精品解析：吉林长春高新技术产业开发区慧谷学校2025-2026学年下学期期中学业质量检测 八年级 数学 试卷

2025-2026学年度下学期长春新区吉大慧谷学校期中学业质量检测 八年级数学试卷 考试时间：120分钟总分：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. B. C. D. 2. 某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 平行四边形不一定具备的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 4. 点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A. 测量是否有三个角是直角 B. 测量对角线是否相等 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量对角线是否互相垂直 6. 如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，连接，若菱形的周长为24，则的长是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 7. 已知点、、都在反比例函数的图象上，若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点在反比例函数的图像上，点是上一点，过点作轴于点，连接．若，的面积为2，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 函数中，自变量的取值范围是_____． 10. 分式 的最简公分母是___________． 11. 如图，在中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，若，，则________． 12. 一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解是________． 13. 如图①，点从菱形的顶点出发，沿运动，图②是点运动时，的面积随点的运动路程变化的关系图像．若，则的长为________． 14. 如图，在中，，，点，分别是边、上一点，且，则四边形的形状可能是________．（填序号：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形） 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 解方程：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画面积为3的，且点在格点上； （2）在图②中画面积为6的，且点均在格点上； （3）在图③中画面积为5的． 19. 年春节前，某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”．已知甲型号机器人每小时分拣数量比乙型号机器人每小时分拣数量多件，且甲型号机器人分拣件和乙型号机器人分拣件所用时间相等．求甲、乙型号机器人每小时分拣数量分别是多少件． 20. 如图，直线与双曲线相交于，两点． （1）分别求直线和双曲线对应的函数解析式； （2）直接写出当时的取值范围． 21. 如图，在中，，是边上的高线，延长到E，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 22. 某公司生产了、两款新能源电动汽车．技术组经过试验，绘制了如图所示的函数图象，、分别表示款、款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的函数关系． （1）求所对应的函数表达式； （2）当电池电量用完时，判断、两款新能源电动汽车哪款行驶路程更长？长多少？ （3）如果试验中款电动汽车平均行驶速度为，那么它耗电能够行驶的时长为___________． 23. 定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点A，D在直线上，点B，C在直线上，若，则四边形是半对角四边形． （1）如图2，点E是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，则______． （2）如图3，以的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； （3）如图4，在（2）的条件下，若点E是反比例函数图像上的动点，当点E运动时，点B恰好在反比例函数的图像上运动，请直接写出k的值______． 24. 如图，在中，为锐角，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． （1）点P在上运动时，______；点P在上运动时，______．（用含t的代数式表示） （2）点P在上，时，求t的值； （3）当直线平分的面积时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期长春新区吉大慧谷学校期中学业质量检测 八年级数学试卷 考试时间：120分钟总分：120分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的值为0，分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0； 【详解】解：要使分式的值为0，需满足： 1. 分子为0：，解得； 2. 分母不为0：当时，分母，满足条件； 故选：B． 2. 某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，当原数绝对值小于时，的绝对值等于原数变为时小数点移动的位数，为负数，正确确定和的值即可解题． 【详解】解：． 3. 平行四边形不一定具备的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，邻角互补，逐项判断即可解答． 【详解】解：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，邻角互补， 平行四边形不一定有的性质是对角线相等，即C选项， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟知性质是解题的关键． 4. 点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用平方的非负性判断点的横纵坐标的正负，再根据各象限内点的坐标特征，即可判断点所在象限． 【详解】对任意实数，都有， ，即该点的横坐标为正数， 该点的纵坐标为，根据平面直角坐标系的象限特征：横坐标为正，纵坐标为负的点在第四象限， 点在第四象限． 5. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A. 测量是否有三个角是直角 B. 测量对角线是否相等 C. 测量两组对边是否分别相等 D. 测量对角线是否互相垂直 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法，是解题的关键． 根据矩形的判定方法即可得到结论． 【详解】解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意； B、测量对角线是否相等，不能判定形状；不符合题意； C、测量两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；不符合题意； D、测量对角线是否互相垂直，不能判定形状；不符合题意． 故选：A． 6. 如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，连接，若菱形的周长为24，则的长是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，由菱形的性质可得，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点O，且其周长为24， ∴， ∵E是的中点， ∴， 故选：B． 7. 已知点、、都在反比例函数的图象上，若，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据比例系数判断函数所在象限和增减性，再结合的取值范围比较的大小即可． 【详解】解：∵中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵， ∴点在第三象限，点，在第一象限， ∴，，， ∵在第一象限内随增大而减小，且， ∴， ∴． 8. 如图，点在反比例函数的图像上，点是上一点，过点作轴于点，连接．若，的面积为2，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的相关知识，难度不大但需注意最后所求k值的符号，此为易错点． 根据反比例函数的性质，将k用、表示出来；再根据线段之间的关系得出两个同高的三角形的面积关系，进而求出，再根据，即可求出解． 【详解】解：∵轴， ∴，， ∵点在反比例函数的图像上， ∴，即， ∵， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 10. 分式 的最简公分母是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母的定义，最简公分母是取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积，根据定义即可求解本题． 【详解】解：分式的最简公分母是． 11. 如图，在中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，若，，则________． 【答案】15 【解析】 【分析】根据性质，先证明，再证明，解答即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴，, ∵，， ∴， ∴， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角的平分线，熟练掌握性质是解题的关键． 12. 一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解是________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据图象意义，得直线与x轴交点的横坐标就是方程的解，解答即可． 本题考查了一元一次方程的解与一次函数的关系，熟练掌握直线与x轴交点的横坐标就是方程的解，是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得一次函数的图像与x轴交点的横坐标3， 故关于x的方程的解是． 故答案为：3． 13. 如图①，点从菱形的顶点出发，沿运动，图②是点运动时，的面积随点的运动路程变化的关系图像．若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由图象可得，点P运动到点C时，的面积为，即的面积为，过点A作于点E，根据四边形是菱形得到，由得到，因此，从而根据勾股定理得到，根据，即可求解． 【详解】解：由图象可得，点P运动到点C时，的面积为，即的面积为， 过点A作于点E， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 如图，在中，，，点，分别是边、上一点，且，则四边形的形状可能是________．（填序号：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先得出四边形是平行四边形，再根据矩形、菱形和正方形的判定逐个分析即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； 若，则四边形是矩形， 此时， ∴， ∵， ∴，点在边上，符合题意； 若， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 即当时，四边形是菱形； 要使平行四边形是正方形，则，且， 由上可知，， ∴，， ∴，这与矛盾， ∴平行四边形不可能是正方形； 综上，四边形的形状可能是①②③． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：当， 即时， ． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的计算，先对分母进行因式分解确定最简公分母，再去分母将分式方程转化成整式方程，求解整式方程后需检验所得的根是否为增根． 【详解】解：原方程化为， 方程两边同时乘以，， 去分母得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 所以，原分式方程的解为． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解：， ． 将代入，得， 原式 ． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画面积为3的，且点在格点上； （2）在图②中画面积为6的，且点均在格点上； （3）在图③中画面积为5的． 【答案】（1）见解析（答案不唯一） （2）见解析（答案不唯一） （3）见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）过B作水平线段（向右3格），连接即可；或过A作水平线段（向右3格），连接即可； （2）过A作水平线段（向右3格），过B作水平线段（向右3格），连接即可；或将A、B分别向右2格、向下2格得到F，E构成平行四边形，根据割补法即可得出答案； （3）利用矩形的性质找到（向右2.5格），连接即可；或利用格点位置得，作正方形即可；或利用割补法找到格点M、N即可解答； 【小问1详解】 解：如图，为所求， 【小问2详解】 解：如图，为所求， 【小问3详解】 解：如图，为所求， 19. 年春节前，某快递公司为提高配送效率，引进了甲、乙两种型号的“分拣机器人”．已知甲型号机器人每小时分拣数量比乙型号机器人每小时分拣数量多件，且甲型号机器人分拣件和乙型号机器人分拣件所用时间相等．求甲、乙型号机器人每小时分拣数量分别是多少件． 【答案】甲型号机器人每小时分拣件，乙型号机器人每小时分拣件． 【解析】 【分析】设乙型号机器人每小时分拣件，则甲型号机器人每小时分拣件，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设乙型号机器人每小时分拣件，则甲型号机器人每小时分拣件， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ． 答：甲型号机器人每小时分拣件，乙型号机器人每小时分拣件． 20. 如图，直线与双曲线相交于，两点． （1）分别求直线和双曲线对应的函数解析式； （2）直接写出当时的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法，先求出的函数解析式，再求出点坐标，再利用A，B点坐标，代入，即可求出的函数解析式； （2）观察两个函数的图像，即可得到时，的取值范围． 【小问1详解】 解：将点A坐标代入，得 解得， ， 过点B， 将点B坐标代入，得， 点B坐标为， 过点A，点B， 将点A，点B坐标，代入，联立得二元一次方程组 解得 ． 【小问2详解】 解：由（1）作出，的图象，如下 观察图像可知，当或时，． 21. 如图，在中，，是边上的高线，延长到E，使得，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵，是边上的高线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是边上的高线，即， ∴四边形是菱形； （2）96 【解析】 【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，利用菱形的判定定理即可得到四边形是菱形； （2）利用勾股定理求得，再利用菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 22. 某公司生产了、两款新能源电动汽车．技术组经过试验，绘制了如图所示的函数图象，、分别表示款、款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的函数关系． （1）求所对应的函数表达式； （2）当电池电量用完时，判断、两款新能源电动汽车哪款行驶路程更长？长多少？ （3）如果试验中款电动汽车平均行驶速度为，那么它耗电能够行驶的时长为___________． 【答案】（1） （2）款汽车比款行驶路程长，长 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象获取信息，数形结合是解题的关键； （1）根据函数图象中的坐标，待定系数法求解析式即可求解； （2）令中，得出，根据函数图象求得款新能源电动汽车行驶路程，比较大小，即可求解； （3）令中，，分别求得路程，即可得出能够行驶的路程，再除以速度，即可求解． 【小问1详解】 解：设所对应的函数表达式，依题意， ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 当时，， 解得：， 电池电量用完时，款新能源电动汽车行驶路程为， ()， ∴款汽车比款行驶路程长，长； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：， ， （小时）， 故答案为：． 23. 定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点A，D在直线上，点B，C在直线上，若，则四边形是半对角四边形． （1）如图2，点E是平行四边形的边上一点，，，．若四边形为半对角四边形，则______． （2）如图3，以的顶点C为坐标原点，边所在直线为x轴，对角线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边上一点，满足．求证：四边形是半对角四边形； （3）如图4，在（2）的条件下，若点E是反比例函数图像上的动点，当点E运动时，点B恰好在反比例函数的图像上运动，请直接写出k的值______． 【答案】（1）6 （2）见解析 （3）8 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形、反比例函数图像上点的坐标特征等知识，理解题中定义，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先根据平行四边形的性质得到，， ，再根据题中定义得到，然后得到，根据等角对等边得到，进而可求解； （2）先根据平行四边形的性质得到，，进而证得，根据等边对等角得到，然后利用三角形的外角性质推导出，进而根据题中定义可得结论； （3）根据等腰三角形的判定推导出E为的中点，设，利用中点坐标公式可得，，进而可得点B的坐标为，利用反比例函数图像上点的坐标特征可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∴， ∵四边形为半对角四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形是半对角四边形； 【小问3详解】 解：由（2）知，，， ∵， ∴， ∴，则， ∴E为的中点， 设，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 由题意，点B的坐标为， ∵点E是反比例函数图像上，点B恰好在反比例函数的图像上， ∴，， ∴， 故答案为：8． 24. 如图，在中，为锐角，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． （1）点P在上运动时，______；点P在上运动时，______．（用含t的代数式表示） （2）点P在上，时，求t的值； （3）当直线平分的面积时，求t的值． 【答案】（1）， （2） （3）或时，直线平分四边形的面积 【解析】 【分析】（1）根据题意：当点在上运动时，，点在上运动时，； （2）点在上，时，，即可求得； （3）根据题意求得，然后根据点和点在各边上的情况分类讨论即可求得的值； 【小问1详解】 解：当点P在上时， ∵， ∴， 当点P在上时， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当点在上，时，点在上，且， ， ， 解得：， 的值为：9； 【小问3详解】 解：当点依次在、、、上时，的取值范围依次为：、、、， 当点依次在、、、上时，的取值范围依次为：、、、， 由于当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． ； 当，点在上，点在上时，直线平分平行四边形的面积， ，即， 解得：， 当，点在上，点在上时，直线平分平行四边形的面积， ，即， 解得：， 综上所述：当直线平分平行四边形的面积时，的取值为：或； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $