专题03 圆中的最值问题（含隐圆问题）（高效培优专项训练）数学苏科版九年级上册

专题03 圆中的最值问题（含隐圆问题） 题型一：点到圆上点距离的最值问题 题型二：将军饮马中的最值问题 题型三：定点定长（隐圆）的最值问题 题型四：定弦定角（隐圆）的最值问题 题型五：直角圆（隐圆）的最值问题 题型六：四点共圆（隐圆）的最值问题 题型七：折叠圆的最值问题 题型一：点到圆上点距离的最值问题 1．同一平面内， 一个点到圆的最小距离为 ， 最大距离为， 则该圆的半径为 （     ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 2．如图， 的半径为， 切于点 ， 则点到的最小距离是 ． 3．在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 4．已知点O及其外一点C，OC＝5，点A、B分别是平面内的动点，且OA＝4，BC＝3，在平面内画出点A、B的运动轨迹如图所示，则OB长的最大值为 ，OB长的最小值为 ，AC长的最大值为 ，AC长的最小值为 ，AB长的最大值为 ，AB长的最小值为 ． 5．如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为   A．5 B． C．6 D．3 题型二：将军饮马中的最值问题 6．如图，矩形中，，，以A为圆心，1为半径画圆A，E是圆A上一动点，P是上一动点，则最小值是（    ） A． B．2.5 C．4 D．3 7．如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，为直径上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧的中点，P是直径MN上的一个动点，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D． 9．如图，在中，是的直径，是上一动点，的最小值是 ． 10．如图，是的直径，，为圆上的两点，过C作 于D，过E作于F，，点H为上一动点，连接，则 的最小值为 ． 题型三：定点定长（隐圆）的最值问题 11．如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最小值为 ． 12．如图，在矩形中，已知，，是边上一动点（点不与点，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为（   ） A． B． C．7 D．8 13．如图，等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为、的中点，，，绕点A旋转的过程中，的最大值为 ，最小值为 ． 14．如图，在矩形中，，， 是平面内一动点，且，则线段的最大值为 ．    15．如图，，点是平面内一动点，且，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为 ，最大值为    题型四：定弦定角（隐圆）的最值问题 16．如图，正方形的边长为4，点是正方形外一动点，且点在的右侧，，为的中点，当运动时，线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 17．如图，等边的边长为，D、E分别是和上的点，且，、交于点P，连接，则长度的最小值是 ． 18．如图，在中，，点D是的中点，，则的最大值为 ． 19．如图，等边三角形边长为2，点D在边上，且，点E在边上且，连接，交于点F，在线段上截取，连接，则线段的最小值是 ． 题型五：直角圆（隐圆）的最值问题 20．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，1)、B(0，3)、C(0，-1)、D(4，4)，点P为平面内一点且满足PC⊥PB，则线段PD的最大值为（ ） A．10 B．8 C．7 D．9 21．如图，正方形的边长为，点与点分别为射线，射线上一点，且，连接，并交于点，点为边上一点，，连接，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 22．如图，四边形为正方形，，是直线上一动点，连接，作，垂足为，则的最小值为 ，最大值为 ． 23．如图，在矩形中，，，是矩形上方一个动点．且满足，连接，则的最大值是 ． 24．如图，线段，点为平面上一动点，且，将线段的中点绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最大值为 ． 25．如图，为矩形的边的延长线上的动点，于，点在边上，若，，，则线段的最大值为 ．    题型六：四点共圆（隐圆）的最值问题 26．如图，在四边形中，为边的中点，，于．    （1）若，则 ； （2）若，则的最小值为 ． 27．如图，和都是等边三角形，，连接，，F为直线，的交点，连接，当线段最长时，的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 28．如图，是的直径，点E在上，垂足为C，点G在上运动（不与E重合），点F为的中点，则的最大值为（     ） A． B．6 C． D．8 29．动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（ ） A．2 B． C． D． 30．如图，在Rt中，，在斜边上取一点，使得，连接并延长至点，连接．若，则线段的长为 ． 31．如图，线段，以为斜边构造等腰直角和直角，、在两侧，平分交于点，则的最小值为 ． 题型七：折叠圆的最值问题 32．如图，是矩形的边上一动点，是的中点，连接，将沿所在直线折叠，点的对应点是点，连接．已知，当线段的最小值为1时，边的长为（   ） A． B． C． D． 33．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（　　） A．2﹣2 B．6 C．2﹣2 D．4 34．如图，矩形中，，，是上的一个动点，将沿折叠，得到，连接并延长，交于点，当最大时，的长为 ．    35．如图，在菱形中，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则的最小值是 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆中的最值问题（含隐圆问题） 题型一：点到圆上点距离的最值问题 题型二：将军饮马中的最值问题 题型三：定点定长（隐圆）的最值问题 题型四：定弦定角（隐圆）的最值问题 题型五：直角圆（隐圆）的最值问题 题型六：四点共圆（隐圆）的最值问题 题型七：折叠圆的最值问题 题型一：点到圆上点距离的最值问题 1．同一平面内， 一个点到圆的最小距离为 ， 最大距离为， 则该圆的半径为 （     ） A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 【答案】C 【详解】解：分为两种情况： ①当点P在圆内时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为8cm，则直径是14cm，因而半径是7cm； ②当点P在圆外时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为8cm，则直径是2cm，因而半径是1cm． 故选：C． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，分点在圆内和圆外两种情况求出圆的直径，然后根据直径与半径的关系得到半径的值． 2．如图， 的半径为， 切于点 ， 则点到的最小距离是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵切于点 ， ∴， 在中， ∴ ∴点到的最小距离是， 故答案为：． 3．在同一平面内，已知的半径为，圆心到直线的距离为，为圆上的一个动点，则点到直线的距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，    由题意得，，， 当点在的延长线与的交点时，点到直线的距离最大， 此时，点到直线的最大距离是， 当点在与的交点时，点到直线的距离最小， 此时，点到直线的最小距离是， 点到直线的距离， 故点到直线的距离不可能是， 故选：． 4．已知点O及其外一点C，OC＝5，点A、B分别是平面内的动点，且OA＝4，BC＝3，在平面内画出点A、B的运动轨迹如图所示，则OB长的最大值为 ，OB长的最小值为 ，AC长的最大值为 ，AC长的最小值为 ，AB长的最大值为 ，AB长的最小值为 ． 【答案】 8 2 9 1 12 0 【详解】解：位于一条直线上时， 当点在点左侧时，最大，最大值为：， 当点在点右侧时，最小，最小值为：， 位于一条直线上时， 当点在点左侧时，最大，最大值为：， 当点在点右侧时，最小，最小值为：， 在一条直线上时，且位于点左侧，点位于点右侧， 此时，最大，最大值位：， 当点重合时，最小，最小值为：， 故答案为：8，2，9，1，12，0． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，根据题意得出相应的位置是解本题的关键． 5．如图，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，的半径为1，为圆上一动点，为的中点，连接，，则长的最大值为   A．5 B． C．6 D．3 【答案】D 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， 是的中点， 为的中点， 是的中位线， ， 当的长最大时，的长最大，如图， 点的坐标为，点的坐标为， ， 长的最大值为， 长的最大值为， 故选：D． 题型二：将军饮马中的最值问题 6．如图，矩形中，，，以A为圆心，1为半径画圆A，E是圆A上一动点，P是上一动点，则最小值是（    ） A． B．2.5 C．4 D．3 【答案】C 【详解】解：如图，以为轴作矩形的对称图形以及对称圆，连接交于P，则就是最小值； ∵矩形中，，，圆A的半径为1， ∴， ∴， ∴ ∴， 故选：C． 7．如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，为直径上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，交于点， 此时最小，最小值为， 连接， ， ， 为弧的中点， ， ， ， ， 是的直径，， ， 的最小值为， 故选：B ． 8．如图，的半径为1，点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧的中点，P是直径MN上的一个动点，则的最小值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由题知，的半径为1，为的直径，故， 如图，作点A关于的对称点，连接，，， 则， 当三点共线时，取得最小值，为的长， 点A是半圆上的一个三等分点， ， 点B是弧的中点， ， 点与点关于直径对称， ， ， 又， 由勾股定理得，， 的最小值为． 故选：A． 9．如图，在中，是的直径，是上一动点，的最小值是 ． 【答案】10 【详解】解：如图所示，作点A关于的对称点C，连接， 由轴对称的性质可得垂直平分， ∴， ∵是的直径， ∴点C在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴当C、P、B三点共线时，最小，即此时最小， ∴的最小值为， 故答案为：10； 10．如图，是的直径，，为圆上的两点，过C作 于D，过E作于F，，点H为上一动点，连接，则 的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接，作点关于直径的对称点，根据可得对称点落在上，连接与交于点，根据轴对称的性质可得，此时的值最小， ∵，，，， ∴， 在，中，根据勾股定理得， ，， ∴， ∵点的对称点是， ∴， 如图所示，过点作，延长交于点， ∴四边形时矩形， ∴，，， ∴ 在中，， ∴的最小值为：， 故答案为：． 题型三：定点定长（隐圆）的最值问题 11．如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点， 则点B是的中点， 又∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， ∵点C为坐标平面内一点，且， ∴点C在以O为圆心，5为半径的上运动， ∴当减去半径时，最小． ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值． 故答案为：． 12．如图，在矩形中，已知，，是边上一动点（点不与点，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为（   ） A． B． C．7 D．8 【答案】D 【详解】解：如图：连接， ∵点B和M关于对称， ∴， ∴M在以A圆心，5为半径的圆上， ∴当A，M，C三点共线时，最短， ∵在矩形中，，， ∴． 故选：D． 13．如图，等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为、的中点，，，绕点A旋转的过程中，的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 【详解】解：连接， ∵等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为，的中点，， ∴ ∴，， ∵绕点A旋转， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴当三点共线时，且点M在延长线上时，的值最大， 即：； 当三点共线时，且点M在线段上时，的值最小， 即：． 故答案为：，． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，以及借助圆，求线段的最值．解题的关键是确定点在以点为圆心，为半径的圆上． 14．如图，在矩形中，，， 是平面内一动点，且，则线段的最大值为 ．    【答案】/ 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴点在以为半径的上运动， 如图当三点共线时，   最大，最大值． 故答案为：． 15．如图，，点是平面内一动点，且，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为 ，最大值为    【答案】 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得，连接，   ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在以圆心，为半径的圆上运动， ∴如图，    当点在线段上时，的最小值为，当点在线段上时，的最大值为． 故答案为：，． 题型四：定弦定角（隐圆）的最值问题 16．如图，正方形的边长为4，点是正方形外一动点，且点在的右侧，，为的中点，当运动时，线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形，如图所示，连接交于点， ∴点四边共圆，即在上，为直径， ∴，根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得，点在上， ∵正方形的边长为，即， ∴， 如图所示，连接， ∵点是中点，点是中点， ∴， ∵点在上， ∴， 当点三点共线时，的值最大， ∴， 故选：D． 17．如图，等边的边长为，D、E分别是和上的点，且，、交于点P，连接，则长度的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，圆心为O，则点p在以O为圆心，为半径的劣弧上运动， 连接，交于N，当点p与N重合时，的值最小，最小值为． ∵， ∴， ∵， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质、等腰三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 18．如图，在中，，点D是的中点，，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：∵在中，，点D是的中点，， ∴， 又， ∴点A在以为弦，圆周角的圆上， 如图，构造，其中，， 则，故圆心在的垂直平分线上， 如图，当点三点共线时，取得最大值， 此时，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题考查了几何中的最值问题，定角对定边轨迹为圆，涉及勾股定理，等腰三角形的性质和判定，圆周角定理等知识点，根据题意构造符合条件的圆，确定出点A的轨迹是解题的关键． 19．如图，等边三角形边长为2，点D在边上，且，点E在边上且，连接，交于点F，在线段上截取，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∴点G在以为弦、所对圆周角为的一段弧上运动， 设这段弧所在的圆心为O，连接，如图， 则（当且仅当三点共线时取）， ∴的最小值即为， 设交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为；． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理以及圆的相关知识，得出点G取最小值的位置是解题的关键． 题型五：直角圆（隐圆）的最值问题 20．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，1)、B(0，3)、C(0，-1)、D(4，4)，点P为平面内一点且满足PC⊥PB，则线段PD的最大值为（ ） A．10 B．8 C．7 D．9 【答案】C 【详解】解：∵，，三点的坐标为： (0，1)， (0，3)，(0，-1)， 则有：， 又∵点为平面内一点且满足，则点的运动轨迹是以点为圆心，半径是2的圆， 如图示，当线段过圆心时，的值最大， 过点作轴，交轴于点，过点作，交于点， ∵点的坐标是(4，4)，点的坐标是(0，1)， ∴，， 则： ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，平面坐标系内的两点的距离，点的运动等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 21．如图，正方形的边长为，点与点分别为射线，射线上一点，且，连接，并交于点，点为边上一点，，连接，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，取的中点， 四边形是正方形， ，， 点是的中点， ， ，， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动，连接，当点在上时，线段长度的值最小， ， 过作于， ，， ， ， ， 即线段长度的最小值为， 故选：C． 22．如图，四边形为正方形，，是直线上一动点，连接，作，垂足为，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴点的轨迹是以为直径的半圆（、除外）， 连接，如图， ∵四边形为正方形，， ∴， ∴， 当点在线段上时，最小，最小值为； 当点在延长线上时，最大，最大值为； 故答案为：；． 23．如图，在矩形中，，，是矩形上方一个动点．且满足，连接，则的最大值是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴点P在以为直径的圆上， 取的中点为O，画半圆，如图，连接，连接并延长交圆于， ∵在中，， ∴当P、O、D共线时，的长最大，最大值即为的长， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 24．如图，线段，点为平面上一动点，且，将线段的中点绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最大值为 ． 【答案】1/ 【详解】解：∵， ∴点在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点，连接， ∴， 取的中点，连接， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， 如图所示，过点作，且，连接，， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴线段的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，中位线性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 25．如图，为矩形的边的延长线上的动点，于，点在边上，若，，，则线段的最大值为 ．    【答案】 【详解】解：连接，以为直径作的外接圆，   ， 点在上， 当，，三点共线时，取最大值， 过作于， ，， ， 为的中点， ， 在中， ，， 线段的最大值为． 故答案为：． 题型六：四点共圆（隐圆）的最值问题 26．如图，在四边形中，为边的中点，，于．    （1）若，则 ； （2）若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：（1）如图所示，    ∵为边的中点，， ∴点在为直径的上， ∵， ∴ ∴，则 ∵ ∴ ∴ 故答案为：． （2）∵ ∴ ∴ ∴当重合时取得最小值，此时，， 即的最小值为 故答案为：． 27．如图，和都是等边三角形，，连接，，F为直线，的交点，连接，当线段最长时，的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四点共圆， 如图所示，作的外接圆，当为直径时，取得最大值， ∵ ∴ ∵为直径 ∴ ∴， 故选：B． 28．如图，是的直径，点E在上，垂足为C，点G在上运动（不与E重合），点F为的中点，则的最大值为（     ） A． B．6 C． D．8 【答案】B 【详解】解：如图，连接，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∴， 在中，， 根据勾股定理得，， ∴， ∴， ∴的最大值为6， 故选：B． 29．动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，分别连接，，作，交的延长线于， 和是等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， 点为中点， ， ， ， ，，，四点共圆， 当取最大值时，则等于直径， 为直径， ， 四边形为矩形， ， ， 点在上， 于， ，两点重合，此时为中点，， ． ， ． 故选：C． 30．如图，在Rt中，，在斜边上取一点，使得，连接并延长至点，连接．若，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：， ∴点、、、四点共圆， ， ∴为直径， ， 过作 于点， 则 ， 在 中，， ， ， ，即 ， 设，则 ， ， ， ， ， 在 中， ， 即 ， 解得或(舍去)， ； 故答案为：． 31．如图，线段，以为斜边构造等腰直角和直角，、在两侧，平分交于点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：以为斜边构造等腰直角和直角 ，， ， ，，，共圆， ，， ， 平分， 平分， 为的内心， ， ，， ， ， 当为该圆直径时，最大， 的最小值为， 故答案为：． 题型七：折叠圆的最值问题 32．如图，是矩形的边上一动点，是的中点，连接，将沿所在直线折叠，点的对应点是点，连接．已知，当线段的最小值为1时，边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠性质可知：，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动，连接，如图， ∵， ∴当点三点共线时，有最小值，即此时，如图， ∵是的中点， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴，整理得：， 解得：（舍去），， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解一元二次方程，圆的性质的综合运用，掌握知识点的应用是解题的关键． 33．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是（　　） A．2﹣2 B．6 C．2﹣2 D．4 【答案】A 【详解】解：如图，B′的运动轨迹是以E为圆心，以AE的长为半径的圆．所以，当B′点落在DE上时，B′D取得最小值． 根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F， ∴EB′⊥B′F， ∴EB′＝EB， ∵E是AB边的中点，AB＝4， ∴AE＝EB′＝2， ∵AD＝6， ∴DE＝＝2 ， ∴DB′＝2﹣2． 故选A． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B′在何位置时，B′D的值最小，是解决问题的关键． 34．如图，矩形中，，，是上的一个动点，将沿折叠，得到，连接并延长，交于点，当最大时，的长为 ．    【答案】 【详解】解：折叠， ，，， 点在以点为圆心，为半径的圆上，则当与相切时，有最大值，如图，所示，    ， 点与点重合， 设 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，切线的性质，勾股定理，矩形的性质，得出点的轨迹是解题的关键． 35．如图，在菱形中，点是边的中点，动点在边上运动，以为折痕将折叠得到，连接．若，，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：∵点E是边的中点， ∴， ∵以为折痕将折叠得到， ∴， ∴点F在以E为圆心，为半径的半圆上， ∵， ∴当F在上时，有最小值，最小值为； 如图，过点E作交于延长线点H，连接， ∵在边长为4的菱形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴的最小值． 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$