专题07 反比例函数k值的几何意义（专项训练）数学北京版九年级上册

专题07 反比例函数k值的几何意义（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据图形面积求反比例函数k值 1 题型二、已知比例系数求规则图形面积 2 题型三、已知比例系数求不规则图形面积 3 题型一、根据图形面积求反比例函数k值 1．如图，反比例函数和的部分图象与直线分别交于，两点，如果的面积是，则的值为（   ） A．11 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解本题的关键． 记交轴于点，根据求出，再由求出，即可解题． 【详解】解：记交轴于点，如图所示： 由知，， 的面积是， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．如图，反比例函数的图像的一个分支上有一点A，平行于x轴，交y轴于点B，的面积是1，则反比例函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的性质及三角形面积的计算；掌握利用坐标表示线段长度并结合面积公式求出的绝对值是解题的关键．通过设点A坐标，利用反比例函数性质得到，结合平行于轴确定点B坐标，再根据三角形面积公式求出，进而得到 ，确定反比例函数表达式． 【详解】设点A的坐标为，因为点A在反比例函数的图像上，所以满足，即， 由于平行于x轴且交y轴于点B，则点B与点A的纵坐标相同（均为b），且点B在y轴上（横坐标为0），因此点B的坐标为， 的三个顶点坐标分别为、、， 的长度为点A与点B的水平距离，即； 点O到的垂直距离为所在直线到原点的距离，即， 根据三角形面积公式，的面积为：面积底高， 化简得：， 由于，因此，即或， 反比例函数的表达式为或， 结合选项，因此最合理的表达式为． 3．在平面直角坐标系中，已知点在第一象限，轴于点，连接，双曲线经过中点，交于点，连接，若的面积为，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．过作，交轴于，利用反比例函数的几何意义得到，根据为的中点，，从而得出，代入可得结论． 【详解】解：如图所示，过作，交轴于， ，、都在双曲线上， ， 为的中点， ， ， ， ． 故选：D． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，顶点C、D位于第一象限，反比例函数的图象经过正方形的对角线的交点若的面积为，正方形边长为3，则k的值为（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】过点D作轴于点H，设，则点，点，证明和全等得，由此得点D的坐标为，进而得点，再根据反比例函数的图象经过点E得，再由勾股定理得，由的面积为得，由此即可得出k的值． 【详解】解：过点D作轴于点H，如图所示： ， 设， 点A的坐标为，点B的坐标为， 四边形是正方形，且边长为3， ，点E为的中点， ， 在中，， ， 在和中，， ， ， ， 点D的坐标为， 又点B的坐标为，点E为的中点， 点E的坐标为， 反比例函数的图象经过点E， ， 在中，由勾股定理得：， ， 的面积为， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 5．函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．连接，由、轴得到，根据反比例函数系数k的几何意义可得，继而求出，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，连接， 轴，， ， ． 点A在反比例函数图象上， ， ， 且， ∴， ∴． 故选A． 6．如图，点A，B是x轴上的两点，，过点B作轴交双曲线于点P，若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 连接，则可证明，那么，即可求解． 【详解】解：连接， ∵轴 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数图象经过第二象限， ∴， 故答案为：． 7．如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C，交平行四边形的对角线于点，点A在x轴的正半轴上．已知平行四边形的面积是24，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】过点C作轴于点E，先求出反比例函数的解析式为，可得，然后结合行四边形的面积是24，可得，再求出直线的解析式为，设点C的坐标为，点B的纵坐标为，，可得点B的坐标为，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∵平行四边形的面积是24， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点C的坐标为，点B的纵坐标为，， ∴点B的坐标为， 代入，得：， 解得：或（舍去）， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴点B的坐标为． 故答案为： 8．点P 是反比例函数 的图象上一点，过点 P 分别向x轴、y轴引垂线，垂足分别为点 A，B，若 ，则函数的表达式为 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数的k的几何意义的应用．根据反比例函数的k的几何意义解答即可． 【详解】解：设，则 ． 解得． 所以函数的表达式为 或 ． 故答案为：或 ． 9．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、分别在轴、轴的正半轴上，点在线段上，且，函数的图象经过点及矩形的对称中心，顺次连结点、、，若的面积为4.5，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义、矩形的性质，熟练掌握以上知识点是关键；连接，由题意易得点O、M、B三点共线，且，则有的面积为9，然后可得，进而根据反比例函数k的几何意义进行求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵矩形的对称中心是点M， ∴点O、M、B三点共线，且， 的面积为4.5， ∴的面积为9， ∵． ∴， ∴， 故答案为：6． 10．如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若，的面积是4，则的值为 ． 【答案】16 【分析】此题考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．过点作于点，设点的坐标为，点的坐标为，则，，，证明，则，得到，进一步列式即可求出的值． 【详解】解：如图，过点作于点， 设点，点，则，，， ， ， 轴于点， ， ， ， ，， ， ，，， ， 轴， ， 又， ， ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：16． 11．如图，A是y轴正半轴上一点，以为对角线作矩形，且点B，C分别在反比例函数、反比例函数的图象上．若矩形的面积为14，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与k的几何意义，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据矩形的性质证明，故，因为矩形的面积为14，即，因为点B，C分别在反比例函数、反比例函数的图象上．进行列式计算，即可作答． 【详解】解：分别过点作轴，轴，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵轴，作轴， ∴， ∴， 即， ∵矩形的面积为14， 则， 即， ∴， ∵点B，C分别在反比例函数、反比例函数的图象上． ∴， ∴， ∵函数图象在第二象限， ∴， 故答案为：． 12．如图，直线与反比例函数，的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，的面积为3，则k的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是反比例函数的系数k的几何意义，利用函数解析式表示出点的横纵坐标的关系是解题的关键．根据点B、C的横坐标，代入反比例函数的解析式求出纵坐标，表示出的长，根据三角形面积公式求出k的值． 【详解】解：由题意得，点C的坐标，点B的坐标， ∴， ∵的面积为3， ∴， 解得． 故答案为：5． 13．如图，点P是反比例函数（k为常数，，）的图象上一点，过点P作y轴的平行线，交x轴于点M．点N为y轴正半轴上的一点，连接，．若的面积为2，则k的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 14．如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为4，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了根据反比例函数k的几何意义求k值，三角形面积的计算，解题的关键是根据中线的性质求得的面积． 根据线段中点定义得，再由可得，根据反比例函数系数k的几何意义得，，以此即可求解． 【详解】解：由条件可知， ∴， ∴，即， ∵图象在第一象限， ∴． 故答案为：4． 15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，交轴于点，若的面积为5，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，依据题意，如图，连接，延长交轴于点，又点，，三点共线．轴，设点，则，推出，推出，再由的面积．可得，从而可得，即可判断得解．解题时要能熟练运用待定系数法求函数解析式及菱形的性质是关键． 【详解】解：如图，连接，延长交轴于点， 点是菱形对角线的中点，， 点，，三点共线．轴， 设点，则， ，则 设直线解析式为，代入 ∴ 直线， ， 设直线解析式为，代入 解得： 直线， 当时， ， ，， ， ，则， 故答案为：． 题型二、已知比例系数求规则图形面积 16．如图，点在反比例函数的图象上，过分别向轴，轴作垂线，垂足分别为A，，则矩形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数k的几何意义． 根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】解：∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形的面积为3． 故选：C． 17．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．先判断四边形是矩形，得出，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可． 【详解】解∶∵轴， 轴，轴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选∶B． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点，连结交轴于点，则的面积是（   ） A． B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，相似三角形的判定与性质，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 根据反比例函数图象的中心对称性质及反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， 根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形， 点与点关于原点对称， ， 在和中， ， ， ， ∴， 轴， ， ， ∴， 是的中点， ∴， ， 故选：A． 19．如图，、是双曲线图象上的两点，过作轴，交于点，垂足为点，若为的中点，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，相似三角形的判定与性质，中点的意义，熟练掌握和运用反比例函数系数的几何意义是解题关键． 过点作轴于点，根据反比例函数的系数的几何意义求得，通过相似三角形的判定与性质结合中点的意义可得，即可求解的面积． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 是双曲线图象上的一点， ， 轴，轴， ， ， ， 为的中点， ， ， ． 故选：D． 20．如图，反比例函数在第一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是1，3，则的面积是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数与几何综合，根据题意结合反比例函数图像上点的坐标性质，再由进行求解即可． 【详解】解：如图所示：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，      ∵反比例函数 在第一象限的图像上有两点A，B，它们的横坐标分别是1，3， ∴，， ∴ ∴， ∴． 故选B． 21．如图，点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，连接，则的面积是（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数系数的几何意义，关键是掌握图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 根据图象上点的坐标特征求得、的坐标，将三角形的面积转化为梯形的面积，根据坐标可求出梯形的面积即可， 【详解】解：点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，，， 作轴于，轴于， ， ， ， 故选C． 22．如图，点A、B是双曲线上的点，分别过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若空白矩形面积与的和为6，则阴影部分面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数的几何性质（双曲线上点向坐标轴作垂线段，所得矩形面积为​），解题的关键是用“空白面积阴影面积”表示矩形面积，通过面积和差求阴影面积． 根据反比例函数k值得几何意义求出各矩形面积，然后代入求解即可． 【详解】解：如图， ∵点A、B是双曲线上的点， ， 即， 上两式左右相加，得， ∵， ∴， 故答案为：2． 23．如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】设反比例函数解析式为，根据，设，得到，故，，， 分别表示面积，解答即可． 本题考查了反比例函数的k的几何意义，熟练掌握定义和意义是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 根据，设， 得到， 故，，， ， 解得， 故，，， 故，， 故， 故，， 故；， 故； 故选：A． 24．如图所示，A，B是反比例函数图象上的两个点，分别过A，B作x轴、y轴的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形．已知，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握在反比例函数图象上任取一点，过这个点分别向两坐标轴作垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积是定值是解题的关键． 根据A， B是反比例函数图象上的两点，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵A， B是反比例函数图象上的两点， ， ， ， ， 故答案为：8． 25．如图，反比例函数与矩形在第一象限相交于、两点，若，则 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，由得． 【详解】解：反比例函数与矩形在第一象限相交于、两点， ， ， ， 故答案为：6． 26．如图，矩形对角线交于坐标原点，且顶点均在反比例函数的图象上，设，则矩形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查的是反比例函数的性质、矩形的性质，熟练掌握反比例函数性质是解题关键，先求出点A、C坐标，设，由对称性得，根据求出点C坐标，作轴于点E，作轴于点F，证明，进而求出结论． 【详解】解：在反比例函数的图象上， 由对称性得 设，由对称性得， 在矩形中，， ， （此时为A点，舍去）， ， 作轴于点E，作轴于点F， ， 矩形对角线交于坐标原点， ， 故答案为：24． 27．如图，已知双曲线经过直角三角形直角边上的一点，且，连接，的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及三角形的面积公式．在解决该题型题目时，结合反比例函数系数k的几何意义求出图形的面积是关键．先根据反比例函数k的几何意义求出，再根据，求出． 【详解】解：∵ 直角三角形中， ∴为直角三角形， ∵点C在双曲线上， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2． 28．如图，在矩形中，点在轴上，点在轴上，反比例函数的图象与矩形交于，点，当时，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，过点作轴于点，交于点，可得，即得，得到，设，则，，可得，，进而求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 29．已知：如图，点B、C是反比例函数图象上的两点，过点C作轴于点D．过点B作轴于点A，连接，交于点E，连接、．当A为中点且时，的面积为 ． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理得到，即可得到， 求出，根据三角形中线求出三角形面积即可． 【详解】解：轴于点．轴于点， ∴， ∴， 为中点， ， ∴， ∴E为中点， ∴， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形中位线定理，平行线分线段成比例，根据三角形中线求三角形面积，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 30．如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义可得，再根据图形面积之间的关系即可得到答案． 【详解】解：∵直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三、已知比例系数求不规则图形面积 31．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且∥轴，轴于点C，则四边形的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故答案为：2． 32．如图，点P是反比例函数（，）图象上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数（且）的图象于E、F两点． （1）图1中，四边形的面积 （用含、的式子表示）； （2）图2中，设P点坐标为．若的面积为，反比例函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数综合题，涉及到反比例函数系数k的几何意义及三角形的面积公式、两点间的距离公式． （1）设，则，，由轴，轴，得到点E的横坐标为a，点F的纵坐标坐标为b，分别把，代入函数，得，，因此，，根据即可求解； （2）由（1）有，，，可求得，进而得到，把相关数据代入，解方程后进行取舍即可求解． 【详解】解：（1）设 ∵点P是反比例函数（，）图象上一动点， ∴ ∴， ∵轴，轴， ∴点E的横坐标为a，点F的纵坐标为b， 把代入函数，得， ∴， ∴， 把代入函数，得， ∴， ∴ ∴， ∴． 故答案为：． （2）由（1）有，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点， ∴，，， ∵的面积为， ∴， 解得， ∵， ∴． ∴． 故答案为： 33．如图，两个反比例函数y和y（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，下列说法正确的是 ． 与的面积相等；四边形的面积始终等于矩形面积的一半，且为；与始终相等；当点是的中点时，点一定是的中点． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义可解决问题，四边形的面积可用矩形面积减去和的面积之和，再结合的几何意义即可；借助参量将与表示出来，再比较；由点是中点，可得出与之间的关系，进而可判断点是否为的中点． 【详解】解：点和点都在上，且四边形是矩形， ，， 与的面积相等， 故正确； 点在上，且四边形是矩形， ， 又由知：， 所以， 四边形的面积不一定等于矩形面积的一半， 故错误； 令点的坐标是， 四边形是矩形， 则点的坐标是，点的坐标是， ，， 与不一定相等， 故错误； 由可知， 若点是中点， 则，即， ， 则， 即， 故点是的中点． 故正确． 故答案为：． 34．如图，点A在反比例函数的图象上，B是的中点，过点B作x轴的平行线交y轴于点C，交反比例函数的图象于点D，连接，，，则四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】该题考查了反比例函数中k值的几何意义，三角形中线性质，根据三角形中线性质得出，，从而得，根据，即可得出，即可求解． 【详解】解：点B是的中点， ，， ， ． 点D在反比例函数的图象上，且轴， ， ， ． 故答案为：6． 35．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C，则四边形的面积为 ． 【答案】8 【分析】此题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，得出四边形和四边形的面积是解题关键．根据反比例函数系数k的几何意义得出四边形的面积，四边形的面积，即可求解四边形的面积，即可求解k． 【详解】解：过延长交轴于点E， 点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C， 四边形的面积为4，四边形的面积是12， 四边形的面积为：， 故答案为：8． 36．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B在反比例函数的图象上，反比例函数的图象与边交于点D，连接，则四边形的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，正确反比例函数的比例系数k的几何意义，是解题的关键．根据反比例函数的比例系数k的几何意义，可知，，再计算，即得答案． 【详解】矩形的顶点B在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的图象与边交于点D， ， 四边形的面积为． 故答案为：． 37．如图，平面直角坐标系中，矩形的边与函数图象交于E，F两点，且F是的中点，则四边形的面积等于 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题．由四边形是矩形，F是的中点，可设，则，又E点在抛物线上，则．可以用含m，n的式子表示出矩形，三角形和三角形的面积．F在反比例函数的图形上可得到的关系，再依据，列式即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，F是的中点， ∴可设，则，又E点在抛物线上，则， ∵F在抛物线上， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 38．如图，，是函数与的图象的两个交点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，则四边形的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义．根据题意平行四边形的对角线将四边形分为四个小三角形即可求出面积． 【详解】解：根据正比例函数和反比例函数的对称性可知，， ∴的面积都等于， ∴四边形的面积为， 故答案为：2． 39．函数和在第一象限内的图象如图，点是的图象上一动点，轴于点，交的图象于点，轴于点．交的图象于点．下结论正确有 ． ①与的面积相等；②与始终相等；③；④四边形面积不变； 【答案】①③④ 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义以及利用分割图形法求图形面积．设点的坐标为，则，，，．①根据反比例函数系数的几何意义即可得出；②由点的坐标可找出，，由此可得出只有时；③结合点的坐标即可找出，，由此可得出该结论成立；④利用分割图形法求图形面积结合反比例系数的几何意义即可得知该结论成立．问题得解． 【详解】解：设点的坐标为，则，，，． ①，， 与的面积相等，故①正确； ②，， 令，即， 解得：． 当时，，故②不正确； ③，， ， ，故③正确． ④． 四边形的面积大小不会发生变化，故④正确； 故答案为：①③④． 40．如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，的值为 ，点F的坐标为 ． 【答案】 【分析】连接，作轴，设点，，根据矩形的面积得出三角形的面积，将三角形的面积转化为梯形的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果． 【详解】解：如图， 作轴于G，连接，设和交于I， 设点，， 由对称性可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴(， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴），即：， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴， ∵直线的解析式为：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式． 41．如图，在平面直角坐标中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． (1)求直线的解析式； (2)根据图象，当时，的取值范围为______； (3)如图，轴正半轴上有一点，当四边形的面积为5时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标， （1）依据反比例函数的图象过、两点，即可得到、，代入一次函数，可得直线的解析式； （2）当时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，即可得到当时，x的取值范围是； （3）过点B作轴于点E，过点A作轴于点F，设P点坐标为，根据四边形的面积为5，利用割补法列出面积表达式，再解方程即可． 【详解】（1）解：、两点坐标分别代入反比例函数，可得，， ∴、， 把、代入一次函数，可得 ，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：观察函数图象，发现： 当时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，即， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：； （3）解：如图，过点B作轴于点E，过点A作轴于点F， 设P点坐标为，则， ∵、， ∴，，，， ∴，， ∵四边形的面积为5， ∴四边形的面积， ∴， 即， 解得：， ∴点的坐标为． 42．如图，矩形的边在x轴上，反比例函数的图象经过点D，交于点E，且． (1)若矩形的对角线相交于点F，试判断点F是否在该反比例函数的图象上，并说明理由． (2)连接，求四边形的面积． 【答案】(1)在，理由见解析 (2) 【分析】题目主要考查反比例函数的基本性质及矩形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键 （1）根据矩形的性质及坐标与图形得出，然后确定反比例函数解析式，再由矩形的性质得出，代入进行判断即可； （2）过点D作轴于点G，根据矩形的性质结合反比例函数求面积即可． 【详解】（1）解：点F在该反比例函数的图象上．理由如下： ∵，四边形为矩形． ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为 又∵点F为的交点． ∴F为的中点 ∴ 又∵， ∴点F在该反比例函数的图象上． （2）如图，过点D作轴于点G． ∴四边形为矩形． 又∵， ∴， 又∵D，E在反比例函数的图象上． ． 43．如图，以平行四边形的顶点O为原点，边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是，过点A的反比例函数的图象交于D． (1)点B的坐标为______． (2)点D是的中点吗？请说明理由； (3)连接，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)理由见解析 (3)四边形的面积为 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质，反比例函数的解析式，一次函数的解析式． （1）根据平行四边形的性质即可求出B点坐标； （2）由点A的坐标进可得出反比例函数的解析式，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出D点坐标，即可得出结论； （3）由（2）知点D为的中点，的面积平行四边形的面积，即可求出四边形的面积．． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，A、C的坐标分别是， ∴， ∴点B的坐标为：； （2）解：把点代入反比例函数得：， ∴反比例函数的解析式为：； 设直线的解析式为：， 把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 解方程组 得：或 （不合题意，舍去）， ∴点D的坐标为：， 即点D为的中点； （3）解：如图，连接， 点D为的中点， 的面积平行四边形的面积， ∴四边形的面积平行四边形的面积的面积； 四边形的面积为． 44．如图，在x轴的正半轴上依次截取…，过点分别作x轴的垂线与反比例函数 （）的图像相交于点连接分别与 …，交于点，……，得，四边形，四边形 ，四边形 ，并设其面积分别为 …，以此类推．      (1)求； (2)直接写出及的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查的是反比例函数综合题应用，相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键． （1），证明，得出，求出，证明，得出； （2）结合（1）得到一般规律，然后再求出即可． 【详解】（1）解：，，，是反比例函数的图像上的点，过点分别作x轴的垂线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得： ， ， ， …… ， ∴． 45．如图所示，在平面直角坐标系中，反比例函数与矩形的两条边的交点分别是M，N，其中点M的坐标为．连接，，已知的面积是矩形面积的．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）将M代入反比例函数的表达式中求解即可； （2）利用k的几何意义求出、的面积，进而求出矩形的面积，借助割补法求解面积即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数经过点， ∴． ∴． ∴反比例函数的解析式为． （2）解：由反比例函数k的几何意义可知的面积的面积． ∵的面积是矩形面积的， ∴矩形的面积． ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形性质、待定系数法求函数表达式、反比例函数比例系数k的几何意义，熟练反比例函数比例系数k的几何意义，利用割补法求解图形面积是解答的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 反比例函数k值的几何意义（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据图形面积求反比例函数k值 1 题型二、已知比例系数求规则图形面积 2 题型三、已知比例系数求不规则图形面积 3 题型一、根据图形面积求反比例函数k值 1．如图，反比例函数和的部分图象与直线分别交于，两点，如果的面积是，则的值为（   ） A．11 B． C． D． 2．如图，反比例函数的图像的一个分支上有一点A，平行于x轴，交y轴于点B，的面积是1，则反比例函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，已知点在第一象限，轴于点，连接，双曲线经过中点，交于点，连接，若的面积为，则等于（ ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，顶点C、D位于第一象限，反比例函数的图象经过正方形的对角线的交点若的面积为，正方形边长为3，则k的值为（ ） A．2 B． C．3 D． 5．函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 6．如图，点A，B是x轴上的两点，，过点B作轴交双曲线于点P，若，则k的值为 ． 7．如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C，交平行四边形的对角线于点，点A在x轴的正半轴上．已知平行四边形的面积是24，则点B的坐标为 ． 8．点P 是反比例函数 的图象上一点，过点 P 分别向x轴、y轴引垂线，垂足分别为点 A，B，若 ，则函数的表达式为 9．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、分别在轴、轴的正半轴上，点在线段上，且，函数的图象经过点及矩形的对称中心，顺次连结点、、，若的面积为4.5，则的值为 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，延长交轴于点，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点，连接．若，的面积是4，则的值为 ． 11．如图，A是y轴正半轴上一点，以为对角线作矩形，且点B，C分别在反比例函数、反比例函数的图象上．若矩形的面积为14，则k的值为 ． 12．如图，直线与反比例函数，的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，的面积为3，则k的值为 ． 13．如图，点P是反比例函数（k为常数，，）的图象上一点，过点P作y轴的平行线，交x轴于点M．点N为y轴正半轴上的一点，连接，．若的面积为2，则k的值是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，的直角边与反比例函数的图象交于点，若点为的中点，的面积为4，则的值是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，交轴于点，若的面积为5，则的值为 ． 题型二、已知比例系数求规则图形面积 16．如图，点在反比例函数的图象上，过分别向轴，轴作垂线，垂足分别为A，，则矩形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴于点C，连接，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 18．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点，连结交轴于点，则的面积是（   ） A． B．2 C．3 D．6 19．如图，、是双曲线图象上的两点，过作轴，交于点，垂足为点，若为的中点，则的面积为（   ） A． B． C． D． 20．如图，反比例函数在第一象限的图象上有两点A，B，它们的横坐标分别是1，3，则的面积是（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 21．如图，点A，B在反比例函数的图象上，点A，B的横坐标分别是3和6，连接，则的面积是（   ） A． B．4 C． D．5 22．如图，点A、B是双曲线上的点，分别过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若空白矩形面积与的和为6，则阴影部分面积为 ． 23．如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 24．如图所示，A，B是反比例函数图象上的两个点，分别过A，B作x轴、y轴的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形．已知，则的值是 ． 25．如图，反比例函数与矩形在第一象限相交于、两点，若，则 26．如图，矩形对角线交于坐标原点，且顶点均在反比例函数的图象上，设，则矩形的面积为 ． 27．如图，已知双曲线经过直角三角形直角边上的一点，且，连接，的面积为 ． 28．如图，在矩形中，点在轴上，点在轴上，反比例函数的图象与矩形交于，点，当时，则的面积为 ． 29．已知：如图，点B、C是反比例函数图象上的两点，过点C作轴于点D．过点B作轴于点A，连接，交于点E，连接、．当A为中点且时，的面积为 ． 30．如图，直线轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接，则的面积为 ． 题型三、已知比例系数求不规则图形面积 31．如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且∥轴，轴于点C，则四边形的面积为 ． 32．如图，点P是反比例函数（，）图象上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数（且）的图象于E、F两点． （1）图1中，四边形的面积 （用含、的式子表示）； （2）图2中，设P点坐标为．若的面积为，反比例函数的解析式是 ． 33．如图，两个反比例函数y和y（其中）在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，下列说法正确的是 ． 与的面积相等；四边形的面积始终等于矩形面积的一半，且为；与始终相等；当点是的中点时，点一定是的中点． 34．如图，点A在反比例函数的图象上，B是的中点，过点B作x轴的平行线交y轴于点C，交反比例函数的图象于点D，连接，，，则四边形的面积为 ． 35．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C，则四边形的面积为 ． 36．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B在反比例函数的图象上，反比例函数的图象与边交于点D，连接，则四边形的面积为 ．    37．如图，平面直角坐标系中，矩形的边与函数图象交于E，F两点，且F是的中点，则四边形的面积等于 ． 38．如图，，是函数与的图象的两个交点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，则四边形的面积为 ． 39．函数和在第一象限内的图象如图，点是的图象上一动点，轴于点，交的图象于点，轴于点．交的图象于点．下结论正确有 ． ①与的面积相等；②与始终相等；③；④四边形面积不变； 40．如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，的值为 ，点F的坐标为 ． 41．如图，在平面直角坐标中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． (1)求直线的解析式； (2)根据图象，当时，的取值范围为______； (3)如图，轴正半轴上有一点，当四边形的面积为5时，求点的坐标． 42．如图，矩形的边在x轴上，反比例函数的图象经过点D，交于点E，且． (1)若矩形的对角线相交于点F，试判断点F是否在该反比例函数的图象上，并说明理由． (2)连接，求四边形的面积． 43．如图，以平行四边形的顶点O为原点，边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是，过点A的反比例函数的图象交于D． (1)点B的坐标为______． (2)点D是的中点吗？请说明理由； (3)连接，求四边形的面积． 44．如图，在x轴的正半轴上依次截取…，过点分别作x轴的垂线与反比例函数 （）的图像相交于点连接分别与 …，交于点，……，得，四边形，四边形 ，四边形 ，并设其面积分别为 …，以此类推．      (1)求； (2)直接写出及的值． 45．如图所示，在平面直角坐标系中，反比例函数与矩形的两条边的交点分别是M，N，其中点M的坐标为．连接，，已知的面积是矩形面积的．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求四边形的面积． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$