第十一讲：函数的定义及常考题型归纳讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第十一讲：函数的定义及常考题型总结 知识储备 1．函数的概念 (1)函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作， (2)函数的定义域与值域 函数中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． (3)对应关系：除解析式、图象表格外，还有其他表示 对应关系的方法，引进符号统一表示对应关系． 题型一：函数的定义 例1．下列对应为从集合A到集合B的一个函数的是（ ） A.A＝R，B＝{x|x>0}，：x→y＝|x|； B.A＝Z，B＝N*，：x→y＝x2； C.A＝Z，B＝Z，：x→y＝； D.A＝[－1,1]，B＝{0}，：x→y＝0. 例2.设，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合到的函数关系的有（ ）个. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 例3.已知集合,，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 例4.下列各组函数中表示同一函数的是（ ） A.与 B.与 C.与 D.与 例5.（多选）下列关于同一函数说法正确的是（ ） A.与是同一函数； B.与是同一函数； C.与是同一函数； D.与是同一函数. 题型二：函数定义域问题 例6.函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．以上都不对 例7.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例8.若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例9.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例10.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 例11.已知的定义域为[0，3]，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 例12.若函数的定义域为，则的范围是（    ） A． B． C． D． 例13.已知的定义域为，则实数的取值范围是 ． 题型三：函数的对应关系 例14.设为一次函数，且．若，则的解析式为（    ） A．或 B． C． D． 例15.若是上单调递减的一次函数，若，则__． 例16.已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 例17.已知，则_________. 例18.已知求的解析式. 变式训练： 1.已知是二次函数，且，求； 2.已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 3.已知，求. 4．已知函数满足，则函数的解析式是______． 题型四：函数的值域 例19.已知，，则___________． 例20.设函数，若，则实数的值为_____． 例21.已知，函数若，则___________. 例22.求函数值域 （1），； （2），； （3） (4) （5） 例23.函数的值域是（ ） A. B. C. D. 例24.函数的值域为（ ） A. B. C. D. 例25.求函数的值域. 例26.若函数的值域为，则实数的取值范围是（    ）． A． B．C． D． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一讲：函数的定义及常考题型总结 知识储备 1．函数的概念 (1)函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作， (2)函数的定义域与值域 函数中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域，与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． (3)对应关系：除解析式、图象表格外，还有其他表示 对应关系的方法，引进符号统一表示对应关系． 题型一：函数的定义 例1．下列对应为从集合A到集合B的一个函数的是（ ） A.A＝R，B＝{x|x>0}，：x→y＝|x|； B.A＝Z，B＝N*，：x→y＝x2； C.A＝Z，B＝Z，：x→y＝； D.A＝[－1,1]，B＝{0}，：x→y＝0. [解析]　A中，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，B中同样是集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，对于C，集合A中负整数没有意义． [答案]　D 例2.设，，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合到的函数关系的有（ ）个. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：选A。只有第④正确 例3.已知集合,，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数的定义，在集合中任意一个数在中有且只有一个与之对应， 选项A中集合中2对应的数有两个，故错误； 选项B中集合中3没有对应的数，故错误； 选项C中对应法则为从到的函数，箭头应从指向，故错误； 选项D中集合中任意一个数在集合中都有唯一数与之对应，故D正确，故选：D 例4.下列各组函数中表示同一函数的是（ ） A.与 B.与 C.与 D.与 解析：选D。 例5.（多选）下列关于同一函数说法正确的是（ ） A.与是同一函数； B.与是同一函数； C.与是同一函数； D.与是同一函数. 解析：选BD。 题型二：函数定义域问题 例6.函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．以上都不对 解析：由题意知, 且,即且, 解得且,故的定义域为且.故选:. 例7.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 解析：要使函数有意义，则，解得且， 因此，函数的定义域为.故选：C. 例8.若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 解析：因为函数的定义域为，所以，解得， 所以函数的定义域为.故选：A. 例9.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 解：因为函数的定义域为，所以，，即， 解得，所以，函数的定义域为故选：C 例10.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 解析：因为函数的定义域为，所以满足，即， 又函数有意义，得，解得， 所以函数的定义域为.故选：C 例11.已知的定义域为[0，3]，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 解析∵的定义域为，∴，∴， 在中，解得，所以函数的定义域为．故选：B 例12.若函数的定义域为，则的范围是（    ） A． B． C． D． 解析：依题意，，成立，当时，成立，即， 当时，，解得，因此得， 所以的范围是.故选：A 例13.已知的定义域为，则实数的取值范围是 ． 解析：∵函数的定义域为R， 恒成立，当m＝0，10>0恒成立； 当m≠0时，有解不等式可得，， 综上可得故答案为. 题型三：函数的对应关系 例14.设为一次函数，且．若，则的解析式为（    ） A．或 B． C． D． 解析：设，其中，则， 所以，，解得或. 当时，，此时，合乎题意； 当时，，此时，不合乎题意.综上所述，.故选：B. 例15.若是上单调递减的一次函数，若，则__． 解析：因为是上单调递减的一次函数，所以设，且， ，又因为， 所以，解得，所以故答案为：． 例16.已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 解析：令，则 ，所以， 所以，故选：A. 例17.已知，则_________. 解析：令，则， 由，得()， 即(). 故答案为：. 例18.已知求的解析式. 解析：构造方程，利用解方程组的方法求解解析式即可. 以－x代替x得：,与联立得：. 变式训练： 1.已知是二次函数，且，求； 解析： 2.已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 解析：配凑法或换元法，选A. 3.已知，求. 解析： 4．已知函数满足，则函数的解析式是______． 解析： 题型四：函数的值域 例19.已知，，则___________． 解析：令，解得：，故 故答案为： 例20.设函数，若，则实数的值为_____． 解析：由题意知，； 当时，有，解得(舍去)；当时，有，解得(舍去)或． 所以实数的值是：．故答案为：. 例21.已知，函数若，则___________. 解析：由解析式可得：，∴，可得. 故答案为：. 例22.求函数值域 （1），； （2），； （3） (4) （5） 解析：（1），，在区间上单调递增，所以值域为. （2）因为，函数的定义域为, 所以在上单调递增，在上单调递减， ，又因为，，所以.所以的值域为. （3）的定义域是，，由于，所以，所以值域为. （4）令，则，可得， 当时，等号成立，所以函数的值域为. （5）因为，则，可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以函数的值域为. 例23.函数的值域是（ ） A. B. C. D. 解析：答案D 例24.函数的值域为（ ） A. B. C. D. 解析：答案C. 例25.求函数的值域. 解析： 例26.若函数的值域为，则实数的取值范围是（    ）． A． B．C． D． 【解析】因为函数的值域为， 所以能取遍所有大于或等于零的实数，即方程在实数范围内有解． 所以，解得．故选：B． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$