2025--2026学年苏科版九年级数学上册 期末复习1（圆）

初三数学期末复习1（圆） 参考答案与试题解析 【圆周角】 1．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【解答】解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠A＝90°﹣50°＝40°， ∴∠BDC的度数为：180°﹣40°＝140°故选：C． 2．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为85°，31°，则∠ACB的度数是（　　） A．28° B．27° C．26° D．56° 【解答】解：连接OA、OB，如图，∵点A、B的读数分别为85°，31°，∴∠AOB＝85°﹣31°＝54°， ∴∠ACB＝∠AOB＝27°．故选：B． 3．如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC＝5，∠BAC＝∠D．则AB的长为（　　） A．5 B．10 C．5 D．10 【解答】解：∵AC＝AC，∴∠D＝∠B，∵∠BAC＝∠D，∴∠B＝∠BAC，∴△ABC是等腰三角形， ∵AB是直径，∴△ABC是等腰直角三角形，∵AC＝5，∴AB＝5，故选：C． 4．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，点E是劣弧的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝32°，则∠CDE的度数为（　　） A．34° B．29° C．32° D．24° 【解答】解：连接OE，如图，∵∠ABC＝32°，∴∠AOC＝2∠ABC＝64°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝116°，∵点E是劣弧的中点，∴∠COE＝∠BOE＝∠BOC＝58°，∴∠CDE＝∠COE＝29°． 故选：B． 5．如图，已知BC是⊙O的直径，点A，D在⊙O上，若∠ACB＝32°，则∠ADC的大小为（　　） A．68° B．62° C．58° D．52° 【解答】解：∵BC是直径，∴∠BAC＝90°，∴∠B＝90°﹣∠ACB＝58°，∴∠D＝∠B＝58°， 故选：C． 6．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA＝28°，则∠ABD的度数为（　　） A．14° B．28° C．56° D．无法确定 【解答】解：∵AB为直径，弦CD⊥AB，∴＝，∴∠ABD＝∠CEA＝28°，故选：B． 7．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，连接AC、AD、CD，若∠BAC＝20°，则∠ADC的度数是（　　） ​ A．120° B．100° C．110° D．70° 【解答】解：连接BC，∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝20°，∴∠CBA＝70°， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC＝110°．故选：C． 8．△ABC与⊙O交于D、E、C、B，∠A＝40°，∠C＝60°，则∠AED的度数（　　） A．60° B．40° C．80° D．100° 【解答】解：∵∠C+∠BDE＝180°，∴∠BDE＝180°﹣60°＝120°，∵∠BDE＝∠A+∠AED， ∴∠AED＝120°﹣40°＝80°．故选：C． 9．如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 　4　台． 【解答】解：∵∠P＝55°，∴∠P所对弧所对的圆心角是110°，∵360°÷110°＝3， ∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器4台．故答案为：4． 10．如图，已知⊙O的直径AB＝2，点P是弦BC上一点，连接OP，∠OPB＝45°，PC＝1，则弦BC的长为 　6　． 【解答】解：过O作OD⊥BC于D，则∠ODP＝∠ODB＝90°， ∵∠OPB＝45°，∴∠POD＝∠OPB＝45°，∴PD＝OD，设PD＝OD＝x，∵直径AB＝2， ∴OB＝OA＝，∵OD⊥BC，OD过圆心O，∴BD＝CD，∵PC＝1，∴BD＝CD＝x+1， 在Rt△ODB中，由勾股定理得：BD2+OD2＝OB2，即（x+1）2+x2＝（）2，解得：x1＝2，x2＝﹣3（不符合题意，舍去），即BD＝CD＝2+1＝3，即BC＝3+3＝6，故答案为：6． 11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD，OF⊥CD，垂足分别为E、F，若OF＝，则AB＝　5　． 【解答】解：作直径DG，连接CG，如图，∵DG为直径，∴∠DCG＝90°，∴∠CDG+∠G＝90°， ∵AC⊥BD，∴∠DAC+∠ADB＝90°，∵∠DAC＝∠G，∴∠ADB＝∠CDG，∴＝， ∴AB＝CG，∵OF⊥CD，∴DF＝CF，∵OD＝OG，∴OF为△DCG的中位线，∴CG＝2OF＝2×＝5， ∴AB＝5．故答案为5． 12．如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，BP＝1，CD是⊙O的一条弦，CD＝6，以PC，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最小值是 　4　．​ 【解答】解：如图，连接OC，设CD交PE于点K，连接OK， ∵四边形PCED是平行四边形，∴EK＝PK，CK＝DK，∴OK⊥CD，在Rt△COK中，OC＝5，CK＝3， ∴OK＝＝4，∵OP＝OB+PB＝6，∴6﹣4≤PK≤6+4，∴2≤PK≤10，∴PK的最小值为2，最大值为10，∵PE＝2PK，∴PE的最小值为4，最大值为20．故答案为：4． 13．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，若AB＝4，则的长是 　π　． ​ 【解答】解：如图，作点O关于AC的对称点M，连接OM交AC于点N，连接OC， 由轴对称性质可得，ON＝MN＝OM，OM⊥AC，点M在未折叠时以AB为直径的半圆上， 则OM＝OA＝OB＝AB＝×4＝2，ON＝OA，∠ANO＝90°，∴∠OAN＝30°，∴∠BOC＝2∠OAN＝60°，那么的长为：＝π，故答案为：π． 14．如图，在⊙O中，弦BC＝2，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是 　2　． 【解答】解：连接OB、OC，如图，∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，而OB＝OC， ∴△OBC为等边三角形，∴OB＝BC＝2，即⊙O的半径为2．故答案为：2． 15．如图，在△ABC的边AB上取点D，以D为圆心，以DA为半径画圆弧，交AC于点E；以E为圆心，以ED为半径画圆弧，交AB于点F．若∠CEF＝∠BFE，则∠A＝　36　°． 【解答】解：设∠A＝x，∵以D为圆心，以DA为半径画圆弧，交AC于点E，∴AD＝DE，∴∠AED＝∠A＝x，∵∠EDF是△ADE的外角，∴∠EDF＝∠A+∠AED＝2x．∵以E为圆心，以ED为半径画圆弧，交AB于点F可知DE＝EF，∴∠EDF＝∠EFD＝2x，∵CEF＝∠BFE，∴AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF＝2x，∵∠A+∠AEF+∠AEF＝180°，即x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，即∠A＝36°．故答案为：36． 16．如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，若∠BDC＝42°，则∠AOB的度数为 　84°　． 【解答】解：∵∠BDC＝42°，∴∠BAC＝∠BDC＝42°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝42°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝84°，故答案为：84°． 17．如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC＝AE，∠D＝128°，则∠B＝　116　°． 【解答】解：连接AC、CE∵点A、C、D、E都是⊙O上的点，∴∠CAE+∠D＝180°，∴∠CAE＝180°﹣128°＝52°，∵AC＝AE，∴，∴， ∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，∴∠AEC+∠B＝180°，∴∠B＝180°﹣64°＝116°， 故答案为：116． 18．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连结CE，若∠BAD＝110°，则∠DCE＝　20　度． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BAD＝110°，∴∠DAB+∠DCB＝180°， ∴∠DCB＝180°﹣110°＝70°，∵BE是⊙O的直径，∴∠DCE+∠DCB＝90°，∴∠DCE＝90°﹣∠DCB＝90°﹣70°＝20°．故答案为：20． 19．如图，⊙O经过△ABC的顶点A、B，与边AC、BC分别交于点D、E，连接BD、AE，且∠ADB＝∠CDE． （1）求证：△ABE是等腰三角形； （2）若AB＝10，BE＝12，求⊙O的半径r． 【解答】（1）证明：∵四边形ABED为圆内接四边形，∴∠ABE＝∠CDE．又∵， ∴∠ADB＝∠AEB．又∵∠ADB＝∠CDE，∴∠ABE＝∠AEB．∴AB＝AE，∴△ABE为等腰三角形． （2）解：如图，连接AO并延长交BE于H点，连接OB，OE， ∵AB＝AE，OB＝OE，∴点A、O在BE的垂直平分线上，即AH垂直平分BE， ∴AO⊥BE于点H，．∵AB＝10，BE＝12，∴，． ∴在Rt△OBH中：r2＝（8﹣r）2+62，∴． 20．如图，点A在y轴正半轴上，点B是第一象限内的一点，以AB为直径的圆交x轴于D，C两点． （1）OA与OD满足什么条件时，AC＝BC，写出满足的条件，并证明AC＝BC； （2）在（1）的条件下，若OA＝1，，求CD长． 【解答】解：（1）连接AD， 当OA＝OD时，AC＝BC，证明：∵∠AOD＝90°，∴△AOD是等腰直角三角形， ∴∠ODA＝45°，∴∠ODA＝∠ABC＝45°，∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC； （2）∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠AOC＝∠ADB＝90°，∵∠ACO＝∠ABD，∴△AOC∽△ADB，∴OC：DB＝OA：AD，∵AD＝OA＝，∴OC：3＝1：，∴OC＝3， ∴DC＝OC﹣OD＝3﹣1＝2． 21．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D，连接AD，BD． （1）求证：AD＝BD；（2）若AB＝6，AC＝2，求的值． 【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB，∴．∵∠ACD＝∠ABD，∠BCD＝∠BAD，∴∠ABD＝∠BAD．∴AD＝BD． （2）解：如图所示，连接OD，过点C作CH⊥AB于H． ∵AB是⊙O的直径，AB＝6，∴∠ACB＝90°，OA＝OB＝DO＝3．∵AC＝2，∴． ∴．∴．∵AD＝BD，CH⊥AB，∴OD垂直平分AB，∠EHC＝90°．∴∠EOD＝90°．∴∠EHC＝∠EOD．∵∠CEH＝∠DEO， ∴△CEH∽△DEO．∴． 22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D在AB的延长线上，且BD＝3，过点D作DE⊥AD，交AC的延长线于点E，以DE为直径的⊙O交AE于点F． （1）求⊙O的半径；（2）连接CD，交⊙O于点G，求证：G是CD的中点． 【解答】解：（1）过点O作OH⊥EF于H，由勾股定理得，AC＝＝4， ∵DE⊥AD，∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADE，∵∠C＝∠C，∴△ACB∽△ADE，∴＝，即＝，解得，DE＝6，∴OE＝OD＝3，即⊙O的半径为3； （2）连接EG，∵AE＝10，AC＝4，∴EC＝6，∴EC＝ED，∵DE是⊙O的直径，∴EG⊥CD，∴G是CD的中点． 23．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E． （1）求证：AB＝AC． （2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BDF，∴∠ADF＝∠ADB，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠ADF＝∠ABC，∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC； （2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G．∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD， ∴AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°， 在Rt△AED和Rt△AGD中，，∴Rt△AED≌Rt△AGD，∴GD＝ED＝2， 在Rt△AEC和Rt△AGB中，，∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL）， ∴BG＝CE，∵BD＝11，∴BG＝BD﹣GD＝11﹣2＝9，∴CE＝BG＝9，∴CD＝CE﹣DE＝9﹣2＝7． 24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点C是弧BD的中点，延长AB到点E，使得BE＝AD，连结AC，CE． （1）求证：AC＝CE． （2）若，，∠BCD＝120°，求BC的长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D+∠ABC＝180°，∵∠ABC+∠CBE＝180°， ∴∠D＝∠CBE，∵点C时的中点，∴CD＝CB，在△ACD与△ECB中，， ∴△ACD≌△ECB（SAS），∴AC＝CE； （2）如图，作CM⊥AB交AB于点M， ∵AD＝4，BE＝AD，∴BE＝4，∵AB＝6，∴AE＝AB+BE＝6+4＝10， ∵AC＝CE，CM⊥AB，∴AM＝AE＝5，∴BM＝AB﹣AM＝6﹣5＝， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝120°， ∴∠BAD＝60°，∵CD＝CB，∴∠CAM＝∠BAD＝30°，∵∠AMC＝90°， ∴tan∠CAM＝tan30°＝＝，∴CM＝5×＝5，∴BC＝＝＝＝2． 25．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB． （1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小； （2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB，∴BD平分∠ADC， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，∴∠ABD+∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°； （2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠AED＝90°， ∵∠BAD＝90°，∴BD是圆的直径，∴BD垂直平分AC，∴AD＝CD，∵AC＝AD， ∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝30°，∵CF∥AD， ∴∠F+∠BAD＝180°，∴∠F＝90°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠FBC+∠ABC＝180°，∴∠FBC＝∠ADC＝60°，∴BC＝2BF＝4，∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°， ∴BC＝BD，∵BD是圆的直径，∴圆的半径长是4． 【直线与圆的位置关系】 1．如图，点P为⊙O外一点，连结OP，作以OP为直径的圆，两圆交于点Q，连结PQ，可得PQ是⊙O的切线，则判定其为切线的依据是（　　） A．经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 B．垂线段最短 C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过圆外一点所作的圆的两条切线长相等 【解答】解：A、经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线，可以判定其为切线，符合题意； B、垂线段最短，不能判定其为切线，不符合题意； C、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，不能判定其为切线，不符合题意； D、过圆外一点所作的圆的两条切线长相等，不能判定其为切线，不符合题意；故选：A． 2．如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝20°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（　　） A．20° B．40° C．50° D．60° 【解答】解：∵PA与⊙O相切于点A，∴半径OA⊥PA，∴∠OAP＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B＝20°， ∴∠AOP＝∠B+∠OCB＝20°+20°＝40°，∵∠P+∠AOP＝90°，∴∠P＝90°﹣∠AOP＝50°．故选：C． 3．如图，已知PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，PO＝13，AO＝5，则△PCD周长为（　　） A．20 B．22 C．24 D．26 【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PA＝PB，OA⊥PA，∴PA＝＝＝12， ∵PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，∴DE＝DA，CE＝CB，∴△PCD周长＝PD+DE+PC+CE＝PD+DA+PC+CB＝PA+PB＝24，故选：C． 4．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（　　） A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125° 【解答】解：如图，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠P＝70°， ∴∠AOB＝110°，∴∠ACB＝55°，当点C在劣弧AB上，∵∠AOB＝110°，∴弧ACB的度数为250°， ∴∠ACB＝125°． 故选：D． 5．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 解：连接BC，∵DB、DE分别切⊙O于点B、C，∴BD＝DC，∵∠ACE＝25°，∴∠ABC＝25°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝50°． 解法二：连接OC，BC． ∵DB，DC是⊙O的切线，B，C是切点，∴∠OCE＝∠OBD＝90°，BD＝DC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA， ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∠OCA+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠ABC＝25°， ∴∠BDC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝180°﹣2×65°＝50°，故选：A． 6．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．1 【解答】解：设平移的距离为m，∵半径为2的⊙P的圆心P在x轴上，且与y轴相切， ∴圆心的坐标为（﹣2，0）或（2，0），∴﹣3+m＝﹣2 或﹣3+m＝2，解得m＝1或m＝5， ∴平移的距离为1或5，故选：A． 7．如图，O为△ABC的外心，四边形OCDE为正方形．以下结论：①O是△ABE的外心；②O是△ACD的外心；③直线DE与△ABC的外接圆相切．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【解答】解：连接OB、OD、OA，∵O为锐角三角形ABC的外心，∴OA＝OC＝OB，∵四边形OCDE为正方形，∴OA＝OC＜OD，∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD， ①OA＝OE＝OB，O是△ABE的外心，故本选项符合题意； ②OA＝OC≠OD，即O不是△ACD的外心，故本选项不符合题意；③∵OE＝OA，OE⊥DE， ∴直线DE与△ABC的外接圆相切．故本选项符合题意；故选：B． 8．如图，量角器的零刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝12cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为 　2　cm． 【解答】解：如图，设圆心为O，连接OC，OD． ∵直尺一边与量角器相切于点C，∴OC⊥AD，∵AD＝12cm，∠DOB＝60°，∴∠DAO＝30°， ∴OE＝2（cm），OA＝4（cm），∴CE＝OC﹣OE＝OA﹣OE＝2（cm），故答案为：2． 9．如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为　7　． 【解答】解：∵AB、AC、BC都是⊙O的切线，∴AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，∵AB＝4，AC＝5，AD＝1， ∴AE＝1，BD＝3，CE＝CF＝4，∴BC＝BF+CF＝3+4＝7． 10．已知直线l：y＝﹣x+2，若⊙P的半径为1，圆心P在y轴上，当⊙P与直线l相切时，则点P的坐标是 　（0，2﹣）或（0，2+）　． 在构建的直角三角形中，根据圆的半径和相似三角形的判定与性质，即可确定圆心P的坐标． 【解答】解：当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝4．∴A（0，2），B（4，0）．∴OA＝2，OB＝4， ∴AB＝＝2， 当⊙P在y轴上从下向上运动时⊙P与直线AB有两种相切情况． 第一种情况：如图，当⊙P在直线l：y＝﹣x+2与y轴交点下方与直线l相切时，过P1作P1D1⊥l于D1，在Rt△D1P1A中，D1P1＝1．∵Rt△D1P1A∽Rt△OBA，∴＝，∴＝， ∴AP1＝，∴OP1＝OA﹣AP1＝2﹣，∴P1坐标为（0，2﹣）； 第二种情况：如图，当⊙P在直线l：y＝﹣x+2与y轴交点上方与直线AB相切时，过P2作P2D2⊥l轴于D2， 同上可得OP2＝OA+AP2＝2+，∴P2点的坐标为（0，2+）．∴P点的坐标为（0，2﹣）或（0，2+）．故答案为：（0，2﹣）或（0，2+）． 11．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为 　S1+S3＝S2+S4　． 【解答】解：如图设切点分别为E、F、G、H，由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BCOH⊥AB，OE＝OF＝OG＝OH＝r，设DE＝DF＝a，AE＝AH＝b，BH＝BG＝c，CG＝CF＝d， S1＝r（a+b），S2＝r （b+c），S3＝ r（c+d），S4＝r（a+d），∴S1+S3＝r（a+b）+ r（c+d）＝r（a+b+c+d），S2+S4＝r（a+d）+r （b+c）＝r（a+b+c+d），∴S1+S3＝S2+S4． 故答案为S1+S3＝S2+S4． 12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC，P是线段DE上的动点，以点P为圆心，PD长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为 　或　． 【解答】解：①当⊙P与AC相切于点F时，如图，连接PF，则PF⊥AC， 设DP＝PF＝x，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5， ∵△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC，∴△DCE≌△ACB，∴DE＝AB＝5，PE＝DE﹣DP＝5﹣x，CE＝CB＝3，DC＝AC＝4，∵∠ACB＝90°，PF⊥AC，∴PF∥DC，∴△EPF∽△EDC，∴，即，解得x＝，即半径为； ②当⊙P与AB相切于点F，如图，BF⊥AB， ∵∠A＝∠BDF，∠ABC＝∠DBF，∴△ABC∽△DBF，∴，即，解得DF＝， ∴PD＝PF＝DF＝，即半径为，故答案为或． 13．如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，∠A＝30°． （1）求∠BED的大小； （2）若点F在AB的延长线上，且BF＝AB，求证：DF与⊙O相切． 【解答】（1）解：连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，即∠ABO＝90°，∵∠A＝30°， ∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，∴∠BOD＝180°﹣60°＝120°，∴∠BED＝∠BOD＝60°， （2）证明：连接BD，∵OB＝OD，∠BOD＝120°， ∴∠ODB＝（180°﹣60°）＝30°＝∠A，∴AB＝DB，又∵AB＝BF，∴DB＝AB＝BF， ∴△ADF是直角三角形，即∠ADF＝90°，∵OD⊥DF，OD是半径，∴DF是⊙O的切线． 14．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，连接CO交⊙O于点E，⊙O与AC相切于点D． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若AC＝4，求FG的长． 【解答】（1）证明：连接OD，作OM⊥BC于M，∵AC＝BC，O是AB中点，∴CO平分∠ACB，CO⊥AB， ∵AC切圆于D，∴OD⊥AC，∴OD＝OM，∴BC是⊙O的切线； （2）作OH⊥AG 于H，∴FG＝2GH，∵△OAC是等腰直角三角形，∴OA＝AC＝×4＝4， ∵△AOD是等腰直角三角形，∴OD＝AO＝2，∴OG＝2，∴AG＝＝2， ∵cosG＝＝，∴＝，∴GH＝，∴FG＝． 15．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，D是⊙O上异于A、B的一个动点，连接AD，过O作OC∥AD交BC于点C． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若EA＝1，ED＝3，求⊙O的半径． 【解答】解：（1）如图，连接OD， 由OD＝OA得：∠OAD＝∠ODA，∵OC∥AD，∴∠DOC＝∠ODA，∠BOC＝∠OAD，∴∠DOC＝∠BOC， 又∵OD＝OB，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC，∴∠ODC＝∠OBC，∵BC⊥AB，∴∠ODC＝∠OBC＝90°， 又∵D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线； （2）设⊙O的半径为x，则：OD＝x，OA＝x+1，∵CD是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°， 在Rt△ODE中，由勾股定理得：ED2+OD2＝OE2，∴32+x2＝（x+1）2，解得：x＝4，∴⊙O的半径为4． 16．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AD⊥CD，垂足为D，CA平分∠BCD． ​（1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若⊙O的直径为3，DC＝1，则AB的长为 　　． 【解答】（1）证明：连接OA，如图，∵CA平分∠BCD，∴∠OCA＝∠DCA，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠OAC＝∠DCA，∴OA∥CD，∵AD⊥CD，∴AD⊥OA，∵OA为⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线； （2）解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∴∠BAC＝∠ADC， ∵∠BCA＝∠DCA，∴△ABC∽△ADC，∴＝，即＝，解得AC＝， 在Rt△ABC中，AB＝＝＝．故答案为：． 17．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，点D为AB边的中点，以CD为直径作⊙O，分别与BC，AC交于点E，F，过点E作EG⊥AB于G． （1）求证：EG是⊙O的切线； （2）若AF＝6，⊙O的半径为5，求EG的长． 【解答】（1）证明：如图，连接EF， ∵∠BAC＝90°，∴EF是⊙O的直径，∴OA＝OE，∴∠BAD＝∠AEO，∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点， ∴AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∴∠AEO＝∠B，∴OE∥BC，∵EG⊥BC，∴OE⊥EG，∵点E在⊙O上，∴EG是⊙O的切线； （2）∵⊙O的半径为5，∴EF＝2OE＝10，在Rt△AEF中，AF＝6，根据勾股定理得，，由（1）知OE∥BC，∵OA＝OD，∴BE＝AE＝8．∵EF∥AC， ∴∠B＝∠FEA，∴sinB＝sin∠FEA，∴，即，解得． 18．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O分别交AB，BC于D，E两点，BF⊥CF于点F，且BF＝BD． （1）求证：FC是⊙O的切线； （2）若，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：连接CD，AE， ∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝90°，∵BF⊥CF，∴∠BFC＝90°， ∴∠BDC＝∠BFC＝90°，∠FBC＝∠FCB＝90°，在Rt△BDC和Rt△BFC中，， ∴Rt△BDC≌Rt△BFC（HL），∴∠DBC＝∠FBC，∵AB＝AC，∴∠DBC＝∠ACB， ∴∠FBC＝∠ACB，∴∠ACB+∠FCB＝90°，即∠ACF＝90°，∴AC⊥FC，∵OC为⊙O的半径，∴FC是⊙O的切线； （2）解：连接AE，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∵AB＝AC，∴BE＝CE＝，∴BC＝3， 在Rt△BFC中，，由（1）知：∠FBC＝∠ACE，在Rt△ACE中，， ∴AC＝3CE＝3×＝，∴OC＝AC＝，答：⊙O的半径为． 19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AB＝AC，AE∥BC，E为BD的延长线与AE的交点． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若∠ABC＝75°，BC＝2，求的长． 【解答】（1）证明：连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA＝，∠OAC＝∠OCA＝，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOC＝2∠ABC， ∴∠AOB＝∠AOC，∴＝，∴∠OAB＝∠OAC，∴AF⊥BC，∵AE∥BC， ∴∠OAE＝∠AFB＝90°，∴OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，∴AE是⊙O的切线． （2）解：∵∠ACB＝∠ABC＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝30°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，∴△BOC是等边三角形，∠COD＝180°﹣∠BOC＝120°，∴OC＝BC＝2，∴＝＝， ∴的长是． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/10/9 19:57:59；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 【圆的综合】 1．如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若表盘的半径长为，则切线长PC为（　　） A．3 B．2 C． D． 【解答】解：设钟表的中心为点O，连接BC，OD， 由题意得：点O在BC上，∠DOC＝2×30°＝60°，∴， ∵PC与⊙O相切于点C，∴∠BCP＝90°，∵，∴，故选：B． 2．如图，⊙O经过矩形ABCD的顶点A，B，且与边CD相切于点E，与边AD交于点F，若AF＝9DF，则AB和BC的比值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：过点O作OM⊥AD于M，延长MO交BC于N，交⊙O于H，连接OA，OB，∴AM＝AF， ∵四边形ABCD是矩形，BC＝AD，∴AD∥BC，∠A＝∠B∠C＝90°，∴ON⊥BC，四边形ABNM是矩形， ∴∠EON＝90°，AB＝MN，AM＝BN，∵DE是⊙O的切线，∴∠OEC＝90°，∴四边形CEON是矩形，∴CN＝OE， 设DF＝x，则AF＝9x，BC＝AD＝10x，AM＝x，OE＝DN＝10x﹣x＝x，∴OA＝OE＝x，在Rt△AOM中，OM＝＝x，同理可求ON＝x，∴AB＝MN＝2x，∴＝＝． 故选：A． 3．如图，等边三角形ABC的边长为2，点A，B在⊙O上，点C在⊙O内，⊙O的半径为，将△ABC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论： ①当点C第一次落在⊙O上时，旋转角为45°； ②当AC第一次与⊙O相切时，旋转角为75°． 则结论正确的是（　　） A．② B．均不正确 C．①② D．① 【解答】解：①当点C第一次落在⊙O上时， 连接AO，BO，C'O，如图1， ∵AO＝BO＝，AB＝2，∴△ABO是等腰直角三角形，∴AO⊥BO，∴B、C'、O三点共线， ∵AB＝AC'，∴∠ABC'＝∠AC'B＝45°，∴∠BAC'＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠CAO＝15°， ∴∠CAC'＝30°，故①错误； 当AC与⊙O相切时，连接CO并延长与AB交于点M，连接AO，如图2∵△ABC是正三角形， ∴CM⊥AB，∵AB＝2，∴AM＝1，∵OA＝，∴OM＝1，∴∠OAM＝45°，∵∠OAC'＝90°， ∴∠BAC'＝135°，∵∠C'AB'＝60°，∴∠BAB'＝75°， ∴当AC第一次与⊙O相切时，旋转角为75°，故②正确，故选：A． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为⊙O的切线，D为切点，DA＝DE，则△ABD和△CDE的面积之比为（　　） A． B． C． D．﹣1 【解答】解：连接OD，如图，∵BD为⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥BD，∴∠ODB＝90°， ∵CE为直径，∴∠CDE＝90°，∵∠ADB+∠BDE＝90°，∠ODE+∠BDE＝90°， ∴∠ADB＝∠ODE，∵∠ABD+∠OBD＝90°，∠DOE+∠OBD＝90°，∴∠ABD＝∠DOE， 在△ABD和△EOD中，，∴△ABD≌△EOD（ASA），∴S△ABD＝S△EOD，∵OE＝CE， ∴S△EOD＝S△CDE，∴S△ABD＝S△CDE．故选：B． 5．如图，⊙O与矩形ABCD的三边AB、BC、CD分别相切于点E、F、G，连接OB、OD，OB＝4，OD＝3，则AB的长为（　　） A．5 B． C．4 D． 【解答】解：连接OA、OE、OF、OG，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∵⊙O与AB、BC、CD分别相切于点E、F、G，∴AB⊥OE，BC⊥OF，CD⊥OG，∴∠OEA＝∠OGD＝90°，∵∠OEB＝∠EBF＝∠OFB＝90°，∠OGC＝∠C＝∠OFC＝90°，∴四边形EBFO和四边形GCFO都是矩形，∵OE＝OF，OG＝OF， ∴四边形EBFO和四边形GCFO都是正方形，OE＝OG，∴BE＝OE＝OF＝CG，∴AB﹣BE＝DC﹣CG， ∴AE＝DG，在△AOE和△DOG中，，∴△AOE≌△DOG（SAS），∴OA＝OD＝3， ∵OB＝＝BE＝4，∴BE＝OE＝2，∴AE＝＝＝1， ∴AB＝BE+AE＝2+1，故选：D． 6．如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（　　） A． B． C．2 D．3 【解答】解：连接CQ、CP，过点C作CH⊥AB于H，∵PQ是⊙C的切线，∴CQ⊥PQ， ∴PQ＝＝，当CP⊥AB时，CP最小，PQ取最小值，∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝60°，∴CH＝BC•sinB＝2，∴PQ的最小值为：＝3， 故选：D． 7．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，图3是其简化图，已知AB＝12dm，点A在中轴线l上运动，点B在以O为圆心，OB长为半径的圆上运动，且OB＝4dm．当点B按逆时针方向运动到B'时，A'B'与⊙O相切，则AA'的长为 　（16﹣4）　dm． 【解答】解：如图3，连接OB′，则OB′＝OB＝4dm，∵AB＝12dm， ∴OA＝OB+AB＝4+12＝16（dm），∵A'B'与⊙O相切于点B′，∴A'B'⊥OB′，∴∠A′B′O＝90°， ∵A'B'＝AB＝12dm，∴OA′＝＝＝4（dm）， ∴AA′＝OA﹣OA′＝（16﹣4）dm，故答案为：（16﹣4）． 8．如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C′落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A、D．若∠ACB＝90°，判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由． 【解答】解：BC与⊙O相切，理由如下：如图，连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，由折叠的性质得：∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴AC∥OD，∴∠ODB＝∠ACB＝90°，∴OD⊥BC，∵OD是⊙O的半径， ∴BC与⊙O相切． 9．已知△AOB中，∠ABO＝30°，AB为⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C． （Ⅰ）如图①，若AB∥MN，直径CE与AB相交于点D，求∠AOB和∠BCE的大小； （Ⅱ）如图②，若OB∥MN，CG⊥AB，垂足为G，CG与OB相交于点F，OA＝3，求线段OF的长． 【解答】解：（I）∵OA＝OB，∴∠A＝∠ABO，∵∠A+∠ABO+∠AOB＝180°，∠ABO＝30°， ∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO＝120°，∵直线MN与⊙O相切于点C，CE为⊙O的直径，∴∠ECM＝90°， ∵AB∥MN，∴∠CDB＝∠ECM＝90°，∴∠BOE＝90°﹣∠ABO＝60°，∵，∴∠BCE＝30°； （II）如图，连接OC． 同（I），得∠COB＝90°，∵CG⊥AB，∴∠FGB＝90°，∵∠ABO＝30°，∴∠BFG＝90°﹣∠ABO＝60°， ∴∠CFO＝∠BFG＝60°，在Rt△COF中，，∴． 10．“板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及交通工具，在农村发展，甚至城下建设过程中，曾发挥过重要的作用．如图是板车侧面部分的示意图．AB是车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD． （1）求证：∠ADC＝∠DBC； （2）若CD＝2，CB＝2，求BD的长． 【解答】（1）证明：如图2，连接OD，则OD＝OB，∵AB是⊙O的直径，∴ADB＝90°，∴∠A+∠OBD＝90°∵CD与⊙O相切于点D，∴CD⊥OD，∴∠ODC＝90°，∴∠CDB+∠ODB＝90°， ∵∠OBD＝∠ODB，∴∠A＝∠CDB， ∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CDB，∴∠ADC＝∠DBC． （2）解：∵△CAD∽△CDB，CD＝2，CB＝2，∴＝＝＝＝， ∴DA＝BD，CA＝CD＝×2＝4， ∴AB＝CA﹣CB＝4﹣2＝2，∵DA2+BD2＝AB2， ∴（BD）2+BD2＝22， 解得BD＝或BD＝（不符合题意，舍去）， ∴BD的长是． 第1页（共24页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 态度决定基础 思维决定高度 ( 初三 数学 期末复习1（圆） ) 【圆周角】 1．如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 2．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为85°，31°，则∠ACB的度数是（　　） A．28° B．27° C．26° D．56° 3．如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC＝5，∠BAC＝∠D．则AB的长为（　　） A．5 B．10 C．5 D．10 4．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，点E是劣弧的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝32°，则∠CDE的度数为（　　） A．34° B．29° C．32° D．24° 5．如图，已知BC是⊙O的直径，点A，D在⊙O上，若∠ACB＝32°，则∠ADC的大小为（　　） A．68° B．62° C．58° D．52° 6．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA＝28°，则∠ABD的度数为（　　） A．14° B．28° C．56° D．无法确定 7．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，连接AC、AD、CD，若∠BAC＝20°，则∠ADC的度数是（　　） A．120° B．100° C．110° D．70° 8．△ABC与⊙O交于D、E、C、B，∠A＝40°，∠C＝60°，则∠AED的度数（　　） A．60° B．40° C．80° D．100° 9．如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器 　　台． 10．如图，已知⊙O的直径AB＝，点P是弦BC上一点，连接OP，∠OPB＝45°，PC＝1，则弦BC的长为 　　． 11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AC⊥BD，OF⊥CD，垂足分别为E、F，若OF＝，则AB＝　　． 12．如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，BP＝1，CD是⊙O的一条弦，CD＝6，以PC，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最小值是 　　．​ 13．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，若AB＝4，则的长是 　　． ​ 14．如图，在⊙O中，弦BC＝2，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则⊙O的半径是 　　． 15．如图，在△ABC的边AB上取点D，以D为圆心，以DA为半径画圆弧，交AC于点E；以E为圆心，以ED为半径画圆弧，交AB于点F．若∠CEF＝∠BFE，则∠A＝　　°． 16．如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，若∠BDC＝42°，则∠AOB的度数为 　　． 17．如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC＝AE，∠D＝128°，则∠B＝　　°． 18．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连结CE，若∠BAD＝110°，则∠DCE＝　　度． 19．如图，⊙O经过△ABC的顶点A、B，与边AC、BC分别交于点D、E，连接BD、AE，且∠ADB＝∠CDE． （1）求证：△ABE是等腰三角形； （2）若AB＝10，BE＝12，求⊙O的半径r． 20．如图，点A在y轴正半轴上，点B是第一象限内的一点，以AB为直径的圆交x轴于D，C两点． （1）OA与OD满足什么条件时，AC＝BC，写出满足的条件，并证明AC＝BC； （2）在（1）的条件下，若OA＝1，，求CD长． 21．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交AB于E，交⊙O于D，连接AD，BD． （1）求证：AD＝BD；（2）若AB＝6，AC＝2，求的值． 22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D在AB的延长线上，且BD＝3，过点D作DE⊥AD，交AC的延长线于点E，以DE为直径的⊙O交AE于点F． （1）求⊙O的半径；（2）连接CD，交⊙O于点G，求证：G是CD的中点． 23．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E． （1）求证：AB＝AC． （2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长． 24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点C是弧BD的中点，延长AB到点E，使得BE＝AD，连结AC，CE． （1）求证：AC＝CE． （2）若，，∠BCD＝120°，求BC的长． 25．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB． （1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小； （2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长． 【直线与圆的位置关系】 1．如图，点P为⊙O外一点，连结OP，作以OP为直径的圆，两圆交于点Q，连结PQ，可得PQ是⊙O的切线，则判定其为切线的依据是（　　） A．经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 B．垂线段最短 C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 D．过圆外一点所作的圆的两条切线长相等 2．如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝20°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（　　） A．20° B．40° C．50° D．60° 3．如图，已知PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，PO＝13，AO＝5，则△PCD周长为（　　） A．20 B．22 C．24 D．26 4．点P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（　　） A．70° B．55° C．70°或110° D．55°或125° 5．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝25°，则∠D的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 6．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．1 7．如图，O为△ABC的外心，四边形OCDE为正方形．以下结论：①O是△ABE的外心；②O是△ACD的外心；③直线DE与△ABC的外接圆相切．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 8．如图，量角器的零刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝12cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为 　 　 cm． 9．如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB＝4，AC＝5，AD＝1，那么BC的长为　 　． 10．已知直线l：y＝﹣x+2，若⊙P的半径为1，圆心P在y轴上，当⊙P与直线l相切时，则点P的坐标是 　　． 在构建的直角三角形中，根据圆的半径和相似三角形的判定与性质，即可确定圆心P的坐标． 11．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为 　 　． 12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC，P是线段DE上的动点，以点P为圆心，PD长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为 　　． 13．如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，∠A＝30°． （1）求∠BED的大小； （2）若点F在AB的延长线上，且BF＝AB，求证：DF与⊙O相切． 14．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，连接CO交⊙O于点E，⊙O与AC相切于点D． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若AC＝4，求FG的长． 15．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，D是⊙O上异于A、B的一个动点，连接AD，过O作OC∥AD交BC于点C． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若EA＝1，ED＝3，求⊙O的半径． 16．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AD⊥CD，垂足为D，CA平分∠BCD． ​（1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若⊙O的直径为3，DC＝1，则AB的长为 　　． 17．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，点D为AB边的中点，以CD为直径作⊙O，分别与BC，AC交于点E，F，过点E作EG⊥AB于G． （1）求证：EG是⊙O的切线； （2）若AF＝6，⊙O的半径为5，求EG的长． 18．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O分别交AB，BC于D，E两点，BF⊥CF于点F，且BF＝BD． （1）求证：FC是⊙O的切线； （2）若，求⊙O的半径． 19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AB＝AC，AE∥BC，E为BD的延长线与AE的交点． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若∠ABC＝75°，BC＝2，求的长． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/10/9 19:57:59；用户：张杰；邮箱：1343401091@qq.com；学号：8388001 【圆的综合】 1．如图是一个钟表表盘，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的切线于点P，若表盘的半径长为，则切线长PC为（　　） A．3 B．2 C． D． 2．如图，⊙O经过矩形ABCD的顶点A，B，且与边CD相切于点E，与边AD交于点F，若AF＝9DF，则AB和BC的比值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，等边三角形ABC的边长为2，点A，B在⊙O上，点C在⊙O内，⊙O的半径为，将△ABC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论： ①当点C第一次落在⊙O上时，旋转角为45°； ②当AC第一次与⊙O相切时，旋转角为75°． 则结论正确的是（　　） A．② B．均不正确 C．①② D．① 4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为⊙O的切线，D为切点，DA＝DE，则△ABD和△CDE的面积之比为（　　） A． B． C． D．﹣1 5．如图，⊙O与矩形ABCD的三边AB、BC、CD分别相切于点E、F、G，连接OB、OD，OB＝4，OD＝3，则AB的长为（　　） A．5 B． C．4 D． 6．如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为（　　） A． B． C．2 D．3 7．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，图3是其简化图，已知AB＝12dm，点A在中轴线l上运动，点B在以O为圆心，OB长为半径的圆上运动，且OB＝4dm．当点B按逆时针方向运动到B'时，A'B'与⊙O相切，则AA'的长为 　 　dm． 8．如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C′落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A、D．若∠ACB＝90°，判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由． 9．已知△AOB中，∠ABO＝30°，AB为⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C． （Ⅰ）如图①，若AB∥MN，直径CE与AB相交于点D，求∠AOB和∠BCE的大小； （Ⅱ）如图②，若OB∥MN，CG⊥AB，垂足为G，CG与OB相交于点F，OA＝3，求线段OF的长． 10．“板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及交通工具，在农村发展，甚至城下建设过程中，曾发挥过重要的作用．如图是板车侧面部分的示意图．AB是车轮⊙O的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D，连接AD，BD． （1）求证：∠ADC＝∠DBC； （2）若CD＝2，CB＝2，求BD的长． |初一·数学·基础-提高-精英·学生版| 第1讲 第页 11 学科网（北京）股份有限公司 $