精品解析：2023年陕西省西安市碑林区铁一中学自主招生数学试卷（11月份）

2023年陕西省西安市碑林区铁一中学自主招生数学试（11月份） 一．选择题 1. 若，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘法则进行计算，利用指数相同列方程即可求解． 【详解】解：， ， ， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，解题关键是熟记同底数幂相乘法则：底数不变，指数相加． 2. 如图所示的几何体，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据俯视图的定义即可判断． 【详解】解：解：从上往下看得到的图形是， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 3. 如图，是的平分线，于P连接PC，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】延长，交于点D，根据“三线合一”可得，根据三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：延长，交于点D， ∵是的平分线，， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了“三线合一”，三角形中线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形顶角的角平分线，底边上的中线，底边上的高重合；三角形的中线将三角形的面积分成面积相等的两部分． 4. 不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（　　） A. m≤2 B. m≥2 C. m≤1 D. m＞1 【答案】C 【解析】 【分析】分别解出不等式，进而利用不等式的解得出m+1的取值范围，进而求出即可； 【详解】解：∵不等式组 的解集是x＞2， 解不等式①得x＞2， 解不等式②得x＞m+1， 又∵不等式组的解集是x＞2， ∴不等式①解集是不等式组的解集， ∴m+1≤2， 解得：m≤1， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次方程组，根据不等式组的解得出m+1的取值范围是解题的关键； 5. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B．若点在的内部，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出点A、B的坐标，再根据题意列出不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：令，∴点 令，∴ ∵点在的内部 ∴ 解得 故选：D． 【点睛】本题考查求一元一次不等式与一次函数，熟练掌握由直线与坐标轴的交点求不等式的解集是解题的关键． 6. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由翻折得，，垂直平分，可根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，则，则，即可根据勾股定理求出，再由，且得，则，由，求得,即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是边长为的正方形， ∴，， ∴， 由翻折得，，垂直平分， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， 解得， ∵， ∴， 解得， 故选：． 【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据面积等式求线段的长度等知识和方法，正确求出和的长度是解题的关键． 二．填空题 7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，线段在x轴的正半轴上，过点A作x轴的垂线交反比例函数图像于点P，连接，过点A作，交y轴于点C，若，则四边形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据平行线的性质得到，进而求得，利用勾股定理求得，进而求得，由四边形的面积是求解即可． 【详解】解：连接，， ∵轴于A， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由，得， ∴， ∴， ∴，则， ∴四边形的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质、平行线的性质、勾股定理、三角形的面积，熟练掌握反比例函数k的几何意义，根据平行线的性质得到是解答的关键． 8. 如图，锐角三角形中，，，，则的面积为 _________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用构造等腰三角形，然后根据勾股定理求出的长，最后求出的面积． 本题考查三角形的面积和勾股定理，构造等腰三角形是关键． 【详解】解：过点A作，延长至点，使得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 9. 分解因式：x3y﹣xy3=_____． 【答案】xy（x+y）（x﹣y）． 【解析】 【详解】分析：首先提取公因式xy，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解． 详解：x3y﹣xy3=xy（x2﹣y2）=xy（x+y）（x﹣y）． 点睛：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式，要首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 10. 在四边形中，，，，连接，，当时，请直接写出的最大值为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作于点D，使，连接，，求出，，由，即得，，即，证明，即得，再证，可得，，故当最长时，最长，而，即可得的最大值为． 【详解】解：过点D作于点D，使，连接，，如图： ∴，， ∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最长时，最长， ∵， ∴， 即的最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，涉及勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 三．解答题 11. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，以及分母有理化．先通分括号内，再运算除法，得，再把代入，即可作答． 【详解】解： ， 把代入 得． 12. 如图，已知，请用尺规作图法在线段上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作等于已知角的基本作图，平行线的基本作图，平行线的性质，延长，作，再作即可． 【详解】根据题意，延长，作，再作即可． 13. 为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位∶台)和销售单价(单位∶万元)成一次函数关系． (1)求年销售量与销售单价的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？ 【答案】（1）；（2）该公可若想获得10000万元的年利润，此设备的销售单价应是50万元． 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论． 【详解】（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0）， 将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：， 解得：， ∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000． （2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台， 根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000， 整理，得：x2﹣130x+4000=0， 解得：x1=50，x2=80． ∵此设备的销售单价不得高于70万元， ∴x=50． 答：该设备的销售单价应是50万元/台． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 14. 如图，平台AB上有一棵直立的大树CD，平台的边缘B处有一棵直立的小树BE，平台边缘B外有一个向下的斜坡BG．小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度．一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处，经测量，CB长5米，BF长2米，小树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的∠ABG＝150°．请你帮小明求出大树CD的高度． 【答案】大树CD的高度为15.8米． 【解析】 【分析】延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M，在直角三角形MBF中，利用30°角的性质求出BM和MF，再利用相似求出BH长度；最后由△HBE∽△HCD，求出CD即大树的高度即可． 【详解】解：延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M， ∵∠ABG＝150°，BE⊥CB， ∴∠MBF＝150°﹣90°＝60°， ∴∠MFB＝30°， ∵BF的长为2米， ∴BM＝1米，MF＝米. ∵BE⊥CB，MF⊥BE， ∴BH∥MF， ∴△EBH∽△EMF， ∴＝. 又∵EB＝1.8米， ∴＝， ∴BH＝. ∵BE∥CD， ∴△HBE∽△HCD， ∴＝. ∵CB＝5， ∴＝， ∴CD＝15.8米. ∴大树CD的高度为15.8米． 【点睛】本题考查了相似三角形在解决实际问题中的应用，明确相似三角形的判定定理及其性质，是解题的关键． 15. 已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）若点C为直线上第二象限的点，且，求点C的坐标； （2）在（1）的条件下，直线上是否存在点Q，使得与相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，满足条件的点或 【解析】 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的判定和性质是解本题的关键． （1）先判断出，得出，再求出，代入即可得出结论； （2）先判断出点A与点B是对应点，再分两种情况，用相似三角形得出比例式，建立方程求解即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图1，过点C作轴交x轴于D， ∴， ∴， ∵直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，则， ∵点C为直线上第二象限的点， ∴； 【小问2详解】 解：直线上是存在点Q，使得与相似， 如图7， 由（1）知，， ∴， ∴， 当点Q在射线上时，， ∴与不可能相似； 当点Q在的延长线上时， 设， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴，， ∵与相似， ∴①， ∴， ∴， ∴，则， ∴； ②， ∴， ∴， ∴，则， ∴， 即：满足条件的点或． 16. 解答下列问题 （1）【探究发现】如图1，正方形的对角线交于点O，E是边上一点，作交于点F；学习小队发现，不论点E在边上运动过程中，与恒全等．请你证明这个结论； （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线交于点O，，E是延长线上一点，将绕点O逆时针旋转得到，点F恰好落在的延长线上，求的值； （3）【拓展提升】如图3，等腰中，，点E是边上一点，以为边在的上方作等边，连接，取的中点M，连接，当时，直接写出的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）； （3）或10 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，利用证明，即可； （2）连接，连接，证明，得到，推出，即，在中，，等量代换得到，即可； （3）过A作于K，连接，设交于R，三线合一得到，得到，由三角形中位线定理，得到，推出，得到，得到，在中，，求出，推出， ，设，则，，在中，，列方程求出的长，进而得到的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，连接，如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∴； 【小问3详解】 解：过A作于K，连接，设交于R，如图： ∵， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 设，则，， 在中，， ∴， 解得或， ∴或5， ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年陕西省西安市碑林区铁一中学自主招生数学试（11月份） 一．选择题 1. 若，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 如图所示的几何体，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的平分线，于P连接PC，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 不能确定 4. 不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（　　） A. m≤2 B. m≥2 C. m≤1 D. m＞1 5. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B．若点在的内部，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是（ ） A. B. C. 1 D. 二．填空题 7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，线段在x轴的正半轴上，过点A作x轴的垂线交反比例函数图像于点P，连接，过点A作，交y轴于点C，若，则四边形的面积是______． 8. 如图，锐角三角形中，，，，则的面积为 _________________． 9. 分解因式：x3y﹣xy3=_____． 10. 在四边形中，，，，连接，，当时，请直接写出的最大值为 ____________________． 三．解答题 11. 先化简，再求值：，其中． 12. 如图，已知，请用尺规作图法在线段上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 13. 为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位∶台)和销售单价(单位∶万元)成一次函数关系． (1)求年销售量与销售单价的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？ 14. 如图，平台AB上有一棵直立的大树CD，平台的边缘B处有一棵直立的小树BE，平台边缘B外有一个向下的斜坡BG．小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度．一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处，经测量，CB长5米，BF长2米，小树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的∠ABG＝150°．请你帮小明求出大树CD的高度． 15. 已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）若点C为直线上第二象限的点，且，求点C的坐标； （2）在（1）的条件下，直线上是否存在点Q，使得与相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 16. 解答下列问题 （1）【探究发现】如图1，正方形的对角线交于点O，E是边上一点，作交于点F；学习小队发现，不论点E在边上运动过程中，与恒全等．请你证明这个结论； （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线交于点O，，E是延长线上一点，将绕点O逆时针旋转得到，点F恰好落在的延长线上，求的值； （3）【拓展提升】如图3，等腰中，，点E是边上一点，以为边在的上方作等边，连接，取的中点M，连接，当时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $