精品解析：山东省潍坊市2025-2026学年高三上学期开学调研监测数学试题

高三开学调研监测考试 数学试题 2025.9 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的虚部是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 3. 已知集合，，若，，则下列对应关系为上的一个函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 若双曲线：过点，则C的焦距为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. Margalef丰富度指数是用于衡量群落中生物种类丰富程度的一个指标，其中S和N分别表示群落中的生物种数和生物个体总数．如果某生物群落一年后的生物种类数S没有改变，生物个体总数由变为，Margalef丰富度指数由1.8提高到4.5，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数（其中，均大于0），若，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图是某市2025年1月至7月全社会用电量（单位：亿千瓦时）的折线图，则（ ） A. 1月至7月全社会用电量逐月增加 B. 1月至7月全社会用电量的极差是20.7 C. 1月至7月全社会用电量的第75百分位数是64.3 D. 1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大 10. 已知抛物线：的焦点为，过F的一条直线交于A，B两点（A位于第一象限），过A，B作直线的垂线，垂足分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若直线的倾斜角为，则 D. 记，，的面积分别为，，，则 11. 在棱长为6的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，过E，F，G作正方体的截面，则（ ） A. B. 截面多边形存在外接圆 C. 截面多边形的面积为 D. 截面所在平面与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等差数列的前项和为，已知，，则_____． 13. 袋子中有3个红球，2个黄球，m个蓝球，现从中任取两个球，记取出的红球个数为X，若取出的两个球都是红球的概率为，则______． 14. 已知函数，则曲线在处的切线方程_____；若，则a的值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，． （1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式； （2）求的前项和． 16. 如图，在四棱锥中，底面，交于，，，，，为中点． （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 17. 在中，． （1）求； （2）若的角平分线与边相交于点，且，，求的面积 18. 已知椭圆：的离心率为，右顶点为． （1）求的方程； （2）过点的直线交于M，N两点（B不在上），过N作直线的垂线，垂足为Q． ①求的最小值； ②求的最大值． 19. 已知函数． （1）讨论的极值； （2）若曲线有两条过原点的切线，求的取值范围； （3）设，若，证明：对任意正实数，存在唯一的，使得成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三开学调研监测考试 数学试题 2025.9 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得集合N，再由交集的定义求. 【详解】不等式，解得或，即或， 又集合， 所以. 故选：C. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的虚部是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，即可得答案. 【详解】因为复数对应的点的坐标是， 所以复数，则的虚部是4. 故选：C. 3. 已知集合，，若，，则下列对应关系为上的一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义，对于A，易知时无意义，对于C和D，时，其函数值都不在集合B中，对于B，一个一个验证即可确定. 【详解】对于A，，，易知时无意义，故A错误； 对于B，，，时，， 时，，时，，故B正确； 对于C，，，时，，故C错误； 对于D，，，时，，故D错误. 故选：B. 4. 若双曲线：过点，则C的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由点在双曲线上，代入求得，进而可求解. 【详解】由题意可得：，解得：， 所以， 所以， 故选：D 5. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正切和角公式即可出，在将要求的式子分子分母同时除以，把弦化为切，代入数值计算即可． 【详解】， ， 故选：A． 6. 如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题设易得为等边三角形，可得，，进而得到，再结合平面向量数量积的运算律求解即可. 【详解】由，为中点，则， 因为，，所以为等边三角形， 则，，而，则， 由，， 所以 . 故选：B. 7. Margalef丰富度指数是用于衡量群落中生物种类丰富程度的一个指标，其中S和N分别表示群落中的生物种数和生物个体总数．如果某生物群落一年后的生物种类数S没有改变，生物个体总数由变为，Margalef丰富度指数由1.8提高到4.5，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意列出方程组，再由对数的运算性质可得. 【详解】由题意可得， 两式相除可得， 所以. 故选：C. 8. 设函数（其中，均大于0），若，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得定义域为：，然后分与两种情况结合，可得，最后由基本不等式可得答案. 【详解】定义域为：. 或，若，此时， 为使，则，则此时； 若，则此时，为使，则， 则此时，综上可得. 则， 当且仅当，即时取等号. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图是某市2025年1月至7月全社会用电量（单位：亿千瓦时）的折线图，则（ ） A. 1月至7月全社会用电量逐月增加 B. 1月至7月全社会用电量的极差是20.7 C. 1月至7月全社会用电量的第75百分位数是64.3 D. 1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大 【答案】BD 【解析】 【分析】根据折线图数据，结合各项描述及极差、百分位数的求法、极差与方差关系判断正误. 【详解】A：由图知，3月到4月用电量减少，故错误； B：由图，用电量的极差为，故正确； C：数据从小到大有，又， 所以第75百分位数是第六个数据，故错误； D：由1月至3月用电量极差为，4月至6月用电量极差为， 显然，故对应1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大，故正确. 故选：BD 10. 已知抛物线：的焦点为，过F的一条直线交于A，B两点（A位于第一象限），过A，B作直线的垂线，垂足分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若直线的倾斜角为，则 D. 记，，的面积分别为，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据焦点即可得；对于B：根据抛物线的定义求点A的坐标；对于C：可知直线，联立方程求点A的坐标，结合定义即可得结果；对于D：设直线，联立方程可得韦达定理，结合面积关系分析判断. 【详解】如图所示，由题意可知直线为抛物线的准线，直线与抛物线必相交， 设，，可得， 对于选项A：因为抛物线：的焦点为， 则，解得，故A正确； 对于选项B：由选项A可知抛物线：， 因为，即， 则，即，所以，故B正确； 对于选项C：若直线的倾斜角为，则直线的斜率，可得直线， 联立方程，消去y可得，解得， 结合图形可知，即，所以，故C错误； 对于选项D：设直线， 联立方程，消去x可得， 则， 可得， ， 由题意可知：，， 可得， 且，所以，故D正确； 故选：ABD. 11. 在棱长为6的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，过E，F，G作正方体的截面，则（ ） A. B. 截面多边形存在外接圆 C. 截面多边形的面积为 D. 截面所在平面与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过空间几何分析正方体截面的形状、面积、外接圆存在性及二面角的正弦，结合正方体的性质和给定棱长，计算相关各边长度和面积，通过几何性质对选项进行逐一判断. 【详解】 如上图所示，根据正方体的性质可知，平面，底面对角线， 因为为中线，则，又因为，所以， 又因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，故A正确. 如上图，延长交于，交于，连接交于，连接交于. 根据正方体的性质可知，，即，且公用顶点， 显然这两个三角形外心不重合，故这个五边形没有外接圆，B错误； 如上图，因为，为中点，则， ，， ，， ，，， 所以， ， 所以，故C正确. 如上图，因为，，由二面角定义可知，为截面与底面所成角（或补角）， 因为，， 由余弦定理得， 所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等差数列的前项和为，已知，，则_____． 【答案】5 【解析】 【分析】由等差数列前n项和公式及等差数列的性质有、，即可得. 【详解】由题设，即，则， ，即，则. 故答案为：5 13. 袋子中有3个红球，2个黄球，m个蓝球，现从中任取两个球，记取出的红球个数为X，若取出的两个球都是红球的概率为，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】记取出的两个球都是红球为事件，则，即可求出，从而可得的可能取值，求出对应的概率，即可求出数学期望. 【详解】记取出的两个球都是红球为事件，则， ，即 解得或（舍）， 故的可能取值为， 则， ， 故答案为：1. 14. 已知函数，则曲线在处的切线方程_____；若，则a的值为_____． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】对求导，可得，，进而可得切线方程；构建，可得，求导，根据可得，构建，利用导数可知，即可得结果. 【详解】因为，则， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以所求切线方程为，即； 若，可得， 构建，则， 注意到，则，可得； 下证当时，， 构建， 则， 构建，则， 可知在内单调递减，且， 当时，则，即；当时，则，即； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 即，且，整理可得， 即，可知符合题意； 综上所述：. 故答案为：；2. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列满足，． （1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式； （2）求的前项和． 【答案】（1）证明见解析，； （2）. 【解析】 【分析】（1）将条件变形为，结合等比数列的定义即可证明，求出数列的首项，利用等比数列的通项公式求解即可； （2）由于，利用分组求和即可求解. 【小问1详解】 因为，所以. 由可知，，则， 所以数列是等比数列，其公比为4，首项为， 则， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 由于， 所以， 则， 即的前项和. 16. 如图，在四棱锥中，底面，交于，，，，，为中点． （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求证为线段的中点，利用线面平行的判定定理即可； （2）设点到平面的距离为，利用等体积计算，最后求即可. 【小问1详解】 连接， 因，，则，则， 又，，则， 则，即为线段的中点， 因为中点，则为的中位线，则， 因平面，平面，则平面； 【小问2详解】 设点到平面的距离为， 因，，则， 由（1）可知，则，即， 因，则，则， 因底面，平面，则， 因，则， 因， 则，即， 又底面，，则底面， 又底面，则，则， 则与平面所成角的正弦值为. 17. 在中，． （1）求； （2）若的角平分线与边相交于点，且，，求的面积 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的基本关系式，化简得，求得，即可求解； （2）在中，由余弦定理求得，设，根据，列出方程，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由，可得， 即，解得或， 因为，可得，所以，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知：， 因为为的角平分线，且，，可得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 解得或（舍去）， 设，由， 可得， 即，解得，即， 所以的面积为. 18. 已知椭圆：的离心率为，右顶点为． （1）求的方程； （2）过点的直线交于M，N两点（B不在上），过N作直线的垂线，垂足为Q． ①求的最小值； ②求的最大值． 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由离心率可得，结合可得椭圆方程； （2）①设过点的直线方程为：，将直线与椭圆方程联立，由韦达定理及两点间距离公式可得，然后令，结合函数知识可得答案；②由题可得Q在以为直径的圆T上，过B作圆T切线，切点为J，由几何知识可得，然后由两点间距离公式结合①可得最值. 【小问1详解】 因的离心率为，则， 从而，又右顶点为，则，， 则椭圆方程为：； 【小问2详解】 ①因过点的直线不过点B，则直线斜率不为0， 设：.将直线与椭圆联立，则，消去得：. 因，设， 则. 则 ，令，则. 设,则， 因函数在上单调递减， 故,即, 故得,即的最小值为； ②由题，，则Q在以为直径的圆T上，B在圆T外， 如图，过B作圆T切线，切点为J，连接JQ，JM，由弦切角定理可得， 又，则，从而. 又连接，则，. 由（1），即， 则， 又由①得：， 则 ，因，则，此时. 则的最大值为. 19. 已知函数． （1）讨论的极值； （2）若曲线有两条过原点的切线，求的取值范围； （3）设，若，证明：对任意正实数，存在唯一的，使得成立． 【答案】（1）当时，无极值；当时，有极大值，无极小值. （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）写出的定义域并对求导，分和两种情况讨论，通过证明的单调性求极值； （2）设出切点，写出切线方程，得到曲线有两条过原点的切线，等价于方程有两个不同的正实数根，然后构造函数，分和两种情况讨论即可； （3）将转化为，构造函数，通过讨论该函数的单调性求证存在性，再用假设法证明唯一性即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 对求导得， 当时，恒成立，在上单调递增，无极值； 当时，令，即，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此在处取得极大值，极大值为，无极小值. 综上，当时，无极值；当时，有极大值，无极小值. 【小问2详解】 设切点为，， 则切线方程为， 因为切线过原点，则， 即，化简得， 曲线有两条过原点的切线，等价于方程有两个不同的正实数根， 令，则， 当时，恒成立，在上单调递增，不满足有两个不同的正实数根， 当时，令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，,当时，, 要使有两个不同的正实数根， 则， 即，，，， 解得， 综上，的取值范围. 【小问3详解】 先证存在性，，，， ，，， ， 则要证，即证，，， 令，则，即， 令，， 令，则， 所以在上单调递增，， 所以，在上单调递增， 因此存在使得，即存在使得， 又，故，故， 因此，故，即， 即存在，使得； 再证唯一性，假设存在，使得， 即， 显然，，因此唯一性得证. 综上，对任意正实数，存在唯一的，使得成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $