高二数学上学期第一次月考（北师大版2019选修一：直线与圆+椭圆，高效培优·提升卷）

2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册第一章+第二章1.椭圆。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点，若向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知圆与圆有三条公切线，则（   ） A． B． C． D． 4．已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．，是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．2 D．1 6．已知直线与圆交于两点，设弦的中点为，为坐标原点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．曲线的离心率为，圆，P，Q分别为曲线E和圆M上两点，若，则关于线段PQ扫过的图形和面积S，有（   ） A．， B．， C．， D．， 8．米勒问题，是指德国数学家米勒1471年向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大？）米勒问题的数学模型如下：如图，设 是锐角的一边上的两定点，点是边边上的一动点，则当且仅当的外接圆与边相切时，最大．若，点在轴上，则当最大时，点的坐标为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于，的方程，下列说法正确的是（   ） A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 B．若，则该方程表示圆，其半径为 C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 D．若，，则该方程表示两条直线 10．某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 11．如图所示的曲线称为双纽线，是到两定点，的距离之积为定常数的点的轨迹，其对称中心为坐标原点，则下列说法正确的有（   ） A． B．若曲线与圆心在坐标原点的圆相交，则交点必在某等轴双曲线上 C．在第一象限，曲线上的点的纵坐标的最大值为 D．过双曲线上一点，作圆的两条切线，切点分别为，，若直线与的交点在曲线上，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则的最小值为 ． 13．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为 ，的最大值为 ． 14．我国后汉时期的数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这种利用面积出入相补证明勾股定理的方法巧妙又简便．对于勾股定理，我国历史上有多位数学家创造了不同的面积证法，如三国时期的刘徽、清代的华蘅芳等．下图1为一种证明勾股定理时构造的图形（由一个直角三角形和三个正方形构成），若图中，，，现以点C为原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系，如图2所示，以AB的中点D为圆心作圆D，使得图中三个正方形的所有顶点恰有2个顶点在圆D外部，则圆D的一个标准方程为 ．（写出一个即可）    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分) 已知椭圆的离心率为，上的点到其一个焦点的距离的最大值为3． (1)求的标准方程； (2)设，为的左、右顶点，（异于左、右顶点）为上一动点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 16．（15分） 已知两直线，． (1)求直线与的交点的坐标； (2)求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (3)若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 17．（15分） 在平面直角坐标系中，两点，点满足． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知圆，求圆心在上，且过圆与曲线交点的圆的方程； (3)过点作直线交曲线于两点，，求面积的最大值． 18．（17分） 已知椭圆，两点分别为的左顶点、下顶点，两点均在直线上，且在第一象限. (1)设是椭圆的右焦点，且，求的标准方程； (2)若两点纵坐标分别为，请判断直线与直线的交点是否在椭圆上，并说明理由； (3)设直线，分别交椭圆于点、点，若关于原点对称，求的最小值. 19．（17分） 在我们所作的三角形外接圆中，有常见的以下几种如图： (1)如图一，三角形不经过圆的直径，叫做“阿圆▲”，设该三角形为，其外接圆半径为，角所对的边分别为.定义函数，，且的最大值为，若，设D为三角形外接圆劣弧上的一点，且不与重合，求的取值范围. (2)如图二，三角形经过圆的直径，叫做“泰圆▲”，若该三角形为ABC，为定点，C为动点，试用向量方法证明数学常见结论：“”. (3)如图三，三角形包跨过圆的直径，叫做“秘圆▲”，假设该圆的直径为，其中一条边的位置固定，长度为3，求满足条件的动点的运动轨迹方程. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册第一章+第二章1.椭圆。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点，若向量是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 1．【答案】A 【解析】直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：. 2．圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．【答案】A 【解析】解析：设所求圆的方程为， 因为该圆过点，，所以解得， 所以该圆的方程为. 故选：A. 3．已知圆与圆有三条公切线，则（   ） A． B． C． D． 3．【答案】D 【解析】由题知，两圆外切，由圆方程得，半径， 由圆方程得，半径，则，解得. 故选：D 4．已知动圆与圆内切，同时与圆外切，则动圆的圆心轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．【答案】D 【解析】圆圆心，半径，圆圆心，半径， 设动圆的圆心，半径，而，点在圆内， 由动圆与圆内切，与圆外切，得动圆在圆内，且， 因此，动圆圆心C的轨迹为以为左右焦点， 长轴长的椭圆，半焦距，短半轴长， 所以动圆圆心C的轨迹方程为． 故选：D 5．，是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是（   ） A．4 B．5 C．2 D．1 5．【答案】C 【解析】由椭圆，则，即，所以， 设，则，，， 由在椭圆上，则，即， 易知，所以的最大值为. 故选：C. 6．已知直线与圆交于两点，设弦的中点为，为坐标原点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．【答案】D 【解析】 圆的标准方程为，则圆心为，半径， 直线恒过定点，记为，且点在圆内，轴， 又直线的斜率不为0，所以点的轨迹是以为直径的圆，且不为点，所以点轨迹方程为，. 圆的圆心为，半径， 又，所以， 即，即的取值范围为. 故选：D. 7．曲线的离心率为，圆，P，Q分别为曲线E和圆M上两点，若，则关于线段PQ扫过的图形和面积S，有（   ） A．， B．， C．， D．， 7．【答案】D 【分析】根据题意可作出线段PQ扫过的图形，图形面积和矩形对照比较可解. 【解析】∵，∴，即， 圆，， P，Q分别为曲线E和圆M上两点，若， ∴线段PQ扫过的图形如下， 故CD选项图形符合题意， 作圆，如图， ∴线段PQ扫过的图形的面积小于矩形ABCD的面积，， 即， 故选：D. 8．米勒问题，是指德国数学家米勒1471年向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大？）米勒问题的数学模型如下：如图，设 是锐角的一边上的两定点，点是边边上的一动点，则当且仅当的外接圆与边相切时，最大．若，点在轴上，则当最大时，点的坐标为 A． B． C． D． 8．【答案】B 【解析】由于点是边边上的一动点，且点在轴上，故设点的坐标为； 由于，则直线的方程为：，点为直线与轴的交点，故点的坐标为；由于为锐角，点是边边上的一动点，故； 所以线段的中垂线方程为： ；线段的中垂线方程为： ； 故的外接圆的圆心为直线与直线的交点，联立 ，解得： ；即的外接圆圆心的横坐标为 的外接圆与边相切于点，边在轴上，则的外接圆圆心的横坐标与点的横坐标相等，即，解得：或（舍） 所以点的坐标为； 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于，的方程，下列说法正确的是（   ） A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 B．若，则该方程表示圆，其半径为 C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在轴上 D．若，，则该方程表示两条直线 9．【答案】ACD 【解析】对于A，当时，，， 方程表示椭圆，其焦点在轴上，A正确； 对于B，当时，方程表示圆，其半径为，B错误； 对于C，当时，，， 方程表示椭圆，其焦点在轴上，C正确； 对于D，，，方程表示两条直线，D正确. 故选：ACD 10．某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 10．【答案】BD 【解析】如图，以线段的中点为原点，所在直线为轴， 以的方向为轴正方向建立直角坐标系， 则可设轨道所在的椭圆的标准方程为， 则由已知，， 所以，，故离心率为，故A正确； 以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道，环绕周期为， 所以环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以火星半径为， 故B正确，C错误， 因为近火星点与远火星点的距离为，故D正确. 故选：ABD． 11．如图所示的曲线称为双纽线，是到两定点，的距离之积为定常数的点的轨迹，其对称中心为坐标原点，则下列说法正确的有（   ） A． B．若曲线与圆心在坐标原点的圆相交，则交点必在某等轴双曲线上 C．在第一象限，曲线上的点的纵坐标的最大值为 D．过双曲线上一点，作圆的两条切线，切点分别为，，若直线与的交点在曲线上，则 11．【答案】ABD 【解析】A选项，从图中可以看出在两定点，的距离之积为定常数， 其中，所以，A正确； B选项，设曲线上的任意一点，则， 化简得，即，， 设以坐标原点为圆心的圆的方程为，又，故， ，故， 所以，则交点必在某等轴双曲线上，B正确； C选项，在第一象限时，，， 令，则，故， 故当，即时，取得最大值，最大值为， 所以的最大值为，曲线上的点的纵坐标的最大值为，C错误； D选项，切点为的切线方程为， 切点为的切线方程为， 设，则，直线为， 在切线和上， 故，故直线的方程为， 联立与得，解得， 故，故直线与的交点坐标为， 又在曲线上， 故， 即，又，故， 因为，则，D正确 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则的最小值为 ． 12．【答案】5 【解析】， 转化为x轴上的动点到两定点，的距离之和最小， 由图可知，距离之和的最小值为5． 13．已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点的坐标为，则的最小值为 ，的最大值为 ． 13．【答案】， 【解析】设右焦点为，椭圆中，，则，所以焦点坐标分别为，，由椭圆的定义得． 将点的坐标代入椭圆方程得，所以点在椭圆外，连接，如图所示． ， 将代换为，转移到中， 连接，因为， 所以，当且仅当点为线段与椭圆的交点（点）时，取等号， 所以的最小值为． 因为，当点为线段的延长线与椭圆的交点时， 取得最大值，故的最大值为． 14．我国后汉时期的数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这种利用面积出入相补证明勾股定理的方法巧妙又简便．对于勾股定理，我国历史上有多位数学家创造了不同的面积证法，如三国时期的刘徽、清代的华蘅芳等．下图1为一种证明勾股定理时构造的图形（由一个直角三角形和三个正方形构成），若图中，，，现以点C为原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系，如图2所示，以AB的中点D为圆心作圆D，使得图中三个正方形的所有顶点恰有2个顶点在圆D外部，则圆D的一个标准方程为 ．（写出一个即可）    14．【答案】（答案不唯一，满足均可） 【解析】由题图可得，，，，，， 所以，． 连接DC，DE，DF，DM，DN，DQ，DP， 在中，，则， ，， ，， 则点D到三个正方形顶点的距离分别为，，，，，，，， 因为恰有2个顶点在圆D外部，所以圆D的方程为． 故圆D的一个标准方程可以为．    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分) 已知椭圆的离心率为，上的点到其一个焦点的距离的最大值为3． (1)求的标准方程； (2)设，为的左、右顶点，（异于左、右顶点）为上一动点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 15．（13分） 【解析】（1）根据题意得，解得， 的标准方程为.(6分) （2）证明：由（1）得，，设点， 则，，（8分） ，， ， 为定值．（13分） 16．（15分） 已知两直线，． (1)求直线与的交点的坐标； (2)求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (3)若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 16．【解析】（1）由题意得，，解得，点的坐标为．(4分) （2）设所求直线为， （ⅰ）当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即.(6分) （ⅱ）当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或．（9分） （3）（ⅰ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得；（11分） （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得；（13分） （ⅲ）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形．（15分） 17．（15分） 在平面直角坐标系中，两点，点满足． (1)求点的轨迹的方程； (2)已知圆，求圆心在上，且过圆与曲线交点的圆的方程； (3)过点作直线交曲线于两点，，求面积的最大值． 17.【解析】（1）设，由可得， 化简可得， 所以点的轨迹的方程为．(4分) （2）曲线的方程为，即． 方法一：设经过两圆交点的圆系方程为， 即，所以圆心的坐标为． 又圆心在直线上，所以，解得， 所以所求圆的方程为，即．（9分） 方法二：圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，，所以两圆相交. 由，两式相减得两圆的公共弦所在直线为． 由，解得 ，，所以两圆的交点为． 线段的垂直平分线所在直线的方程为， 由，得 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为．（9分） （3）如图，设直线的方程为， 联立，消去并整理可得， 则，得．    设，则， 由弦长公式可得 ．（11分） 又到直线的距离， 所以．（13分） 令，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为．（15分） 18．（17分） 已知椭圆，两点分别为的左顶点、下顶点，两点均在直线上，且在第一象限. (1)设是椭圆的右焦点，且，求的标准方程； (2)若两点纵坐标分别为，请判断直线与直线的交点是否在椭圆上，并说明理由； (3)设直线，分别交椭圆于点、点，若关于原点对称，求的最小值. 18．【解析】（1）由题可得， 因为， 所以，解得， 所以， 所以，的标准方程.(4分) （2）直线与直线的交点在椭圆上， 由题可得此时， 所以，直线的方程为，直线方程为， 所以，联立方程，解得， 所以，直线与直线的交点为 因为点满足， 所以，直线与直线的交点在椭圆上.（9分） （3）解：由题知，设，则直线， 所以， 因为在第一象限， 所以在第一象限，即 所以，则直线， 所以， 所以 ，（12分） 设，则， 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立 所以，的最小值为.（17分） 19．（17分） 在我们所作的三角形外接圆中，有常见的以下几种如图： (1)如图一，三角形不经过圆的直径，叫做“阿圆▲”，设该三角形为，其外接圆半径为，角所对的边分别为.定义函数，，且的最大值为，若，设D为三角形外接圆劣弧上的一点，且不与重合，求的取值范围. (2)如图二，三角形经过圆的直径，叫做“泰圆▲”，若该三角形为ABC，为定点，C为动点，试用向量方法证明数学常见结论：“”. (3)如图三，三角形包跨过圆的直径，叫做“秘圆▲”，假设该圆的直径为，其中一条边的位置固定，长度为3，求满足条件的动点的运动轨迹方程. 19．【解析】（1）由，得， ， 其中由，不妨取， 由，得， 当时， 取最大值，最大值为， 化简得，又， 由， 解得或，由，则，联立， 解得，则，则， 由题意，为“阿圆▲”，即为钝角三角形，有一内角为钝角， 而，满足题意， 此时，， 如图，由题意D为三角形外接圆劣弧上的一点，且不与重合，为圆心， 取中点，连接，则，，三点共线， 所以. ，（3分） 结合图形可知，，且， 因此，故. 即的取值范围为.（6分） （2）由题意，由为“泰圆▲”，为外接圆圆心，则其中一边过圆心，即为直径， 若为动点，要使恒为“泰圆▲”，则为直径， ， 由构成三角形，三点不共线，故，即， 故，结论得证.（10分） （3）以中点为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意，则，设， 设外接圆圆心为，已知直径为，则， 由对称性可知，圆心在的垂直平分线上，即轴上， 设圆心，则，解得，则或. 当时，点在圆上，（13分） 如图，连接，延长分别与圆交于点， 由题意，为“秘圆▲”，即为锐角三角形，结合图形可知， 的轨迹为圆上的劣弧，且不包括端点,所以， 当时，同理由对称性可得点的轨迹方程为. 综上所述，满足条件的动点的运动轨迹方程为 或.(17分) 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷 提升卷·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A D D C D D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 5 13．， 14．（答案不唯一，满足均可） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）根据题意得，解得， 的标准方程为.(6分) （2）证明：由（1）得，，设点， 则，，（8分） ，， ， 为定值．（13分） 16．【解析】（1）由题意得，，解得，点的坐标为．(4分) （2）设所求直线为， （ⅰ）当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即.(6分) （ⅱ）当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或．（9分） （3）（ⅰ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得；（11分） （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得；（13分） （ⅲ）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形．（15分） 17. （15分） 【解析】（1）设，由可得， 化简可得， 所以点的轨迹的方程为．(4分) （2）曲线的方程为，即． 方法一：设经过两圆交点的圆系方程为， 即，所以圆心的坐标为． 又圆心在直线上，所以，解得， 所以所求圆的方程为，即．（9分） 方法二：圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，，所以两圆相交. 由，两式相减得两圆的公共弦所在直线为． 由，解得 ，，所以两圆的交点为． 线段的垂直平分线所在直线的方程为， 由，得 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以所求圆的方程为．（9分） （3）如图，设直线的方程为， 联立，消去并整理可得， 则，得．    设，则， 由弦长公式可得 ．（11分） 又到直线的距离， 所以．（13分） 令，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为．（15分） 18．【解析】（1）由题可得， 因为， 所以，解得， 所以， 所以，的标准方程.(4分) （2）直线与直线的交点在椭圆上， 由题可得此时， 所以，直线的方程为，直线方程为， 所以，联立方程，解得， 所以，直线与直线的交点为 因为点满足， 所以，直线与直线的交点在椭圆上.（9分） （3）解：由题知，设，则直线， 所以， 因为在第一象限， 所以在第一象限，即 所以，则直线， 所以， 所以 ，（12分） 设，则， 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立 所以，的最小值为.（17分） 19．【解析】（1）由，得， ， 其中由，不妨取， 由，得， 当时， 取最大值，最大值为， 化简得，又， 由， 解得或，由，则，联立， 解得，则，则， 由题意，为“阿圆▲”，即为钝角三角形，有一内角为钝角， 而，满足题意， 此时，， 如图，由题意D为三角形外接圆劣弧上的一点，且不与重合，为圆心， 取中点，连接，则，，三点共线， 所以. ，（3分） 结合图形可知，，且， 因此，故. 即的取值范围为.（6分） （2）由题意，由为“泰圆▲”，为外接圆圆心，则其中一边过圆心，即为直径， 若为动点，要使恒为“泰圆▲”，则为直径， ， 由构成三角形，三点不共线，故，即， 故，结论得证.（10分） （3）以中点为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意，则，设， 设外接圆圆心为，已知直径为，则， 由对称性可知，圆心在的垂直平分线上，即轴上， 设圆心，则，解得，则或. 当时，点在圆上，（13分） 如图，连接，延长分别与圆交于点， 由题意，为“秘圆▲”，即为锐角三角形，结合图形可知， 的轨迹为圆上的劣弧，且不包括端点,所以， 当时，同理由对称性可得点的轨迹方程为. 综上所述，满足条件的动点的运动轨迹方程为 或.(17分) 3 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$