精品解析：江苏省南京市鼓楼区2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学模拟试卷

2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）第一次月考模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A、x+2y=1，是二元一次方程，故此选项错误； B、x2+y=2，是二元二次方程，故此选项错误； C、2x-x2=3，是一元二次方程，故此选项正确； D、x+=4，是分式方程，故此选项错误； 故选C． 2. 关于x的方程的一根是1，则m的值是（　　） A. B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 把代入原方程，求解关于m的方程即可． 【详解】解：把代入方程，得 ， 所以． 故选：D． 3. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r. 解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符. 故选D. “点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系. 4. 如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ） A. 倾斜直线 B. 抛物线 C. 圆弧 D. 水平直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧． 【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点的运动轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧， 故选：C． 5. 若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，利用换元的思想是解决问题的关键． 把方程看作关于的一元二次方程，则利用关于的方程的两根为得到，然后利用根与系数的关系即可解答本题． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， 设关于的方程的两根为， 则方程的两根为， 关于的方程的两根之和为，两根之积为， ， ． 故选：D． 6. 如图，中两条弦与的延长线交于点与交于点，下列关系式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理的应用，三角形的一个外角的性质．根据三角形的一个外角的性质以及圆周角定理，即可判断和的关系． 【详解】解：， ， ， ， ， ，故选项B正确； 根据题意无法得到的度数， ∴无法得到的大小，故选项A错误； ，故选项D错误； 根据题意无法得到，的度数， ∴无法得到的大小，故选项C错误； 故选：B 7. 在中，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据等弧对等角，进行判断即可． 【详解】解：取的中点，连接，则： ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（　 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：连接OE，OF，ON，OG， 在矩形ABCD中， ∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4， ∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点， ∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°， ∴四边形AFOE，FBGO是正方形， ∴AF=BF=AE=BG=2， ∴DE=3， ∵DM是⊙O的切线， ∴DN=DE=3，MN=MG， ∴CM=5-2-MN=3-MN， 在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2， ∴（3+NM）2=（3-NM）2+42， ∴NM=， ∴DM=3+=， 故选A． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 已知的半径为，，则点与的位置关系是：点在____． 【答案】内 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的关系，比较半径与点到圆的距离是解题的关键．根据当点到圆心的距离小于圆的半径时，点在圆内；当点到圆心的距离等于圆的半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外，即可解答． 【详解】解：由题意，得：点到圆的距离，圆的半径， ， 点在圆内， 故答案为：内． 10. 已知的半径为2，点O到直线l的距离为3，则l与的位置关系是 _____ ． 【答案】相离 【解析】 【分析】本题考查直线与圆位置关系．根据题意比较点O到直线l的距离和半径长度，即可得到本题答案． 【详解】解：∵的半径为2，点O到直线l的距离为3， ∴， ∴l与的位置关系是相离， 故答案为：相离． 11. 如图，为，则弦所对的圆心角度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，连接，由为可得，据此即可求解，掌握弧、弦、圆心角之间的关系是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为， ∴， ∴弦所对的圆心角度数为， 故答案为：． 12. 在圆内接四边形中，、的度数之比为，则 ______ 【答案】 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的对角互补列式计算，得到答案． 本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】解：设的度数为，则的度数为， 四边形是圆内接四边形， ， ∴， 解得，， ， 故答案为：． 13. 如图，点A、B、C、D、E在上，且，则所对的圆心角度数为__________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，连接，根据圆内接四边形的性质得到，根据题意求出，根据圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图，连接，，， 四边形为的内接四边形， ， ∵， ∴， ∴， 的度数为， 故答案为：． 14. 如图，由4个边长为1的小正方形组成的图形，若经过其顶点A、B、C，则圆心O到的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点D，过点D作交于点D，交于点E，则圆心O在上，在取上取圆心O，连接，根据题意可得，，，，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，过点D作交于点D，交于点E，则圆心O在上，在取上取圆心O，连接， 根据题意得：，，，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即圆心O到的距离为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，根据题意得到圆心的位置是解题的关键． 15. 如图，以的边为直径的分别交于点、，连结、，若，则 ______ 【答案】 【解析】 【分析】连接由圆周角定理和三角形内角和定理求得，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题． 本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． 为的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，弦相交于点E，．若，则的度数为____°． 【答案】46 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，以及弧、弦、圆心角的关系．连接，根据邻补角定义求出，根据圆周角定理推出，根据三角形内角和定理求出，根据圆周角定理得，然后根据圆心角、弧的关系求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：46． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 17. 某市有A、B两个公园，甲、乙、丙三位同学随机选择其中一个公园游玩． （1）甲去A公园游玩的概率是 ； （2）求三位同学恰好在同一个公园游玩的概率． 【答案】（1）．（2）． 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得； （2）画树状图列出所有等可能解果，从中找到甲、乙、丙三名同学恰好选择了同一家公园的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】（1）共两个公园，所以甲去A公园游玩的概率是． （2）画树状图如下： 由树状图知共有8种等可能结果，其中甲、乙、丙三名同学恰好选择了同一家公园的有2种结果， ∴甲、乙、丙三名同学恰好选择了同一家公园的概率为 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 四、解答题：本题共10小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方程利用配方法求出解即可； （2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 此题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的方法是解本题的关键． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解： 整理得：， 即， ∴， 解得：． 19. 如图，、是的直径，弦．求证：是弧的中点． 【答案】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是弧的中点． 【解析】 【分析】连接，根据两直线平行，内错角相等，得出，再根据等边对等角，得出，再根据等量代换，得出，进而得出，再根据在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，即可得出结论． 【详解】略． 【点睛】本题考查了平行线的性质、等边对等角、圆周角定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理． 20. 超市以每件元的价格购进了一批玩具，定价为元时，平均每天可售出个经调查发现，玩具的单价每降元，每天可多售出个；玩具的单价每涨元，每天要少售出个如何定价才能使每天的利润为元？ 【答案】每件玩具的定价应为元或元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每件玩具的定价为元，分及两种情况考虑，根据总利润每件的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设每件玩具的定价为元． 当时，每件玩具的销售利润为元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，； 当时，每件玩具的销售利润为元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， ， 此种情况下原方程没有实数根． 答：每件玩具的定价应为元或元． 21. 如图，已知内接于圆．求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵内接于圆， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，矩形的判定，由平行四边形的性质可得，又由圆内接四边形的性质可得，即得，据此即可求证，掌握平行四边形及圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】略 22. 如图，已知． （1）利用直尺和圆规作出的内切圆； （2）若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径． 【答案】（1）如图即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、三角形的内切圆与内心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆，即可得的内切圆． （2）设的内切圆分别与相切于点，连接，由已知条件可得，由此可得的长，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆； 【小问2详解】 解：设的内切圆分别与，相切于点，，连接，，， 的周长为， ． 的面积为，， ， ， 它的内切圆的半径为． 23. 如图，一个边长为的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点分别在上，且，在，五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． （1）五边形的面积为_________．（结果用含有x的代数式表示） （2）当为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用．正确的识图，准确的列出代数式和方程，是解题的关键． （1）利用分割法求面积，列出代数式即可； （2）根据题意，列出一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意和图可知：小正方形的边长为， ∵， ∴， ∴五边形的面积为； 故答案为：； 【小问2详解】 由题意，得：， 整理，得：， 解得：； ∴当时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元 24. 如果关于x的一元二次方程满足，那么称这样的方程为“美好方程”．例如，方程，，则这个方程就是“美好方程”． （1）下列方程是“美好方程”的是 ； ① ② ③ ④ （2）求证：“美好方程”总有两个实数根； （3）若美好方程有两个相等的实数根，求证：． 【答案】（1）①④ （2） 证明：∵一元二次方程， ∴， ∴， ∴， ∴美好方程总有两个实数根． （3） 证明：方法1 ∵美好方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故， 故． 方法2 将代入美好方程，得 左边，右边 ∵美好方程有两个相等的实数根， ∴， ∴是美好方程的一个根， ∴方程的另一个根也是， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了新定义方程，根的判别式，根与系数关系定理，完全平方公式， （1）根据美好方程的定义，看出，当时，方程有一个根为，分别代入计算即可． （2）根据美好方程的定义，看出，当时，方程有一个根为，利用根的判别式计算判断即可． （3）根据美好方程的定义，计算判断即可． 【小问1详解】 方程，，方程①是美好方程； 方程，，方程②不是美好方程； 方程，，方程③不是美好方程； 方程，整理，得，，方程④ 是美好方程； 故答案为：①④． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 如图，四边形ABCD是的内接四边形，，，垂足分别是E、F． （1）直接写出OF与CD的数量关系 ，并证明你的结论． （2）若，．求的半径． 【答案】 （1）， 理由如下： 连接AO并延长交于点G，连接CB、BG， ∵， ∴， ∵， ∴OF是的中位线， ∴， ∵AG是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； （2）⊙O的半径为 【解析】 【分析】（1）连接AO并延长交于点G，连接CB、BG，根据点OF分别是AGAB中点，得到OF是的中位线，则有，再根据同弧所对的圆周角相等可得，直径所对的圆周角是直角可得，则有，根据，，从而可得，，继而可得； （2）在中，根据勾股定理可求得的半径． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）得：，， 在中，， ∴的半径为 ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，圆周角定理，圆周角、弧、弦之间的关系，解题的关键是能够作辅助线构造以OF为中位线的三角形． 26. 如图，是斜边上的中线，以为直径作，分别交、于点、，过点作，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ，为斜边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）连接，证出，证明即可； （2）连接，证明，再由勾股定理求得，最后三角形的面积公式求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ，，是斜边上的中线， ， 为直径， ， ， ， ， ． 27. （1）证明定理：圆内接四边形的对角互补． 已知：如图①，四边形内接于⊙． 求证：． （2）逆命题证明： 若四边形的一组对角，则这个四边形的个顶点共圆（图②） 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点，，画⊙． 假设点落在⊙外，BC交⊙于点，连接DE， 四边形内接于⊙， 可得 ， ， ，与得出矛盾； 同理点也不会落在⊙内， ，，，共圆． （3）结论运用：如图，线段，点，分别在射线和线段上运动，以为边在内部作等边，则的最小值为 ． 【答案】 （1）证明：如下图，连接、， ，，且， ， 同理， ； （2），；（3）． 【解析】 【分析】（1）连接、，由和、和为同弧所对的圆心角和圆周角， 得出：，，已知，即可得出， 同理； （2）由圆内接四边形对角互补、等量代换即可求解； （3）由是等边三角形得出，已知，所以，从而得出：、、、四点共圆，由同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等得：；作，点始终在射线上运动，由垂线段最短可知，当，即点处时，最小，最后用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略； （2），； （3）是等边三角形， ， ， ， 、、、四点共圆， （同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等） 作，点始终在射线上运动， 由垂线段最短可知，当，即点处时，最小， 在中，， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题主要考查了圆的定义，等边三角形，含的直角三角形定理，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟知圆内接四边形对角互补和同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）第一次月考模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 关于x的方程的一根是1，则m的值是（　　） A. B. 3 C. D. 2 3. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ） A. 倾斜直线 B. 抛物线 C. 圆弧 D. 水平直线 5. 若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积为（    ） A. B. C. D. 6. 如图，中两条弦与的延长线交于点与交于点，下列关系式一定成立的是（    ） A. B. C. D. 7. 在中，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（　 　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9. 已知的半径为，，则点与的位置关系是：点在____． 10. 已知的半径为2，点O到直线l的距离为3，则l与的位置关系是 _____ ． 11. 如图，为，则弦所对的圆心角度数为______． 12. 在圆内接四边形中，、的度数之比为，则 ______ 13. 如图，点A、B、C、D、E在上，且，则所对的圆心角度数为__________． 14. 如图，由4个边长为1的小正方形组成的图形，若经过其顶点A、B、C，则圆心O到的距离为______． 15. 如图，以的边为直径的分别交于点、，连结、，若，则 ______ 16. 如图，在中，弦相交于点E，．若，则的度数为____°． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 17. 某市有A、B两个公园，甲、乙、丙三位同学随机选择其中一个公园游玩． （1）甲去A公园游玩的概率是 ； （2）求三位同学恰好在同一个公园游玩的概率． 四、解答题：本题共10小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 解下列方程： （1）． （2）． 19. 如图，、是的直径，弦．求证：是弧的中点． 20. 超市以每件元的价格购进了一批玩具，定价为元时，平均每天可售出个经调查发现，玩具的单价每降元，每天可多售出个；玩具的单价每涨元，每天要少售出个如何定价才能使每天的利润为元？ 21. 如图，已知内接于圆．求证：四边形是矩形． 22. 如图，已知． （1）利用直尺和圆规作出的内切圆； （2）若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径． 23. 如图，一个边长为的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点分别在上，且，在，五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． （1）五边形的面积为_________．（结果用含有x的代数式表示） （2）当为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 24. 如果关于x的一元二次方程满足，那么称这样的方程为“美好方程”．例如，方程，，则这个方程就是“美好方程”． （1）下列方程是“美好方程”的是 ； ① ② ③ ④ （2）求证：“美好方程”总有两个实数根； （3）若美好方程有两个相等的实数根，求证：． 25. 如图，四边形ABCD是的内接四边形，，，垂足分别是E、F． （1）直接写出OF与CD的数量关系 ，并证明你的结论． （2）若，．求的半径． 26. 如图，是斜边上的中线，以为直径作，分别交、于点、，过点作，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 27. （1）证明定理：圆内接四边形的对角互补． 已知：如图①，四边形内接于⊙． 求证：． （2）逆命题证明： 若四边形的一组对角，则这个四边形的个顶点共圆（图②） 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点，，画⊙． 假设点落在⊙外，BC交⊙于点，连接DE， 四边形内接于⊙， 可得 ， ， ，与得出矛盾； 同理点也不会落在⊙内， ，，，共圆． （3）结论运用：如图，线段，点，分别在射线和线段上运动，以为边在内部作等边，则的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $