专题08 二次函数和反比例函数章末易错考点题型（专项训练）数学北京版九年级上册

专题08 二次函数和反比例函数章末易错考点题型（原卷版） 目录 易错题型一、二次函数的相关概念 易错题型二、y=ax2的图象与性质 易错题型三、y=ax2+k的图象与性质 易错题型四、y=a(x-h)2的图象与性质 易错题型五、y=a(x-h)2+k的图象与性质 易错题型六、y=ax2+bx+c的图象与性质 易错题型七、一般式、交点式、顶点式 易错题型八、二次函数图象与各项系数符号 易错题型九、一次函数与二次函数图象综合判断 易错题型十、求对称轴 易错题型十一、二次函数的最值 易错题型十二、二次函数的平移 易错题型十三、抛物线与坐标轴的交点 易错题型十四、根据图象解一元二次方程、不等式 易错题型十五、根据交点确定不等式的解集 易错题型十六、二次函数的应用 易错题型十七、铅锤高水平宽问题 易错题型十八、反比例函数的相关概念 易错题型十九、反比例函数的图象 易错题型二十、反比例函数分布的象限求参数 易错题型二十一、反比例函数的增减性求参数 易错题型二十二、反比例函数的k值 易错题型二十三、反比例函数解析式 易错题型二十四、比较反比例函数值的大小 易错题型二十五、一次函数与反比例函数综合 易错题型二十六、一次函数与反比例函数的交点问题 易错题型二十七、一次函数与反比例函数的实际应用 易错题型二十八、实际问题与反比例函数 易错题型二十九、反比例函数与几何综合 易错题型三十、二次函数的新定义问题 易错题型一、二次函数的相关概念 1．下列函数中，是二次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 ． 3．若是关于x的二次函数． (1)求m的值及函数表达式． (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 易错题型二、y=ax2的图象与性质 4．若拋物线的开口向上，则m的值可能为（   ） A．0 B．1 C．3 D． 5．已知是二次函数，且函数图象有最高点，求的值（   ） A． B． C． D． 6．已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 易错题型三、y=ax2+k的图象与性质 7．已知函数，当函数值随的增大而减小时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．下列关于函数的结论中，正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 9．已知二次函数的图象与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点． (1)在坐标系中利用描点法画出此抛物线图象，并标出； … … … … (2)任意写出两条该函数图象具有的特征． 易错题型四、y=a(x-h)2的图象与性质 10．对于二次函数，下列说法错误的是（    ） A．它的图象的开口向下 B．它的图象的对称轴是直线 C．当时，y取最大值 D．当时，y随x的增大而减小 11．点，是二次函数图象上的两个点，则 （填“”，“”或“”）． 12．若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 易错题型五、y=a(x-h)2+k的图象与性质 13．关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线开口向下 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得抛物线 14．在平面直角坐标系中，若点在抛物线上，则顶点坐标为 ； （填“>”，“=”或“<”）． 15．在一个平面直角坐标系中，画出函数的图象． (1)列表、描点、连线： x … 0 1 … y (2)观察图象填空： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 易错题型六、y=ax2+bx+c的图象与性质 16．二次函数（为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 17．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的范围是 ． 18．已知二次函数． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是_________． 易错题型七、一般式、交点式、顶点式 19．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 20．如图，平面直角坐标系中四个点：，，，．经过这四个点中的三个点的二次函数，其中a的值最小为（   ） A． B． C． D．1 21．若二次函数的图像过点和，且顶点为，则 易错题型八、二次函数图象与各项系数符号 22．二次函数的图象如图所示，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 23．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④为任意实数，则；⑤若，且，则．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．抛物线如图所示，现有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论有 ． 易错题型九、一次函数与二次函数图象综合判断 25．一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（    ） A． B． C． D． 26．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   27．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 易错题型十、求对称轴 28．若抛物线经过，，则它的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 29．已知二次函数的图象上有两点，则当时，二次函数的值为(     ) A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 30．已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围是 ． 易错题型十一、二次函数的最值 31．函数的最大值与最小值分别是（   ） A．1和 B．5和 C．4和 D．5和 32．已知函数的最大值等于2，则c的值为 ． 33．在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且）． (1)若，，求抛物线的顶点坐标； (2)已知，和是抛物线上的两点．对于，都有，求的取值范围． 易错题型十二、二次函数的平移 34．将二次函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的表达式是（   ） A． B． C． D． 35．将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，则的值为 ． 36．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的表达式，并用描点法画出函数图象； (2)将该抛物线向上平移 个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 易错题型十三、抛物线与坐标轴的交点 37．若关于x的二次函数与x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 38．已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是 39．已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： 0 1 0 0 (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)当时，直接写出的取值范围； (4)当时，关于的一元二次方程有实根，直接写出的取值范围． 易错题型十四、根据图象解一元二次方程、不等式 40．如表是代数式的部分值的情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 41．已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ． 42．如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ． 易错题型十五、根据交点确定不等式的解集 43．在平面直角坐标系中，正比例函数与二次函数的图象如图所示，当的取值范围是 时，． 44．如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点O和点A．若点A的横坐标是3，则的解集为 ． 45．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： … … … … (1)求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标； (2)求出该函数图象与轴的交点坐标，并画出此二次函数的图象． (3)结合图象，当时，的取值范围是 ． (4)结合图象，当时，的取值范围是 ． 易错题型十六、二次函数的应用 46．赛龙舟是中国端午节的主要习俗，也是民间传统水上体育娱乐项目，2011年被列入国家级非物质文化遗产．在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面部分的主桥拱的示意图，其形状可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上各点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．据测量，水面两端点的距离，主桥拱距离水面的最大高度为． (1)求主桥拱所在抛物线的函数表达式； (2)据测量，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量． 47．一年一度的红窗汇，是课程学习成果的展示、交流、分享和变现的平台，是十一系的学子们期待的盛会．某社团设计了一款文创产品，想要在红窗汇售卖，为了解同学们的购买意向，社团成员提前进行了市场调研．经过统计，该产品的制作成本为每件30元，当售价定为每件50元时，预计可以销售80件，售价每下降1元，预计可多销售5件． 设该产品的售价下降x元，预计销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； (2)该产品的售价定为多少元时，预计可获得最大利润？最大利润是多少元？ 48．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 易错题型十七、铅锤高水平宽问题 49．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 50．如图，直线与抛物线交于，两点，点在轴上，点在轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限的抛物线上一点，点位于何处时四边形面积最大，求此时点的坐标以及四边形的面积的最大值． 51．如图，抛物线与y轴交于点A，直线与x轴交于点．若点P为抛物线上的动点，且在直线上方，当面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值．    易错题型十八、反比例函数的相关概念 52．若是反比例函数，则a 的值为（　　） A．1 B． C． D．2 53．若函数是反比例函数，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．或1 D．或 54．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ． 易错题型十九、反比例函数的图象 55．如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 56．如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为 ． 57．反比例函数的图象经过、两点，当时，，则k的取值范围是 ． 易错题型二十、反比例函数分布的象限求参数 58．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是 ． 59．若反比例函数的图像在第二、四象限，则的取值范围是 ． 60．已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第四象限的两点，，且，求a的取值范围． 易错题型二十一、反比例函数的增减性求参数 61．若反比例函数的图象在每个象限内的值随值的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 62．已知点和点在反比例函数的图像上，则当时，和满足的关系为（    ） A． B． C． D． 63．已知点是反比例函数图象上两点，且当时，，则 k的值可以为 ． 易错题型二十二、反比例函数的k值 64．如图，点A在反比例函数的图象上，C是的中点，连接，若的面积为4，则 ． 65．如图，点A在反比例函数的图象上，轴交反比例函数的图象于点B，点P在x轴上，若，则k的值为 ． 66．双曲线、在第一象限的图象如图，，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于B，交y轴于C，若，则的解析式是 ． 易错题型二十三、反比例函数解析式 67．如图，已知点，，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件反比例函数的表达式 ． 68．如图，正方形的顶点都在正方形网格的格点处，已知点，若反比例函数的图象与正方形有公共点（包括边界），则的整数解有 个． 69．在平面直角坐标系中，已知反比例函数，若反比例函数的图象经过点，则的值是 ． 易错题型二十四、比较反比例函数值的大小 70．若点，在反比例函数图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 71．已知点在反比例函数的图象上，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 72．在函数（a为常数）的图象上有三点、、，且，则、、的大小关系是 （用“”表示）． 易错题型二十五、一次函数与反比例函数综合 73．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 74．函数与()在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 75．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 易错题型二十六、一次函数与反比例函数的交点问题 76．已知反比例函数（为常数，）的图象与正比例函数的图象有两个交点，且关于的不等式的解集为或，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 77．如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D．或 78．如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 易错题型二十七、一次函数与反比例函数的实际应用 79．通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 80．为了预防某种流感病毒，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：    (1)写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围； (2)当室内每立方米空气中的含药量达到1毫克及以上时才能起有效的消毒作用，请问本次消毒过程中，有效的消毒作用时长为多少小时？ (3)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ 81．紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．    (1)当时时，求与之间的关系式． (2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 易错题型二十八、实际问题与反比例函数 82．小王开车到某市接朋友，他家到该市的路程为，其车速x()与每千米耗油量 y(L)的关系如下表所示： x 10 20 40 80 y 0.4 0.2 0.1 0.05 (1)求y 与x 之间的函数表达式； (2)若该车油箱最大容积为35 L，小王把油箱加满油后出发，接到朋友后立即返回，如果他保持的速度匀速行驶，则油箱中的油是否够用？ 83．跨学科应用 在密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求密度关于体积的函数解析式； (2)当时，求该气体的密度． 84．【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体． (1)若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为_______N． (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的重力变化时，的长度随之变化．设重物的重力为 ，的长度为．则： ①关于的函数解析式是____________． ②完成下表： … 10 20 30 40 50 … … 8 a      2 b … _______；______． ③在图的直角坐标系中画出该函数的图象． 易错题型二十九、反比例函数与几何综合 85．如图，直线与双曲线(m为常数，)交于、B两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)求的面积． 86．如图，在平面直角坐标系中，与直线平行的直线与函数的图象交于点． (1)求直线的解析式及k的值； (2)若点B是函数的图象上的点，设点B的横坐标为m，过点B作平行于y轴的直线，交直线于点C，交直线于点D． ①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，结合函数的图象，直接写出点B的横坐标m的取值范围． 87．如图，正方形的一个顶点在反比例函数的图像上，请根据下列条件试用无刻度的直尺分别在图1和图2中按要求画四边形，使、、都在双曲线上． (1)在图1中，画一个平行四边形，并说明画法； (2)当点的坐标为时，在图2中画一个矩形，并证明四边形为矩形． 易错题型三十、二次函数的新定义问题 88．定义新运算：．按此规定可得函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 89．定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中k为常数，且，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点是点的“级变换点”．则反比例函数的图象上关于点的k级变换点是 ． 90．如图，定义：若双曲线与它的其中一条对称轴y＝x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线的对径．若双曲线的对径是8，则k= ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 二次函数和反比例函数章末易错考点题型（解析版） 目录 易错题型一、二次函数的相关概念 易错题型二、y=ax2的图象与性质 易错题型三、y=ax2+k的图象与性质 易错题型四、y=a(x-h)2的图象与性质 易错题型五、y=a(x-h)2+k的图象与性质 易错题型六、y=ax2+bx+c的图象与性质 易错题型七、一般式、交点式、顶点式 易错题型八、二次函数图象与各项系数符号 易错题型九、一次函数与二次函数图象综合判断 易错题型十、求对称轴 易错题型十一、二次函数的最值 易错题型十二、二次函数的平移 易错题型十三、抛物线与坐标轴的交点 易错题型十四、根据图象解一元二次方程、不等式 易错题型十五、根据交点确定不等式的解集 易错题型十六、二次函数的应用 易错题型十七、铅锤高水平宽问题 易错题型十八、反比例函数的相关概念 易错题型十九、反比例函数的图象 易错题型二十、反比例函数分布的象限求参数 易错题型二十一、反比例函数的增减性求参数 易错题型二十二、反比例函数的k值 易错题型二十三、反比例函数解析式 易错题型二十四、比较反比例函数值的大小 易错题型二十五、一次函数与反比例函数综合 易错题型二十六、一次函数与反比例函数的交点问题 易错题型二十七、一次函数与反比例函数的实际应用 易错题型二十八、实际问题与反比例函数 易错题型二十九、反比例函数与几何综合 易错题型三十、二次函数的新定义问题 易错题型一、二次函数的相关概念 1．下列函数中，是二次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【详解】解：①，不是二次函数； ②，是二次函数； ③，不是二次函数； ④，不是二次函数； ⑤，是二次函数； 共有2个二次函数， 故选：B． 2．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，掌握二次函数的定义是解题关键． 根据二次函数的定义得到，，即可求出m的值． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得或， ∵二次项系数不为0， ∴， ∴， 综上所述：m的值为4． 故答案为：4． 3．若是关于x的二次函数． (1)求m的值及函数表达式． (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1)，函数的表达式是 (2)二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0 【分析】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义，二次函数一般式是关键． （1）根据二次函数的定义列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由①得，，由②得， ∴，函数的表达式是． （2）解：二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0． 易错题型二、y=ax2的图象与性质 4．若拋物线的开口向上，则m的值可能为（   ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线的开口向上，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， ∴， ∴m的值可能为3． 故选：C． 5．已知是二次函数，且函数图象有最高点，求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义及图象的性质，根据二次函数的定义和开口方向的条件，即可确定k的值． 【详解】解：∵是二次函数，且函数图象有最高点， ∴二次函数图象开口向下， ∴，且， 解得：，且 或 ， ∴， 则的值为． 故选：D． 6．已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)， (2)开口方向向上，对称轴轴，顶点坐标为 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“与抛物线的形状相同，开口方向相反”，得，再结合“图象上离轴最近的点与轴的距离为3”，得，即可作答． （2）由（1）得，对称轴轴，开口方向向上，顶点坐标为，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反， ∴， 则抛物线为， ∴对称轴为直线，即对称轴为轴，开口方向向上 ∵图象上离轴最近的点与轴的距离为3，且 ∴； （2）解：由（1）得，，对称轴为轴，开口方向向上， 解析式为 把代入，得 即顶点坐标． 易错题型三、y=ax2+k的图象与性质 7．已知函数，当函数值随的增大而减小时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．根据二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵，，对称轴为y轴， ∴在对称轴的左侧，y随着的增大而减小； ∴当函数的函数值y随着的增大而减小时，的取值范围是：； 故选：D． 8．下列关于函数的结论中，正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象的性质，要牢记解析式中的系数和图象性质的关系．根据二次项的系数确定开口方向，再根据对称轴确定增减性． 【详解】解：由题意得，图象开口向上，对称轴为轴， 当时，随增大而减小， A、C选项说法错误， 当时，随增大而增大， B选项说法正确，D选项说法错误， 故选：B． 9．已知二次函数的图象与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点． (1)在坐标系中利用描点法画出此抛物线图象，并标出； … … … … (2)任意写出两条该函数图象具有的特征． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数图象的性质，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先列表，然后描点，最后连线画出函数图象即可； （2）根据（1）所画函数图象，写出两条该函数的性质即可． 【详解】（1）解：列表如下： … 0 1 2 … … 0 0 … 函数图象如下所示： （2）解：由函数图象可知，该函数在时，有最小值；该函数在时，y随x增大而增大等等． 易错题型四、y=a(x-h)2的图象与性质 10．对于二次函数，下列说法错误的是（    ） A．它的图象的开口向下 B．它的图象的对称轴是直线 C．当时，y取最大值 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴它的图象的开口向下，故该选项正确，不符合题意； B、它的图象的对称轴是直线，故该选项错误，符合题意； C、当时，y取最大值，故该选项正确，不符合题意； D、当时，y随x的增大而减小，故当时，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 11．点，是二次函数图象上的两个点，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较．将，代入，求出和，比较即可； 【详解】解：当时，； 当时，， ∵， ∴， 故答案为：． 12．若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 【答案】(1)； (2)抛物线开口向下． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）先确定顶点坐标，再设顶点式然后把A点坐标代入求出a即可； （2）利用二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线 ∴抛物线的顶点坐标为 设抛物线解析式为 把代入得 解得： ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为 ∵， ∴抛物线开口向下． 易错题型五、y=a(x-h)2+k的图象与性质 13．关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线开口向下 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得抛物线 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性． 根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】A、抛物线中的，则该抛物线的开口方向向上，本选项错误； B、抛物线的对称轴是，本选项错误； C、抛物线的顶点坐标是，本选项正确； D、抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得抛物线，本选项错误． 故选：C． 14．在平面直角坐标系中，若点在抛物线上，则顶点坐标为 ； （填“>”，“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题考査二次函数图象上点坐标的特征，根据抛物线的顶点式以及对称性．据此分别求解即可． 【详解】解：由题意可知，抛物线顶点为， ∵对称轴为直线， ∴到对称轴的距离均为1， 由抛物线对称性可知，， 故答案为：；． 15．在一个平面直角坐标系中，画出函数的图象． (1)列表、描点、连线： x … 0 1 … y (2)观察图象填空： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】(1)填表、作图见详解 (2)填表见详解 【分析】本题主要考查二次函数作图， （1）把的值代入解析式求解，可得表格数据，在平面直角坐标系中根据的值描点，连线即可求解； （2）根据图示信息即可求解． 【详解】（1）解：代入计算得， 描点，连线如图所示， （2）解：根据图示可得， 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 易错题型六、y=ax2+bx+c的图象与性质 16．二次函数（为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出b的值，然后化为顶点式即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象经过和两点， ∴对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴二次函数的图象开口向下，有最大值， ∴二次函数有最大值． 故选：D． 17．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数解析式可得图象开口向上，对称轴为直线，即可求解． 【详解】解：， 图象开口向上，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， ， ， 故答案为：． 18．已知二次函数． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是_________． 【答案】(1)直线 (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据二次函数的对称轴公式可直接进行求解； （2）首先得到抛物线开口向上，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵， ∴该抛物线开口向上， ∴当y随x的增大而增大时，x的取值范围是． 故答案为：． 易错题型七、一般式、交点式、顶点式 19．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是确定抛物线的解析式，已知抛物线的形状和开口方向由二次项系数决定，顶点坐标确定顶点式；原抛物线的二次项系数为，故新抛物线的二次项系数也为；顶点为，代入顶点式即可求解. 【详解】解：原抛物线的二次项系数为，因此新抛物线的解析式可设为顶点式： 其中顶点为，代入得： ； 故选C 20．如图，平面直角坐标系中四个点：，，，．经过这四个点中的三个点的二次函数，其中a的值最小为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据题意得到当时，开口小的那个最小，再利用待定系数法求出答案即可． 【详解】解：∵a的值最小， ∴抛物线开口向下， 又∵越大，开口越小， ∴当时，开口小的那个最小， 由图可知，过点的三点的二次函数的最小， 把，，代入得到 解得，， 故选：B 21．若二次函数的图像过点和，且顶点为，则 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，正确设出二次函数的解析是解题的关键．根据题意可设二次函数的顶点式，再用待定系数法即可求得． 【详解】解：设二次函数顶点式， 顶点为， 二次函数的图像过点， ． 故答案为：． 易错题型八、二次函数图象与各项系数符号 22．二次函数的图象如图所示，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，根据函数图象可以判断a、b、c的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解：由函数图象，可得： A、函数开口向上，则，选项不符合题意； B、对称轴在y轴右侧，则，选项符合题意； C、图象与y轴交点在y轴正半轴，则，选项不符合题意； D、图象与x轴有两个交点，则，选项不符合题意； 故选：B． 23．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④为任意实数，则；⑤若，且，则．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③根据对称性和图象上的点，进行判断；④利用最值进行判断；⑤利用对称性进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为：， ∴， 抛物线与轴交于正半轴，， ∴；故①错误； ②∵对称轴为：， ∴；故②正确； ③∵抛物线关于对称， ∴和的函数值相同， 即：， 由图像知，当时，函数值小于0， ∴；故③错误； ④由图象可知，当时，函数有最大值：， ∴m为任意实数，则， 即：；故④错误； ⑤当关于对称时：即：时， 对应的函数值相同， 即：， ∴ ∴若，且，则；故⑤正确； 综上：②⑤正确，共2个； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键． 24．抛物线如图所示，现有下列四个结论： ①； ②； ③； ④．其中正确的结论有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系．根据二次函数的开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标得出，再观察函数，得出，整理得，故，观察函数图象，当时，则，得，又因为，，故，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得出函数的开口向上， 故， 函数与轴交于负半轴， ∴， 函数的对称轴位于轴的正半轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故①是正确的； 图象对称轴为直线，观察函数，得出 ∵， ∴， ∴， 故③是正确的； 观察函数图象，当时，则， 即， ∴， 故④是错误的； ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故②是正确的； 故答案为：①②③ 易错题型九、一次函数与二次函数图象综合判断 25．一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系内的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的性质，本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致． 【详解】解：A．由直线经过一、二、三象限，则，抛物线开口向下，抛物线与轴交点可知，，故本选项不符合题意； B．由直线经过一、二、三象限，则，抛物线与轴交点可知，，且抛物线开口向上，故本选项不符合题意； C．由直线经过一、二、四象限，则，抛物线开口向下，抛物线与轴交点可知，，故本选项不符合题意； D．由直线经过一、二、三象限，则，抛物线开口向下，抛物线与轴交点可知，，故本选项符合题意；． 故选：D． 26．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合，掌握两种函数的图象与性质是关键；根据一次函数与二次函数的图象与性质逐项分析即可． 【详解】解：A、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； B、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值相同，且b的值相等，故符合题意； C、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； D、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a与b的值都不同，故不符合题意； 故选：B． 27．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要是二次函数图象与一次函数图象的问题，根据确定一次函数图象经过的象限和二次函数图象的开口方向即可判断． 【详解】∵时，一次函数的图象经过一，三，四象限，二次函数的开口向上， 故选A． 易错题型十、求对称轴 28．若抛物线经过，，则它的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数图象的对称性，即可求解． 【详解】解：抛物线经过，， ∴对称轴为直线 故选：C． 29．已知二次函数的图象上有两点，则当时，二次函数的值为(     ) A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质；关键在于能发现题干所给条件的特点，据A、B两点纵坐标一样，且都在函数图象上，得出抛物线的对称轴为直线，得到，代入解析式即可得解． 【详解】解：∵二次函数的图象上有两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴当时，有：， 故选B． 30．已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解答本题的关键． 根据抛物线经过点，，求出对称轴，再根据抛物线性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴对称轴为， ∵， ∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∵，是抛物线上的两点是该抛物线上的两点，且， ∴根据对称性可得P点对称点， ∴或． 故答案为：或． 易错题型十一、二次函数的最值 31．函数的最大值与最小值分别是（   ） A．1和 B．5和 C．4和 D．5和 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用．先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，当时y有最小值， ∵， ∴时，是最大值， ∴函数的最大值为5，最小值为． 故选：D． 32．已知函数的最大值等于2，则c的值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查二次函数的性质，关键是要牢记抛物线的顶点公式．由二次函数的最大值等于2，利用抛物线的顶点公式即可求出的值． 【详解】解：二次函数中二次项系数为 ∴开口向下， ∵函数的最大值等于2， ∴， 解得． 故答案为：7． 33．在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且）． (1)若，，求抛物线的顶点坐标； (2)已知，和是抛物线上的两点．对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将，，代入化成顶点式即可直接得解； （2）由进而得到抛物线的对称轴为，分类讨论，和，再根据增减性和对称性求解即可； 本题主要考查了二次函数的顶点坐标、二次函数的增减性、二次函数的对称性以及二次函数与直线的交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：将，，代入，得， 顶点的横坐标为，代入纵坐标为 ∴顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为， ①当时，，则在对称轴右侧，其关于对称轴对称点为 ， ∵开口向上，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴当有， 可得， 解得； ②当时，，则在对称轴左侧，其关于对称轴对称点为 ， ∵开口向下，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当有， 可得或， ， 解得； 综上，或； 易错题型十二、二次函数的平移 34．将二次函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的平移， 根据二次函数的图象的平移规律解答即可．对于二次函数可根据“上加，下减，左加，右减”平移． 【详解】将抛物线的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得关系式为． 故选：D． 35．将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，则的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查二次函数图象的平移，平移规律“上加下减，左加右减”．根据平移方式和平移后的解析式即可由二次函数图象的平移规律写出原抛物线的顶点式，再整理成一般式即可． 【详解】解：根据题意可知将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到抛物线， 原抛物线解析式为， 整理，得：，即， ∴． 故答案为：12． 36．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的表达式，并用描点法画出函数图象； (2)将该抛物线向上平移 个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 【答案】(1)，图见解析 (2)1 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移： （1）待定系数法求出函数解析式，列表描点，连线画出函数图象即可； （2）抛物线与x轴只有一个公共点时，此时公共点为顶点坐标，即新的抛物线的顶点的纵坐标为0，进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， ∴， ∴； 列表如下： 1 2 3 4 5 7 1 1 7 描点，连线画出函数图象如图： （2）∵抛物线的顶点坐标为，且平移后的抛物线与轴只有一个公共点， ∴只需向上平移1个单位，顶点变为，此时满足题意． 故答案为：1 易错题型十三、抛物线与坐标轴的交点 37．若关于x的二次函数与x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点问题，根据二次函数与轴有交点则且，进而求出的取值范围即可，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的二次函数与x轴有交点， ∴且， ∴且， 故选：B． 38．已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是 【答案】， 【分析】此题考查抛物线与坐标轴的交点问题．根据抛物线的对称轴，确定抛物线与x轴的两个交点的坐标，交点的横坐标就是方程的解． 【详解】解：由题意可知： 二次函数的对称轴是， 关于的对称点是． 则一元二次方程的两个实数根是，． 故答案为：，． 39．已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示： 0 1 0 0 (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)当时，直接写出的取值范围； (4)当时，关于的一元二次方程有实根，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式． （1）根据，，三个点求解析式即可； （2）画出函数图象；观察图象可得当时有最大值，当时有最小值，即可求出y的取值范围； （3）观察图象可得当时，当时，在上方，即可求出x的取值范围； （4）利用图象法求出当时函数的取值范围，即为t的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点和， 设二次函数的解析式为：， 将代入得：， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：函数图象如图所示： 观察图象可知，当时，； （3）解：观察图象可知，当时，或； （4）解：观察图象可知，当时，， ∵当时，关于x的一元二次方程有实根， ∴． 易错题型十四、根据图象解一元二次方程、不等式 40．如表是代数式的部分值的情况． 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查利用二次函数的图象估算一元二次方程的近似解，根据抛物线与x轴的交点的左右两边的函数值的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：时，， 当时，， ∴当，存在一个x的值使， ∴关于x的方程的一个解x的范围是； 故选：B． 41．已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线与不等式的解集，熟练掌握二者的关系是解题的关键． 利用数形结合思想求解，符合条件的取值在x轴下方． 【详解】根据题意，得一元二次不等式的解集是：或， 故答案为：或． 42．如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，由图像可求得的解集，即可获得答案，解题关键是利用数形结合的思想分析问题． 【详解】解：∵抛物线 与直线相交于两点， ∴由图可知，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时， ∴的解集为， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 易错题型十五、根据交点确定不等式的解集 43．在平面直角坐标系中，正比例函数与二次函数的图象如图所示，当的取值范围是 时，． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与不等式，时，和的值异号，根据函数图象与x轴交点分界选择合适范围即可． 【详解】解：当时，和的值异号， 观察图象可得，当的取值范围是或时，． 故答案为：或． 44．如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点O和点A．若点A的横坐标是3，则的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与不等式，根据两函数图象的交点确定表示的意思是一次函数在抛物线上方，即在点O和点A之间，据此求解即可． 【详解】解：抛物线和直线交于点O和点A，且点的横坐标是3， ∴由函数图象可得的解集为， 故答案为：． 45．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： … … … … (1)求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标； (2)求出该函数图象与轴的交点坐标，并画出此二次函数的图象． (3)结合图象，当时，的取值范围是 ． (4)结合图象，当时，的取值范围是 ． 【答案】(1)，顶点坐标 (2)与轴的交点坐标分别为，，画图象见解析 (3)或 (4) 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，求二次函数与坐标轴的交点坐标．利用待定系数法求二次函数解析式并正确画出图象是解题关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可，再将其改为顶点式即得出顶点坐标； （2）令，求出x的值，即得出该函数图象与轴的交点坐标，再描点连线画出此二次函数的图象即可； （3）求当时，的取值范围，即求函数图象在x轴上方时，的取值范围，结合图象可直接得出结果； （4）结合图象可直接得出结果． 【详解】（1）解：将 ，，代入， 得：，解得：， ∴该二次函数的表达式为， ∴这个二次函数图象的顶点坐标为； （2）解：对于，令，则， 解得：，， ∴该函数图象与轴的交点坐标分别为，． 画出此二次函数的图象如下： （3）解：由图可知，当时，的取值范围是或； （4）解：由图可知，当时，的取值范围是． 易错题型十六、二次函数的应用 46．赛龙舟是中国端午节的主要习俗，也是民间传统水上体育娱乐项目，2011年被列入国家级非物质文化遗产．在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面部分的主桥拱的示意图，其形状可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上各点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．据测量，水面两端点的距离，主桥拱距离水面的最大高度为． (1)求主桥拱所在抛物线的函数表达式； (2)据测量，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量． 【答案】(1) (2)4条 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法确定函数表达式、解一元二次方程等知识，读懂题意，准确求出二次函数表达式是解决问题的关键． （1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的顶点式，将代入求解即可得到答案； （2）由（1）知，抛物线的表达式为，，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为（为常数，且）， 将点的坐标代入得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为， 当时，， 解得或， 可设计赛道的宽度为， ， 最多可设计龙舟赛道的数量为4条． 47．一年一度的红窗汇，是课程学习成果的展示、交流、分享和变现的平台，是十一系的学子们期待的盛会．某社团设计了一款文创产品，想要在红窗汇售卖，为了解同学们的购买意向，社团成员提前进行了市场调研．经过统计，该产品的制作成本为每件30元，当售价定为每件50元时，预计可以销售80件，售价每下降1元，预计可多销售5件． 设该产品的售价下降x元，预计销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； (2)该产品的售价定为多少元时，预计可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)该产品的售价为48元时，可获得最大利润，最大利润为1620元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题是解题的关键； （1）由题意可得销售量为件，然后可得函数解析式； （2）根据（1）中函数解析式及二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：由（1）可知： ， ∵， ∴当时，即售价为元时，可获得最大利润，最大利润为1620元； 答：该产品的售价为48元时，可获得最大利润，最大利润为1620元． 48．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【答案】(1) (2)不会 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【详解】（1）解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． ∴， 令，易得， 令，得， 可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为直线， 把代入，得 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）解：依题意，函数， 令，得， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 易错题型十七、铅锤高水平宽问题 49．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，面积最大为 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，用待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算等，解题关键是熟练运用待定系数法和二次函数最值的求解方法． （1）设出抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）通过分割图形法表示三角形面积，转化为二次函数最值问题，利用二次函数性质求解． 【详解】（1）解：将，代入． 得解得：， ； （2）设点P的坐标为，且在第二象限内， 把代入，可得， ， 设直线的解析式为， 将代入上式，得， 解得，， 直线的解析式为， 过点P作垂直于x轴交于点Q，则， ， ， ， 当时，，， ． 50．如图，直线与抛物线交于，两点，点在轴上，点在轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第一象限的抛物线上一点，点位于何处时四边形面积最大，求此时点的坐标以及四边形的面积的最大值． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)此时点的坐标为，四边形的面积的最大值为． 【分析】（）先由直线与轴交于点，与轴交于点，求出点，点，然后利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （）过作轴于点，交于点，设，则，则，然后由得出，再根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求二次函数的解析式，二次函数的几何问题，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，当时，， ∴点，点， ∵抛物线交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，过作轴于点，交于点， 设，则， ∴， 则 ， 当时，有最大，最大值为， ∴， 此时点的坐标为． 51．如图，抛物线与y轴交于点A，直线与x轴交于点．若点P为抛物线上的动点，且在直线上方，当面积最大时，求点P的坐标及面积的最大值．    【答案】， 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．先求出直线的解析式，设点，过点P作轴，交于点Q，则，可得，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴的解析式为， 设点， 过点P作轴，交于点Q，则，   ， ， ∴当时，的面积最大为， 此时． 易错题型十八、反比例函数的相关概念 52．若是反比例函数，则a 的值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】解：函数是反比例函数， ， 解得， 故选：A． 53．若函数是反比例函数，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．或1 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟悉的形式的反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义解答即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，且， ∴且， ∴， 故选：B． 54．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的图象特点是解题关键． 将和代入函数解析式，求得和的值，再相加即可． 【详解】解：把和代入解析式得：，， ∴， 故答案为：． 易错题型十九、反比例函数的图象 55．如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，从函数图象中获取正确信息是解题的关键． 先根据k的符号，排除C、D，再取，通过作图，数形结合的方式，得出 ，然后作出选择． 【详解】解：如图： ∵的图象在第二象限， ∴， ∵ 的图象都在第一象限， ∴， 当时，，由图象可知，， ∴， 故选：A． 56．如图，点在反比例函数上，点在反比例函数和的图象之间，轴，写出一个符合条件的点的坐标为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，点坐标特点等．根据题意利用反比例函数点坐标分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵轴， ∴点的横坐标等于点的横坐标等于，点的纵坐标大于点的纵坐标， ∵点在反比例函数和的图象之间，点在反比例函数上， ∴点的纵坐标小于时，的值，即点的纵坐标小于， ∴符合条件的点的横坐标为2，纵坐标大于1小于即可， 故答案为：（答案不唯一）． 57．反比例函数的图象经过、两点，当时，，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象上的点的特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键． 先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据系数k与函数图象的关系解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过、两点，当时，， ∴此反比例函数的图象在二、四象限， ∴． 故答案为：． 易错题型二十、反比例函数分布的象限求参数 58．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解本题的关键．根据反比例函数的性质，当图象在第二、四象限时，解不等式即得答案． 【详解】解：因为反比例函数的图象在第二、四象限， 所以， 解得． 故答案为：． 59．若反比例函数的图像在第二、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k的意义． 根据图像在第二、四象限列不等式计算即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴， 解得， 故答案为：． 60．已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求k的取值范围； (2)若，此函数的图象经过第四象限的两点，，且，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键． （1）根据反比例函数图象所在的象限得到，进而解不等式即可求解； （2）根据反比例函数图象在第四象限的增减性得到，进而解不等式即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， k的取值范围是； （2）解：反比例函数图象经过第四象限的两点，，且， ， 解得， 又， a的取值范围是． 易错题型二十一、反比例函数的增减性求参数 61．若反比例函数的图象在每个象限内的值随值的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，先根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵函数的图象在每个象限内y的值随x值的增大而增大， ∴， 解得． 故选：C． 62．已知点和点在反比例函数的图像上，则当时，和满足的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，结合的条件，分析在每个象限内，随着的增大而增大，进而比较和的大小． 【详解】解：反比例函数中， 反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随着的增大而增大， ， 点和点在第二象限内且函数值都大于， ， 故选：B． 63．已知点是反比例函数图象上两点，且当时，，则 k的值可以为 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 直接根据反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：∵当时，， ∴， ∴k的值可以为1 故答案为：1（答案不唯一） 易错题型二十二、反比例函数的k值 64．如图，点A在反比例函数的图象上，C是的中点，连接，若的面积为4，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，三角形中线的性质，掌握这些是解题的关键． 根据三角形中线性质可得面积，再根据面积是，结合图象即可求解． 【详解】解： C是的中点，的面积为4， 的面积为8， 轴， ， ， ． 故答案为：16． 65．如图，点A在反比例函数的图象上，轴交反比例函数的图象于点B，点P在x轴上，若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．先得出，根据反比例函数k值的几何意义得出，故，进行解答即可． 【详解】解：如图，连接，，记交y轴于点C， ∵轴， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴ 故答案为： 66．双曲线、在第一象限的图象如图，，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于B，交y轴于C，若，则的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 根据k的几何意义得出的面积为2，进而得出面积为5，即可得出的解析式． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的解析式为：． 故答案为：． 易错题型二十三、反比例函数解析式 67．如图，已知点，，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件反比例函数的表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键．先分别求得反比例函数图像分别过点A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符合条件k的值即可得出反比例函数的表达式． 【详解】解：当反比例函数图像过点，则， 当反比例函数图像过点，则， ∴的取值范围为， ∴可以取4， ∴符合条件反比例函数的表达式为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 68．如图，正方形的顶点都在正方形网格的格点处，已知点，若反比例函数的图象与正方形有公共点（包括边界），则的整数解有 个． 【答案】16 【分析】先确定正方形顶点、坐标，分别求出反比例函数过、时的值，从而确定的取值范围，再得出整数解的个数．本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数中，为函数图象上点的坐标是解题的关键． 【详解】解：由图象可知点、， 当反比例函数经过点时，， 当反比例函数经过点时，， 反比例函数的图象与正方形有公共点时，的取值范围是， 的整数解有个． 故答案为：． 69．在平面直角坐标系中，已知反比例函数，若反比例函数的图象经过点，则的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：12． 易错题型二十四、比较反比例函数值的大小 70．若点，在反比例函数图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质判断函数的增减性，熟练掌握概念是解题的关键． 先根据反比例函数的性质，判断函数的增减性，再根据点、的横坐标的大小关系，进而判断与的大小关系． 【详解】解：在反比例函数中，， 所以该函数的图象在第二、四象限， 且在每一象限内随的增大而增大． 已知点的横坐标，点的横坐标， 因为函数的图象在第二、四象限， 且第二象限的点横坐标小于，第四象限的点横坐标大于， 所以点，都在第四象限． 因为点、都在第四象限， 且在第四象限内随的增大而增大， 又因为，即，所以． 故选：A． 71．已知点在反比例函数的图象上，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据可知反比例函数图象分布在第一，第三象限，结合，可知点在第三象限，点在第一象限，进而可得出． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴反比例函数图象分布在第一，第三象限， ∵， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴， 故选：C． 72．在函数（a为常数）的图象上有三点、、，且，则、、的大小关系是 （用“”表示）． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质、比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴反比例函数的图象位于二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点在反比例函数图象上，且， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴． 故答案为：． 易错题型二十五、一次函数与反比例函数综合 73．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的判断，解题的关键是根据函数解析式中系数的符号分别确定两函数图象所在的象限．根据一次函数与反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：当时，一次函数图象经过第一、三、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，故B选项正确，C选项错误； 当时，一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，故A、D选项均错误． 故选：B． 74．函数与()在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象性质：解题的关键是分两种情况确定答案，分和两种情况确定正确的选项即可． 【详解】解：当时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交轴于负半轴，随着的增大而增大，A选项错误，C选项符合； 当时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交轴于正半轴，随着的增大而减小，B、D均错误； 故选：C． 75．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象、一次函数与反比例函数图象综合判断，解题关键是熟练掌握二次函数的图象． 根据二次函数的图象推得，，，，由此即可判断反比例函数及一次函数的图象经过的象限． 【详解】解：根据二次函数的图象可知，，， ，， 反比例函数经过一、三象限，则选项和选项都错误； ，， 一次函数经过一、三、四象限，则选项正确，选项错误． 故选： ． 易错题型二十六、一次函数与反比例函数的交点问题 76．已知反比例函数（为常数，）的图象与正比例函数的图象有两个交点，且关于的不等式的解集为或，则的值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由题意可得反比例函数（为常数，）的图象与正比例函数的图象的交点的横坐标为和，结合一次函数的性质求出交点坐标为，代入反比例函数即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于的不等式的解集为或， ∴反比例函数（为常数，）的图象与正比例函数的图象的交点的横坐标为和， 当时，，即交点坐标为， 将代入反比例函数可得，即， 故选：D． 77．如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握数形结合是关键． 所求不等式的解集为双曲线在直线上方对于的自变量x的取值范围，根据两个函数图象及交点横坐标直接写出不等式解集即可． 【详解】解：由题意可知，，两点的横坐标分别为1和3， 不等式的解集为：或． 故选：C． 78．如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先利用点B在直线上求出点B的横坐标m，再将点B坐标代入反比例函数求k，进而得到解析式； （2）先联立直线与反比例函数解析式求点A坐标，再根据三角形面积关系求出点P的纵坐标，最后代入反比例函数求横坐标； （3）通过观察函数图象，确定直线在反比例函数下方时x的取值范围． 【详解】（1）解：点在直线上，将代入直线解析式得：， 解得， 点B的坐标为， 点在反比例函数的图象上，将点B坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， 反比例函数的解析式为； （2）联立直线与反比例函数的解析式，得方程组， 解得或，当时，， 点A的坐标为； （3）结合函数图象可知：当或时，直线在反比例函数下方， 不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质及其交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用图象解不等式．利用已知条件通过代数运算求解未知参数是解题的关键． 易错题型二十七、一次函数与反比例函数的实际应用 79．通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，， (2)陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用： （1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的坐标； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ； （2）解：陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下： 设当时，的解析式为，将、代入得： ， 解得， 的解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， 时，注意力指标都不低于32， ∵， 陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32． 80．为了预防某种流感病毒，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：    (1)写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围； (2)当室内每立方米空气中的含药量达到1毫克及以上时才能起有效的消毒作用，请问本次消毒过程中，有效的消毒作用时长为多少小时？ (3)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ 【答案】(1)， (2)有效的消毒作用时长为小时； (3)至少需要经过8小时后，学生才能进入教室 【分析】（1）根据函数图象信息，待定系数法求解析式即可，注意相应的自变量取值范围； （2）计算当时，求反比例函数的值即可； （3）计算当时，求反比例函数的值即可． 【详解】（1）解：当时，， 设正比例函数解析式为：，反比例函数解析式为：， 将分别代入，， 解得：， ∴，； （2）解：当时，，， 解得，， ∴（小时）． ∴有效的消毒作用时长为小时； （3）解：当时，， 解得， ∴至少需要经过8小时后，学生才能进入教室． 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式、反比例函数解析式，从函数图象上获取信息，反比例函数图象的实际意义，理解图象信息是解题的关键． 81．紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．    (1)当时时，求与之间的关系式． (2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设关系为，将代入求； （2）将代入函数关系式求出的值． 【详解】（1）解：设． 过点， ． 当时，与的关系式为：； （2）将代入上式中得：，． 温度在时，电阻． 在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加， 当时， ， 把代入， 得； 把时代入， 得； 答：当时，电阻不超过． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 易错题型二十八、实际问题与反比例函数 82．小王开车到某市接朋友，他家到该市的路程为，其车速x()与每千米耗油量 y(L)的关系如下表所示： x 10 20 40 80 y 0.4 0.2 0.1 0.05 (1)求y 与x 之间的函数表达式； (2)若该车油箱最大容积为35 L，小王把油箱加满油后出发，接到朋友后立即返回，如果他保持的速度匀速行驶，则油箱中的油是否够用？ 【答案】(1) (2)不够用 【分析】此题考查了反比例函数的应用，正确列出函数解析式是关键． （1）根据题意可得到速度x与每千米耗油量y 的积是定值，即，即可求出函数解析式； （2）求出总路程所需油量，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：由表可知，速度x与每千米耗油量y 的积是定值，即，所以y与x之间的函数表达式为 （2）当保持的速度匀速行驶时， 所以总路程所需油量为    因为，所以油箱中的油不够用． 83．跨学科应用 在密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求密度关于体积的函数解析式； (2)当时，求该气体的密度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意，设反比例函数的解析式为，利用待定系数法即可求得函数解析式． （2）把V的值代入所求函数解析式中即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 由图象知，函数过点，把此点坐标代入上式中，得：， 解得：， ∴， 答：密度关于体积的函数解析式为． （2）解：当时，， 答：当时，该气体的密度为． 84．【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体． (1)若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为_______N． (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的重力变化时，的长度随之变化．设重物的重力为 ，的长度为．则： ①关于的函数解析式是____________． ②完成下表： … 10 20 30 40 50 … … 8 a      2 b … _______；______． ③在图的直角坐标系中画出该函数的图象． 【答案】(1) (2) ①； ②，； ③见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，求得函数的解析式是解答的关键． ()根据公式进行计算即可； ()①根据公式即可得到； ②根据①所求求出的值即可； ③先描点，再连线，画出函数图象即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴重物所受拉力为， 故答案为：． （2）解：①∵， ∴，即， 故答案：， ②由①得：当时，； 当时，， 答案：，． ③函数图象如图所示： 易错题型二十九、反比例函数与几何综合 85．如图，直线与双曲线(m为常数，)交于、B两点． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)6 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点A坐标分别代入反比例函数及一次函数解析式进行计算即可． （2）令直线与x轴的交点为C，用的面积减去的面积即可解决问题． 【详解】（1）解：依题意，将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为 将代入得，， ∴双曲线的解析式为 （2）解：依题意，由得， 解得，， 经检验：，是原分式方程的解， ∴，， 依题意，将代入得，， ∴点B坐标为 令直线与x轴的交点为C， 将代入得， ∴， ∴点C的坐标为， 则 86．如图，在平面直角坐标系中，与直线平行的直线与函数的图象交于点． (1)求直线的解析式及k的值； (2)若点B是函数的图象上的点，设点B的横坐标为m，过点B作平行于y轴的直线，交直线于点C，交直线于点D． ①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，结合函数的图象，直接写出点B的横坐标m的取值范围． 【答案】(1)； (2)①②或 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，反比例函数，一次函数与反比例函数交点问题． （1）先由平行的性质，设直线的解析式为，代入即可求出直线的解析式为，则将点代入中，得，即可作答． （2）①当时，分别得出，，，则，即可作答． ②先整理得，解得或，当时，则或，再运用数形结合思想分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线与直线平行， ∴设直线的解析式为， 依题意，将点代入解析式，得， 解得， ∴直线的解析式为， 将点代入中，则， 解得； （2）解：①当时，， 依题意，如图所示： 理由：由（1）得，， 当时，， 故， 依题意，得， 则， 当时，， ∴， ∴， ∴； ②或 ∵直线与直线平行， ∴， 依题意，， 解得或， 当时，则或， ∴观察图象，当时，或． 87．如图，正方形的一个顶点在反比例函数的图像上，请根据下列条件试用无刻度的直尺分别在图1和图2中按要求画四边形，使、、都在双曲线上． (1)在图1中，画一个平行四边形，并说明画法； (2)当点的坐标为时，在图2中画一个矩形，并证明四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的判定，矩形的判定，两点距离计算公式，熟知相关知识是解题的关键． （1）在第二象限内，反比例函数图象上任取一点，作直线交反比例函数图象于点，作直线，交反比例函数图象于点，则四边形为平行四边形； （2）同（1）作出平行四边形，再由两点距离计算公式可证明，进而得到，据此可证明四边形为矩形． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； 作法：在第二象限内，反比例函数图象上任取一点，作直线交反比例函数图象于点，作直线，交反比例函数图象于点，则、，所以四边形为平行四边形 （2）解：如图所示，四边形即为所求； 作法：在第二象限内，反比例函数图象上任取一点，作直线交反比例函数图象于点，作直线，交反比例函数图象于点，则、，所以四边形为平行四边形； 根据勾股定理得，， ∴， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴， ∴， 四边形是矩形． 易错题型三十、二次函数的新定义问题 88．定义新运算：．按此规定可得函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据新定义，得，根据函数图象的画法，确定解答即可． 本题考查了新定义问题，根据新定义确定函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据新定义，得， 画图如下： ， 故选：C． 89．定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中k为常数，且，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点是点的“级变换点”．则反比例函数的图象上关于点的k级变换点是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数的性质．根据“级变换点”定义求解即可． 【详解】解：函数的图象上存在点的“级变换点” 根据“级变换点”定义，点的“级变换点”为， 把点代入中， 得，解得． ∴点的“级变换点”为或， 故答案为：或． 90．如图，定义：若双曲线与它的其中一条对称轴y＝x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线的对径．若双曲线的对径是8，则k= ． 【答案】8 【分析】根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为8，即AB＝8，OA＝4，根据等腰直角三角形的性质得到点A坐标为（，），把A的坐标代入双曲线即可得到的k值． 【详解】解：∵双曲线的对径是8，即AB＝8，OA＝4， ∴OC＝AC＝OA＝， ∴点A坐标为（，）， 把A（，）代入双曲线得k＝， 即k的值为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，双曲线的对径关于原点对称，得出交点坐标是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$