精品解析： 湖北省大冶市2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试卷

大冶市2024－2025学年度第二学期期末考试 七年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分；考试时间为120分钟；满分120分． 2．考生在答题前请仔细阅读答题卷中的“注意事项”，然后按要求答题． 3．所有答案均须做在答题卷相应区域，做在其他区域无效． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数属于无理数是（　　） A. B. C. 0 D. 1 2. 在下列各组由运动项目图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 点P在第四象限，P到x轴的距离为2，P到y轴距离为5，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ） A. 调查某班学生的身高情况 B. 调查亚运会100m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况 C. 调查某批汽车的抗撞击能力 D. 调查一架“歼10”隐形战斗机各零部件的质量 5. 如图，这是一所学校平面示意图，若建立适当的平面直角坐标系后国旗杆、教学楼的位置坐标分别是，则图书馆的位置坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如果，那么下列各式一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知方程组的解满足x+y=2，则k的算术平方根为（   ） A. 4 B. ﹣2 C. ﹣4 D. 2 8. 明代大数学家程大位著《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”用现代话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排笔管和笔套的短竹数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 老师在黑板上画出如图所示的图形，要求学生添加条件，使得，随后抽取了四名学生的答案纸展示如下： 甲：； 乙：； 丙：； 丁：． 则不能得到的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 10. 如图，的面积为，，，则图中四边形的面积等于（ ） A. 50 B. 55 C. 60 D. 65 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 3的平方根是__________． 12. 若的值在两个整数与之间，则__________． 13. 光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射．在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．如图，若水面和杯底互相平行，，则等于______度． 14. 如图，已知点，点，连接，将线段平移至线段，点A的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为__________． 15. 若关于x的不等式 的最小整数解为3，则m的取值范围是_____． 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 解二元一次方程组． 17. 解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． 18. 若， （1）求的值； （2）求的平方根． 19. 如图，把向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到． （1）请在平面直角坐标系上画出，并写出点的坐标； （2）求出的面积； （3）若点P在y轴的正半轴上，且的面积是的面积的3倍，求点P的坐标． 20. 在太空种子种植体验活动中，为了解“宇番2号”番茄，某校科技小组随机抽查60株番茄的挂果数量x（单位：个），并绘制如下不完整的统计图表： “宇番2号”番茄挂果数量统计图表 挂果数量x（个） 频数（株） 频率 6 12 a 18 b 9 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）统计表中， _________； _________． （2）将频数分布直方图补充完整． （3）若绘制“番茄挂果数量扇形统计图”，求挂果数量在“”所对应扇形的圆心角度数． （4）若所种植的“宇番2号”番茄有1000株，则可以估计挂果数量在范围的番茄有多少株？列式计算并作答． 21. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点E，，求的度数． 22. 对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，例如，，．解决下列问题： （1） ； （2）若，则实数a的取值范围是 ； （3）若，且m是整数，求m的值． 23. 某品牌饮料店特别推出A和B两种饮料进行销售，以下是该饮料店开业期间的三则信息： 信息1： "开业大酬宾"优惠方案 任意饮料一次性消费： ①满8杯（含8杯）减10元； ②满10杯（含10杯）减15元． 信息2： 加料区 种类 单价（元） 黑糖珍珠 1 秘制芋圆 1 软糯燕麦 2 脆波波球 2 碧根果奶油雪顶 3 说明1：可根据客人需求选择是否加料；说明2：每杯饮料最多能加三种料，且加料不重复． 信息3： A饮料（杯） B饮料（杯） 总费用（元） 是否优惠 实际花费（元） 是否加料 消费记录1 4 2 72 无 72 否 消费记录2 3 4 94 无 94 否 消费记录3 5 3 98 优惠10元 88 否 请根据所提供的信息完成以下问题： （1）请分别求出A和B两种饮料的销售单价； （2）已知小明买了若干杯A饮料和5杯B饮料，每杯饮料均未加料，共花费100元，求小明买了几杯A饮料； （3）小坤与他的伙伴们想买6杯A饮料和5杯B饮料，且仅有3杯饮料不加料．若小坤只有185元，是否能够满足大家的各种加料需求？请说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，，且满足，过点B作直线轴，点P是直线m上一动点，连接AP，过点B作交y轴于C点，分别平分，． （1）填空：__________，__________． （2）在点P的运动过程中，的度数是否变化？若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由； （3）若点P的纵坐标为，连接交y轴于点H． ①求点H的坐标； ②点Qy轴上，若，求出Q点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大冶市2024－2025学年度第二学期期末考试 七年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分；考试时间为120分钟；满分120分． 2．考生在答题前请仔细阅读答题卷中的“注意事项”，然后按要求答题． 3．所有答案均须做在答题卷相应区域，做在其他区域无效． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数属于无理数的是（　　） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【详解】A、是无理数； B、=2，是整数，属于有理数； C、0是整数，属于有理数； D、1是整数，属于有理数． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 2. 在下列各组由运动项目的图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．选项A中的两个图形是轴对称，因此选项A不符合题意； B．选项B中的两个图形可以通过旋转得到，因此选项B不符合题意； C．选项C中的两个图形可以通过上下、左右平移得到，因此选项C符合题意； D．选项D中的两个图形，改变了图形的大小，而平移不改变图形的大小和形状，因此选项D不符合题意； 故选：C． 3. 点P在第四象限，P到x轴的距离为2，P到y轴距离为5，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为5， ∴点的横坐标为5，纵坐标为， 点的坐标是． 故选：D． 【点睛】本题考查了点的坐标．熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 4. 下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ） A. 调查某班学生身高情况 B. 调查亚运会100m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况 C. 调查某批汽车的抗撞击能力 D. 调查一架“歼10”隐形战斗机各零部件的质量 【答案】C 【解析】 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：A．调查某班学生的身高情况，适合全面调查，故本选项不符合题意； B．调查亚运会100m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况，适合全面调查，故本选项不符合题意； C．调查某批汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故本选项符合题意； D．调查一架“歼10”隐形战斗机各零部件的质量，适合全面调查，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 5. 如图，这是一所学校的平面示意图，若建立适当的平面直角坐标系后国旗杆、教学楼的位置坐标分别是，则图书馆的位置坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，以国旗杆所在位置为原点，以国旗杆、教学楼这两个点所在的直线为轴，进而写出图书馆的位置坐标即可． 【详解】解：依题意，以国旗杆所在位置为原点，以国旗杆、教学楼这两个点所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系： ∴图书馆的坐标为． 故选：A 6. 如果，那么下列各式一定不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，成立，不符合题意； B、，成立，不符合题意； C、，原不等式不成立，符合题意； D、，成立，不符合题意； 故选C． 7. 已知方程组的解满足x+y=2，则k的算术平方根为（   ） A. 4 B. ﹣2 C. ﹣4 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：把两个方程相加可得3x+3y=2+k，两边同除以3可得x+y==2，解得k=4，因此k的算术平方根为2. 故选D. 8. 明代大数学家程大位著《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”用现代的话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排笔管和笔套的短竹数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，制作笔管的短竹数+制作笔套的短竹数=83000,3x个笔管，5y个笔筒，且1个笔管与1个笔套正好配套即笔管数等于笔筒数，列出方程组即可． 【详解】∵根据题意，制作笔管的短竹数+制作笔套的短竹数=83000,3x个笔管，5y个笔筒，且1个笔管与1个笔套正好配套即笔管数等于笔筒数， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确审题，列出符合题意的方程组是解题的关键． 9. 老师在黑板上画出如图所示的图形，要求学生添加条件，使得，随后抽取了四名学生的答案纸展示如下： 甲：； 乙：； 丙：； 丁：． 则不能得到的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，得两直线平行；内错角相等，得两直线平行；同旁内角互补，得两直线平行；据此逐项分析，即可作答． 详解】解：甲、当时，由同旁内角互补，两直线平行得，故不符题意； 乙、当时，由内错角相等，两直线平行得，故不符合题意； 丙、当时，由同位角相等，两直线平行得，故不符合题意； 丁、当时，由内错角相等，两直线平行得，故符合题意． 故选：D． 10. 如图，的面积为，，，则图中四边形的面积等于（ ） A. 50 B. 55 C. 60 D. 65 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的面积计算，弄清楚各部分面积之比以及利用底一定时三角形面积与高成正比的性质成为解题的关键． 如图：连接，由的面积为、、，可求出的面积．根据底一定时，三角形面积与高成正比或高一定时，三角形面积与底成正比，求出的面积，从而得到与高之比为，即与的高之比为，进而得到的面积，最后求出四边形的面积． 【详解】解：如图：连接， ∵的面积为，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴与面积比为， ∴与高之比为，即与的高之比为， ∴， ∴四边形的面积为． 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 3的平方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键． 直接利用平方根的定义求解即可． 【详解】解：3的平方根是． 故答案为：． 12. 若值在两个整数与之间，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了估算无理数大小，正确得出的取值范围是解题关键． 利用估算无理数的方法得出取值范围即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵的值在两个整数与之间， ∴． 故答案为：4． 13. 光线在不同介质中的传播速度不同，当光线从空气射向水中时会发生折射．在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．如图，若水面和杯底互相平行，，则等于______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握“两直线平行，同位角相等”和“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．由水面和杯底互相平行，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出的度数，由水中的两条折射光线平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出的度数． 【详解】解： 水面和杯底互相平行， ， ， ， 水中的两条折射光线平行， ， 故答案为：． 14. 如图，已知点，点，连接，将线段平移至线段，点A的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点平移的坐标变化规律，掌握点的坐标变化规律“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”成为解题的关键． 先根据点A的对应点的坐标为确定平移方式，然后再确定点的对应点的坐标即可． 【详解】解：∵点的对应点的坐标为， ∴将线段向左平移4个单位，向下平移1个单位得到线段， ∴点的对应点的坐标为，即． 故答案为：． 15. 若关于x的不等式 的最小整数解为3，则m的取值范围是_____． 【答案】7≤m<10 【解析】 【分析】首先将不等式转化形式，再根据题意判定，即可得出m的取值范围. 【详解】解：根据题意，不等式可转化为 又∵其最小整数解为3， ∴ 解得. 【点睛】此题主要考查不等式的性质，关键是根据其整数解判定出取值，即可得解. 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 解二元一次方程组． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，灵活运用加减消元法解二元一次方程组成为解题的关键． 直接运用加减消元法求解即可． 【详解】解： ，得：，解得：， 把代入①，得：，解得：， ∴方程组的解为． 17. 解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握不等式组的解集的确定口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”成为解题的关键． 先分别求出各不等式的解集，再确定其公共解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 在数轴上表示如下： 18. 若， （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）2或 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根、立方根的定义等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）先根据平方根、立方根求得m、n的值，然后分两种情况求的值即可； （2）由的值为2或，再根据平方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴或，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值为2或． 【小问2详解】 解：由（1）得的值为2或． 当时，的平方根为； 当时，无平方根． 综上，的平方根为． 19. 如图，把向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到． （1）请在平面直角坐标系上画出，并写出点的坐标； （2）求出的面积； （3）若点P在y轴的正半轴上，且的面积是的面积的3倍，求点P的坐标． 【答案】（1）见解析，点，点 （2）6 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了作图—平移变换、三角形面积公式、坐标与图形等知识点，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． （1）先根据平移的性质作图即可，再结合图形写出所求点的坐标即可； （2）利用三角形面积公式求解即可； （3）设点P的坐标为，再根据的面积是的面积的3倍可知上的高是的3倍，即边上的高为9；然后确定m的值，进而确定点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 由图可得，点，点． 【小问2详解】 解：的面积为． 故答案为：6． 【小问3详解】 解：设点P的坐标为， ∵的面积是的面积的3倍， ∴上的高是的3倍， ∴边上的高为9， ∴，即或7． ∴点P的坐标为或． 20. 在太空种子种植体验活动中，为了解“宇番2号”番茄，某校科技小组随机抽查60株番茄的挂果数量x（单位：个），并绘制如下不完整的统计图表： “宇番2号”番茄挂果数量统计图表 挂果数量x（个） 频数（株） 频率 6 12 a 18 b 9 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）统计表中， _________； _________． （2）将频数分布直方图补充完整． （3）若绘制“番茄挂果数量扇形统计图”，求挂果数量在“”所对应扇形的圆心角度数． （4）若所种植的“宇番2号”番茄有1000株，则可以估计挂果数量在范围的番茄有多少株？列式计算并作答． 【答案】（1）15， （2）见解析 （3） （4）300株，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图、用样本估计总体、扇形圆心角的度数、频数与频率等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）用60乘以其频率可以求得a的值，利用频率等于频数除以调查株数即可求得b的值； （2）根据（1）中a的值，补全频数分布直方图即可； （3）用乘以挂果数量在“”的频率即可解答； （4）利用样本估计整体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：，． 故答案为：15，． 【小问2详解】 解：将频数分布直方图补充完整，如下图： 【小问3详解】 解：由题意可得，挂果数量在“”所对应扇形的圆心角度数为：． 【小问4详解】 解：由题意可得，挂果数量在“”范围的番茄有： (株)， 答：可以估计挂果数量在“”范围的番茄有300株． 21. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点E，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据证得，又，利用等量代换可得，然后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论； （2）根据角平分线的定义得，再根据，证得，进而求得的度数即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，例如，，．解决下列问题： （1） ； （2）若，则实数a的取值范围是 ； （3）若，且m是整数，求m的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查新定义，求不等式组的解集，无理数的估算，掌握新定义，是解题的关键： （1）求出的范围，根据新定义即可得出结果； （2）根据新定义，得到的范围即可； （3）根据新定义，列出不等式组，求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴； 小问3详解】 ∵， ∴， 解得：， ∵m是整数， ∴或． 23. 某品牌饮料店特别推出A和B两种饮料进行销售，以下是该饮料店开业期间的三则信息： 信息1： "开业大酬宾"优惠方案 任意饮料一次性消费： ①满8杯（含8杯）减10元； ②满10杯（含10杯）减15元． 信息2： 加料区 种类 单价（元） 黑糖珍珠 1 秘制芋圆 1 软糯燕麦 2 脆波波球 2 碧根果奶油雪顶 3 说明1：可根据客人需求选择是否加料；说明2：每杯饮料最多能加三种料，且加料不重复． 信息3： A饮料（杯） B饮料（杯） 总费用（元） 是否优惠 实际花费（元） 是否加料 消费记录1 4 2 72 无 72 否 消费记录2 3 4 94 无 94 否 消费记录3 5 3 98 优惠10元 88 否 请根据所提供的信息完成以下问题： （1）请分别求出A和B两种饮料的销售单价； （2）已知小明买了若干杯A饮料和5杯B饮料，每杯饮料均未加料，共花费100元，求小明买了几杯A饮料； （3）小坤与他的伙伴们想买6杯A饮料和5杯B饮料，且仅有3杯饮料不加料．若小坤只有185元，是否能够满足大家的各种加料需求？请说明理由． 【答案】（1）A饮料的销售单价为10元，B饮料的销售单价为16元 （2）小明买了2杯A饮料或者是3A杯饮料 （3）能够满足大家的各种加料需求，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，根据题意列出二元一次方程、一元一次方程、一元一次不等式成为解题的关键． （1）设A饮料的销售单价为x元，B饮料的销售单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买了A饮料a杯，分、、三种情况，分别列一元一次方程求解即可； （3）设一共需要加料b元，然后根据题意列不等式确定b的取值范围，再判断是否符合题意即可解答． 【小问1详解】 解：设A饮料的销售单价为x元，B饮料的销售单价为y元． ∴．解得：． 答：A饮料的销售单价为10元，B饮料的销售单价为16元． 【小问2详解】 解：设购买了A饮料a杯． ①，即 ，解得：．符合题意； ②．即时，可减10元． ．解得：，符合题意． ③，即时，可减15元 ．解得：（不合题意，舍去）． 答：小明买了2杯A饮料或者是3A杯饮料； 【小问3详解】 解：能够满足大家的各种加料需求，理由如下： 设一共需要加料b元． ，解得：． ∵每杯饮料最多能加三种料，且加料不重复． ∴每杯饮料加料最多需要（元）． ∵仅有3杯饮料不加料， ∴有8杯饮料需加料． ∴最多需要56元． ∴能够满足大家的各种加料需求． 24. 如图，在平面直角坐标系中，，且满足，过点B作直线轴，点P是直线m上一动点，连接AP，过点B作交y轴于C点，分别平分，． （1）填空：__________，__________． （2）在点P的运动过程中，的度数是否变化？若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由； （3）若点P的纵坐标为，连接交y轴于点H． ①求点H的坐标； ②点Q在y轴上，若，求出Q点坐标． 【答案】（1），2 （2）的度数不变，，理由见解析 （3）①；②Q点的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标与图形的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）如图：过点D作，则，即，易得，如图：过点O作， 同理：，进而完成解答． （3如图，设交y轴于点H，易得，根据列方程可得，即；，易得，进而确定点Q的坐标． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴． 故答案为：，2． 【小问2详解】 解：的度数不变，，理由如下： 如图：过点D作，则， ∴， ∴， 如图：过点O作， 同理：， ∴． 【小问3详解】 解：如图，设交y轴于点H， ∵点P的纵坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴Q点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $