精品解析：河南省南阳市第一中学校2025-2026学年高一上学期开学考试数学试题

南阳一中2025年秋期高一开学考试数学试题 （时间90分钟，共120分） 一､单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 方程组的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 如果，是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在上定义运算，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知x>0，y>0，且+=1，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. (-∞,-2]∪[4,+∞) B. (-∞,-4)∪[2,+∞) C. (-2,4) D. (-4,2) 8. 在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即，其中是距离（单位），是质量（单位），是弹簧系数（单位）．弹簧系数分别为，的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数满足，并联时得到的弹簧系数满足．已知物体质量为，当两个弹簧串联时拉伸距离为，则并联时弹簧拉伸的最大距离为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知集合，且，则集合A的真子集个数是7 B. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 11. 不等式的解集为__________． 12. 命题“”的否定是__________． 13. 某商场销售某种商品经验表明，该产品生产总成本与产量的函数关系式为，销售单价与产量的函数关系式为.要使每件产品的平均利润最大，则产量等于__________. 四､解答题：本题共4小题，共53分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 14. 已知集合 （1）当时，求； （2）若，求实数的值． 15 设全集，集合，，其中． （1）若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； （2）若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 16. 已知不等式的解集为或． （1）求a，b； （2）解关于x的不等式． 17. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳一中2025年秋期高一开学考试数学试题 （时间90分钟，共120分） 一､单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2. 方程组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解出方程组的解，然后用集合表示. 【详解】因为，将代入得，得. ，解得.代入得. 所以方程组的解集. 故选：D. 【点睛】本题考查集合的表示，考查用列举法表示方程组解的集合，注意解的表示形式，属于基础题. 3. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正实数满足， 由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C 4. 不等式解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用分式不等式的解法求解即可. 【详解】解：， 即， 即， 等价于， 解得：， 即原不等式的解集为：. 故选：D. 5. 如果，是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件． 【详解】当时，满足，而，则充分性不成立； 当时，若，则， 所以，而，则； 若，则， 所以，而，则，则必要性成立． 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 6. 在上定义的运算，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据规定的新定义运算法则化简不等式，然后直接求解一元二次不等式就可以得到正确答案 【详解】根据给出在上定义运算 ， 由得，解之得， 故该不等式的解集是． 故选：B 7. 已知x>0，y>0，且+=1，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. (-∞,-2]∪[4,+∞) B. (-∞,-4)∪[2,+∞) C. (-2,4) D. (-4,2) 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知条件，利用基本不等式求得，再由恒成立，可得，从而可求出m的取值范围 【详解】解：因为，x>0，y>0， 所以，当且仅当时，取等号， 因为恒成立， 所以，解得， 故选：D 8. 在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即，其中是距离（单位），是质量（单位），是弹簧系数（单位）．弹簧系数分别为，的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数满足，并联时得到的弹簧系数满足．已知物体质量为，当两个弹簧串联时拉伸距离为，则并联时弹簧拉伸的最大距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用串联列关系，结合基本不等式求得最小值，再利用并联关系得到最小时求得弹簧拉伸的最大距离即可. 【详解】依题意设两个弹簧的弹簧系数分别为，，串联时弹簧系数为，并联时弹簧系数为. 两个弹簧串联时，由知，，则即， 即，故，当且仅当时等号成立， 两个弹簧并联时，，拉伸距离，要是最大，则需最小，而时，故此时最大，为cm. 故选：A. 【点睛】思路点睛： 利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立. （1）积定，利用，求和的最小值； （2）和定，利用，求积的最大值； （3）妙用“1”拼凑基本不等式求最值. 二､多选题（选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据与2的大小，求得不等式的解，分析其中恰有2个整数的情形即可求解. 【详解】不等式化为， 当时，不等式解， 不等式解集中恰有两个整数，则这两个整数，则； 当时，不等式无解，不符合； 当时，不等式解为， 不等式解集中恰有两个整数，则这两个整数为，则. 综上，满足题意的实数的取值范围可能是或. 故选：AB 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知集合，且，则集合A的真子集个数是7 B. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，化简集合A，利用公式计算；对，利用充分、必要条件的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于A：集合，且， 所以集合A的真子集个数为，A错误； 对于B：若“方程有一个正根和一个负根”,则， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，B正确； 对于C：解，得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，C错误； 对于D：若，则且， 所以“”是“”的必要不充分条件，D正确. 故选：BD. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 11. 不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】由， 所以原不等式的解集为， 故答案： 12. 命题“”的否定是__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据题意，写出命题的否定即可. 【详解】命题“”的否定是“”. 故答案为：. 13. 某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本与产量的函数关系式为，销售单价与产量的函数关系式为.要使每件产品的平均利润最大，则产量等于__________. 【答案】40 【解析】 【分析】 根据题意把平均利润的表达式求出来，结合基本不等式进行求解. 【详解】由题意得，销售收入， 利润， 每件商品的平均利润为， 因为，当且仅当，即时，取到最小值，此时取到最大值； 所以要使每件产品的平均利润最大，则产量. 【点睛】本题主要考查基本不等式的实际应用，构建数学模型是求解的关键，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养. 四､解答题：本题共4小题，共53分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 14. 已知集合 （1）当时，求； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式得到，然后求交集； （2）根据集合的包含关系列不等式即可. 【小问1详解】 由题意得， 所以. 【小问2详解】 因为，所以，则， 所以. 15. 设全集，集合，，其中． （1）若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； （2）若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据条件可知，列不等式，即可求解； （2）首先求当时的取值范围，再求其补集. 【小问1详解】 ， “”是“”必要而不充分条件，  ，解得， 即实数的取值范围为； 【小问2详解】 若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 16. 已知不等式的解集为或． （1）求a，b； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集，结合根与系数的关系列出方程即可得到结果. （2）由题意得到不等式对应的方程的两根，然后根据两根的大小讨论即可得到结果. 【小问1详解】 因为不等式的解集为或， 所以与是方程的两个实数根，且． 由根与系数的关系，得，解得； 【小问2详解】 原不等式化为：，即， ①当时，不等式的解集为，②当时，不等式的解集为 ③当时，不等式的解集为． 17. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 【答案】（1）当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低 （2） 【解析】 【详解】解：（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为，底面积为，所以屋子的前面墙的长度为． 设甲工程队报价为y元，所以． 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低，为14400元． （2）根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立． 因为，当且仅当，即时，等号成立，所以． 故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $