精品解析：四川省安岳中学2024-2025学年高二(示范班)上学期开学考试数学试题

高2023级示范班高二上期开学考试 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一､选择题（每小题5分，共40分.） 1. 经过两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 2 3. 如图，空间四边形中，分别是的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知平面，其中，法向量，则下列各点不在平面内的是（ ） A. B. C. D. 6. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与乙互斥 B. 丙发生的概率为 C. 甲与丁相互独立 D. 乙与丙相互独立 7. 已知圆和圆的交点为、，则下列选项错误的是（ ） A. 圆和圆有两条公切线 B. 直线的方程为 C. 圆上存在两点和使得 D. 圆上的点到直线的最大距离为 8. 已知点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，线段MF与圆相切于点．若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（在每小题给出的四个选项中，至少有两个符合题目要求的.若全对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 已知点在圆上，点、，则（ ） A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于 C 当最小时， D. 当最大时， 10. 在下列正方体中，点O为底面的中心，点P为所在棱的中点，点M，N为正方体的顶点，下列满足MN⊥OP的图形有（ ） A. B. C. D. 11. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点，点是椭圆上的一个动点，则（ ） A. B. C. 直线与椭圆相交于两点，且点为线段的中点，则直线的斜率为 D. 的最大值为 三､填空题 12. 由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为_____________. 13. 已知，，直线与直线垂直，则最小值是___________. 14. 已知，为圆上两个动点，，若点为直线上一动点，则的最小值为______. 四､解答题 15. 如图，在长方体中，，为的中点. （1）求证：. （2）在棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求长；若不存在，说明理由. 16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市建设的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中值； （2）若从成绩位于区间和的答卷中，采用分层随机抽样，抽取7份，再从这7份中随机抽取两份，求这两份答卷的成绩都落在的概率； （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 17. 已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|． （1）求C1的离心率； （2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程． 18. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 19. 已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切． （1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径． （2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2023级示范班高二上期开学考试 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一､选择题（每小题5分，共40分.） 1. 经过两点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据两点的斜率公式求出斜率,结合斜率与倾斜角的关系可得倾斜角. 【详解】因为,所以过两点的直线斜率为, 所以倾斜角为. 故选：A. 2. 已知椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先根据椭圆方程求出，再利用椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆的方程可得，设左焦点为，右焦点为， 由椭圆定义可得， 若，则， 故选：A 3. 如图，空间四边形中，分别是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加法的运算法则即可作出判断. 【详解】因为为中点，所以； 又因为为中点，所以且，所以. 所以. 故选：C 4. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 5. 已知平面，其中，法向量，则下列各点不在平面内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合各项分别求出，计算的值是否为0，从而得出结论. 【详解】对A，，， 则该点不在平面内，A正确； 对B，，， 则该点平面内，B错误； 对C，，, 则该点在平面内，C错误； 对D，,, 则该点在平面内，D错误； 故选：A 6. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与乙互斥 B. 丙发生的概率为 C. 甲与丁相互独立 D. 乙与丙相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】先分别计算出事件甲、乙、并、丁的概率，可判断B选项；直接由互斥事件的概念判断A选项；由独立事件概率公式判断C、D选项即可. 【详解】由题意可知，两点数和为6的所有可能为， 两点数和为7的所有可能为， 甲乙丙丁， 对于A选项，甲与乙可以同时发生，故选项A错误； 对于B选项，由上可知错误，故选项B错误； 对于C选项，（甲丁）（甲）（丁），故选项C正确； 对于D选项，（乙丙）（乙）（丙），故选项D错误. 故选：C. 7. 已知圆和圆的交点为、，则下列选项错误的是（ ） A. 圆和圆有两条公切线 B. 直线的方程为 C. 圆上存在两点和使得 D. 圆上的点到直线的最大距离为 【答案】C 【解析】 【分析】判断两圆的位置关系，可判断A选项；将两圆方程作差，可得出直线的方程，可判断B选项；求出，可判断C选项；求出圆上的点到直线的最大距离，可判断D选项. 【详解】对于A选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 所以，， 因为，则两圆相交，故这两圆有两条公切线，A对； 对于B选项，将两圆方程作差可得，即直线的方程为，B对； 对于C选项，圆心到直线的距离为，所以，， 对于圆上的任意两点、，，C错； 对于D选项，圆心到直线的距离的最大值为，D对. 故选：C. 8. 已知点是椭圆的右焦点，点在椭圆上，线段MF与圆相切于点．若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何性质可得三角形相似，利用勾股定理建立方程，结合的等量关系以及离心率的计算，可得答案. 【详解】设为椭圆的左焦点，且其焦距为，连接， 设圆的圆心为，半径， 作图如下： 由，，， 则，，所以， 因为，所以， 因为与圆，所以，即， 易知，则，可得，则， 在中，，则， 由，则，所以. 故选：B. 二､多选题（在每小题给出的四个选项中，至少有两个符合题目要求的.若全对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9. 已知点在圆上，点、，则（ ） A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于 C. 当最小时， D. 当最大时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. 10. 在下列正方体中，点O为底面的中心，点P为所在棱的中点，点M，N为正方体的顶点，下列满足MN⊥OP的图形有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据各选项的条件，结合正方体的结构特征及线面垂直的判定性质逐项分析判断. 【详解】对于A，如图，连接，则，而是的斜边， 则与不垂直，与不垂直，A不是； 对于B，如图，连接，则，由平面，平面， 得，而，是平面内两条相交直线，则平面， 又平面，则，，B是； 对于C，如图，连接，由选项B同理得，C是； 对于D，如图，为所在棱的中点，可得四边形都是平行四边形， ，令正方体棱长为2，则， 与不垂直，与不垂直，D不是. 故选：BC 11. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点，点是椭圆上的一个动点，则（ ） A. B. C. 直线与椭圆相交于两点，且点为线段的中点，则直线的斜率为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】得出两点的坐标，即可判断A；根据椭圆的定义结合点与椭圆的关系即可判断B；利用点差法即可判断C； 根据椭圆的定义可得，进而可判断D. 【详解】对于A，由，可知直线的斜率不存在，直线的斜率为零， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以点在椭圆内， 所以，故B正确； 对于，设点坐标分别为， 则有，两式作差有， 有，即直线的斜率为，故C错误； 对于D， ， 当且仅当三点共线且点在两点中间时，取等号， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法： （1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解. 三､填空题 12. 由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【详解】从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理， 显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小． 圆心到直线的距离为：, 切线长的最小值为：故本题正确答案为. 13. 已知，，直线与直线垂直，则的最小值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】两直线垂直说明它们的法向量互相垂直，得出的关系式，进而运用基本不等式求出的最小值. 【详解】的法向量的法向量 两直线垂直得，即 当且仅当时取等号. 故答案为：. 14. 已知，为圆上的两个动点，，若点为直线上一动点，则的最小值为______. 【答案】6 【解析】 【分析】取中点，则，问题转化为求的最小值，再利用点到直线的距离公式求的最小值即可. 【详解】如图：取中点，因为，圆的半径为2，所以，点的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，. ， 由点到直线距离公式，得：，所以， 所以. 故答案为：6 四､解答题 15. 如图，在长方体中，，为的中点. （1）求证：. （2）在棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，. 【解析】 【分析】（1）以原点建立空间直角坐标系，证明即可； （2）设，求出平面的一个法向量，满足即可求出，即可得出. 【详解】（1）证明：以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）. 设，则，，，，， 故，，，. 因为，所以. （2）假设在棱上存在一点，使得平面，此时. 又设平面的法向量， 所以，得，取，得平面的一个法向量. 要使平面，只要，有，解得. 又平面，所以存在点，满足平面，此时. 【点睛】利用向量解决位置关系的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 16. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市建设的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中的值； （2）若从成绩位于区间和的答卷中，采用分层随机抽样，抽取7份，再从这7份中随机抽取两份，求这两份答卷的成绩都落在的概率； （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 【答案】（1） （2） （3），. 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1求的值. （2）根据分层抽样的概念，古典概型概率公式求解即可. （3）根据加权平均数与方差公式计算即可． 【小问1详解】 由题意，解得：. 【小问2详解】 由题可知，成绩在区间的频数为：； 成绩在区间的频数为：. 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为，成绩在的频数为. 再从这7份答卷中随机抽取两份，这两份答卷的成绩都落在的概率为：. 【小问3详解】 因为落在与的频率之比为； 所以， . 17. 已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|． （1）求C1的离心率； （2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程． 【答案】（1）；（2）：，： . 【解析】 【分析】（1）根据题意求出的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设在第一象限，运用代入法求出点的纵坐标，根据，结合椭圆离心率的公式进行求解即可； （2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可； 【详解】解：（1）因为椭圆的右焦点坐标为：,所以抛物线的方程为，其中. 不妨设在第一象限，因为椭圆的方程为：， 所以当时，有，因此的纵坐标分别为，； 又因为抛物线的方程为，所以当时，有， 所以的纵坐标分别为，，故，. 由得，即，解得（舍去），. 所以的离心率为. （2）由（1）知，，故，所以的四个顶点坐标分别为，，，，的准线为. 由已知得，即. 所以的标准方程为，的标准方程为. 【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力. 18. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，由已知条件得出，求出的值，即可得出的长； （2）求出平面、的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果. 【详解】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法 平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、， 则，， ，则，解得，故； [方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法 如图，连结．因为底面，且底面，所以． 又因为，，所以平面． 又平面，所以． 从而． 因为，所以． 所以，于是． 所以．所以． [方法三]：几何法+三角形面积法 如图，联结交于点N． 由[方法二]知． 在矩形中，有，所以，即． 令，因为M为的中点，则，，． 由，得，解得，所以． （2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法 设平面的法向量为，则，， 由，取，可得， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得， ， 所以，， 因此，二面角的正弦值为. [方法二]：构造长方体法+等体积法 如图，构造长方体，联结，交点记为H，由于，，所以平面．过H作的垂线，垂足记为G． 联结，由三垂线定理可知， 故为二面角的平面角． 易证四边形是边长为的正方形，联结，． ， 由等积法解得． 在中，，由勾股定理求得． 所以，，即二面角的正弦值为． 【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等面积方法求得. （2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁，为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证. 19. 已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切． （1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径． （2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由． 【答案】（1）或； （2）见解析. 【解析】 【分析】（1）设，，根据，可知；由圆的性质可知圆心必在直线上，可设圆心；利用圆心到的距离为半径和构造方程，从而解出；（2）当直线斜率存在时，设方程为：，由圆的性质可知圆心必在直线上；假设圆心坐标，利用圆心到的距离为半径和构造方程，解出坐标，可知轨迹为抛物线；利用抛物线定义可知为抛物线焦点，且定值为；当直线斜率不存在时，求解出坐标，验证此时依然满足定值，从而可得到结论. 【详解】（1）在直线上 设，则 又 ，解得： 过点， 圆心必在直线上 设，圆的半径为 与相切 又，即 ，解得：或 当时，；当时， 的半径为：或 （2）存在定点，使得 说明如下： ，关于原点对称且 直线必为过原点的直线，且 ①当直线斜率存在时，设方程为： 则的圆心必在直线上 设，的半径为 与相切 又 ，整理可得： 即点轨迹方程为：，准线方程为：，焦点 ，即抛物线上点到的距离 当与重合，即点坐标为时， ②当直线斜率不存在时，则直线方程为： 在轴上，设 ，解得：，即 若，则 综上所述，存在定点，使得为定值. 【点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决本定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，进而验证定值符合所有情况，使得问题得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $