第三章 位置与坐标 讲义 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学讲义以“位置与坐标”为核心，通过知识框架图系统构建单元体系，涵盖点的特征、面积问题、新定义型问题及规律探究四大题型。采用表格对比呈现象限坐标符号、对称点坐标变化规律，用思维导图梳理面积计算“补全法”“分割法”等方法要点，清晰呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“方法引领+分层练习”的设计，如面积问题中通过“补全法”将不规则图形转化为矩形与三角形，培养几何直观。新定义型问题以“长距”“角平分线点”为例，引导学生精准解读定义并转化为坐标关系，发展推理意识。练习题从基础选择到综合解答，满足不同层次学生需求，助力学生自主复习时明确方法，教师可据此实施精准教学，提升课堂效率。

专题：位置与坐标题型练习(点的特征、面积问题、新定义型问题、规律探究问题) 题型1: 平面直角坐标系中点的特征 ①点所在的象限: 第一象限：横坐标(x)＞0，纵坐标(y)＞0(＋，＋)；第二象限：横坐标(x)＜0，纵坐标(y)＞0(－，＋) 第三象限：横坐标(x)＜0，纵坐标(y)＜0(－，－)；第四象限：横坐标(x)＞0，纵坐标(y)＜0(＋，－) ③排除特殊情况：若x＝0或y＝0，点在坐标轴上(x轴、y轴)，不属于任何象限，需先排除这类情况再判断. ④关于x轴对称，x不变、y变号；关于y轴对称，y不变、x变号；关于原点对称，x、y均变号，可通过已知点直接推对称点特征. ⑤关于x轴对称：横坐标(x)不变，纵坐标(y)变为相反数； 关于y轴对称：纵坐标(y)不变，横坐标(x)变为相反数； 关于原点对称：横、纵坐标均变为相反数. 练习1. 1. 在平面直角坐标系中，点P(m2＋3，－1)一定在( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 已知点P(x，y)在第三象限内，化简的结果是( ). A.y B.－y C. y D.－y 3. 在平面直角坐标系中，点A(a，－6)与点B(2，b)关于y轴对称，则ab＝ ． 4. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为(2m＋1，3m＋2)． (1)若点P在过点A(－3，1)且与y轴平行的直线上，求点P的坐标； (2)将点P先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求m的值． 5. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(－3，2)，B(－4，－3)，C(－1，－1)． (1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)写出点A1，B1，C1的坐标； (3)求△ABC的面积． 题型2:平面直角坐标系中的面积问题 ①“补全法”算不规则图形面积：将不规则图形补成矩形或梯形，先算补全后的大图形面积，再减去周围多余的三角形、矩形面积，适用于顶点坐标已知的图形. ②“分割法”拆复杂图形：把图形分割成几个易算面积的基本图形(三角形、矩形)，分别用公式(如三角形面积＝底×高÷2)计算，最后求和，注意分割时尽量让底或高与坐标轴平行，简化计算. ③利用坐标轴找边长/高：若图形边平行于x轴，边长为两点横坐标差的绝对值；平行于y轴，边长为纵坐标差的绝对值.非平行时，可借助坐标轴作垂线，转化为求高的长度. 练习2. 1. 如图所示，直角坐标系中四边形的面积是( ). A.15.5 B.20.5 C.26 D.31 2. 如图，由8个边长为1的小正方形组成的图形，被线段AB平分为面积相等的两部分，已知点A的坐标是(1，0)，则点B的坐标为( ). A.(，3) B.(，3) C.(，3) D.(，3) 3. 已知点A的坐标为(0，0)，点B的坐标为(4，0)，点C在y轴上，△ABC的面积是10，则点C的坐标可能是( ). A.(0，10) B.(5，0) C.(0，－5) D.(0，4) 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(a，0)，(b，0)，且a，b满足|a＋2|＋＝0，点C的坐标为(0，3)． (1)求a，b的值； (2)求△ABC的面积． (3)若P是x轴上一动点，若三角形ACP的面积等于三角形ABC面积的一半，求点P的坐标． 5. 已知：如图，△ABC的三个顶点位置分别是A(1，0)、B(－2，3)、C(－3，0)． (1)求△ABC的面积是多少？ (2)若点A、C的位置不变，当点P在y轴上时，且S△ACP＝2S△ABC，求点P的坐标？ (3)若点B、C的位置不变，当点Q在x轴上时，且S△BCQ＝2S△ABC，求点Q的坐标？ 6. 如图所示，△ABC在正方形网格中，若点A，C的坐标分别为(0，3)，(1，1)，按要求回答下列问题： (1)在图中建立正确的平面直角坐标系；并根据所建立的坐标系，写出点B的坐标； (2)画出△ABC关于x轴对称的图形△A′B′C′； (3)求△ABC的面积． 7. 如图，已知点A(a，0)，B(b，0)，满足(3a＋b)＋＝0，将线段AB先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段CD，并连接AC，BD． (1)请直接写出点A、B、C和D的坐标； (2)点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿y轴正方向平移运动，设运动时间为t秒，问当t值是多少时，ODM的面积是12平方单位？ 8. 如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，1)，C(－2，－1). (1)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； (2)直接写出点A1，B1，C1的坐标； (3)求△ABC的面积. 题型3:平面直角坐标系中新定义型问题 ①精准解读新定义：这是核心，逐字分析题干中定义的规则(如“新距离”“特殊点”)，将抽象描述转化为数学关系(如坐标公式、位置条件)，避免理解偏差. ②结合坐标系特征转化问题：把新定义与坐标性质结合，比如新定义的“对称点”可关联已知对称规律，新定义的“区域”可转化为坐标满足的不等式，用熟悉的坐标知识拆解陌生概念. ③用具体坐标举例验证：若对定义理解模糊，可代入简单坐标试算，通过实例总结规律；解题后再用特殊点验证，确保答案符合新定义规则，避免逻辑错误. 练习3. 1. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”． (1)点A(－3，5)的“长距”为 ； (2)若点C(－2，3b－2)的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为(9－2b，－5)，请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 2. 综合与实践 在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，若点Q的坐标为(ax＋y，x＋ay)，则称点Q是点P的“a阶派生点”(其中a为常数，且a≠0)．例如：点P(1，4)的“2阶派生点”为点Q(2×1＋4，1＋2×4)，即点Q(6，9)． (1)若点P的坐标为(－1，5)，则它的“3阶派生点”的坐标为______； (2)若点P的“5阶派生点”的坐标为(－9，3)，求点P的坐标； (3)若点P(c＋1，2c－1)先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1．点P1的“4阶派生点” P2位于坐标轴上，求点P2的坐标． 题型4:平面直角坐标系中规律探究问题 ①“列表法”梳理坐标规律：将已知点按顺序编号(1、2、3…)，列出“序号→横坐标→纵坐标”表格，观察横、纵坐标随序号变化的规律(如倍数、加减、循环)，例如序号n对应横坐标为n，纵坐标为2n. ②结合象限与对称找循环规律：若点的位置循环出现(如绕原点旋转、在象限间移动)，记录点所在象限及坐标符号的变化周期，根据周期推导未知点坐标. ③用特殊值验证规律：推导规律后，代入已知序号的点验证是否符合；再用规律计算未知点坐标，反向检查是否满足坐标系中的位置特征(如对称、象限分布)，确保规律正确. 练习4. 1. 探索规律：点P1(1，1)，P2(2，4)，P3(3，9)，P4(4，16)，…，按此规律，求： (1)点P5的坐标； (2)点Pn的坐标(n为正整数)； (3)若点Pn到x轴的距离为625，求n的值． 2. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)， (3，2)，(3，1)，(3，0)，…，根据规律探索可得，第40个点的坐标为( ).    A．(9，2) B．(9，3) C．(9，4) D．(9，5) 3. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置……依次进行下去，若已知点A(4，0)，B(0，3)，AB＝5，则点C100的坐标为( ).  A．(1200，) B．(600，0) C．(600，) D．(1200，0) 4. 如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得点P1(－1，－1)；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点P3；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P100的坐标为 ．   5. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，∠OAB＝90°，边OA在x轴正半轴上，OA＝2，点B在第一象限内，将△AOB绕点O顺时针旋转，每次旋转45°则第407次旋转后，点B的坐标为    1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题：位置与坐标题型练习(点的特征、面积问题、新定义型问题、规律探究问题) 题型1: 平面直角坐标系中点的特征 ①点所在的象限: 第一象限：横坐标(x)＞0，纵坐标(y)＞0(＋，＋)；第二象限：横坐标(x)＜0，纵坐标(y)＞0(－，＋) 第三象限：横坐标(x)＜0，纵坐标(y)＜0(－，－)；第四象限：横坐标(x)＞0，纵坐标(y)＜0(＋，－) ③排除特殊情况：若x＝0或y＝0，点在坐标轴上(x轴、y轴)，不属于任何象限，需先排除这类情况再判断. ④关于x轴对称，x不变、y变号；关于y轴对称，y不变、x变号；关于原点对称，x、y均变号，可通过已知点直接推对称点特征. ⑤关于x轴对称：横坐标(x)不变，纵坐标(y)变为相反数； 关于y轴对称：纵坐标(y)不变，横坐标(x)变为相反数； 关于原点对称：横、纵坐标均变为相反数. 练习1. 1. 在平面直角坐标系中，点P(m2＋3，－1)一定在( D ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 已知点P(x，y)在第三象限内，化简的结果是( D ). A.y B.－y C. y D.－y 3. 在平面直角坐标系中，点A(a，－6)与点B(2，b)关于y轴对称，则ab＝ 12 ． 4. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为(2m＋1，3m＋2)． (1)若点P在过点A(－3，1)且与y轴平行的直线上，求点P的坐标； (2)将点P先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求m的值． 答案：(1)求点P的坐标为(－3，－4)；(2)m＝－5. 5. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(－3，2)，B(－4，－3)，C(－1，－1)． (1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)写出点A1，B1，C1的坐标； (3)求△ABC的面积． 答案：(1)如图，△A1B1C1即为所作，；(2) A1(3，2)，B1(4，－3)，C1(1，－1)；(3). 题型2:平面直角坐标系中的面积问题 ①“补全法”算不规则图形面积：将不规则图形补成矩形或梯形，先算补全后的大图形面积，再减去周围多余的三角形、矩形面积，适用于顶点坐标已知的图形. ②“分割法”拆复杂图形：把图形分割成几个易算面积的基本图形(三角形、矩形)，分别用公式(如三角形面积＝底×高÷2)计算，最后求和，注意分割时尽量让底或高与坐标轴平行，简化计算. ③利用坐标轴找边长/高：若图形边平行于x轴，边长为两点横坐标差的绝对值；平行于y轴，边长为纵坐标差的绝对值.非平行时，可借助坐标轴作垂线，转化为求高的长度. 练习2. 1. 如图所示，直角坐标系中四边形的面积是( A ). A.15.5 B.20.5 C.26 D.31 2. 如图，由8个边长为1的小正方形组成的图形，被线段AB平分为面积相等的两部分，已知点A的坐标是(1，0)，则点B的坐标为( A ). A.(，3) B.(，3) C.(，3) D.(，3) 3. 已知点A的坐标为(0，0)，点B的坐标为(4，0)，点C在y轴上，△ABC的面积是10，则点C的坐标可能是( A ). A.(0，10) B.(5，0) C.(0，－5) D.(0，4) 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(a，0)，(b，0)，且a，b满足|a＋2|＋＝0，点C的坐标为(0，3)． (1)求a，b的值； (2)求△ABC的面积． (3)若P是x轴上一动点，若三角形ACP的面积等于三角形ABC面积的一半，求点P的坐标． 答案：(1) a＝－2，b＝4；(2)△ABC的面积为9；(3)(1，0)或(－5，0) 5. 已知：如图，△ABC的三个顶点位置分别是A(1，0)、B(－2，3)、C(－3，0)． (1)求△ABC的面积是多少？ (2)若点A、C的位置不变，当点P在y轴上时，且S△ACP＝2S△ABC，求点P的坐标？ (3)若点B、C的位置不变，当点Q在x轴上时，且S△BCQ＝2S△ABC，求点Q的坐标？ 答案：(1)△ABC的面积＝6；点P在y轴负半轴时，P(0，－6)； (3)点Q在C的左边时， Q(－11，0)；点Q在C的右边时， Q(5，0)． 6. 如图所示，△ABC在正方形网格中，若点A，C的坐标分别为(0，3)，(1，1)，按要求回答下列问题： (1)在图中建立正确的平面直角坐标系；并根据所建立的坐标系，写出点B的坐标； (2)画出△ABC关于x轴对称的图形△A′B′C′； (3)求△ABC的面积． 答案：(1)所建立的平面直角坐标系，如图所示： 点B的坐标为：(－3，－1) (2) 解：所作△A′B′C′如下图所示： (3)△ABC的面积为5. 7. 如图，已知点A(a，0)，B(b，0)，满足(3a＋b)＋＝0，将线段AB先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段CD，并连接AC，BD． (1)请直接写出点A、B、C和D的坐标； (2)点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿y轴正方向平移运动，设运动时间为t秒，问当t值是多少时，ODM的面积是12平方单位？ 答案：(1) A(－1，0)、B(3，0)、C(0，2)、D(4，2)；(2)t＝3 8. 如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，1)，C(－2，－1). (1)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； (2)直接写出点A1，B1，C1的坐标； (3)求△ABC的面积. 答案：(1)△A1B1C1如图所示. (2)A1(－1，2)，B1(－3，1)，C1 (2，－1). (3)△ABC的面积＝. 题型3:平面直角坐标系中新定义型问题 ①精准解读新定义：这是核心，逐字分析题干中定义的规则(如“新距离”“特殊点”)，将抽象描述转化为数学关系(如坐标公式、位置条件)，避免理解偏差. ②结合坐标系特征转化问题：把新定义与坐标性质结合，比如新定义的“对称点”可关联已知对称规律，新定义的“区域”可转化为坐标满足的不等式，用熟悉的坐标知识拆解陌生概念. ③用具体坐标举例验证：若对定义理解模糊，可代入简单坐标试算，通过实例总结规律；解题后再用特殊点验证，确保答案符合新定义规则，避免逻辑错误. 练习3. 1. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”． (1)点A(－3，5)的“长距”为 ； (2)若点C(－2，3b－2)的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为(9－2b，－5)，请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 答案：(1)5； (2) 点D是“角平分线点”.理由： ∵点C(－2，3b－2)的长距为4，且点C在第二象限内， ∴3b－2＝4，解得b＝2， ∴9－2b＝5， ∴点D的坐标为(5，－5) ∴点D到x轴、y轴的距离都是5 ∴点D是“角平分线点” 2. 综合与实践 在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，若点Q的坐标为(ax＋y，x＋ay)，则称点Q是点P的“a阶派生点”(其中a为常数，且a≠0)．例如：点P(1，4)的“2阶派生点”为点Q(2×1＋4，1＋2×4)，即点Q(6，9)． (1)若点P的坐标为(－1，5)，则它的“3阶派生点”的坐标为______； (2)若点P的“5阶派生点”的坐标为(－9，3)，求点P的坐标； (3)若点P(c＋1，2c－1)先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点P1．点P1的“4阶派生点” P2位于坐标轴上，求点P2的坐标． 答案：(1)(2，14)；(2)(－2，1)；(3) P2(－，0)，P2(0，5) 题型4:平面直角坐标系中规律探究问题 ①“列表法”梳理坐标规律：将已知点按顺序编号(1、2、3…)，列出“序号→横坐标→纵坐标”表格，观察横、纵坐标随序号变化的规律(如倍数、加减、循环)，例如序号n对应横坐标为n，纵坐标为2n. ②结合象限与对称找循环规律：若点的位置循环出现(如绕原点旋转、在象限间移动)，记录点所在象限及坐标符号的变化周期，根据周期推导未知点坐标. ③用特殊值验证规律：推导规律后，代入已知序号的点验证是否符合；再用规律计算未知点坐标，反向检查是否满足坐标系中的位置特征(如对称、象限分布)，确保规律正确. 练习4. 1. 探索规律：点P1(1，1)，P2(2，4)，P3(3，9)，P4(4，16)，…，按此规律，求： (1)点P5的坐标； (2)点Pn的坐标(n为正整数)； (3)若点Pn到x轴的距离为625，求n的值．答案：(1) P5(5，25)；(2)点Pn的坐标为(n，n2)；(3)n＝25 2. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)， (3，2)，(3，1)，(3，0)，…，根据规律探索可得，第40个点的坐标为( D ).    A．(9，2) B．(9，3) C．(9，4) D．(9，5) 3. 如图，在平面直角坐标系中，将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置……依次进行下去，若已知点A(4，0)，B(0，3)，AB＝5，则点C100的坐标为( B ).  A．(1200，) B．(600，0) C．(600，) D．(1200，0) 4. 如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得点P1(－1，－1)；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点P3；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P100的坐标为 (50，50) ．   5. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，∠OAB＝90°，边OA在x轴正半轴上，OA＝2，点B在第一象限内，将△AOB绕点O顺时针旋转，每次旋转45°则第407次旋转后，点B的坐标为 (0，2)    5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $