程组的能力。 任务二 三元一次方程组的解法及应用 如何解 呢？ 教师引导：我们知道二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数,化成一元一次方程求解.那么,能不能用同样的思路,用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个或两个未知数,把它们化成二元一次方程组或一元一次方程再求解呢?尝试一下. 解：把②分别代入①③，得到两个只含x，y的方程组： 解这个方程组，得 将其代入方程，得z=66， 所以原三元一次方程组的解为 学生活动：教师引导学生分析解题思路后，学生独立思考作答，选一名学生进行板书，教师巡视. 总结：解三元一次方程的基本思路：消元. 【合作探究】既然利用代入消元法可以解三元一次方程组，那是不是也可以利用加减消元法解三元一次方程组呢？做一做例1 解方程组 问题1：方程组中各未知数的系数有什么特点？如果利用代入消元法求解简便吗？ 问题2：若使用加减消元法，你觉得消哪一个比较简便？如何消？说出你的思路. 学生讨论后发言：可以方程和方程的系数成倍数关系，可以×2+消去y，得到一个关于x与z的方程.再与方程联立，解关于x与z的方程组即可. 追问：方程和方程的系数也成倍数关系，尝试用另一种方法求解. 答案见课本例1 . 教师总结：解三元一次方程组的步骤： ①利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数，得出一个二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程，求出第三个未知数的值，把这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解. 设计意图：通过教师的引导让学生初步用消元法解三元一次方程组，培养学生的迁移思想，锻炼应用能力和运算能力.通过例题，让学生探讨不同的解法，加深学生解三元一次方程组的过程中的“消元”思想. 【例题精析】 例2 从甲地到乙地有一段上坡、一段平路、一段下坡，全程是98km.汽车从甲、乙两地之间往返行驶，若汽车在平地上的速度为40km/h，上坡的速度为20km/h，下坡的速度为30km/h，那么从甲地到乙地需用时2.8h，从乙地到甲地需用时2.7h.求从甲地到乙地时，平地、上坡、下坡的路程各有多少千米？ 师生活动：教师引导学生分析数量关系，学生独立思考作答，教师巡视并作最后的讲解. 分析:甲地到乙地路程=上坡路程+平路路程+下坡路程=98km，甲地到乙地用时2.8h，乙地到甲地用时2.7h，而且汽车在三段路上的速度已知，因此，可直接设三段路的路程.注意，从甲地到乙地的路段与从乙地到甲地的路段是相反的. 解： 解得： 所以从甲地到乙地时，平地为80km，上坡为12km，下坡为6km. 任务二 设计意图 让学生学会用消元方法解三元一次方程组，以及列三元一次方程组解决实际问题，并在解三元一次方程组的过程中，体会“消元”思想，以及怎么消元，先消哪个元，以提高学生的解三元一次方程组的能力。 板书设计 多媒体使用 作业 教后记 学科网（北京）股份有限公司 $