精品解析：辽宁省重点高中沈阳市郊联体2025-2026学年高三上学期期初考试数学试题

辽宁省重点高中沈阳市郊联体 2025—2026学年度上学期期初考试高三年级试题 数学 命题人：沈阳市第五十一中学 姜波 校题人：沈阳市第三十中学 秦平 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的虚部为（ ） A. 1 B. C. 8 D. 2. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 3. 若p:，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线C虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 已知，，若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象和函数的图象有唯一交点，则实数m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 或3 D. 1或3 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是公差为2的等差数列 C. D. 数列是等比数列 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 D. 若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是 11. 如图，在正三棱柱中，，，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 三棱锥体积为 C. 点到平面距离为 D. 四棱锥的外接球的表面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则______. 13. 在二项式展开式中，的系数为_________． 14. 已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围是__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知． （1）求B； （2）若，，求的面积． 16. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 18. 已知函数，曲线在的切线为． （1）求a，b的值； （2）求证：函数在区间上单调递增； （3）求函数的零点个数，并说明理由． 19. 在一个不透明箱子里放入大小，材质均相同的5个小球，红球3个，白球2个．甲、乙两人现在一起玩抽球游戏，规则如下：甲每次直接抽取两个球，若同色则继续抽球；若异色则交由乙抽球．乙每次有放回的抽球两次，每次抽一球，若同色则继续抽球；若异色则交由甲抽球．由甲先抽球，两人共进行次抽球后，游戏结束． （1）分别求甲，乙两人每次抽球时，抽到两个球颜色相同的概率； （2）求第次甲抽球的概率； （3）若表示乙抽球前甲抽球的次数，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省重点高中沈阳市郊联体 2025—2026学年度上学期期初考试高三年级试题 数学 命题人：沈阳市第五十一中学 姜波 校题人：沈阳市第三十中学 秦平 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的虚部为（ ） A 1 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的概念，即可求解. 【详解】， 故复数的虚部为1. 故选：A． 2. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 3. 若p:，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式后由充分必要条件的概念判断 【详解】由得，由得， 故是的必要不充分条件， 故选：B 4. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 5. 已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知双曲线中的关系，结合和离心率公式求解 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，， 于是，则， 即. 故选：D 6. 已知，，若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知，，且，由判断A选项是否一定成立；由判断B选项是否一定成立;由判断C选项是否一定成立;由结合基本不等式判断D选项是否一定成立; 【详解】，，且当且仅当时取等号，故A不一定成立； ，当且仅当时取等号，故B不一定成立； ，当且仅当时取等号，故C一定成立； ，且当且仅当时取等号，故D不一定成立； 故选：C 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用两角和的正弦、余弦公式化简可得，再根据二倍角余弦公式求解. 【详解】由，可得， 即，即得， . 故选：B. 8. 已知函数的图象和函数的图象有唯一交点，则实数m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 或3 D. 1或3 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为方程有唯一解，令，再次转化为在上有唯一零点，通过判断函数的奇偶性，可得，从而可求得结果. 【详解】因为函数的图象和函数的图象有唯一交点， 所以方程有唯一解， 即有唯一解， 令，则在上有唯一零点， 因为， 所以为偶函数， 因为在上有唯一零点，所以唯一的零点为， 所以，即， 得，解得或， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查函数奇偶性的应用，解题的关键是由题意将问题转化为在上有唯一零点，再通过判断函数有奇偶性，根据奇偶性的性质可求解，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是公差为2的等差数列 C. D. 数列是等比数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意计算出，求出通项及前项和，再依次判断选项即可. 【详解】由题意可得：，解得或, 因为等比数列的公比为整数，所以，所以等比数列的通项公式为：.故A正确； 选项B:因为, 所以,且当时，,所以数列是首项为,公差为的等差数列,所以选项B错误； 选项C:因为所以等比数列的其前项和所以所以选项C正确. 选项D:由选项C得,所以且当时，,所以数列是首项为4，公比为2的等比数列.所以选项D正确. 故选：ACD 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 D. 若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由图象可得周期，再得到即可；对于B，代入，可得的解析式，代入验证即可判断B，对于C，由函数平移前后的解析式可判断；对于D，根据单调性，可确定的取值范围. 【详解】由图可知，，，，故A错误； 所以，又过点，， 所以，，即，，，， 故，，故B正确； 对于C，将函数的图象向右平移个单位得到： ，故C正确； 对于D，当时，，令，则，. 当时，在上单调递增，在上单调递减； 又，，. 因为的图象与有且只有一个实数根， 所以的取值范围是，故D错误. 故选：BC. 11. 如图，在正三棱柱中，，，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为 B. 三棱锥的体积为 C. 点到平面的距离为 D. 四棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据定义，异面直线与直线所成角，即为或其补角，即可判断A；应用等体积法求体积判断B；首先求出到平面的距离，再结合对称性判断C；由四棱锥的外接球，即为该三棱柱的外接球，进而求半径，即可得表面积判断D. 【详解】A：由题设，则直线与直线所成角，即为或其补角， 又为等边三角形，故，对； B：由，对； C：由，，则中上的高为， 所以，若到平面的距离为，则， 所以，根据对称性易知点到平面的距离为，错； D：由题设，易知四棱锥的外接球，即为该三棱柱的外接球， 而的外接圆半径，且， 所以外接球的半径，故其表面积为，对. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先计算向量的坐标，再根据模长公式计算即可. 【详解】，故. 故答案为：. 13. 在二项式的展开式中，的系数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用通项公式求解可得. 【详解】由通项公式， 令，得， 可得项的系数为. 故答案为：. 14. 已知函数，若对于恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，，利用导数讨论，的单调性、奇偶性，进而构造函数，将原不等式等价转化，利用单调性转化，构造函数和，即可求导确定函数的最值. 【详解】令，因为，，所以是奇函数， 易知在上单调递增． 同理令，可知是奇函数， 由于，故在上单调递增． 因此为上单调递增． 令，， 则是在上单调递增的奇函数． 不等式等价于， 故，由单调性得，即， 即，构造函数， 则，在上单调递增，等价于， 则，即， 令，则，令，得； 令，得，故在上单调递增，在上单调递减， 故，故，即， 故实数的取值范围是． 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知． （1）求B； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）； （2）﹒ 【解析】 【分析】(1)已知条件结合正弦定理边化角即可求B； (2)结合正弦定理、余弦定理和三角形面积公式即可求解﹒ 【小问1详解】 由正弦定理，得， 即， ∴， 又∵，∴， ∴， 又∵，∴， ∵B为三角形内角，∴； 【小问2详解】 ∵，∴由正弦定理得， ∴由余弦定理得，即， ∴，， ∴的面积为． 16. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）法一：取中点，连接，利用线面平行的判定定理证明；法二：以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行证明； （2）求出两个平面的法向量，利用向量法求解. 【小问1详解】 法一：取中点，连接. 在△中，分别为的中点，所以， 又，所以，四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. 法二：因为底面，底面，所以， 又因为平面， 所以平面，即为平面的一个法向量， 如图， 以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则 ，，，，， 由为棱的中点，得， 向量，，故， 又平面，所以平面； 【小问2详解】 因为，设平面的法向量为， 则，取， 又平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【小问1详解】 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 18. 已知函数，曲线在的切线为． （1）求a，b的值； （2）求证：函数在区间上单调递增； （3）求函数的零点个数，并说明理由． 【答案】（1）. （2）证明见解析 （3）零点个数为0，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）直接求导得，根据即可得到答案； （2），转化为证明在上恒成立即可； （3）通过求导得到的最小值，利用隐零点法证明即可. 【小问1详解】 ，则有，解得，，则. 【小问2详解】 由（1）知，， 设，因为在上单调递增， 则，所以在上恒成立， 所以函数在区间上单调递增. 【小问3详解】 因为，令， 令，得，设， 由（2）知在上单调递增，且，， 故存在唯一零点使得， 即存在唯一零点满足，即得，则， 且当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以 ， 当时，，， 则， 则函数的零点个数为0. 19. 在一个不透明的箱子里放入大小，材质均相同的5个小球，红球3个，白球2个．甲、乙两人现在一起玩抽球游戏，规则如下：甲每次直接抽取两个球，若同色则继续抽球；若异色则交由乙抽球．乙每次有放回的抽球两次，每次抽一球，若同色则继续抽球；若异色则交由甲抽球．由甲先抽球，两人共进行次抽球后，游戏结束． （1）分别求甲，乙两人每次抽球时，抽到两个球颜色相同概率； （2）求第次甲抽球的概率； （3）若表示乙抽球前甲抽球的次数，求． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）借助组合计数问题求出古典概率得甲抽球概率；利用互斥事件及相互独立事件概率求得乙抽球概率. （2）利用全概率公式列出递推关系，再利用构造法求出第次甲抽球的概率. （3）求出的概率，再利用期望的定义列式，并利用错位相减法求和即得. 小问1详解】 甲每次抽球，抽到两个颜色相同的球的概率为； 乙每次抽球，抽到两个颜色相同的球的概率为. 【小问2详解】 表示第次抽球的人是甲，表示第次抽球的人是乙，表示抽到两个球为同色，， 则 ，于是， 又，，因此为以为首项，为公比的等比数列， 则，即， 所以第次甲抽球概率为. 【小问3详解】 ，，， ， ， 两式相减得 ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $