余弦函数的图像与性质【4个题型】讲义-2025年暑假新高一数学常考题型归纳

2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【余弦函数的图像与性质】 总览 题型梳理 一．余弦函数的图象（共10小题） 二．余弦函数的定义域和值域（共7小题） 三．余弦函数的单调性（共7小题） 四．余弦函数的对称性（共10小题） 【知识点清单】 余弦函数的图象 【知识点的认识】 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R k∈Z 值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R 单调性 递增区间： （k∈Z）； 递减区间： （k∈Z） 递增区间： [2kπ﹣π，2kπ] （k∈Z）； 递减区间： [2kπ，2kπ+π] （k∈Z） 递增区间： （k∈Z） 最　值 x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ﹣（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ+，k∈Z 对称中心：（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（k∈Z） 无对称轴 周期 2π 2π π 题型分类 知识讲解与常考题型 一．余弦函数的图象（共10小题） 1．已知函数的图象经过点A（x1，2），B（x2，﹣2），|x1﹣x2|的最小值为，且，则φ＝（　　） A． B． C． D． 【考点】余弦函数的图象．版权所有 【分析】根据三角函数的性质即可求解． 【解答】解：根据题意可知，，则， 由，得f（x）的图象关于点对称， 则，得，因为，所以． 故选：D． 【点评】本题考查了三角函数的性质，属于基础题． 2．如图，A，B是直线与函数f（x）＝cos（ωx+φ）图象的两个交点，若，则f（π）＝（　　） A． B． C． D． 【考点】余弦函数的图象．版权所有 【分析】设A点横坐标为x1，B点横坐标为x2，由余弦函数的图象可列出ω、φ的方程组，结合|AB|，可解出ω，又由图象f（）＝0，可解得φ，从而可求出f（π）． 【解答】解：设A点横坐标为x1，B点横坐标为x2，则|AB|＝x2﹣x1， 根据五点法以及余弦函数的图象，可得，所以ω（x2﹣x1），解得ω＝4， 所以f（x）＝cos（4x+φ），又由图象得f（）＝cos（4φ）＝0， 4φ，解得φ，所以f（π）＝cos（4π）＝cos（）． 故选：D． 【点评】本题主要考查余弦函数的图象，属于中档题． 3．当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与的交点个数为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【考点】余弦函数的图象；正弦函数的图象．版权所有 【分析】分别画出y＝sinx与在[0，2π]上的函数图象，根据图象判断即可． 【解答】解：因为函数的最小正周期为， 所以函数在[0，2π]上有3个周期的图象， 因为函数y＝sinx的最小正周期为2π，所以函数y＝sinx在[0，2π]上有1个周期的图象， 在平面直角坐标系中，作出两函数在[0，2π]上的图象，如图所示： 由图可知，曲线y＝sinx与有6个交点． 故选：C． 【点评】本题主要考查三角函数的图象，属于中档题． 4．已知函数在区间（0，π）上至少有3个零点，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【考点】余弦函数的图象．版权所有 【分析】由已知可得，结合条件可得，求解即可． 【解答】解：因为x∈（0，π），所以， 因为函数在区间（0，π）上至少有3个零点， 所以，解得，所以ω的取值范围是． 故选：C． 【点评】本题主要考查余弦函数的图象与性质，属于基础题． 5．已知函数f（x）＝cos（x+θ），θ∈（﹣π，π），若函数f（x）在处取得最小值，则θ＝（　　） A． B． C． D． 【考点】余弦函数的图象．版权所有 【分析】根据余弦函数的最值进行求解，即可得到本题的答案． 【解答】解：根据f（x）＝cos（x+θ）在处取得最小值， 可得θ＝π+2kπ（k∈Z），结合θ∈（﹣π，π），取k＝0，可得． 故选：D． 【点评】本题主要考查余弦函数的图象与性质、函数的值域与最值等知识，属于基础题． 6．若函数在区间[0，2]上恰有两个零点，则ω的最小值为（　　） A． B． C． D． 【考点】余弦函数的图象．版权所有 【分析】令f（x）＝0，可得，由x∈[0，2]可求得，根据三角函数的图象及性质可求得，从而可求解． 【解答】解：根据题意可知，函数， 因为ω＞0，所以，当x∈[0，2]时，ωx∈[0，2ω]，则， 令f（x）＝0，可得， 要使得f（x）在区间[0，2]上恰有两个零点， 则，解得， 故ω的最小值为． 故选：B． 【点评】本题考查了三角函数的性质，属于基础题． 7．当x∈[0，2π]时，曲线y＝2cos（3x）与y＝cosx的交点个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【考点】余弦函数的图象．版权所有 【分析】根据题意，画出两个函数在[0，2π]上的图象，结合图象进行求解，可得答案． 【解答】解：根据“五点法”作图，画出函数y＝2cos（3x）与y＝cosx在[0，2π]上的图象， 观察图象，可知曲线y＝2cos（3x）与y＝cosx在[0，2π]上的有7个交点． 故选：C． 【点评】本题主要考查余弦函数的图象与性质，属于基础题． 8．不等式在[﹣π，π]上的解集为（　　） A． B． C． D． 【考点】余弦函数的图象．版权所有 【分析】结合余弦函数图象分析运算，即可得结果． 【解答】解：∵，则， 作出y＝cosx在x∈[﹣π，π]的图象如下， 解得． 故选：D． 【点评】本题主要考查余弦函数的图象，属于基础题． 9．已知函数和函数g（x）＝2cos（ωx+φ）的图象上相邻的四个交点构成的四边形的面积为，且f（1）＝g（1），则（　　） A．ω＝4π， B．ω＝4π， C．ω＝8π， D．ω＝8π， 【考点】余弦函数的图象；正弦函数的图象．版权所有 【分析】根据三角函数的诱导公式，算出y＝g（x）的图象可以看作是由y＝f（x）的图象向左平移个单位而得．然后根据正弦曲线与曲线曲线的性质，结合平行四边形的面积公式列式算出ω的值，结合f（1）＝g（1）求出φ，即可得到本题的答案． 【解答】解：根据题意得g（x）＝2cos（ωx+φ）＝2sin[（ωx+φ）]＝2sin[ω（x）+φ]， 所以y＝g（x）的图象可以看作是由y＝f（x）的图象向左平移个单位而得． 根据正弦曲线与余弦曲线的性质， 可知f（x）图象与g（x）图象的相邻四个交点构成的四边形是平行四边形， 该平行四边形平行于x轴的边长等于周期，且平行于x轴的对边间的距离d＝2[（）]， 所以该平行四边形的面积S，解得ω＝8π． 由f（1）＝g（1），可得2sin（8π+φ）＝2cos（8π+φ）， 即sinφ＝cosφ，tanφ＝1，所以φkπ（k∈Z），结合|φ|，取k＝0得φ． 综上所述，ω＝8π，φ． 故选：C． 【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式、正弦函数与余弦函数的性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 10．已知函数，则的解集为（　　） A． B． C． D． 【考点】余弦函数的图象．版权所有 【分析】根据余弦函数的性质，列出关于x的不等式，解之即可得到本题的答案． 【解答】解：当0≤2x2π时，若f（x），则2x，解得x， 结合的周期Tπ， 可知当x∈R时，不等式f（x）等价于kπx≤kπ，k∈Z， 即的解集为[kπ，kπ]，k∈Z． 故选：B． 【点评】本题主要考查余弦函数的图象与性质、不等式的解法等知识，考查了计算能力，属于基础题． 二．余弦函数的定义域和值域（共7小题） 11．函数，的值域为（　　） A． B． C． D． 【考点】余弦函数的定义域和值域．版权所有 【分析】根据x的范围求出4x的范围，进而得出的范围，进而得出f（x）的值域． 【解答】解：∵，∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查了不等式的性质，余弦函数的图象，函数值域的定义，是基础题． 12．函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【考点】余弦函数的定义域和值域．版权所有 【分析】利用整体法，结合余弦函数的性质即可求解． 【解答】解：因为x∈[，]，所以2x∈[，]， 所以cos（2x）∈[，1]，所以cos（2x）∈[，]， 所以f（x）的值域为[1，]． 故选：C． 【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质应用问题，是基础题． 13．已知函数的定义域为[α，π]，值域为，则α的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【考点】余弦函数的定义域和值域；余弦函数的图象．版权所有 【分析】由题意，利用余弦函数的定义域和值域，余弦函数的图象，求得α的取值范围． 【解答】解：函数的定义域为[α，π]，值域为， 即函数y＝cos（2x）的定义域为[α，π]，值域为[，1]． ∵2x∈[2α，]，∴2α，且2α2π， 解得α， ∴α的取值范围是[，]， 故选：C． 【点评】本题主要考查余弦函数的定义域和值域，余弦函数的图象，属于中档题． 14．若函数在上的值域为，则ω的取值范围为 　[]　 ． 【考点】余弦函数的定义域和值域．版权所有 【分析】借助余弦函数性质计算即可得． 【解答】解：因为， 可得， 因为函数在上的值域为， 则，解得， 则ω的取值范围为[]． 故答案为：[]． 【点评】本题考查了余弦函数的性质，考查了函数思想，属于基础题． 15．若函数y＝cosx的定义域为[a，b]，值域为，则b﹣a的取值范围是 　[]　 ． 【考点】余弦函数的定义域和值域．版权所有 【分析】由已知结合余弦函数的图象及性质即可求解． 【解答】解：因为函数y＝cosx的值域为， 所以，k∈Z， 因为函数的定义域为[a，b]， 所以b﹣a的最大值为， 因为y＝cosx为偶函数，图象关于y轴对称， 则函数在一个单调区间内满足值域为[，1]时，b﹣a最小，且最小值为， 则b﹣a的取值范围[]． 故答案为：[]． 【点评】本题主要考查了余弦函数性质的应用，属于基础题． 16．已知函数f（x）＝cos（3x），其中x∈[，m]，若f（x）的值域是[﹣1，]，则m的取值范围是　m　 ． 【考点】余弦函数的定义域和值域．版权所有 【分析】由题意可得3x∈[，3m]，由f（x）的值域是[﹣1，]结合图象可得π≤3m，解不等式可得． 【解答】解：∵x∈[，m]，∴3x∈[，3m]， ∵f（x）的值域是[﹣1，]， ∴π≤3m，解得m， 故答案为：m 【点评】本题考查余弦函数的定义域和值域，属基础题． 17．函数f（x）＝cosx﹣cos2x的值域为 　[﹣2，]　 ． 【考点】余弦函数的定义域和值域．版权所有 【分析】首先利用函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成，进一步利用函数y＝cosx的值域确定函数f（x）的值域． 【解答】解：f（x）＝cosx﹣cos2x＝cosx﹣（2cos2x﹣1）＝﹣2cos2x+cosx+1， 当cosx时，函数f（x）取得最大值为； 当cosx＝﹣1时，函数f（x）取得最小值﹣2； 故函数的值域为[﹣2，]． 故答案为：[﹣2，]． 【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的变换，二次函数性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 三．余弦函数的单调性（共7小题） 18．已知函数在上单调递减，则实数a的最大值为（　　） A． B． C． D． 【考点】余弦函数的单调性．版权所有 【分析】根据题意，以为整体，结合余弦函数的单调性加以分析，可得答案． 【解答】解：当时，， 因为f（x）在上单调递减， 所以，解得，即实数a的最大值为． 故选：C． 【点评】本题主要考查余弦函数的图象与性质、不等式的解法等知识，属于基础题． 19．函数在（0，π）上单调递减，则ω的最大值为（　　） A． B． C． D．1 【考点】余弦函数的单调性．版权所有 【分析】由题意得（0，π）为f（x）的减区间的子集，根据余弦函数的单调性求出f（x）的单调减区间，从而列式求出ω的取值范围，进而可得本题答案． 【解答】解：对于f（x）＝cos（ωx），令， 解得f（x）的单调递减区间为（，），k∈Z， 因为f（x）在（0，π）上为减函数，所以（0，π）⊂（，），k∈Z， 存在k∈Z，使得， 结合ω＞0，取k＝0，得，解得，所以ω的最大值为． 故选：B． 【点评】本题主要考查余弦函数的图象与性质、不等式的解法等知识，属于基础题． 20．函数的一个单调递减区间为（　　） A． B．（0，π） C． D． 【考点】余弦函数的单调性．版权所有 【分析】根据余弦函数的单调性，解关于x的不等式，可得f（x）的单调递减区间，进而可得答案． 【解答】解：由，解得， 所以f（x）的单调减区间为， 当k＝0时，（，）是f（x）的一个单调递减区间，C项符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查余弦函数的单调性及其应用，属于基础题． 21．已知函数在区间上单调，则ω的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【考点】余弦函数的单调性．版权所有 【分析】结合题设和函数的周期公式可得0＜ω≤1，再根据余弦函数的性质可得，进而求解即可． 【解答】解：由f（x）在区间上单调，可得， 由最小正周期，则， 解得0＜ω≤1， 当时，可得， 可得，， 所以，解得ω， 又0＜ω≤1， 所以ω∈． 故选：D． 【点评】本题考查了余弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题． 22．奇函数f（x）＝2cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的单调减区间可以是（　　） A． B． C． D． 【考点】余弦函数的单调性．版权所有 【分析】奇函数条件确定φ的值，化简后利用正弦函数的单调性求得． 【解答】解：f（x）＝2cos（2x+φ）（0＜φ＜π）为奇函数， 即 f（﹣x）＝2cos（﹣2x+φ）＝﹣2cos（2x+φ）＝f（x）， ⇔cos（2x﹣φ）＝﹣cos（2x+φ）⇔cos（2x﹣φ）+cos（2x+φ）＝2cos2xcosφ＝0对所有x均成立， 所以cosφ＝0，又0＜φ＜π，故φ． ． 令2kπ2x2kπ（k∈Z）， 解得：． 当k＝0时，减区间为 ． 故选：A． 【点评】本题考查和差化积公式及正弦函数的单调性的应用，属于中档题． 23．已知函数满足，，且在单调递减，则ω的值可以为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】余弦函数的单调性．版权所有 【分析】先根据题目条件得函数对称性，根据对称性求出ω和φ的表达式，然后根据单调性确定ω的范围，然后代入ω和φ的值验证即可． 【解答】解：因为，所以f（x）的图像关于对称， 所以①， 又，即，且在单调递减， 所以f（x）的图像关于点对称， 所以②， ①+②得，即， 又|φ|， 所以或， ②﹣①得， 即ω＝1+2（k2﹣k1），k2，k1∈Z，ω为正奇数， 由f（x）在单调递减得， 所以，所以ω≤3，又ω为正奇数，则ω＝1或ω＝3， 当ω＝3时，k2﹣k1＝1，此时无整数解，所以， 所以，当时，， 此时在单调递减，符合条件， 故ω的值可以为3， 故选：B． 【点评】本题考查已知三角函数的性质求参数范围的问题，解题的关键是通过性质确定ω的取值范围，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题． 24．已知函数的图象过点（0，1），且f（x）在区间（，）单调递增，则ω的取值范围为 　[4，5]　 ． 【考点】余弦函数的单调性．版权所有 【分析】先根据已知点求出φ的值，再根据单调递增区间列出关于ω的不等式求解． 【解答】解：因为f（x）＝2cos（ωx+φ）的图象过点（0，1）， 所以2cosφ＝1，即cos， 又因为，所以，， 令， 解可得：， 解可得：， 因为f（x）在区间单调递增，所以， 由可得：ω≥12k﹣8， 由可得：ω≤6k﹣1， 因为ω＞0，所以，解得k＝1，所以ω∈[4，5]． 故答案为：[4，5]． 【点评】本题主要考查了余弦函数单调性的应用，属于中档题． 四．余弦函数的对称性（共10小题） 25．已知ω＞0，函数的最小正周期为T，若π＜T＜2π，且f（x）的图象关于直线对称，则（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4 【考点】余弦函数的对称性．版权所有 【分析】由周期范围求得1＜ω＜2，再结合对称轴求得，进而可求解． 【解答】解：函数的最小正周期为T， 因为π＜T＜2π，所以，解得1＜ω＜2． 又f（x）的图象关于直线对称，所以π＜T＜2π， 解得． 因为1＜ω＜2， 取k＝0，可得， 所以f（x）＝cos（）﹣3，故f（）＝cos（）﹣3＝﹣4． 故选：D． 【点评】本题考查的知识点：余弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 26．函数的图象的一条对称轴方程为（　　） A． B． C．x＝0 D． 【考点】余弦函数的对称性．版权所有 【分析】根据余弦函数图象的对称性进行求解，即可得到本题的答案． 【解答】解：对于函数， 令，k∈Z，解得，k∈Z， 取k＝0，可得是f（x）图象的一条对称轴，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了余弦函数的图象与性质，属于基础题． 27．已知，其最小正周期T大于1，若为f（x）的图象的对称中心，则的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】余弦函数的对称性．版权所有 【分析】根据余弦函数图象的对称性，算出ω＝π且A，可得，进而求出的值． 【解答】解：因为为f（x）的图象的对称中心， 所以A，且，k∈Z，解得ω＝π+3kπ，k∈Z， 因为f（x）的最小正周期T大于1， 所以T，解得|ω|＜2π，取k＝0，可得ω＝π， 可得，周期T＝2， 所以． 故选：B． 【点评】本题主要考查余弦函数的图象与性质、两角和与差的三角函数公式等知识，属于基础题． 28．已知函数的图象关于点（1，0）对称，则ω的最小值为（　　） A． B． C． D． 【考点】余弦函数的对称性．版权所有 【分析】根据点（1，0）对称代入计算求解． 【解答】解：因为f（x）关于点（1，0）对称，所以， 则，解得． 因为ω＞0，所以k＝0时，ω取得最小值． 故选：D． 【点评】本题主要考查余弦函数的对称性，属于中档题． 29．已知函数的图象关于直线x对称，则ω的取值可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】余弦函数的对称性．版权所有 【分析】根据余弦函数的对称性，列式算出ω＝3k+1（k∈N），进而可得符合题意的ω值． 【解答】解：因为的图象关于直线x对称， 所以当x时，f（x）取得最大值或最小值， 可得，结合ω＞0，解得ω＝3k+1（k∈N）， 当k＝1时，ω＝4，可知C项符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查余弦函数的图象与性质，考查了等价转化的数学思想，属于基础题． 30．设函数，若函数y＝f（x）的图象关于点对称，且在区间上的值域为[0，3]，则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【考点】余弦函数的对称性．版权所有 【分析】根据余弦函数图象的对称中心列式算出b＝1、，可得f（x）的解析式，然后根据余弦函数在区间区间上值域，结合其图象建立关于m的不等式，解之可得答案． 【解答】解：因为函数y＝f（x）的图象关于点对称， 所以b＝1且，结合，取k＝0得，， 当，则， 结合y＝2cost+1∈[0，3]，可得， 根据余弦函数的图象，可知，解得． 故选：B． 【点评】本题主要考查了根据三角函数的部分图象求解析式、余弦函数的图象与性质等知识，属于中档题． 31．已知函数是偶函数，则|φ|的最小值是（　　） A． B． C． D． 【考点】余弦函数的对称性．版权所有 【分析】根据余弦型函数的奇偶性求解即可． 【解答】解：由题意，是偶函数， 则，k∈Z，即，k∈Z， 则k＝﹣1时，，k＝0时，，k＝1时，， 则|φ|的最小值是． 故选：A． 【点评】本题考查了余弦型函数的奇偶性，考查了函数思想，属于基础题． 32．函数图象的对称中心为（　　） A． B． C． D． 【考点】余弦函数的对称性．版权所有 【分析】利用整体代入法，结合余弦函数的对称中心列方程，求解即可． 【解答】解：要求函数图象的对称中心， 需令cos（x）＝0， 即，解得， 所以f（x）图象的对称中心为． 故选：A． 【点评】本题考查余弦函数的对称性及其应用，为基础题． 33．已知函数f（x）＝（x﹣1）3sinωx（ω＞0），若存在常数a∈R，使f（x+a）为奇函数，则ω的最小值为（　　） A． B． C．π D． 【考点】余弦函数的对称性．版权所有 【分析】由题意可得f（x+a）＝（x+a﹣1）3sin[ω（x+a）]（ω＞0），则a＝1，此时y＝sin[ω（x+a）]＝sin（ωx+ω）为偶函数，进而利用三角函数的性质即可求解． 【解答】解：因为f（x）＝（x﹣1）3sinωx（ω＞0）， 所以f（x+a）＝（x+a﹣1）3sin[ω（x+a）]（ω＞0）， 因为存在常数a∈R，使f（x+a）为奇函数， 则a＝1， 此时y＝sin[ω（x+a）]＝sin（ωx+ω）为偶函数， 所以ω＝kπ，k∈Z， 因为ω＞0， 所以ω的最小值为． 故选：D． 【点评】本题考查了三角函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题． 34．若函数f（x）＝3cos（ωx+θ）对任意的x都有，则等于（　　） A．±3 B．0 C．3 D．﹣3 【考点】余弦函数的对称性．版权所有 【分析】由题意判断函数的对称轴为，说明是函数的最值，从而可判断选项． 【解答】解：根据题意，函数f（x）＝3cos（ωx+θ）对任意的x都有， 故函数f（x）关于对称，可得是函数的最值， 故． 故选：A． 【点评】本题考查了函数的性质，属于基础题． 课后针对训练 一、单选题 1．当时，曲线与的交点个数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．当时，曲线与的交点个数为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，则（    ） A．为偶函数，且在上单调递增 B．为偶函数，且在上单调递减 C．为奇函数，且在上单调递增 D．为奇函数，且在上单调递减 5．已知点在函数的图象上，直线是曲线的对称轴，若在单调，则（    ） A． B． C． D． 6．函数在上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 7．已知函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数为奇函数，则m＝（   ） A．5 B．4 C． D．1 二、多选题 9．已知函数，则（    ） A．当时，的图象关于对称 B．当时，在上的最大值为 C．当为的一个零点时，的最小值为1 D．当在上单调递减时，的最大值为1 10．已知函数，则下列结论正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 11．已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．在单调递增 C．的一条对称轴为 D．在存在唯一零点 三、填空题 12．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 . 13．函数的单调增区间为 ． 14．函数的单调增区间为 . 15．函数在上是单调增函数，且图像关于原点对称，则满足条件的数对 . 16．在区间上有且仅有3个对称中心，给出下列四个结论： ①的取值范围是； ②的最小正周期可能是； ③在区间上单调递减； ④在区间上有且仅有3条对称轴； 其中所有正确结论的序号是 . 四、解答题 17．已知函数.画出在上的图象. 18．利用“五点法”作出函数的简图． 19．已知函数，求函数的值域. 20．已知函数，其图象相邻的最高点与最低点之间的水平距离为． (1)若，求在上的最大值； (2)若对恒成立，求的取值范围 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C A D B B C ACD ABD 题号 11 答案 BC 1．B 【分析】分别画出与在上的函数图象，根据图象判断即可. 【详解】与在上的函数图象如图所示， 由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个. 故选：B. 2．A 【分析】根据题意，作出函数图象，运用数形结合思想求解即可. 【详解】由题得的最小正周期为，即在内，有3个周期， 又其值域为，且当时，， 在同一个坐标系内作出与的图象如图所示， 由图象知曲线与有6个交点．    故选：A. 3．C 【分析】首先验证函数是奇函数，然后代入特殊值判断正确选项. 【详解】因为，所以， 所以函数是奇函数，关于原点对称，所以A,B错误； 取特殊值，令，则， 根据图象可以看出D错误，C正确. 故选：C. 4．A 【分析】首先明确函数的定义域，然后利用奇偶性的概念判断奇偶性，再利用函数单调性的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性和不等式的性质即可判断在上的单调性． 【详解】因为，所以的定义域为， 易知，所以为偶函数． 设，且，则，， 所以，，， 于是，即， 所以在上单调递增． 故选：A 5．D 【分析】由题设确定函数的最小正周期，进而求得，结合是曲线的对称轴，即可得. 【详解】由函数在单调，得的最小正周期， 易知点是曲线的对称中心，又直线是曲线的对称轴， 而，结合周期性，则不妨设或， 则符合，此时； 或，不符合题意，故， 由直线是曲线的对称轴，得，， 而，所以. 故选：D 6．B 【分析】求出函数的单调减区间，利用为前者的子集可求的取值范围. 【详解】令，故， 所以函数的减区间为， 因为在上为减函数， 故存在，使得，因为， 所以，所以，故， .则的最大值为. 故选：B. 7．B 【分析】应用整体法，结合余弦函数的性质求函数值域. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：B 8．C 【分析】利用奇函数定义，结合余弦函数奇偶性列式求出值. 【详解】函数的定义域为，且是奇函数， 则，而不恒为0， 因此，所以． 故选：C 9．ACD 【分析】根据三角函数性质分别判断余弦函数的对称轴，余弦函数的值域与最值，余弦函数的单调性，余弦函数的零点对选项逐一判定即可． 【详解】时，，因为， 所以关于对称，故A正确； 时，由可得， 根据余弦函数的单调性可知的最大值为，故B错误； 若，则，，所以，，且， 所以的最小值为1，故C正确； 因为在上单调递减，且， 根据余弦函数的单调性可知的单调递减区间为： ，，，， 所以，，所以，故D正确． 故选：ACD． 10．ABD 【分析】利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；利用余弦型函数的对称性可判断BC选项；利用余弦型函数的单调性可判断D选项. 【详解】因为函数，所以函数的最小正周期，故A正确；因为，曲线关于点对称， 所以函数的图象关于点对称，故B正确； 因为，曲线不关于直线对称， 所以函数的图象不关于直线对称，故C错误； 若，则， 因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，故D正确． 故选：ABD． 11．BC 【分析】利用奇偶性定义可判断A；利用余弦型函数的单调性可判断B；求出可判断C；令求出可判断D． 【详解】对于A，令，，定义域关于原点对称， 且，所以是非奇非偶函数，A错误； 对于B，当时，， 所以在单调递增，B正确； 对于C，，故的一条对称轴为，C正确； 对于D，令，得， 当时，得， 所以在有两个零点和，D错误． 故选：BC. 12． 【分析】求出、的解后结合值域可求的取值范围. 【详解】令，则，，故存在，使得， 令，则，， 因为值域为，故或， 若，则； 若，则； 故， 故答案为： 13． 【分析】根据余弦函数图像性质即可求解. 【详解】由余弦函数图像性质，可得的单调递减区间为， 故的单调递增区间为. 故答案为：. 14． 【分析】根据给定函数，结合余弦函数的性质、诱导公式求出单调增区间. 【详解】函数，即， 则，解得， 所以函数的单调增区间为. 故答案为： 15． 【分析】 由函数在R上单调增得出，再由函数图像关于原点对称得出，即可得出答案. 【详解】当时，在上必有增有减，不合题意， 故，此时，为常值函数，由其图像关于原点对称， 所以，所以或，故满足条件的数对为， 故答案为：. 16．①②③. 【分析】依题意，先求出的范围，结合余弦函数的图象求得范围，即得①；根据范围求得的范围，即可判断②；分别求得在给定区间上的范围，，结合余弦函数的图象即可判断③和④. 【详解】①中，因为，所以，， 又因为在区间上有且仅有3个对称中心， 则在上有且仅有3个对称中心，结合余弦函数图象知， 所以，解得，所以①正确； ②中，由①知，，故最小正周期，因为，所以②正确； ③中，因为，所以，， 又由①知，，所以， 而在区间上单调递减，即在区间上单调递减，故③正确； ④中，当时，，由①知，需使， 而当时，在上有2条对称轴， 而当时,在上有3条对称轴，故④不正确. 故答案为：①②③. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查余弦型函数的性质应用，属于较难题.解题的关键在于一般要将辐角看成整体角，先求得其范围，再结合余弦函数的图象进行一一判断即得. 17．答案见解析 【分析】用五点法作图，先列表格，然后描点连线画图即可. 【详解】因为，所以列表如下： 0 π x 0 π y 2 4 0 0 2 18．答案见解析 【分析】列表、描点、连线即可得. 【详解】列表： x 0 π 2π 1 0 0 1 3 2 1 2 3 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来，如图． 19． 【分析】利用同角的三角函数关系式将函数化成关于余弦的二次函数，换元后结合二次函数的性质即可求得. 【详解】因， 令，则，于是， 则当时，函数取得最大值为；当时，函数取得最小值为. 故函数的值域为：. 20．(1)1 (2)． 【分析】（1）先根据已知条件确定周期，进而确定，进而确定函数的解析式，根据余弦函数的单调性确定最大值. （2）根据余弦函数的单调性，列出不等式，然后解不等式进而求出的范围. 【详解】（1）由题意，知的最小正周期，则， 又，所以． 因为，所以， 所以在上单调递增，最大值为． （2）当时，， 因为，所以， 所以函数在上先单调递增，再单调递减. 若对恒成立， 则，即， 即，又， 所以解得， 故的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【余弦函数的图像与性质】 总览 题型梳理 一．余弦函数的图象（共10小题） 二．余弦函数的定义域和值域（共7小题） 三．余弦函数的单调性（共7小题） 四．余弦函数的对称性（共10小题） 【知识点清单】 余弦函数的图象 【知识点的认识】 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R k∈Z 值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R 单调性 递增区间： （k∈Z）； 递减区间： （k∈Z） 递增区间： [2kπ﹣π，2kπ] （k∈Z）； 递减区间： [2kπ，2kπ+π] （k∈Z） 递增区间： （k∈Z） 最　值 x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ﹣（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ+，k∈Z 对称中心：（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（k∈Z） 无对称轴 周期 2π 2π π 题型分类 知识讲解与常考题型 一．余弦函数的图象（共10小题） 1．已知函数的图象经过点A（x1，2），B（x2，﹣2），|x1﹣x2|的最小值为，且，则φ＝（　　） A． B． C． D． 2．如图，A，B是直线与函数f（x）＝cos（ωx+φ）图象的两个交点，若，则f（π）＝（　　） A． B． C． D． 3．当x∈[0，2π]时，曲线y＝sinx与的交点个数为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 4．已知函数在区间（0，π）上至少有3个零点，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．已知函数f（x）＝cos（x+θ），θ∈（﹣π，π），若函数f（x）在处取得最小值，则θ＝（　　） A． B． C． D． 6．若函数在区间[0，2]上恰有两个零点，则ω的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．当x∈[0，2π]时，曲线y＝2cos（3x）与y＝cosx的交点个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 8．不等式在[﹣π，π]上的解集为（　　） A． B． C． D． 9．已知函数和函数g（x）＝2cos（ωx+φ）的图象上相邻的四个交点构成的四边形的面积为，且f（1）＝g（1），则（　　） A．ω＝4π， B．ω＝4π， C．ω＝8π， D．ω＝8π， 10．已知函数，则的解集为（　　） A． B． C． D． 二．余弦函数的定义域和值域（共7小题） 11．函数，的值域为（　　） A． B． C． D． 12．函数的值域为（　　） A． B． C． D． 13．已知函数的定义域为[α，π]，值域为，则α的取值范围是（　　） A． B． C． D． 14．若函数在上的值域为，则ω的取值范围为 　 　 ． 15．若函数y＝cosx的定义域为[a，b]，值域为，则b﹣a的取值范围是 　 　 ． 16．已知函数f（x）＝cos（3x），其中x∈[，m]，若f（x）的值域是[﹣1，]，则m的取值范围是　 　 ． 17．函数f（x）＝cosx﹣cos2x的值域为 　 　 ． 三．余弦函数的单调性（共7小题） 18．已知函数在上单调递减，则实数a的最大值为（　　） A． B． C． D． 19．函数在（0，π）上单调递减，则ω的最大值为（　　） A． B． C． D．1 20．函数的一个单调递减区间为（　　） A． B．（0，π） C． D． 21．已知函数在区间上单调，则ω的取值范围为（　　） A． B． C． D． 22．奇函数f（x）＝2cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的单调减区间可以是（　　） A． B． C． D． 23．已知函数满足，，且在单调递减，则ω的值可以为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 24．已知函数的图象过点（0，1），且f（x）在区间（，）单调递增，则ω的取值范围为 　 　 ． 四．余弦函数的对称性（共10小题） 25．已知ω＞0，函数的最小正周期为T，若π＜T＜2π，且f（x）的图象关于直线对称，则（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4 26．函数的图象的一条对称轴方程为（　　） A． B． C．x＝0 D． 27．已知，其最小正周期T大于1，若为f（x）的图象的对称中心，则的值为（　　） A． B． C． D． 28．已知函数的图象关于点（1，0）对称，则ω的最小值为（　　） A． B． C． D． 29．已知函数的图象关于直线x对称，则ω的取值可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 30．设函数，若函数y＝f（x）的图象关于点对称，且在区间上的值域为[0，3]，则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 31．已知函数是偶函数，则|φ|的最小值是（　　） A． B． C． D． 32．函数图象的对称中心为（　　） A． B． C． D． 33．已知函数f（x）＝（x﹣1）3sinωx（ω＞0），若存在常数a∈R，使f（x+a）为奇函数，则ω的最小值为（　　） A． B． C．π D． 34．若函数f（x）＝3cos（ωx+θ）对任意的x都有，则等于（　　） A．±3 B．0 C．3 D．﹣3 课后针对训练 一、单选题 1．当时，曲线与的交点个数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．当时，曲线与的交点个数为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，则（    ） A．为偶函数，且在上单调递增 B．为偶函数，且在上单调递减 C．为奇函数，且在上单调递增 D．为奇函数，且在上单调递减 5．已知点在函数的图象上，直线是曲线的对称轴，若在单调，则（    ） A． B． C． D． 6．函数在上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 7．已知函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数为奇函数，则m＝（   ） A．5 B．4 C． D．1 二、多选题 9．已知函数，则（    ） A．当时，的图象关于对称 B．当时，在上的最大值为 C．当为的一个零点时，的最小值为1 D．当在上单调递减时，的最大值为1 10．已知函数，则下列结论正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 11．已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．在单调递增 C．的一条对称轴为 D．在存在唯一零点 三、填空题 12．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 . 13．函数的单调增区间为 ． 14．函数的单调增区间为 . 15．函数在上是单调增函数，且图像关于原点对称，则满足条件的数对 . 16．在区间上有且仅有3个对称中心，给出下列四个结论： ①的取值范围是； ②的最小正周期可能是； ③在区间上单调递减； ④在区间上有且仅有3条对称轴； 其中所有正确结论的序号是 . 四、解答题 17．已知函数.画出在上的图象. 18．利用“五点法”作出函数的简图． 19．已知函数，求函数的值域. 20．已知函数，其图象相邻的最高点与最低点之间的水平距离为． (1)若，求在上的最大值； (2)若对恒成立，求的取值范围 1 学科网（北京）股份有限公司 $$