第三章 位置与坐标（优质类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（北师大版2024）

第三章 位置与坐标思维导图 【类型覆盖】 类型一、平面直角坐标系的规律 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，…根据这个规律探究可得，第210个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律； 先由图形得出每列上点的个数依次是1、2、3、4、5、…、n，且横坐标是偶数时，箭头朝上，最后一个数在最上边，最后一个点纵坐标比横坐标小1； 再由，可得第210个点的坐标为，继而得出答案． 【详解】解：由图形可知：第1列上共1个数，第2列上共2个数，第3列上共3个数，…，第n 列上共n个数， 则前n列数的总个数为， 且横坐标是偶数时，箭头朝上，最后一个数在最上边，最后一个点纵坐标比横坐标小1， ∵， ∴第210个点在第20列最上边，横坐标为20且纵坐标比横坐标小1为19， ∴第210个点的坐标为， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，一个点在第一象限及x轴，y轴上移动，在第一秒钟，它从原点移动到点，然后按照图中箭头所示方向移动，即→→→→→…，且每秒移动一个单位，那么第20秒时，点所在位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的移动规律，核心是对平面直角坐标系内点的运动规律与时间关系的探究． 通过观察点的移动规律，计算出到各个关键位置所用的时间，从而确定第 20 秒时点的坐标． 【详解】解：点从原点开始，先向右移动1秒到， 然后向上移动1秒到，接着向左移动1秒到，再向上移动1秒到， ∴可知到达点用了（秒）； 然后向右移动2秒到，向下移动2秒到， 向右移动1秒到， ∴可知到达点用了（秒）； ∴当点离开x轴时的横坐标为时间的平方，当点离开y轴时的纵坐标为时间的平方， 此时时间为奇数的点在x轴上，时间为偶数的点在y轴上 ∵， 第16秒时，点的坐标为， 故在第20秒时，动点向右平移4秒，点所在位置的坐标是． 故选：B． 2．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意可知，第次接着运动到的点坐标的横坐标为，每4次运动的点坐标的纵坐标以，，，循环，由，可得动点次后P的坐标． 【详解】解：由题意知，第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， 第5次接着运动到点， …… ∴第次接着运动到的点坐标的横坐标为，每4次运动的点坐标的纵坐标以，，，循环， ∵， ∴经过第2023次运动后，动点P的坐标是， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，依照此规律跳动下去，点A第次跳动至的坐标 ． 【答案】 【分析】本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是从一般到特殊探究规律，利用规律解决问题，仔细观察点的坐标变化规律，利用规律求解即可． 【详解】解：观察点的跳动规律，奇数次跳动时，横坐标是为跳动次数），纵坐标是． 当时，横坐标为，纵坐标为， 所以的坐标为． 故答案为：． 类型二、平面直角坐标系的将军饮马 【解惑】如图，三个顶点的坐标分别是． (1)请画出关于y轴对称的图形，并写 的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上求作一点P，使的值最小，最小值为______． 【答案】(1)图形见解析； (2) (3)图见解析； 【分析】本题考查的是画关于y轴对称的三角形，利用割补法求解三角形的面积，利用轴对称的性质确定线段和取最小值时点的位置，坐标与图形，熟记轴对称的性质并进行画图是解本题的关键． （1）分别确定A，B，C关于y轴的对称点，再顺次连接即可； （2）根据割补法利用长方形的面积减去周围三角形的面积即可； （3）先作A关于x轴的对称点，再连接与x轴的交于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 的坐标分别为； （2）解：； （3）解：如图，点P即为所求； 最小值为． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形，并写出的坐标； (2)若为轴上一点，连接，，求的周长最小值． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出各顶点关于轴的对称点，即可得出，再写出的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，即为所求，再求出的周长最小值． 【详解】（1）解：如图1，即为所求，； （2）解：如图2，点即为所求； ， 的周长最小值． 2．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1， 为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形），点B的坐标是 (1)点A 的坐标是 ，点C的坐标是 ； (2)请作出关于x轴对称的 （点A 与点A'对应， 点B 与点B'对应， 点C与点 对应）； (3)y轴上存在点P， 使得的值最小，则的最小值是 ． 【答案】(1)，． (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，作轴对称图形，勾股定理， （1）观察平面直角坐标系写出坐标即可； （2）作点A，B，C关于x轴对称的点，再依次连接即可； （3）根据轴对称得出点C的对称点，连接与y轴交于点P，根据两点之间线段最短说明，再根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可知点； 故答案为：； （2）如图所示，即为所求作； （3）如图所示，作点C关于y轴对称的点是， ∴， 即， 连接，交y于点P，根据两点之间线段最短，最小值为， 根据勾股定理，得． 故答案为：． 3．阅读下列材料，回答问题： 如图，点，点，以为斜边作，则，于是，，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． 例如： 故代数式的值看作点到点的距离． 已知：代数式 (1)该代数式的值可看作点到点 、 的距离之和． (2)求出这个代数式的最小值． 【答案】(1)、 (2) 【分析】本题主要考查了两点之间的距离计算公式，完全平方公式，熟知坐标系中两点距离计算公式是解题的关键． （1）仿照题意把所给代数式中的根号下的式子利用完全平方公式配方，再结合题意即可得到答案； （2）根据（1）所求可知代数式的最小值即为在坐标系中找到一点使得该点到点、的距离之和最小，据此根据两点之间线段最短求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴代数式的值可以看做是点到点的距离，代数式的值可以看做是点到点的距离， ∴代数式的值可看作点到点、的距离之和； （2）解：∵代数式的值可看作点到点、的距离之和， ∴代数式的最小值即为在坐标系中找到一点使得该点到点、的距离之和最小， ∴由两点之间线段最短可知当点在点、组成的线段上时代数式有最小值，最小值即为点、之间的距离，即． 类型三、平面直角坐标系的三点共线 【解惑】如图，已知A、B两村庄的坐标分别为，，一辆汽车在x轴上行驶，从原点O出发． (1)汽车行驶到离B村最近的点的坐标是　　　； (2)汽车行驶到x轴的某一点P时到A、B两村的距离的差最大． ①请写出P点的坐标，并在图中标出点P； ②求出的最大值，并说明理由； (3)在y轴上有一村庄Q，若Q村到A村的距离等于A村到B村的距离，请你求出Q村的坐标． 【答案】(1) (2)①，图见解析；②，理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了坐标系中的动点问题，垂线段最短，写出直角坐标系中点的坐标，坐标系中描点，三角形三边关系的应用，勾股定理，已知两点坐标求两点距离，求一个数的平方根等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． （1）由题意及垂线段最短即可直接得出答案； （2）①由三角形三边之间的关系可知，当点P在的延长线上时，的值最大，据此写出点P的坐标，并在图中标出点P； ②利用勾股定理求出的最大值即可； （3）设点Q的坐标为，根据，利用勾股定理可建立关于的关系式并求出的值，于是可得Q村的坐标． 【详解】（1）解：由题意，汽车行驶到离B村最近的点的坐标是． 故答案为． （2）①如图，点P即为所求，． ∵， ∴当点P在的延长线上时，的值最大， ②的最大值． （3）设， ∵， ∴， 解得或， ∴或． 【融会贯通】 1．对于一些二次根式，我们可以用数形结合的方法进行研究．如，可以看作平面直角坐标系中，动点与定点或之间的距离（如图）．请参考上面的方法解决下列问题： (1)若将看作平面直角坐标系xOy中，动点与定点C之间的距离，则点C的坐标可以是______（写出一个即可）； (2)若，直接写出d的最大值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了两点间的距离公式，勾股定理，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本题考查学生综合能力，属于中等题型． （1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）根据已知条件得到，由（1）可知：表示点与点的距离和点与点的距离之差，根据三角形任意两边之差小于第三边，得出当P、E、F三点共线时，取最大值，且最大值为的长，求出最大值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴动点与定点C之间的距离，则点C的坐标可以是或． （2）解：∵， ∴由（1）可知：表示点与点的距离和点与点的距离之差， ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴当P、E、F三点共线时，取最大值，且最大值为的长． ∴d的最大值为：． 2．【发现问题】   小明在课外书上遇到了下面这道题：已知，，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设，，要求线段的长度可以用如下的方法，如图，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，延长交于点，则线段的长度可以表示为，且，在Rt△中，，根据勾股定理可得： 【解决问题】 （1）①则线段长度是 ； ②如果点，点，则线段长度是        【知识迁移】 （2）①点，，请在轴上找一点，使得的值最大，请直接写出这个最大值是 ． ②点，，请在轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是 ． 【拓展延伸】 （3）①代数式的最小值是 ． ②代数式的最大值是 ． 【答案】（1）①，②；（2）①，②；（3）①，② 【分析】本题考查了三角形的综合运算，新定义，解决最值问题，数形结合是解答关键． （1）①由线段长度的定义求解；②根据线段的长度的定义求解； （2）连接延长交轴于点，则此时的值最大，根据线段的长度的定义求解；②如图2，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则此时最小，根据线段的长度的定义求解； （3）①求代数式的最小值，相当于图2，点，点，点，则点，即可求解；②求代数式的最大值， 相当于图1，点，点，则点，即可求解． 【详解】解：（1）①线段； ②由题意得，线段． 故答案为：①，②； （2）①如图1，连接 延长交轴于点，则此时的值最大， 故的值最大； ②如图2，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则此时最小， ． 故答案为：①，②； （3）①求代数式的最小值， 相当于图2，点，点，点，则点， 参照图2可知的最小值， 则的最小值为； ②求代数式的最大值， 相当于图1，点，点，则点， 则代数式的最大值为：． 故答案为：①，②． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出． (2)点关于轴的对称点的坐标为__________，点关于轴的对称点的坐标为__________； (3)在轴上找一点，使最大； (4)在轴上找一点，使的周长最小，并求出周长； (5)已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)当点在同一条直线上时，最大，最大值为的长度，图见详解 (4)图见详解，的周长最小为 (5)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了网格坐标系和几何图形，求关于坐标轴对称的点的坐标，利用三角形的三边关系确定最值，利用轴对称解决最短路径问题，勾股定理，根据三角形的面积确定点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）根据点的坐标确定图形即可； （2）利用轴对称的性质即可求出点的坐标； （3）利用三角形的三边关系即可确定点的位置和最值； （4）利用轴对称的性质即可确定点的位置，并利用勾股定理求出三角形的周长； （5）设，根据三角形的面积得，求解即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：点关于轴的对称点的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标为， 故答案为：，； （3）解：如图，延长交轴于一点，点即为所求； 当点不在同一条直线上时，三点构成三角形，根据三角形的三边关系，； 所以，当点在同一条直线上时，最大，最大值为的长度； （4）解：如图，找点关于轴的对称点，连接交轴于一点，点即为所求； 此时，， 根据勾股定理得，，， 所以，的周长为； （5）解：设，根据题意得， ， 解得， 即， 解得，或， 所以，点的坐标为或． 类型四、平面直角坐标系的面积问题 【解惑】如图1，在平面直角坐标系中，，，其中a的平方是4，b是4的平方根，且，过点C作轴于点B． (1)求三角形的面积； (2)如图2，过点B作交y轴于点D，且，分别平分、，求的度数； (3)在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)45度 (3)存在，或 【分析】本题是三角形的综合题，考查了坐标与图形性质，非负数的性质，角平分线的定义，也考查了平行线的性质和三角形面积公式． （1）根据题意，解得，，则，，然后根据三角形面积公式计算； （2）作，如图②，则，根据平行线的性质得，，则，而，，所以，于是，则； （3）根据面积之间关系列代数式，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ，， ，， 又∵， ∴，， ，， 轴， ，， ， 故答案为：4； （2）作，如图， ， ， ，， ， ，分别平分，， ，， ， ， ， ， ； （3）存在．当点在轴正半轴上时，如图所示， 设点的坐标为，分别过，，作轴，轴，轴，交于点，， 由（1）知， ，易知，，，， ， 解得， 当点在轴负半轴上时，如图所示， 分别过点，，作轴，轴，轴，交于点，， 设点的坐标为， ，，，，， ， 解得， 综上所述，点的坐标为或． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中、，a、b满足． (1)如图1，求点A、B的坐标； (2)如图2，y轴上有一点E，的面积是6，求点E的坐标； (3)如图3，将线段沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）利用非负性可求a、b的值，即可求解； （2）分两种情况讨论：①当E在直线上方时；②当E在直线下方时；分别根据的面积是6，列方程求解； （3）由与的面积相等，列出方程可求m的值，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：设E为， 分以下两种情况讨论： ①如图，当E在直线上方时，作轴，作连接， 则 ， ∴，， ②当E在直线下方时，同样可得， ∴，， ∴点E的坐标为或； （3）解：存在，设点P的坐标为，由平移得、，则、， 依题意知点P不可能在梯形的上方或线段的右上方或线段左方，故分以下两种情形： ①如图，当点P在梯形的内部时， ∵， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， 解得， ∴； ②如图，当点P在梯形的下方时， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点在x轴上， 如图，作轴于G，连接， ， ， ∴， 解得， ∴， 综上所述，P点的坐标为或． 2．在平面直角坐标系中，O为原点，点，，． (1)如图1，的面积为 ； (2)如图2，将点B向右平移至点． ①若线段的长为5，求点D到直线的距离； ②点P是x轴上一动点，若的面积等于3，请求出点P的坐标． 【答案】(1)9 (2)①点D到直线的距离为；②点P的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形，点的平移，平面直角坐标系中求三角形面积，平面直角坐标系中求三角形面积时，如果三角形中无一边与坐标轴平行，则常常用割补的方法，使得三角形表示为易于求得面积的三角形或四边形面积的和或差．注意（2）问中点P的坐标有两种情况，不要忽略x轴负半轴上的情况． （1）由题意可得、的长，由三角形面积公式即可求得； （2）①过点D作轴于E，由求出的面积，然后再求出距离即可； ②由面积可得，根据点P在x轴上的位置即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴； 故答案为：9； （2）解：①如图，过点D作轴于E， ∵点D坐标为， ∴点E坐标为， ∵， ∴，，， ∴ ， ∵线段的长为5， ∴点D到直线的距离为： ； ②由题意得：， 即 ∴ ∵点P在x轴上 ∴点P的坐标为或． 3．已知长方形在平面直角坐标系中，连接线段，，且交于点．    (1)如图1，边与轴平行，是轴的正半轴上一点，是轴的正半轴上一点，的平分线和的平分线交于点，若，求的度数； (2)如图2，若长方形的三个顶点，，的坐标分别为，，． ①请直接写出点的坐标； ②若长方形以每秒1个单位的速度向下运动，设运动的时间为秒．是否存在某一时刻，使得三角形的面积等于长方形的面积的一半？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的度数为 (2)①；②存在某一时刻，使得三角形的面积等于长方形面积的一半 【分析】本题考查了平行线的性质、平面直角坐标系中点的坐标、动点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设，，过点作，则，根据平行线的性质解题； （2）①由长方形的性质写出坐标； ②延长交轴于点，则，列出对应方程，进行求解． 【详解】（1）解：如图1，设，， 的平分线和的平分线交于点， ，，     ， ， ， ，   过点作，则， ，     ， ， 即的度数为； （2）解：①∵，，， ∴， 由长方形的性质知， ∴； ②存在某一时刻，使得三角形的面积等于长方形面积的一半；理由如下： ， ∴长方形只在第一象限内移动，     如图2，延长交轴于点，则， ∵，， ∴， 由题意知，，，， ，     ∵， ， ， ， 解得． 类型五、平面直角坐标系的全等三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是 (1)在图中作出，关于y轴对称的． (2)在y轴上画出点 P，使 最小（保留作图痕迹）． (3)如果要使以为顶点的三角形与全等（A与D不重合），写出所有符合条件的点 D 坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)点D坐标为：或或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，轴对称图形的性质，全等三角形的判定方法，掌握平面直角坐标系的特点，轴对称图形的性质，全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）根据轴对称最短路径的方法作图即可； （3）根据全等三角形的判定方法作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，由（1）可得点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点，则点即为所求点的位置； （3）解：如图所示， ∴， ∴， ∴所有符合条件的点D坐标为：或或． 【融会贯通】 1．如图所示． (1)写出，，三点的坐标． (2)若各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘，请你在同一坐标系中描出对应的点、、，并依次连接这三个点，所得的与原有怎样的位置关系； (3)如果点是坐标系中格点上的一点，要使点、、构成的三角形与全等，请写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1)、、 (2)图见解析，关于轴对称 (3) 【分析】本题考查作图-轴对称变换，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据题意观察得知A，B，C三点的坐标； （2）根据题意将A，B，C三点横坐标均乘以得到，依次连接并观察图形即可得到本题答案； （3）结合图得出点、、构成的三角形与全等时点P坐标． 【详解】（1）解：根据题意可知：、、； （2）∵各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘，、、， ∴， ∴将点坐标在平面直角坐标系中画图，如图所示： 通过观察得知与关于y轴对称； （3）如下图，符合条件的点的坐标为． 2．（1）如图1，在中，，，过点的直线经过三角形内部，过点作于点，过点作于点．则与的数量关系为___________，请证明你所写的结论； （2）尝试探究：若； ①如图1，连接，，四边形的面积为：___________（用含，的代数式表示）； ②如图2，过点的直线不经过内部，其它不变，则四边形的面积为：___________（用含的代数式表示）． （3）拓展迁移：如图3，，，点，的坐标分别是，，直接写出点的坐标___________；在坐标平面内找一点（不与点重合），使与全等．直接写出点的坐标． 【答案】（1）；理由见解析；（2）①；②；（3）；点P的坐标为或或 【分析】（1）由图可知得出，，根据，即可得出答案； （2）①根据解析（1）可知：，根据，求出结果即可； ②同（1）可证，利用梯形面积公式求解即可； （3）作轴于点D，证明，得出，，求出，分三种情况求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：；理由如下： ，， ∴， ∵， ，， ， 在和中， ， ， ∴，， ∵， ∴； （2）①∵， ∴根据解析（1）可知：， ∴ ； ②根据解析（1）同理可证， ，， ∴， 四边形的面积为：； （3）如图所示，作轴于点D． ，， ，， ，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 若与全等，则点P可能在第一、二、四象限，如图所示： 当点P在第二象限时，作轴于点H， ，轴， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 同理可得，， 综上可知，B点坐标为，点P的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查坐标与图形、全等三角形的判定与性质，余角的性质，三角形面积计算，解题的关键是掌握全等三角形中的垂线模型． 3．已知：在平面直角坐标系中．的三个顶点的坐标分别是． (1)在坐标系中，描出； (2)在图中画出关于y轴对称的； (3)如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标，（点D不与点A重合） 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)点坐标或或或 【分析】（1）根据点的坐标画出图形即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）利用全等三角形的判定作出点即可． 本题考查作图轴对称变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：（1）如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，点坐标或或或． 类型六、平面直角坐标系的等腰三角形 【解惑】在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于轴对称的（其中分别是的对应点，不写画法）； (2)在轴上求作点，使的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点的位置） (3)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有____________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查轴对称作图，熟练掌握轴对称的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键． （1）由点的对称性，作出图形即可； （2）作点B关于x轴的对称点，连接点B的对称点和点A交轴于点P，点P即为所作； （3）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解. 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：由图可知，点P即为所作； （3）如图：以为圆心，长为半径作圆，此圆与坐标轴有个交点， 以为圆心，长为半径作圆，此圆与坐标轴有个交点， 作线段的垂直平分线，此线与坐标轴有个交点， 是等腰三角形时，点坐标有个， 故答案为． 【融会贯通】 1．如图1，在等腰中，，，点是边上一点（不与点、重合），连接，将沿翻折得，连接．    (1)若，解决下列问题： ①当点落在边上时，与的关系是______； ②当时，请用无刻度的直尺和圆规作出点的位置； (2)如图，①当点落在边上，且 为等腰三角形时，求的值； ②当点在边上运动时，存在点落在边上，则的取值范围是______． 【答案】(1)①， ②画图见详解 (2)①或； ② 【分析】（1）①根据题意可得，，从而得出，即，根据三角函数可得与的关系． ②当时，交与点，利用平行线和等腰三角形的性质和判定，可得，即，所以，从而得出，处于的垂直平分线上，按照垂直平分线的画法画图即可． （2）①当 为等腰三角形时，可分三种情况：，，，从而根据等腰三角形的性质分情况讨论即可． ②当存在点落在边上时，根据，可得，所以，再根据，点可与点重合，不与点重合，可得，代数可得，即，综上可得． 【详解】（1）①∵， ∴， 当点落在边上时，， 可得， ∴， ∴，即 ∴， ∴与的关系是，． ②当时，如图所示，交与点，    ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵，, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故处于的垂直平分线上， ∴点的位置如下图所示，    （2）①当 为等腰三角形时，可分三种情况： 当时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 当时， 由上可得， ∵， ∴， ∴， 解得（不符题意舍去）． 当时， 由上可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 综上可得，或． ②当存在点落在边上时，， 即，， ∴， 由上可得，点可与点重合，不与点重合， ∴， ∴， 解得， 综上可得． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，折叠，三角形内角和的性质，垂直平分线的判定和画法，等腰三角形的性质和判定，三角函数的运用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，为y轴正方向上一点，为x轴正方向上一点，且满足． (1)求线段AB的长； (2)点C是线段AC上一点，如果BC平分，求点C的坐标； (3)点P是x轴上一动点，且为等腰三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1)10 (2)C点坐标为 (3)、、、 【分析】 （1）由算术平方根及平方的非负性质即可求得a与b的值，再由勾股定理即可求解； （2）过点C作C于D，证明，则，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （3）分三种情况：；，由等腰三角形的性质两腰相等即可求解． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴， 即， ∴， 即， 由勾股定理得：； （2）解：如图，过点C作C于D， 则， ∵BC平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； （3）解：当时，如图； ∵， ∴， ∴； 当时，如图； 则满足条件的点P有两个， 或， ∴或； 当时，设， ∵， ∴， 解得：， 即； 综上，满足条件的点P坐标、、、． 【点睛】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些知识是关键． 3．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标是，连接．若动点从点出发沿着线段以5个单位每秒的速度向终点运动，设运动时间为秒． (1)求线段的长． (2)连接，当为等腰三角形时，过点作线段的垂线与直线交于点，求点的坐标； (3)已知点为的中点，连接，点关于直线的对称点记为（如图2），在整个运动过程中，若点恰好落在内部（不含边界），请直接写出的取值范围． 【答案】(1)线段的长为10 (2)或或 (3)当时，点恰好落在内部（不含边界） 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）分三种情况，分别讨论，即可求解； （3）当在上时，过点作轴于点，过点作过点轴于点，因为点为的中点，由(2)可知，，根据等面积法求得，进而得出根据轴对称的性质得出∴，得出，在中,即可求解． 【详解】（1）（1）∵点的坐标为，点的坐标是， ∴， ∴； 所以，线段的长为10． （2）为等腰三角形，分三种情况： 当时，过点作轴于点，轴于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴＝5， 设， 在中，， 在中，， ∴，即， 解得：， ∴； 当时，过点轴于点，轴于点，过点于点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，， ∴, 解得：， 即， 在中，， 在中，， ∴， 即, 解得：， ∴； 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或或； （3）（3）如图，当上时，过点轴于点，过点作，过点作轴于点， ∵点为的中点， 由（2）可知，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点关于直线的对称点记为， ∴， ∴， 即， ∴， 在中，， ∴， 解得（舍去）或， 当点运动到点重合，此时，解得， ∴当时，点恰好落在内部（不含边界）． 【点睛】本题考查了勾股定理，解一元二次方程，坐标与图形，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 类型七、平面直角坐标系的等腰直角三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点A，B的坐标分别为． (1)在图中画出线段关于y轴对称的线段； (2)若点是线段上的任意一点，则点P在线段上的对应点的坐标是 ； (3)点C是平面内一点，若是以为腰的等腰直角三角形，则点C的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或或 【分析】本题考查了坐标与轴对称． （1）根据题意作图即可； （2）根据点关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等可求； （3）在图中画出所有符合条件的点C，再写出其对应坐标即可． 【详解】（1）解：如图： 线段即为所求； （2）解：由题意可得点是点关于y轴的对称点， 点的坐标为， 故答案为：； （3）解： 满足条件的点C如图中点，坐标分别为，，，， 故答案为：或或或． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，点，如图构造矩形，点D为，动点P从点D出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，当点与点重合时，点停止运动．连接，设运动时间为秒． (1)①如图1，当点运动到O处时，线段长为____________； ②如图2，当点P在边上运动时，点P的坐标为___________（用含t的式子表示），若点Q与点B重合时，线段长为____________． (2)如图3，当点在边上运动时，求证：是等腰直角三角形， (3)将沿直线翻折，形成四边形，当四边形与矩形重叠部分是轴对称图形时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②， (2)见解析 (3)或或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系和矩形相结合，动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定，轴对称的性质，列一元二次方程解决几何问题等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）①利用矩形的性质和点的坐标求出相关线段的长度，然后利用勾股定理即可求解； ②先判定出和为等腰直角三角形，求出相关线段的长度，再利用勾股定理求解即可； （2）过作于，证明，对应边相等，然后可得结论； （3）分三种情况进行讨论，利用轴对称的性质得出相等的线段，利用勾股定理和一元二次方程等进行求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，，点D为， ∴， 当点运动到O处时，由勾股定理得， ； 当点P在边上运动时，， ∴点P的坐标为； 当点Q与点B重合时，此时由点的坐标可知，， ∴为等腰直角三角形， ∴, ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， ∵， ∴由勾股定理得； 故答案为：①；②，； （2）证明：过作于， 则四边形是矩形， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：①当在上时，当的对应点在上， ∵四边形与矩形重叠部分是轴对称图形， ∴， 又，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得， 当时，在矩形内部，符合题意， ∴当时，四边形与矩形重叠部分是轴对称图形； ②当在上，当F、A重合时，符合题意，如图 则，， 在中，， ∴， 解得； ③当在上，F、B重合时，此时Q与C重合，符合题意，如图， 则四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 综上，当或或． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，a，b满足，连接，过点A作，且，连接． (1)如图1，求点C的坐标； (2)如图2，点D的坐标为，在（1）的条件下作等腰，其中，，连接交y轴于点M，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，若点N的坐标是，点P在第二象限，且P，N，M构成等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)点P坐标为或或， 【分析】（1）先利用非负数的性质求出A点的坐标为，B点的坐标为，得到，，过点C作轴于H，证明，则，，则，即可得到点C的坐标； （2）过点E作轴于点G，证明，则，得到，则，即可得到求点M的坐标． （3）分三种情况分别作出辅助线，构造全等三角形，分别进行求解即可． 此题考查了坐标与图形、三角形的全等和判定等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴A点的坐标为，B点的坐标为， ∴，， 如图1，过点C作轴于H， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点； （2）解：如图2，过点E作轴于点G， 同（1）理可证：， ∴，， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：点P坐标为或或， 如图3，当，时，过点N作轴于Q，过点P作于F， ∵，，， ∴，，， 同理可证， ∴，， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴点； 如图4，当，时，过点P作轴于R，过点N作轴于L， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴点； 如图5，当，时，过点P作轴于T，过点M作于S，过点N作于W， 同理可证， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点， 综上所述：点P坐标为或或． 3．已知：在平面直角坐标系中，点M的坐标为． (1)若点M在y轴上，求a的值； (2)若轴，并且点N的坐标为． ①求点M的坐标及线段的长； ②P为坐标系内一动点，当为以为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)①点的坐标为，；② 【分析】本题考查坐标与图形性质，熟知平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据轴上点的坐标特征即可解决问题． （2）①根据平行于轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． ②根据为以为直角边的等腰直角三角形画图即可解决问题． 【详解】（1）解：因为点在轴上， 所以点的横坐标为0， 即， 所以． （2）①因为轴， 所以点和点的纵坐标相等， 又因为点的坐标为， 所以， 解得， 则， 所以点的坐标为． 则． ②是以为直角边的等腰直角三角形，轴， 如图， 点的坐标为， 即点的坐标为， 所以点的坐标为． 类型八、平面直角坐标系的直角三角形 【解惑】在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知格点（网格线的交点）． (1)画出关于轴对称的； (2)在所给的网格图中确定格点，使得点组成以为直角边的直角三角形，并写出所有点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为或，图见解析 【分析】本题考查的是画轴对称图形，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用； （1）分别确定关于轴对称的对称点，再顺次连接即可； （2）根据为直角边确定的位置即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ； （2）解：如图，点即为所求，点的坐标为或． 理由：∵，， ， ∴，， ∴． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上的一点，且， (1)求点的坐标． (2)在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题考查的是坐标与图形，勾股定理的应用； （1）求解，再利用勾股定理求解，再进一步求解即可； （2）分情况讨论：①如图，当时，此时点（图中）与原点重合，所以点的坐标为，②如图，当时，此时点（图中）位于轴的正半轴，再进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 在中，由勾股定理得． ∵为轴正半轴上的一点，且， ∴． ∴点的坐标为． （2）解：存在． ①如图，当时，此时点（图中）与原点重合，所以点的坐标为． ②如图，当时，此时点（图中）位于轴的正半轴． 设点的坐标为， 在中．由勾股定理得，即． 在中，由勾股定理得，即． 所以， 解得． ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 2．在4×4的正方形网格中建立如图所示的直角坐标系，其中格点A，B的坐标分别是，．请在x轴上找一个格点C，使得是直角三角形，且为轴对称图形， (1)直接写出点C的坐标； (2)求出此时的面积． 【答案】(1)画图见解析，， (2)的面积为 【分析】本题考查坐标与图形的性质，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据题意画出满足条件的点C，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，点C即为所求， 点C的坐标为． （2）的面积． 3．如图，在中，，点为的中点，连接．点在射线上运动，当点不与点重合时，连接．设． (1)的长为________； (2)当是直角三角形时，求的值； (3)当是轴对称图形时，求的面积； (4)如图，作点关于直线的对称点，连接，当点三点共线时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)或 ； (3)或； (4)或． 【分析】（）由等腰三角形的性质求出，由勾股定理可求出答案； （）当时，点与点重合，当时，由勾股定理可求出答案； （）分三种情况，由等腰三角形的性质及勾股定理可得出答案； （）分两种情况，当在的延长线上时，当在的延长线上时，由轴对称的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）∵，，点为中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当时，点与点重合，在中，， ∴， 当时， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故的值为或 ； （3）当时，点与点重合，不符合题意， 当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可知：的面积为或； （4）当在的延长线上时，如图， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在 中, ， ∴， ∴； 当在的延长线上时，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∵， 在中，， ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的判定，轴对称的性质，熟练掌握等腰三角形的性质、灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 类型九、平面直角坐标系的角的数量关系 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，线段向上平移k个单位长度得到线段． (1)求点A，B的坐标； (2)若点P在x轴上．且，求满足条件的点P的坐标； (3)当点F，E分别为线段上任意一点时，，点G为线段与之间一点，连接， ，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)点，点 (2)或 (3)，见解析 【分析】本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，非负性等知识，添加恰当辅助线是本题的关键． （1）由非负性可求a，b的值，即可求解； （2）设，根据列方程解决即可求解； （3）延长交于点N，延长交于点H，设，则，先求出，进而求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点，点； （2）设， 依题意有：， 解得， 则满足条件的点P的坐标为或，即或； （3），理由如下： 延长交于点N，延长交于点H，如图所示： 设， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，点，且满足，P点从点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从点O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度匀速运动．    (1)点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，点C的坐标是 ． (2)在点P，Q运动的过程中，连接，使的面积是面积的4倍，求出点P的坐标； (3)在点P，Q运动的过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为或 (3)或，见解析 【分析】本题考查了三角形的面积计算、坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理、非负数的性质以及一元一次方程的几何应用，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用分类讨论思想是解答的关键． （1）根据算术平方根和绝对值的非负数的性质分别求出a、b，即可得点A、B、C的坐标； （2）过点作于点，分两种情况讨论：①如图，当点在点上方时；②如图，当点在点下方时；分别根据三角形的面积公式求出，得到点P的坐标； （3）分点Q在点C的上方、点Q在点C的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，，， 则，，， 故答案为：，，； （2）解：如图1，过点作于点， 设时间经过秒，三角形的面积是三角形面积的4倍，则，，，， 三角形PAB的面积是：， 分以下两种情况： ①如图，当点在点上方时，则，   三角形的面积是：， ， 解得， ， ， 点的坐标为； ②如图，当点在点下方时，则，   三角形的面积是：， ， 解得， ， ， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：或．理由如下： 过点作， ， ，， ， 分以下两种情况讨论： ①如图，当点在点上方时，有，   ； ②如图，当点在点下方时，有，   ， ， 综上所述，或． 2．如图，在平面直角坐标系中，点满足，轴，垂足为，    (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图1，若点在轴上，连接，使，求点的坐标； (3)如图2，是线段所在直线上一动点，连接，为轴负半轴上一点，平分，交直线于点，作，当点在直线上运动过程中，请探究与的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)或 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形的面积的计算，角的和差，角平分线的定义等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）由非负性可求，的值，即可求点坐标和点坐标； （2）设，由面积关系可求的值，即可求点坐标； （3）由角平分线的定义和平行线的性质可得， ， 由余角的性质可求解. 【详解】（1） ∴ ∴ ∴点 ∵轴， 故答案为： （2）若点在轴上时，设 ∵ ∴= 解得，或 ∴或 若点在轴上时不成立 （3）    ∵平分    ∴ ∵轴    ∴，即 ∵    ∴    ∴    ∴ 3．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向左平移3个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接，， (1)请直接写出A的坐标 ，B的坐标 ； (2)在坐标轴上是否存在点M，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，试说明理由． (3)点P是直线上的一个动点，点Q是线段的中点，连接，， ①如图2，当点P在线段上移动时（不与A，C重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论； ②若P在直线上运动，请直接写出、、的数量关系． 【答案】(1)， (2)或或或． (3)①②当点P在直线的延长线上时，，当点P在直线的延长线上时， 【分析】本题考查了实数的非负性，平行线的判定与性质，坐标系中平移的性质，分类思想，熟练掌握实数的非负性，平行线的判定与性质，平移的性质是解题的关键． （1）由绝对值和算术平方根的非负数的性质即可求解； （2）先求出，分点在轴上与在轴上两种情况考虑即可． （3）①过点作，得出，则，证明，结合，，即可证明； ②分两种情况，当点P在直线的延长线上时，当点P在直线的延长线上时，利用平线的性质和角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴，， ∴，， （2）解：存在，理由如下： 由平移知，，，， ∴，， ； ①当点在轴上时， 设点坐标为，则， ， 解得：或， 故或； ②当点在轴上时，设， 则，， ， 解得：或， 即或； 综上，点的坐标为或或或． （3）解：①， 证明如下： 如图，过点作， ， 点、分别向上平移2个单位，再向左平移3个单位，分别得到其对应点，， ， ， ； ， 而，， ， ； ②如下图，当点P在直线的延长线上时，过点P作， 则， 由平移的性质可知， ∴， ∴， ∵， ∴ 当点P在直线的延长线上时，过点P作， 同上，可知， ∴，， ∵ ∴． 综上：当点P在的延长线上时，，点P在的延长线上时，． 类型十、平面直角坐标系的定值与不变 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中，满足关系式，点在线段上运动（点不与、两点重合，题中所有的角均为大于且小于的角） (1)直接写出点的坐标． (2)射线上一点，射线上一点（不与重合），连接，，使，求与之间的数量关系． (3)连接，，平分，是的三等分线，且，请判断能否为定值？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3)当时，为定值． 【分析】（）利用非负数的性质求出点的坐标即可求解； （）分点分别在线段上；点在线段的延长线上，点在线段的延长线上和点在线段上，点在的延长上三种情况，画出图形解答即可求解； （）由平分，是的三等分线，可得，，过点作，即到，可得，，进而得到，同理可得，即可得到，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵轴，轴， ∴点的坐标为； （2）解：∵轴，轴， ∴， ∴四边形为长方形， ∴， 当点分别在线段上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即； 当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 当点在线段上，点在的延长上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∴， 即； 综上，与之间的数量关系为： 当点分别在线段上时，； 当点在的延长线上，点在线段上，或点在线段上，点在的延长上时，； （3）解：能为定值，理由如下： ∵平分，是的三等分线， ∴，， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴，     同理可得， ∴ ， ， ， ∴当，即时，为定值． 【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，四边形内角和，平行线的性质，角平分线和三等分线的定义，平行公理的推论，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【融会贯通】 1．平面直角坐标系中， 点，， 为等腰直角三角形， ，， 交y轴负半轴于点 D． (1)如图1， a、b满足关系式 ，直接写出点A、B、C的坐标； (2)如图2， 点E是x轴正半轴上的动点， 过点B作交于点F， 且．求证：点 D是的中点； (3)在（2） 的条件下， 如图3， 点F在线段上，的值是否为定值？ 若是，请计算出定值； 若不是，请用含有a，b的代数式表示． 【答案】(1)，，， (2)详见解析 (3)是定值， 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，非负数的性质，三角形的面积等知识点， (1)由可知，，据此即可求出A，B两点的坐标，如图，过点C作轴交y轴于点M，证出，可得，，进而即可得解； （2）如图，过点F作轴交y轴于点N，先证，得出，再证，得出，进而即可得解； （3）设，分别用a，b，x表示出和，进而即可得解； 熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， 如图，过点C作轴交y轴于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴，， ∴， ∴； （2）如图，过点F作轴交y轴于点N， ∵， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵，， ∴， ∴，即点D是的中点； （3）是定值，，理由如下， 由（2）知，， ∴，，， 由（1）知， 设， ∴, ∴，， ∴． 2．在平面直角坐标系中，，，且a，c满足． (1)直接写出a，c的值． (2)如图1，点，在第二象限内有一点，若，求m的取值范围． (3)如图2，若，点G是第二象限内一点，并且y轴平分．点E是线段上一动点，连接交于点H，当点E在上运动时，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值． 【答案】(1) (2) (3)变化，见解析 【分析】（1）利用非负性进行求解即可； （2）分别求出，根据，列出不等式进行求解即可； （3）设，过点H作交x轴于F，推出，过点E作的平行线，推出，得到，再进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵． ∴ ∵且在第二象限， ∴点到轴的距离为， 过点作轴于点，则， ∴， ∵， ， ， ∴， ∵， ∵， ∴， 解得，； （3）解：变化，理由如下： ∵x轴⊥y轴， ∴， ∴． 又∵， ∴．（等角的余角相等） ∵y轴平分， ∴． ∴． ∴， 设，则， 如图，过点H作交x轴于F， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 过点E作的平行线，同理可得： ， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∵点是线段上一动点， ∴α的大小在发生变化， 又∵β是个定值， ∴的值在变化． 【点睛】本题考查坐标与图形，平行线的判定和性质．利用数形结合的思想，构造平行线进行求解，是解题的关键． 3．如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段交轴于点．点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴负半轴方向运动（点不与点重合）． (1)求点、、的坐标． (2)在轴上是否存在这样的点，使的面积等于的面积的？若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点为轴负半轴上一动点，过点作，分别作，的平分线交于点，试问在点的运动过程中，的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 【答案】(1)点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 (2)或 (3)的度数不变， 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出、、，得到点、、的坐标． （2）根据（1）的结论求得的面积，设点的坐标为，用含的代数式表示出的面积，根据题意列出方程，解方程即可； （3）作，根据平行线的性质得到，，，根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义计算，得到答案． 【详解】（1）解： ，，，， ，，， 解得，，，， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； （2）解：存在， 理由如下：∵点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 ∴， ∴ 设点的坐标为， 由题意得，，， 的面积， 依题意， 解得： ∴或 点坐标的坐标为或． （3）解：的度数不发生变化， 理由如下：过点作，如图2， ∵， ， ，，， ， ， 、分别为，的平分线， ，， ． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线，坐标与图形，三角形的面积计算、非负数的性质，掌握平行线的性质定理、三角形的面积公式是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 位置与坐标思维导图 【类型覆盖】 类型一、平面直角坐标系的规律 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，…根据这个规律探究可得，第210个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，一个点在第一象限及x轴，y轴上移动，在第一秒钟，它从原点移动到点，然后按照图中箭头所示方向移动，即→→→→→…，且每秒移动一个单位，那么第20秒时，点所在位置的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是 ． 3．如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，依照此规律跳动下去，点A第次跳动至的坐标 ． 类型二、平面直角坐标系的将军饮马 【解惑】如图，三个顶点的坐标分别是． (1)请画出关于y轴对称的图形，并写 的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上求作一点P，使的值最小，最小值为______． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形，并写出的坐标； (2)若为轴上一点，连接，，求的周长最小值． 2．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1， 为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形），点B的坐标是 (1)点A 的坐标是 ，点C的坐标是 ； (2)请作出关于x轴对称的 （点A 与点A'对应， 点B 与点B'对应， 点C与点 对应）； (3)y轴上存在点P， 使得的值最小，则的最小值是 ． 3．阅读下列材料，回答问题： 如图，点，点，以为斜边作，则，于是，，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． 例如： 故代数式的值看作点到点的距离． 已知：代数式 (1)该代数式的值可看作点到点 、 的距离之和． (2)求出这个代数式的最小值． 类型三、平面直角坐标系的三点共线 【解惑】如图，已知A、B两村庄的坐标分别为，，一辆汽车在x轴上行驶，从原点O出发． (1)汽车行驶到离B村最近的点的坐标是　　　； (2)汽车行驶到x轴的某一点P时到A、B两村的距离的差最大． ①请写出P点的坐标，并在图中标出点P； ②求出的最大值，并说明理由； (3)在y轴上有一村庄Q，若Q村到A村的距离等于A村到B村的距离，请你求出Q村的坐标． 【融会贯通】 1．对于一些二次根式，我们可以用数形结合的方法进行研究．如，可以看作平面直角坐标系中，动点与定点或之间的距离（如图）．请参考上面的方法解决下列问题： (1)若将看作平面直角坐标系xOy中，动点与定点C之间的距离，则点C的坐标可以是______（写出一个即可）； (2)若，直接写出d的最大值． 2．【发现问题】   小明在课外书上遇到了下面这道题：已知，，求线段的长度．小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决．思路如下：在平面直角坐标系中，设，，要求线段的长度可以用如下的方法，如图，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，延长交于点，则线段的长度可以表示为，且，在Rt△中，，根据勾股定理可得： 【解决问题】 （1）①则线段长度是 ； ②如果点，点，则线段长度是        【知识迁移】 （2）①点，，请在轴上找一点，使得的值最大，请直接写出这个最大值是 ． ②点，，请在轴上找一点，使得最小，请直接写出这个最小值是 ． 【拓展延伸】 （3）①代数式的最小值是 ． ②代数式的最大值是 ． 3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)在平面直角坐标系中画出． (2)点关于轴的对称点的坐标为__________，点关于轴的对称点的坐标为__________； (3)在轴上找一点，使最大； (4)在轴上找一点，使的周长最小，并求出周长； (5)已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标． 类型四、平面直角坐标系的面积问题 【解惑】如图1，在平面直角坐标系中，，，其中a的平方是4，b是4的平方根，且，过点C作轴于点B． (1)求三角形的面积； (2)如图2，过点B作交y轴于点D，且，分别平分、，求的度数； (3)在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中、，a、b满足． (1)如图1，求点A、B的坐标； (2)如图2，y轴上有一点E，的面积是6，求点E的坐标； (3)如图3，将线段沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、C，在坐标平面内是否存在点，使得与的面积相等，且与的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．在平面直角坐标系中，O为原点，点，，． (1)如图1，的面积为 ； (2)如图2，将点B向右平移至点． ①若线段的长为5，求点D到直线的距离； ②点P是x轴上一动点，若的面积等于3，请求出点P的坐标． 3．已知长方形在平面直角坐标系中，连接线段，，且交于点．    (1)如图1，边与轴平行，是轴的正半轴上一点，是轴的正半轴上一点，的平分线和的平分线交于点，若，求的度数； (2)如图2，若长方形的三个顶点，，的坐标分别为，，． ①请直接写出点的坐标； ②若长方形以每秒1个单位的速度向下运动，设运动的时间为秒．是否存在某一时刻，使得三角形的面积等于长方形的面积的一半？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 类型五、平面直角坐标系的全等三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是 (1)在图中作出，关于y轴对称的． (2)在y轴上画出点 P，使 最小（保留作图痕迹）． (3)如果要使以为顶点的三角形与全等（A与D不重合），写出所有符合条件的点 D 坐标． 【融会贯通】 1．如图所示． (1)写出，，三点的坐标． (2)若各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘，请你在同一坐标系中描出对应的点、、，并依次连接这三个点，所得的与原有怎样的位置关系； (3)如果点是坐标系中格点上的一点，要使点、、构成的三角形与全等，请写出符合条件的点的坐标． 2．（1）如图1，在中，，，过点的直线经过三角形内部，过点作于点，过点作于点．则与的数量关系为___________，请证明你所写的结论； （2）尝试探究：若； ①如图1，连接，，四边形的面积为：___________（用含，的代数式表示）； ②如图2，过点的直线不经过内部，其它不变，则四边形的面积为：___________（用含的代数式表示）． （3）拓展迁移：如图3，，，点，的坐标分别是，，直接写出点的坐标___________；在坐标平面内找一点（不与点重合），使与全等．直接写出点的坐标． 3．已知：在平面直角坐标系中．的三个顶点的坐标分别是． (1)在坐标系中，描出； (2)在图中画出关于y轴对称的； (3)如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D坐标，（点D不与点A重合） 类型六、平面直角坐标系的等腰三角形 【解惑】在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于轴对称的（其中分别是的对应点，不写画法）； (2)在轴上求作点，使的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点的位置） (3)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有____________个． 【融会贯通】 1．如图1，在等腰中，，，点是边上一点（不与点、重合），连接，将沿翻折得，连接．    (1)若，解决下列问题： ①当点落在边上时，与的关系是______； ②当时，请用无刻度的直尺和圆规作出点的位置； (2)如图，①当点落在边上，且 为等腰三角形时，求的值； ②当点在边上运动时，存在点落在边上，则的取值范围是______． 2．如图，在平面直角坐标系中，为y轴正方向上一点，为x轴正方向上一点，且满足． (1)求线段AB的长； (2)点C是线段AC上一点，如果BC平分，求点C的坐标； (3)点P是x轴上一动点，且为等腰三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标． 3．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标是，连接．若动点从点出发沿着线段以5个单位每秒的速度向终点运动，设运动时间为秒． (1)求线段的长． (2)连接，当为等腰三角形时，过点作线段的垂线与直线交于点，求点的坐标； (3)已知点为的中点，连接，点关于直线的对称点记为（如图2），在整个运动过程中，若点恰好落在内部（不含边界），请直接写出的取值范围． 类型七、平面直角坐标系的等腰直角三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点A，B的坐标分别为． (1)在图中画出线段关于y轴对称的线段； (2)若点是线段上的任意一点，则点P在线段上的对应点的坐标是 ； (3)点C是平面内一点，若是以为腰的等腰直角三角形，则点C的坐标为 ． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，点，如图构造矩形，点D为，动点P从点D出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动，作，交边或边于点，当点与点重合时，点停止运动．连接，设运动时间为秒． (1)①如图1，当点运动到O处时，线段长为____________； ②如图2，当点P在边上运动时，点P的坐标为___________（用含t的式子表示），若点Q与点B重合时，线段长为____________． (2)如图3，当点在边上运动时，求证：是等腰直角三角形， (3)将沿直线翻折，形成四边形，当四边形与矩形重叠部分是轴对称图形时，请直接写出的取值范围． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，a，b满足，连接，过点A作，且，连接． (1)如图1，求点C的坐标； (2)如图2，点D的坐标为，在（1）的条件下作等腰，其中，，连接交y轴于点M，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，若点N的坐标是，点P在第二象限，且P，N，M构成等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标． 3．已知：在平面直角坐标系中，点M的坐标为． (1)若点M在y轴上，求a的值； (2)若轴，并且点N的坐标为． ①求点M的坐标及线段的长； ②P为坐标系内一动点，当为以为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． 类型八、平面直角坐标系的直角三角形 【解惑】在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知格点（网格线的交点）． (1)画出关于轴对称的； (2)在所给的网格图中确定格点，使得点组成以为直角边的直角三角形，并写出所有点的坐标． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点为轴正半轴上的一点，且， (1)求点的坐标． (2)在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．在4×4的正方形网格中建立如图所示的直角坐标系，其中格点A，B的坐标分别是，．请在x轴上找一个格点C，使得是直角三角形，且为轴对称图形， (1)直接写出点C的坐标； (2)求出此时的面积． 3．如图，在中，，点为的中点，连接．点在射线上运动，当点不与点重合时，连接．设． (1)的长为________； (2)当是直角三角形时，求的值； (3)当是轴对称图形时，求的面积； (4)如图，作点关于直线的对称点，连接，当点三点共线时，直接写出的值． 类型九、平面直角坐标系的角的数量关系 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，点，且a，b满足，线段向上平移k个单位长度得到线段． (1)求点A，B的坐标； (2)若点P在x轴上．且，求满足条件的点P的坐标； (3)当点F，E分别为线段上任意一点时，，点G为线段与之间一点，连接， ，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，点，且满足，P点从点A出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从点O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度匀速运动．    (1)点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，点C的坐标是 ． (2)在点P，Q运动的过程中，连接，使的面积是面积的4倍，求出点P的坐标； (3)在点P，Q运动的过程中，当时，请探究和的数量关系，并说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，点满足，轴，垂足为，    (1)点的坐标为______，点的坐标为______； (2)如图1，若点在轴上，连接，使，求点的坐标； (3)如图2，是线段所在直线上一动点，连接，为轴负半轴上一点，平分，交直线于点，作，当点在直线上运动过程中，请探究与的数量关系，并证明． 3．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向左平移3个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接，， (1)请直接写出A的坐标 ，B的坐标 ； (2)在坐标轴上是否存在点M，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，试说明理由． (3)点P是直线上的一个动点，点Q是线段的中点，连接，， ①如图2，当点P在线段上移动时（不与A，C重合），请找出，，的数量关系，并证明你的结论； ②若P在直线上运动，请直接写出、、的数量关系． 类型十、平面直角坐标系的定值与不变 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中，满足关系式，点在线段上运动（点不与、两点重合，题中所有的角均为大于且小于的角） (1)直接写出点的坐标． (2)射线上一点，射线上一点（不与重合），连接，，使，求与之间的数量关系． (3)连接，，平分，是的三等分线，且，请判断能否为定值？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【融会贯通】 1．平面直角坐标系中， 点，， 为等腰直角三角形， ，， 交y轴负半轴于点 D． (1)如图1， a、b满足关系式 ，直接写出点A、B、C的坐标； (2)如图2， 点E是x轴正半轴上的动点， 过点B作交于点F， 且．求证：点 D是的中点； (3)在（2） 的条件下， 如图3， 点F在线段上，的值是否为定值？ 若是，请计算出定值； 若不是，请用含有a，b的代数式表示． 2．在平面直角坐标系中，，，且a，c满足． (1)直接写出a，c的值． (2)如图1，点，在第二象限内有一点，若，求m的取值范围． (3)如图2，若，点G是第二象限内一点，并且y轴平分．点E是线段上一动点，连接交于点H，当点E在上运动时，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值． 3．如图1，在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，且满足，线段交轴于点．点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿轴负半轴方向运动（点不与点重合）． (1)求点、、的坐标． (2)在轴上是否存在这样的点，使的面积等于的面积的？若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点为轴负半轴上一动点，过点作，分别作，的平分线交于点，试问在点的运动过程中，的度数是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $