10.4 平面与平面的位置关系（讲义）高二数学沪教版必修第三册

本讲义聚焦高中数学“平面与平面的位置关系”核心知识点，系统梳理面面平行、垂直的判定与性质定理，二面角的定义及求法。从位置关系定义出发，通过判定定理实现线面到面面的转化，借助性质定理解决应用问题，二面角作为度量工具连接位置关系与数量计算，构建完整学习支架。 该资料突出定理严谨性，如强调面面平行需“两条相交直线”等关键条件，培养学生推理意识。提供定义法、射影法等多种求二面角思路，发展几何直观与空间观念。题型分层设计典例、变式及综合练习，帮助学生用数学语言规范表达，课中辅助教师突破作图、证明等难点，课后助力学生查漏补缺，提升应用能力。

第十章 空间直线与平面 10.4 平面与平面的位置关系 课标要点 1.熟记面面平行、垂直的判定与性质定理，规范书写证明步骤，分清定理成立全部限定条件。 2.理解二面角及平面角定义，掌握定义法、射影法、向量法等多种求解二面角的常用思路。 3.能结合几何体识别半平面、无棱二面角，灵活运用面面平行相关推论解决线段求值问题。 4.区分面面平行与面面垂直的逻辑推导，规避定理条件缺失、角度范围混淆等常见错误。 学习重难点 重点： 1.面面平行判定与性质定理，核心抓住平面内两条相交直线这一必备条件完成证明推导。 2.二面角平面角的三要素，熟练运用几种常规方法作图、计算各类题型中二面角大小。 3.面面垂直判定与性质定理，依托线面垂直完成面面垂直证明，实现空间位置转化。 难点： 1.立体空间作图难度大，难以快速构造二面角平面角，无棱二面角补棱思路不易掌握。 2.容易遗漏定理关键条件，如面面平行缺少相交直线、面面垂直忽略直线在平面内条件。 知识点一 平面与平面平行 1.两个平面的位置关系 位置关系 定义 符号 面面平行 两平面无公共点 面面相交 两平面有且仅有一条公共直线 2.面面平行判定定理 若一个平面内存在两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，简记：线面平行面面平行。 符号语言： 注：仅一条直线、两条平行线、无数条平行线均无法推出面面平行。 3.面面平行性质定理 若两个平行平面同时与第三个平面相交，则两条交线互相平行。 符号语言： 4.核心重要结论 1.垂直于同一条直线的两个平面互相平行； 2.两平面平行，则一个平面内任意直线都平行于另一平面； 3.一条直线垂直于两个平行平面中的一个，必垂直另一个； 4.夹在两平行平面间的平行线段长度相等； 5.平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行。 5.半平面定义 平面内一条直线将平面分成两部分，每一部分称为半平面。 特别提醒 判定定理条件遗漏，忽略“两条相交直线”核心要求 做题时常只用平面内一条直线、两条平行直线证明线面平行，直接推导面面平行。平行线无法撑开平面，不能保证整个平面与另一平面无交点，证明步骤直接失分。 即学即练 1．已知平面，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，，得；反之，由，，得或相交， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．如图，正方体的棱长为6，且分别为的中点.证明：平面平面； 【答案】连接，则因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面. 【详解】略 知识点二 二面角 1.定义 从一条直线出发的两个半平面组成的图形为二面角；这条直线是棱，两个半平面是二面角的面。 2.记法 二面角、二面角等。 3.作图： 分为平卧式（卧式）、直立式（立式）两种画法。 即学即练 知识点三 二面角的平面角 1.定义 在二面角棱上任取一点，以此点为垂足，在两个半平面内分别作棱的垂线，两条垂线构成的角为二面角的平面角；平面角为直角时，该二面角称为直二面角。 2.关键说明 1.二面角大小由其平面角度量，与棱上垂足选取位置无关； 2.平面角三要素缺一不可：顶点在棱上、两边分属两个半平面、两边都垂直于棱； 3.二面角取值范围；两半平面重合为，共面展开为，垂直为。 3.求平面角方法 1.定义法：棱上取特殊点，两面内作棱垂线，直接构造平面角，基础通用解法； 2.三垂线定理法：借助斜线与射影垂直关系，快速找到垂直棱的两条射线，适用于含垂线、斜线几何体； 3.公垂面法：作同时垂直于棱的平面，该平面与二面角两面的交线夹角即为平面角； 4.面积射影法：，多用于无棱二面角，计算简便； 即学即练 5．如图，在三棱锥中，底面，，，D是的中点．求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)二面角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）不妨设，易知平面，平面， 所以，又，，且两直线在平面内， 平面，又平面， 故，故异面直线与所成角的大小为． （2）过D作于E，连结，由（1）知平面， 故由三垂线定理得，所以为二面角的平面角． 在中，， 在中，，， 故二面角的大小为． 知识点四 平面与平面垂直 1.定义 两平面相交，若所成二面角为直二面角，则称两平面互相垂直。 2.面面垂直判定定理 若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两平面垂直，简记：线面垂直面面垂直。 符号语言： 3.面面垂直性质定理 两个平面互相垂直，在一个平面内垂直于两平面交线的直线，垂直于另一个平面。 符号语言： 特别提醒 （1）判定定理使用逻辑颠倒，条件不完整 仅证明两平面存在一条直线垂直，未说明这条直线完全落在其中一个平面内，无法证面面垂直，缺少“直线在面内”关键条件。 （2）性质定理遗漏“垂直交线”前提 已知面面垂直时，随意在平面内取直线判定线面垂直，只有平面内垂直于两平面交线的直线，才垂直另一平面，普通直线不满足。 即学即练 3．如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，．证明：平面平面； 【答案】因为底面是正方形，所以， 因为，，平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面． 【详解】略 4．如图，在四棱锥中，平面，平面平面. 证明：平面PAD. 【答案】证明见解析 【详解】取的中点，连接. 因为，所以. 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 又平面平面，所以. 又，平面 所以平面. 题型01 面面平行的判定定理 典｜例｜精｜析 【例1】如图是某正方体的平面展开图．关于这个正方体，有以下判断： ①；②平面ADE；③平面平面AFN；④是异面直线．其中判断正确的序号是___________． 【答案】②③④ 【详解】将平面展开图还原成正方体后，CN与DE是异面直线，而不是平行关系．因为在正方体中，CN与DE既不相交也不平行，所以①错误． 将平面展开图还原成正方体．在正方体中，，又因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE，②正确． 将平面展开图还原成正方体．在正方体中，，，平面BDM，平面BDM，故平面BDM．同理平面BDM,根据平面与平面平行的判定定理,所以平面平面AFN，③正确． 将平面展开图还原成正方体．在正方体中，DM与BF既不相交也不平行，满足异面直线的定义，所以DM，BF是异面直线，④正确． 故答案为：②③④． 【例2】在正方体中，如图E、F、G、H、M、N分别是相应棱的中点．求证：平面平面． 【答案】 连接、可知，，，且，平面， 平面，又平面， ． 同理，，平面， 平面． 同理平面 ∴平面平面． 【详解】略 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1) 取的中点，连接. 则. 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，不在平面内， 所以平面. (2) 因为，平面，不在平面内， 所以平面. 由（1）知，平面. 因为平面， 所以平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-2】如图所示，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，分别是棱的中点，是的中点． (1)证明：； (2)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）∵是棱的中点，，∵，∴为等腰三角形， 又∵是的中点，∴，∵平面，平面， ∴，又，平面，∴平面， 又∵平面，∴． （2）∵是棱的中点，， ，且，四边形为平行四边形，则， 即，平面，平面，∴平面， 同理平面，又平面， ∴平面平面． 【变式1-3】在正方体中，是棱的中点． (1)求证：平面； (2)若是棱的中点，求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：如图所示： 连接交于点O，连接， 是棱的中点， O是的中点 则，且平面 ，平面， 所以平面. （2）因为为棱和棱的中点，则，， 所以四边形是平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面 ，，平面， 所以平面平面. 题型02 面面平行的性质定理 典｜例｜精｜析 【例3】如图，正方体的棱长为2，是棱的中点，是侧面内一点（包括边界），若平面，则长度的范围为___________． 【答案】 【详解】过作，交于点，交于，则易知底面， ∵平面，又易得平面，，且平面， 平面平面，又平面，平面， 又平面平面，平面 ∴ ∵为中点,为中点，则为中点, 即在线段上, ，， ，， 则线段长度的取值范围为：， 故答案为：. 【例4】如图，在正方体中，分别为与上的点，且．求证：平面． 【答案】 法一：如图，过点作交于点，过点作交于点，连结，显然． 因为是正方体，所以，， 又因为，，且，所以， 所以四边形是平行四边形，从而. 因为平面，平面，所以平面． 法二：如图，连结并延长，与直线相交于点，连结． 因为是正方体，所以，． 又因为，所以，从而． 因为平面，平面，所以平面． 法三：如图，过点作交于点，连结，显然， 因为平面，平面，所以平面． 因为是正方体，所以，， 又因为，所以，故， 所以，从而， 因为平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． 【详解】略 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】，表示两条直线，，表示两个平面，若，，则“”是“”（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，可得， 当时，不一定成立，如：时有； 当时，因为，所以，又，所以， 综上，所以“”是“”的必要不充分条件. 【变式2-2】如图，已知直三棱柱所有棱长均为2．过线段中点作平面平面，设点为平面与线段的交点． (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求证：，并求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 因为平面平面，且平面， 所以平面， 因为平面，平面， 所以， 点到直线的距离为 【分析】 【详解】（1）在直三棱柱中，有平面， 所以即为直线与平面所成角的平面角， 因为点为的中点，所以，， 所以， 即直线与平面所成角的为； （2）连接，，， 在直三棱柱中，底面为正三角形， 所以，，， 在中，，则， 所以点到直线的距离为. 【变式2-3】在四棱锥中，底面为平行四边形，为底面中心，，分别为，的中点，为等腰直角三角形，且. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，分别为，的中点，点在线段上，且，若平面平面，求实数. 【答案】(1) 连接，则为中点，又点为中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. (2) (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）得，异面直线与所成角即为与夹角， 在等腰直角三角形中，设，则，，， 在中，由余弦定理得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （3）连接，如图所示， 因为为的中点，为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 则，即，所以. 题型03 补全面面平行的条件 解题贴士 先对照面面平行判定定理的完整要素，梳理题干已给出的条件，定位缺失内容，缺失最多的是 “两直线相交”“直线在平面内” 两类关键限定。 补充条件完成后逆向推演验证，把原有条件和新增条件结合，检验能否严谨推出面面平行，排除多余、矛盾或者无法支撑结论的无效条件。 典｜例｜精｜析 【例5】如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明：如图所示，连接， 因为分别是棱的中点，所以， 由长方体的性质，可知，则且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. (2)存在， 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：取棱的中点，连接，平面平面，此时 理由如下： 连接，因为分别为棱的中点，所以， 因为分别为棱的中点，所以，所以， 因为平面且平面，所以平面， 由（1）可知平面，且平面，平面，，所以平面平面， 故在棱上存在点，使得平面平面，此时. 【点睛】 【例6】如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【答案】(1)因，，则，故， 在三棱柱中，，则， 因平面，平面，则平面. (2) 如图，线段上存在点，满足，即可使平面平面，理由如下： 因，则，则，因平面， 平面，故平面， 由（1），因平面， 平面，故平面， 又平面，故平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，． (1)求三棱锥的体积． (2)在上是否存在一点，使得平面平面.如果存在，请说明点位置并证明.如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，为的中点 【分析】 【详解】（1）在直四棱柱中，底面为正方形， 所以平面， 所以. （2）当为的中点时满足平面平面， 设，连接， 因为为正方形，所以为的中点，又为棱的中点， 所以，又平面，平面，所以平面， 又为的中点，所以且，所以为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 【变式3-2】如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的三等分点（靠近，靠近）； (1)求证：平面． (2)在上确定一点，使平面平面，并证明. 【答案】(1) 过点作，交于点，连接， 因为为的三等分点，可得， 又因为为的三等分点，可得， 因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又由平面，平面，所以平面. (2) 当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面，证明如下： 取取一点，使得，即点为上靠近点的三等点， 在中，因为分别为的三等分点，可得，所以， 因为平面，平面，所以平面； 又由（1）知平面，且，平面， 所以平面平面， 即当点为上靠近点的三等点时，能使得平面平面． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 【变式3-3】如图所示，底面为正方形的四棱锥中，，，，与相交于点O，E为中点．    (1)求证：平面； (2)上是否存在点F，使平面平面．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 因为分别是的中点， 所以，且平面，平面， 所以平面； (2) 存在，点是的中点，此时，连结    因为分别是的中点， 所以，平面，平面， 所以平面， 由（1）可知，平面，且，且平面， 所以平面平面， 所以上存在中点，使平面平面. 【详解】（1）略 （2）略 题型04 面面垂直的判定定理 典｜例｜精｜析 【例7】如图，在四棱锥中，是等边三角形，平面，且为中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明：如图所示，取中点，连接. ∵为中点，∴. 又，∴， 四边形为平行四边形，∴. 又平面，平面， ∴平面. (2)证明：∵四边形为平行四边形，∴四点共面. ∵为正三角形，为中点，∴. 又因为平面，，∴平面. ∵平面，∴. 又，平面，平面，∴平面. 又平面，∴平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 【例8】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，是的中点．    (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)连接，交于点，连接， 由条件可知为中点，又是的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面 (2)因为平面平面，平面平面， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以， 又，是的中点． 则，且平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆上异于、的任意一点，则图中互相垂直的平面有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【详解】因为垂直于圆所在的平面，且平面，平面， 根据面面垂直的判定定理，可得平面平面，平面平面，这里有2对； 因为是圆的直径，为圆上异于，的任意一点，所以， 又因为平面，所以，所以平面， 又因为平面，根据面面垂直的判定定理，可得平面平面，这里有1对． 综上所述，图中互相垂直的平面共有3对，故选：B． 【变式4-2】如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，与的中点分别为点，，且，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)连接，由与的中点分别为点，可得，在中，，平面，平面，故平面. (2)连接，因为菱形，所以，又，，所以，．因为，为中点，所以． 又，所以，所以中，，故． 又因为，平面，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 【变式4-3】如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，且，，，为的中点. (1)求证：平面PCD； (2)求证:平面平面PCD. 【答案】(1)取PD中点E，连接EF、EC，如图所示 因为E、F分别为PD、PA中点， 所以，且，      又因为，且， 所以且，       所以四边形为平行四边形， 所以，                      因为平面PCD，平面PCD，     所以平面 (2)因为，为中点， 所以，                           因为，所以，                            因为，平面PCD，    所以平面.               所以平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 题型05 面面垂直的性质定理 典｜例｜精｜析 【例9】如图三棱锥中，，平面平面，平面平面．证明：平面． 【答案】证明： 在内任取一点，过点P作于， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以． 过P作于N，同理可得， 又平面，， 所以平面． 【详解】略． 【例10】如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，是边长为的等边三角形，E为侧棱PB的中点，F为线段BC上一点．证明：平面平面PBC；    【答案】证明：因为平面平面，平面平面，，且平面，则平面， 因为平面，则， 又因为，，则， 因为，，平面，则平面， 又因为平面，故平面平面． 【详解】略 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，则三棱锥的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取中点，连接，由，得，又平面平面， 平面平面，平面，则平面， 而平面，于是，由平面，平面， 得，又平面，因此平面， 而平面，则，又，则， 所以三棱锥的表面积为. 【变式5-2】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，且，平面平面，，是的中点，点在侧棱上，，求证：直线平面； 【答案】证明：因底面是边长为2的菱形，且， 则是等边三角形， 又因是的中点， 则， 因，则， 因平面平面， 平面平面，平面， 故直线平面． 【详解】略. 【变式5-3】如图所示，在四棱锥中，平面，是的中点．在底面内且． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若平面平面，求证：． 【答案】(1) 因为平面，平面，且平面平面， 所以． (2) 取中点，连接， 因为分别为中点，所以且， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面． (3) 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面， 所以． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型06 补全面面垂直的条件 解题贴士 对照面面垂直判定定理梳理题干条件，重点核查两处关键内容：是否存在垂直平面的直线、该直线是否属于第二个平面。 若缺少线面垂直关系，则补充线线垂直相关条件；若缺少直线在面内的描述，则补齐对应限定，全部条件齐全后，才可严谨推导出面面垂直。 典｜例｜精｜析 【例11】如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足________时，平面平面．（只要填写一个你认为是正确的条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为底面为菱形，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以． 所以当时，平面， ，则平面， 而平面，所以平面平面． 【例12】如图，在四棱锥中四边形为平行四边形，，是正三角形，且． (1)当点M在线段上什么位置时，有平面？ (2)在（1）的条件下，点N在线段上什么位置时，有平面平面？ 【答案】(1)当点为线段的中点时，有平面，证明见解析． (2)点在线段的靠近点的四等分点时，有平面平面 【分析】 【详解】（1）解：当点为线段的中点时，有平面． 下面先证明：平面． 四边形是平行四边形，． 又，即，， ，平面，平面，， 从而平面，平面．． 是正三角形，， ， 又，平面，平面，平面． （2）解：在（1）的条件下，点时，有平面平面，即点在线段的靠近点的四等分点时，有平面平面． 下面给出证明：在（1）的条件下，平面，平面．，又．，平面，平面 平面．因为平面 平面平面． 不妨设，则，． 则，即，解得 ． ． 点在线段的靠近点的四等分点时，有平面平面． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】如图，PA⊥面ABCD，且ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件_______时，平面MBD⊥平面PCD.（注：只要填写一个你认为正确的即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】根据面面垂直的判定可得，当PC⊥平面MBD时，平面MBD⊥平面PCD，故可以考虑PC⊥平面MBD，此时.当时，根据对称性可得，又，平面MBD，此时PC⊥平面MBD满足题意. 故答案为：（答案不唯一） 【变式6-2】在四棱台中，底面，底面是正方形，E为侧棱的中点，，，．    (1)证明：平面． (2)求二面角的正切值． (3)在线段上是否存在点H，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)存在，，理由见解析. 【分析】 【详解】（1）因为底面，所以底面，平面， 所以，所以， 又，是中点，所以. 因为底面，平面，所以， 又底面是正方形，所以，，平面， 所以平面，平面，所以， 又，平面，所以平面. （2）因为底面，平面，所以平面⊥底面， 过点作，因为平面平面 所以平面，过作，连接，则， 所以是二面角的平面角.    因为是中点，所以， 设，则，所以， 所以，即二面角的正切值是. （3）对线段上的点，因为平面，平面， 所以，则当时，满足条件. 如图，在四边形中，过作，垂足为，交于， 则， 设，则 因为，所以，所以， 又，所以 所以，又， 所以，此时时，，，平面， 所以平面，平面，所以平面⊥平面.    【变式6-3】如图，在直四棱柱中，，，M是棱上一点． (1)求证：； (2)当M在上的何处时，有平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)点M为棱的中点. 【分析】 【详解】（1）在直四棱柱中，平面，平面，则， 而，且平面，于是平面，而平面， 所以． （2）当点M为棱的中点时，平面平面． 如图，取的中点，的中点，连接交于点，连接，， 显然，则O是的中点，由N是DC的中点，，得， 在直四棱柱中，平面，平面， 于是平面平面，而平面平面，平面， 则平面，当点M为棱的中点时，，且， 因此是平行四边形，即，有平面，又平面，则平面平面， 所以点M为棱的中点时，有平面平面. 题型07 求二面角 典｜例｜精｜析 【例13】如图，在四面体中，已知，，则二面角的平面角的大小为___________． 【答案】 【详解】取中点，连接， 因为，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，， 所以中，， 所以为等边三角形，即． 所以二面角的大小． 故答案为：． 【例14】已知正方体的棱长为2，为棱的中点. (1)若平面平面，求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)设，则为的中点， 连接，因为为棱的中点，则， 且平面，平面，则平面， 又因为平面，平面平面，所以. (2)0 【分析】 【详解】（1）略 （2）连接，，，则，， 且为的中点，则，，可知平面与平面夹角为， 在中，，，，则， 可知，平面与平面夹角余弦值为. 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】若一个正三角形在平面上的投影为等腰直角三角形，则该正三角形所在平面与平面的夹角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可作图如下：    其中，，平面，， 取的中点为，易知，， 设，则， 在中，；在等边中，. 因为平面，平面，所以， 在中，，. 易知为正三角形所在平面与平面的夹角的平面角. 故选：B 【变式7-2】我国古代数学专著《九章算术》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图1，在中，，，CD是AB边上的高，将沿直线CD折起，使点B到点P的位置，如图2，此时三棱锥恰好是一个“鳖臑”，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，，，要使三棱锥恰好是一个“鳖臑”， 则有，，由，，可得二面角的平面角 为，在中，． 【变式7-3】如图，在三棱锥中，平面，平面平面，M，N，D分别是，，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若，，与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明：因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； (2)证明：过点作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以； (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）设平面平面， 因为平面，平面，所以，则， 因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，，所以，则， 设，则，， 因为平面，所以与平面所成角为， ，得， 则，则由勾股定理可得，则， 因为，所以， 则平面与平面所成锐二面角的平面角为， 因为，,， 所以由余弦定理得， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 题型08 求二面角的最值范围 典｜例｜精｜析 【例15】如图，在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为__________；二面角的正弦值的最小值为__________．    【答案】 【详解】取的中点，因为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为，，，所以，又， 所以三棱锥的体积为 ， 因为，所以，则； 当且仅当，即时，等号成立， 故三棱锥的体积的最大值为.    由平面，又平面， 所以， 过作于，连接， 因为平面，， 所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，， 因为为的中点，所以等于点到直线的距离的， 而点到直线的距离小于等于， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 此时取得最小值， 故二面角的正弦值的最小值为. 故答案为：；. 【例16】如图，已知四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)在直角梯形中，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）分别取、的中点、，连接、、，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以， 在直角梯形中，，则， 因为为的中点，，故，， 所以四边形为矩形，故， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为、平面，，所以平面. 因为平面，所以， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以平面平面， 所以二面角是二面角的余角， 因此二面角的正弦值等于， 因为， 因为，故，所以， 综上所述，二面角正弦值的取值范围是. 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】如图，长方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，且为的中点．二面角的正切值最大值为________． 【答案】 【详解】依题意平面平面，且平面平面，平面， 由题意：，所以 平面， 过点作于点，连接，如下图所示： 由平面，又平面，所以， 又，且，平面， 所以平面，平面，可得； 即可得为二面角的平面角； 设，则， 由的面积， 得 又三角形为正三角形，所以， 在中，. 当时取等号， 即二面角的正切值最大值为. 【变式8-2】已知矩形，，，设是边上的点，且，现将沿着直线翻折至．请用几何法解答下列问题： (1)当为何值时，使平面平面；并求此时直线与平面所成角的正切值； (2)设二面角的大小为，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）当时，平面平面， 证明如下： 取中点，连接，，， 因为，，是的中点， 所以，即，， 则，， 又，，则， 则， 因为，所以，则， 又，，平面，平面，所以平面， 又平面，则平面平面， 即当时，平面平面． 此时有平面，即平面， 则即为直线与平面所成角，， 即平面平面时，直线与平面所成角的正切值是． （2）取中点为，连接， 可知四边形为正方形，点为的中点，则有， 又因为，，、平面， 所以平面，而平面， 因此平面平面， 在平面内作，垂足为， 因为平面平面，由面面垂直的性质可得平面， 在平面内，作，垂足为，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，因此平面， 又因为平面，所以， 因此是二面角的平面角，， 设，，则， ， 因此 ， 当且仅当时，取到等号，所以，因此， 所以的最大值为． 【变式8-3】在三棱柱中，，，，，分别为的中点. (1)证明：平面∥平面； (2)证明：平面⊥平面； (3)若为线段上的动点，求二面角的平面角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明：三棱柱中，四边形为平行四边形，分别为的中点，所以，且， 又因为，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又由于面，面，所以面， 在中，，且，同理，且， 所以，又由于面，面，所以面， 又面，，平面， 所以平面∥平面； (2)证明：连接 ， ， 因为 ，所以 ，又因为 ，且，所以 ， 因为 ， 平面 ，且 ， 所以 平面 ，因为 平面 ， 所以 ，在 中， ， ， ， 由余弦定理求得 ， 则 ， ， 因为，所以 ，解得 ， 在，， ，可知，又， 在中，，因此 ． 由（1）知， ，且 ， 平面 ，且 ， 所以 平面， 因为 平面 ，因此平面 平面 ． (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）设，，， 所以到平面的距离为， 在平行四边形中，计算得， 在中可得， 在平行四边形中，计算得， 在中可得， 在中，， 所以到的距离为， 设二面角的平面角为，. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于引入参数，并表示出二面角的平面角的余弦值，由此即可顺利得解. 题型09 根据二面角求参数 解题贴士 根据题干给出的固定二面角，按照定义构造标准平面角，依托直角三角形得到垂线、射影、斜线段之间的边长比例等式。 利用边长等量关系建立方程，求解几何体棱长、线段长度、动点位置等参数，最后检验算出的参数对应的二面角符合[0,π]取值范围。 典｜例｜精｜析 【例17】如图，在长方形中，，，设，（），将沿折起至，使平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长． 【答案】(1)因为四边形为长方形，所以， 又平面平面ABC，平面平面，平面， 所以平面； (2)3 【分析】 【详解】（1）略 （2）如图所示，在（ⅱ）图中过点S作，垂足为O， 延长交于点E，连接． 由翻折知， 所以二面角的平面角为， 在（ⅱ）图中设，因为中，， 又因为相似，所以，所以， 可得，，， 又平面，所以平面，平面， 所以，又因为平面，平面，所以， 是相交直线，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以， 所以，解得. 【例18】如图，四棱锥中，平面，，，，． (1)若，平面平面，证明：平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求的长度． 【答案】(1) 证明：因为平面，平面，平面，平面， 所以，，， 因为，，，所以， 因为， 所以在中，由余弦定理得，即， 所以，即， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以 又，，平面， 所以平面，又平面，所以 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，过点作于，再过点作于，连接， 因为平面，平面，所以平面平面， 而平面平面，平面 所以平面，平面，， 又，，平面，平面， 又平面，， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 由二面角的余弦值为，即， 所以，． 因为，设，则， 由等面积法可得，， 又， 而为等腰直角三角形，所以， 所以，解得， 所以 变｜式｜巩｜固 【变式9-1】如图，二面角的大小为，，，，，，，且，，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】过，分别作，的平行线，使之交于点， 因为，所以，而，二面角的大小为， 则，而，， ， 又平面，所以平面， 由，可得平面，又平面， 则，则. 【变式9-2】（特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分） 如图，在正三棱柱中，，是棱的中点，点是侧棱上一动点，且. (1)若平面，求值； (2)若平面与平面的夹角（锐二面角）的正切值为，求值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）如图，取的中点，连结，, 因为分别是、的中点，且，所以，, 因为平面，平面平面，所以， 所以四边形为平行四边形，所以，故. （2）延长梯形的两腰交于，连， 因为平面，过作于，连， 则，所以是平面与平面的夹角， 所以，所以． 因为，所以，所以． 因为，所以，所以， 所以．在中，，由余弦定理，得 ， . 因为， 所以， 因为，化简整理得，解得， 且． 所以，． 【变式9-3】）如图，在直三棱柱中，为的中点．    (1)为侧面的两条对角线的交点，求证：平面； (2)若，，，且二面角的余弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）如图1，取的中点，连接，． 因为为侧面的两条对角线的交点，所以，且． 因为为三棱柱的侧棱的中点， 所以，且，即，且． 所以四边形是平行四边形． 所以． 因为平面，平面， 所以平面．      （2）如图2，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接． 在直三棱柱中，平面，平面， 所以． 因为，平面，， 所以平面． 因为平面，所以． 因为，平面，， 所以平面． 因为平面，所以． 所以是二面角的一个平面角． 因为二面角与二面角互补， 所以．所以． 在中，，，， 在中，， 在中，，， 所以．所以． 基础通关 一、填空题 1．命题：若一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，上述命题为____________（选填“真命题”或“假命题”）. 【答案】假命题 【详解】当两平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线， 则这无数条直线都平行于另一个平面， 此时两平面不平行， 所以此命题是假命题. 故答案为：假命题 2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是____. 填写序号 . ①若m//α， n//α， 则m//n; ②若m⊥α， α⊥β， 则m//β; ③若m⊥n， nα， 则m⊥α; ④若m⊥β， m//α， 则α⊥β. 【答案】④ 【详解】对于①，若m//α， n//α， 则m//n;或m，n异面或m，n相交，故①错误； 对于②，若m⊥α， α⊥β， 则m//β或mβ，故②错误； 对于③，若m⊥n， nα， 则m⊥α;或mα或m与α斜交，故③错误； 对于④，m//α，则存在平面，使且，则， 又m⊥β，所以，又，所以α⊥β.，故④正确. 故答案为：④. 3．如图，在长方体中，写出满足条件的一个平面： （1）与平面平行的平面为______； （2）与平面平行的平面为______； （3）与平面平行的平面为______． 【答案】 平面 平面 平面 【详解】因为为长方体，所以平面∥平面，平面∥平面，同时∥，∥， 又因为平面，平面，所以∥面，∥平面，因为，所以平面∥平面. 故答案为：①平面；②平面；③平面. 4．如图，棱长为1的正方体中，二面角的正切值为______． 【答案】 【详解】取的中点为，连接, 由于正方体中,, 故，， 故即为所求的二面角的平面角， 由于平面，平面，故， 因此, 故答案为： 5．如图，在长方体中，过的中点作一个与平面平行的平面交于点，交于点，则_________． 【答案】/ 【详解】∵平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面， ∴由两个平面平行的性质定理可得，． ∴， 又∵为的中点， ∴，分别为，的中点， ∴，即． 故答案为： 6．如图，三棱柱中，侧面是菱形，侧面是正方形，，点是的中点，二面角平面角的大小为，则的长为__________. 【答案】1 【详解】 取的中点，连接， 因为为正三角形，所以， 又侧面是正方形，点是的中点， 所以，即为二面角的平面角，且大小为， 所以，由余弦定理可得，解得. 故答案为：1. 二、单选题 7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】 对选项A，若，，则与的位置关系可能为平行、相交或异面，故A错误； 对选项B，若，，则与可能平行，也可能相交，故B错误； 对选项C，若，，则可能平行于，也可能，故C错误； 对选项D，由面面平行的推论可知，垂直于同一条直线的两个平面互相平行， 因此若，，则，故D正确. 8．如图，在四面体中，平面，，则该四面体的四个表面中，互相垂直的平面有（    ）.    A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【详解】由平面，平面，平面， 得平面平面，平面平面，平面与平面不垂直； 由平面，平面，得， 而，平面，则平面， 又平面，因此平面平面，平面与平面不垂直； 假定平面平面，在平面内过点作于，连接， 由是斜边，得不与点重合，由平面平面， 得平面，而平面，则，又平面， 于是平面，又平面，则，由平面，平面， 得，而平面，因此与矛盾，即平面与平面不垂直，    所以平面平面，平面平面，平面平面，共有3对. 故选：C 9．已知为正方体，、分别为、的中点，则二面角的大小为（   ）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【详解】如图，设正方体的棱长为，取中点，连结，则， 又因为，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 故为所求二面角的平面角， 因为，所以. 故选：B    三、解答题 10．如图，在三棱柱中，分别是的中点.求证： (1)证明：四点共面；直线，直线，直线三线共点 (2)平面平面. 【答案】(1) 分别是的中点， 是的中位线，，且 又在三棱柱中，，且， 由平行的传递性，，且， 四点共面； 由上可知四边形是梯形，故与是两条相交的直线， 设，下证， 平面，且平面， 平面，且平面， 平面平面， ，即三线共点. (2) 分别为的中点，， 平面平面， 平面， 在三棱柱中，，且， ，且， 四边形是平行四边形，， 平面平面， 平面， ，平面， 平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 11．如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且，在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明； 【答案】点为的中点，证明见解析 【详解】当点为中点时，平面平面， 证明如下：连接， 因为四棱锥是正四棱锥，所以，所以. 在正方形中，，所以， 在正方形中，，因为，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 12．（第五节直线、平面垂直的判定与性质【同步课时】提升卷）如图，四边形是正方形，平面，且. (1)求二面角平面角的度数； (2)求二面角平面角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为平面， 所以.又四边形为正方形， 所以.， 所以平面.又平面， 所以平面平面. 所以二面角平面角的度数为. （2） 因为平面， 所以，. 所以为二面角的平面角． 又四边形为正方形，所以. 即二面角平面角的度数为. 素养提升 1．在直三棱柱中，，，，，分别是，，的中点，则不正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C． D．平面平面 【答案】A 【详解】对于A，若平面，则必有， 在矩形中，若对角线互相垂直，则矩形为正方形，即，与已知条件矛盾，故A错误； 对于B，分别是的中点，故是的中位线，可得， 又平面，平面，因此平面； 连接交于点，连接，同理可得，平面，平面， 故平面，和是平面内两条相交直线，均平行于平面， 因此平面平面，故B正确； 对于C，直三棱柱中平面，平面，故； 又，为中点，等腰三角形三线合一得， 由于，且平面，因此平面，平面，故，C正确； 对于D，由选项B的推导可知，结合选项C中平面，得平面， 又平面，根据面面垂直的判定定理，可得平面平面，故D正确. 2．如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列说法不正确的是（   ）    A．存在点，使得四边形为菱形 B．对于任意点，都有直线平面 C．对于任意点，都有平面平面 D．三棱锥的体积为定值 【答案】B 【详解】对于选项A，因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以. 同理，所以四边形为平行四边形， 设正方体棱长为1，设， 则，， 令，即，解得， 即当为中点时，四边形为菱形，故A正确； 对于选项B，连接，则平面平面， 若平面，且平面，则， 又，，故四边形为平行四边形， 故相交，矛盾，故B错误； 对于选项C，连接，，，， 由平面，平面，得， 由为正方形，易知， 因为，平面，平面， 平面，，同理可证， ，平面， 平面，又平面， 平面平面，故C正确； 对于选项D，设正方体棱长为，.所以三棱锥的体积为定值，故D正确. 3．如图，在几何体中，四边形为平行四边形，平面平面，，证明：平面. 【答案】证明见解析 【详解】由四边形为平行四边形，得，平面，平面， 则平面，又，同理平面， 而，都在平面内，则平面平面， 又平面，所以平面. 4．如图，在四棱柱中，侧面是矩形，底面是菱形，，M，N分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)取的中点，连接，， 因为N，K分别为，的中点， 所以， 因为是四棱柱， 所以， 可得， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为底面ABCD是菱形，所以， 因为M，K分别为CD，AB的中点， 可得，所以四边形为平行四边形， 所以， 可得， 又因为平面平面， 所以平面． (2)因为底面ABCD是菱形，，所以为等边三角形， 因为M为CD的中点，所以，                又因为，所以，         因为侧面是矩形，所以，且， 所以平面，          因为平面，所以平面平面． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 5．如图，在四棱锥中，，，，平面ABCD，E，F分别为PD，PC的中点，． (1)求证：平面PAC； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明：在四棱锥中，由平面，平面，得， 又，即， 而，PA，平面，则平面， 又在中，分别为中点，即有，因此平面 (2). 【分析】 【详解】（1）略 （2）如图所示，取的中点，连接，取的中点，连接，， 由，平面，得平面， 而平面，则， 由，，得， 又，EM，平面，于是平面， 又平面，因此，是二面角的平面角， 设，则，在中，，，则， 在中，，，则 在中，，因此， 所以二面角的大小为. 6．在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，． (1)若点M在棱PC上，，平面DMB，求的值； (2)证明：； (3)当平面PAD与平面PBC所成的二面角为时，求PC与平面ABCD所成角的正弦值． 【答案】(1) (2)如图，在上取一点，使得，连接、，， ，，∴且， ∴四边形为平行四边形，∴， ∵，∴，∴， 又因为，，， 所以，又，∴， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴ (3) 【分析】 【详解】（1）如图，连接交于点，连接， ∵平面，平面，平面平面， . 在梯形中，∵，∴，∴， ∵，∴，∴. （2）略. （3） 因为平面平面平面， 又平面，设平面平面，则， 由（2）知，平面，∴，， ∴为平面与平面所成的锐二面角的平面角，∴. 由（2），，，， 可得，∴，∴， ∵，， ，平面，平面， ∴平面，∴为与平面所成的角， ， ∴， 因此，与平面所成角的正弦值为. 7．如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N、K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面.    (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)在棱CD上是否存在点H，使得平面平面PBC？若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在.请说明理由. 【答案】(1),证明如下： 依题意，，平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. (2)证明如下： 取中点连接，在中， 在中，，则，即四边形为平行四边形， 因此，平面，平面， 所以平面.    (3)存在，当为中点时，平面平面，证明如下： 取的中点为，连接， 在中，，平面，平面， 则平面，同理可证，平面， 又平面，， 所以平面平面.    【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 8．如图，在三棱锥中，，，，．是的中点，是的中点，． (1)求证：平面； (2)若是的中点，在上，平面． （ⅰ）求的长； （ⅱ）求二面角的正切值． 【答案】(1)证明：因，，则, 又因是的中点，则,且, 在中，，则, 又因是的中点，则, 因，则由可得, 因平面，故平面. (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）因平面，在上，则平面， 因平面平面，则， 又因是的中点，则是的中点，故； （ⅱ）取的中点，连接，因是的中点，则，且， 在平面中，作于点，连接. 由（1）得平面，则平面，因面，则， 因平面，则平面， 又平面，则，故即二面角的平面角. 连接，易得， 因平面，平面，则，则， 故，又， 由可得， 在中，由等面积可得， 故在中，， 则，即二面角的正切值为. 9．如图，在正方体中：    (1)若分别为棱，上的点，且，，证明：平面； (2)若为棱上的一点，且平面平面，求的值． 【答案】(1) 连接，在正方体中，易知， 因为，，故， 又因为，故， 又因为平面，平面，故平面. (2). 【分析】 【详解】（1）略. （2）    连接，与交于，易知点是中点，连接， 易知平面，故，又因为， 由勾股定理可知，，又因为是中点，故，同理易证. 因为平面平面，故二面角为直二面角， 因为平面，平面，平面平面，， 故是二面角的平面角，即. 不妨设，设，则，， 由勾股定理计算得，，， 又因为，故，即，得， 则，因此. 迁移创新 1．已知平面和平面交于直线l，P是空间一点，，垂足为A，，垂足为B，且，，若，则与所成二面角为__________. 【答案】或 【详解】点与平面和平面所成二面角的位置关系有如下两种情况，如图1和图2：    令平面交直线于点，连接，由，，得，同理， 由平面，得平面，而平面， 因此，就是与所成二面角的平面角， 图1中，由，得；图2中，， 所以与所成二面角为或. 故答案为：或 2．如图，和都垂直于平面，且，，点在上，则（    ） A．平面平面 B．不存在点，使得平面 C．存在点，使得平面平面 D．存在点，使得平面平面 【答案】D 【详解】对于A：因为平面，平面，所以，因为平面，平面，则平面. 平面与平面的交线过点且，所以平面.这意味着平面和平面都垂直于平面. 若要平面平面，则需它们在平面内的交线与垂直，即. 题目仅已知，无法推出，故A错误； 对于B：取的中点，连接.若为的中点，则为的中位线， 所以，且. 又因为平面，平面，所以， 已知，即. 所以且， 则四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面， 所以平面. 故存在点（即中点）满足条件，故B错误； 对于C：假设存在点使得平面平面. 因为平面，平面， 所以到平面的距离等于到平面的距离. 即， 但这与已知条件矛盾（）.所以假设不成立，故C错误； 对于D：当为的中点时，由选项B可知四点共面，即平面. 因为，为中点，所以. 因为平面，平面，所以. 又，平面， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面. 故存在点（即中点）满足条件，故D正确. 3．如图，在四棱锥中，，，，，，，，平面平面，在平面内过作，垂足为，连. (1)求证：平面； (2)已知点在线段上，满足直线与平面所成的角的正切值为，求的长； (3)求二面角的正弦值. 【答案】(1)在中，，，，所以. 又，，所以四边形为平行四边形，所以. 又即，所以， 又，平面，，所以平面. 又，所以平面. (2)或 (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）如图， 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面. 所以即为直线与平面所成的角. 因为，所以. 因为，， 所以，所以. 在中，由余弦定理得，， 所以或. （3）如图， 取中点，连接，. 因为，所以， 又，，所以. 所以为二面角的平面角，且. 因为平面，平面，所以平面平面， 即二面角为. 设二面角为，则，所以. 4．在四棱锥中，底面是菱形，，是边长为2的正三角形，设平面与平面的交线为，直线与平面所成角的大小为．    (1)证明：（ⅰ）；（ⅱ）； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1) （i）因为底面是菱形，所以 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， （ii）取中点，连接，， 因为是正三角形，所以， 因为底面是菱形，， 所以， 又平面，所以平面， 因平面，则； (2) 【分析】 【详解】（1）（i）略；（ii）略 （2）因为且直线与平面所成角的大小也为， 由最小角定理得，平面与底面互相垂直． 又，平面平面，平面， 所以平面，平面，则， 由（1）（2）知，，，， 所以是二面角的平面角， 又，， 所以，即二面角的正弦值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第十章 空间直线与平面 10.4平面与平面的位置关系 课时目标 1.熟记面面平行、垂直的判定与性质定理，规范书写证明步骤，分清定理成立全部限定 条件。 2理解二面角及平面角定义，掌握定义法、射影法、向量法等多种求解二面角的常用思 路。 课标要点 3.能结合几何体识别半平面、无棱二面角，灵活运用面面平行相关推论解决线段求值问 题。 4.区分面面平行与面面垂直的逻辑推导，规避定理条件缺失、角度范围混淆等常见错 误。 重点： 1.面面平行判定与性质定理，核心抓住平面内两条相交直线这一必备条件完成证明推 导。 2.二面角平面角的三要素，熟练运用几种常规方法作图、计算各类题型中二面角大小。 学习重难点 3.面面垂直判定与性质定理，依托线面垂直完成面面垂直证明，实现空间位置转化。 难点： 1立体空间作图难度大，难以快速构造二面角平面角，无棱二面角补棱思路不易掌握。 2.容易遗漏定理关键条件，如面面平行缺少相交直线、面面垂直忽略直线在平面内条 件。 清主线 课时内容导图 1/38 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 面面平行：a‖B,无公共点 两种位置 面面相交：α∩B=1,公共点共线 判定定理：anb=P,a,bCB,a‖a,b‖a→B‖a 面面平行 性质定理：ax‖B,anY=a,BnY=b→a‖b 判定定理：aCa,a⊥B→a⊥B 面面垂直 性质定理：ax⊥B,a∩B=l,aCa,a⊥l→a⊥B 平面与平面 的位置关系 二面角：记法a-1-B:平面角范围0°≤0≤180° 题型01面面平行的判定定理 题型02面面平行的性质定理 题型03补全面面平行的条件 题型04面面垂直的判定定理 常考题型 题型05面面垂直的性质定理 题型06补全面面垂直的条件 题型07求二面角 题型08求二面角的最值范围 题型09根据二面角求参数 理新知 教材全盘梳理 ◇知识点一 平面与平面平行 1.两个平面的位置关系 位置关系 定义 符号 面面平行 两平面无公共点 allB 面面相交 两平面有且仅有一条公共直线 anβ=l 2.面面平行判定定理 若一个平面内存在两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，简记：线面平行→面 面平行。 2/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 allB,bllB a∩b=P 符号语言：aCa,bca →xlB 注：仅一条直线、两条平行线、无数条平行线均无法推出面面平行。 P 3.面面平行性质定理 若两个平行平面同时与第三个平面相交，则两条交线互相平行。 aul∥B a∩y=a→ 符号语言： Boy=b allb 4.核心重要结论 1.垂直于同一条直线的两个平面互相平行： 2.两平面平行，则一个平面内任意直线都平行于另一平面： 3.一条直线垂直于两个平行平面中的一个，必垂直另一个： 4.夹在两平行平面间的平行线段长度相等： 5.平面外一点有且只有一个平面与己知平面平行。 5.半平面定义 平面内一条直线将平面分成两部分，每一部分称为半平面。 3/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 特别提醒 判定定理条件遗漏，忽略“两条相交直线”核心要求 做题时常只用平面内一条直线、两条平行直线证明线面平行，直接推导面面平行。平行线无法撑开平 面，不能保证整个平面与另一平面无交点，证明步骤直接失分。 。即学即练 1.已知平面C,B,直线aca,则“a/1p”是“a/IB”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为6，且E,F,P分别为BB,B,C,CC的中点证明：平面AEF1/平 面ADP: D A D: B ◇知识点二二面角 1.定义 从一条直线出发的两个半平面组成的图形为二面角；这条直线是棱，两个半平面是二面角的面。 2.记法 二面角 、二面角 等。 4/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 3.作图： 分为平卧式（卧式）、直立式（立式）两种画法。 0 、aP 平卧式 直立式 ◇即学即练 《父知识点三 二面角的平面角 1.定义 在二面角棱上任取一点，以此点为垂足，在两个半平面内分别作棱的垂线，两条垂线构成的角为 二面角的平面角：平面角为直角时，该二面角称为直二面角。 2.关键说明 1.二面角大小由其平面角度量，与棱上垂足选取位置无关： 2.平面角三要素缺一不可：项点在棱上、两边分属两个半平面、两边都垂直于棱； 3.二面角取值范围[0，π]：两半平面重合为0，共面展开为π，垂直为 3.求平面角方法 1.定义法：棱上取特殊点，两面内作棱垂线，直接构造平面角，基础通用解法： 2.三垂线定理法：借助斜线与射影垂直关系，快速找到垂直棱的两条射线，适用于含垂线、斜线 几何体： 3.公垂面法：作同时垂直于棱的平面，该平面与二面角两面的交线夹角即为平面角： 4.面积射影法： ,多用于无棱二面角，计算简便； 《。即学即练 5.如图，在三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC,∠ACB=9O°，PB=BC=CA,D是PC的中点.求： 5/38 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)异面直线PA与BD所成角的大小： (2)二面角B-PA-C的大小. 《◇知识点四 平面与平面垂直 1.定义 两平面相交，若所成二面角为直二面角，则称两平面互相垂直。 B Q 2.面面垂直判定定理 若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两平面垂直，简记：线面垂直→面面垂直。 I⊥a 之 符号语言： IcB a⊥B B a 3.面面垂直性质定理 两个平面互相垂直，在一个平面内垂直于两平面交线的直线，垂直于另一个平面。 6/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a⊥B a∩B=l →a⊥B aca 符号语言： a⊥l a B 特别提醒 (1)判定定理使用逻辑颠倒，条件不完整 仅证明两平面存在一条直线垂直，未说明这条直线完全落在其中一个平面内，无法证面面垂直，缺少 “直线在面内”关键条件。 (2)性质定理遗漏“垂直交线”前提 已知面面垂直时，随意在平面内取直线判定线面垂直，只有平面内垂直于两平面交线的直线，才垂直 另一平面，普通直线不满足。 。即学即练 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC⊥PD,PB=2V3,AB=2N2,PD=2.证 明：平面PBD⊥平面ABCD: 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面PAB,AD1IBC,BC=4V2, AB=AD=PD=2√2 7/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P D B 证明：AB⊥平面AD, 通题型 解题能力构建 ◆题型01面面平行的判定定理 典1例1精析 【例1】如图是某正方体的平面展开图.关于这个正方体，有以下判断： ①CNIIDE;②BMII平面ADE:③平面BDM/∥平面APN;④DM,BF是异面直线.其中判断正确的序 号是 【例2】在正方体ABCD-ABCD中，如图B、F、G、H、M、N分别是相应棱的中点.求证：平面 EFG/I平面HMN. 8/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M B D 变|式|巩固 【变式1-1】由正方体ABCD-AB,CD截去三棱锥C-B,CD后得到的几何体如图所示，O为AC与BD的 交点 A D B D (1)求证：AO11平面BCD: (2)求证：平面ABD1I平面BCD. 【变式1-2】如图所示，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB‖CD,AB=4, BC=CD=2,AA=2,E,E,F分别是棱AD,AM,AB的中点，G是FC的中点. 9/38 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A E D F (L)证明：BG⊥FC: (2)证明：平面AEE‖平面FCC: 【变式1-3】在正方体ABCD-ABCD中，E是棱BB的中点. D C A B E D 小 (1)求证： B,D∥平面ACE: (2)若F是棱CC的中点，求证：平面BDF∥平面ACE. ◆题型02面面平行的性质定理 典1例1精1析 10/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例3】如图，正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面AADD内一点（包括边 界)，若EFII平面BBDD,则EF长度的范围为 0 C Bi D C E B 【例4】如图，在正方体ABCD-ABCD,中，E,F分别为AB与BC上的点，且AE=BF,求证：EFI/平 面ABCD D A B E 变式巩1固 【变式2-l】m,n表示两条直线，a,B表示两个平面，若mca,a/B,则“m⊥n”是“n1B” () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也不必要条件 【变式2-2】如图，己知直三棱柱ABC-AB,C所有棱长均为2.过线段AC中点M作平面α/平面ABB,4, 设点N为平面u与线段AC1的交点. 11/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B M (1)求直线AM与平面ABC所成角的大小： (2)求证：MN IIA4,并求点N到直线AB的距离. 【变式2-3】在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为底面中心，M,E分别为PA,PD 的中点，△PDC为等腰直角三角形，且DP=DC. D M B (1)求证：MOW平面PDC: (2)求异面直线M0与EC所成角的余弦值： (3)若F,N分别为CE,DE的中点，点G在线段PB上，且PG=GB,若平面GFNII平面ABCD,求 实数t 12/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型03补全面面平行的条件 醒题贴士 先对照面面平行判定定理的完整要素，梳理题干已给出的条件，定位缺失内容，缺失最多的是“两直 线相交”“直线在平面内”两类关键限定。 补充条件完成后逆向推演验证，把原有条件和新增条件结合，检验能否严谨推出面面平行，排除多余、 矛盾或者无法支撑结论的无效条件。 典例1精1析 【例5】如图，在长方体ABCD-AB,CD中，E,F,G分别是棱AB,BB,AB的中点 D A E (I)证明：CG/平面CEF, AH ②在棱4上是否存在点月，使得平面CGH11平面CEF？若存在，求出4A的值：若不存在，请说明理 由 【例6】如图，在三棱柱ABC-ABG中，E,F分别为线段AC,AC上的点，AE=AC,AF=AC, 元∈(0，). 13/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求证： EFII平面BCCB, (②)在线段BC上是否存在一点G,使平面EFG/平面ABBA？请说明理由. 变式巩固 【变式3-1】如图，在直四棱柱ABCD-AB,CD中，底面ABCD为正方形，E为棱A4的中点， AB=2,AA=3 D B C E D C (I)求三棱锥A-BDE的体积. (2)在DD上是否存在一点P,使得平面PAC∥平面EBD如果存在，请说明P点位置并证明.如果不存在， 请说明理由. 【变式3-2】如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的三等分点( 14/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M靠近B,N靠近C): D D A (I)求证：MN∥平面PAD (2)在PB上确定一点Q,使平面MNQ/平面PAD,并证明. 【变式3-3】如图所示，底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，AB=2,PA=4,PB=PD=2V5,AC与 BD相交于点O,E为PD中点. D A D B (1)求证： EO∥平面PBC; (②)PA上是否存在点F,使平面OEF∥平面PBC.若存在，请指出并给予证明：若不存在，请说明理由. ◆题型04面面垂直的判定定理 典例精1析 15/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例7】如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB是等边三角形，CB⊥平面PAB,ADIIBC,且 PB=BC=2AD,F为PC中点. D (I)求证：DF∥平面PAB: (2)求证：平面ADF⊥平面PBC. 【例8】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAB⊥平面ABCD,PA=AB,E是 PB的中点 ◇ (I)证明：PD∥平面ACE； (2)证明：平面PBC⊥平面ACE」 变式巩固 16/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式4-1】如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C为圆O上异于A、B的任意一点， 则图中互相垂直的平面有() 0 B A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 2π 【变式4-2】如图，在三棱柱ABC-ABC中，侧面ACC,4为菱形，∠CM4=3,AC与BA的中点分别 为点O,H,且BC=CA=2V2,BA=BC=2 B B (I)求证：OH∥平面ABC: (2)求证：平面ABCL平面ACCA, 【变式4-3】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，ADIIBC,且AD=2BC,PA⊥PD, AB=PB,F为PA的中点 F B (1)求证：BFI/平面PCD: (2)求证：平面PAB⊥平面PCD, 17/38 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型05面面垂直的性质定理 典1例精析 【例9】如图三棱锥A-BCD中，AB=BC=CA=2,平面DAB⊥平面ABC,平面DAC⊥平面ABC.证 明：DA⊥平面ABC D 【例1O】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PAB⊥平面ABCD,△PAB是边长为 23的等边三角形，E为侧棱PB的中点，F为线段BC上一点.证明：平面AEF⊥平面PBC; B 18/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变|式1巩固 【变式5-1】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,PA=AB=BC=1,则 三棱锥P-ABC的表面积为() ● B A.1+V2 B.1+V3 C.2+2 D.2+V5 【变式5-2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且AD=BD,平面PAD⊥平 面ABCD,PA=PD=V2,E是BC的中点，点2在侧棱PC上，PO=PC,求证：直线DE⊥平面PAD: B 【变式5-3】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD,E是PD的中点.在底面ABCD内 CD1AC且Bc=HD 2 19/38 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ()①求证：BCIIAD: (2)求证：CE∥平面PAB, (3)若平面PAC⊥平面ABCD,求证：CD⊥PA, 。题型06补全面面垂直的条件 解题贴士 对照面面垂直判定定理梳理题干条件，重点核查两处关键内容：是否存在垂直平面的直线、该直线是 否属于第二个平面。 若缺少线面垂直关系，则补充线线垂直相关条件：若缺少直线在面内的描述，则补齐对应限定，全部 条件齐全后，才可严谨推导出面面垂直。 典例1精1析 【例1I】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等，M是PC上的一动点， 当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) B 【例12】如图，在四棱锥P-ABCD中四边形ABCD为平行四边形，∠BAP=∠CDP=9O°，△PAD是正三 20/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 角形，且PA=AB. D方 A B (I)当点M在线段PA上什么位置时，有DM⊥平面PAB? (2)在(1)的条件下，点N在线段PB上什么位置时，有平面DMN⊥平面PBC? 变式巩1固 【变式6-1】如图，PA⊥面ABCD,且ABCD为菱形，M是PC上的一动点，当点M满足条件时， 平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的即可) D M Ai.... B 【变式6-2】在四棱台ABCD-ABCD中，AA⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形，E为侧棱DD的中 点，AD=8,AD=4,A4=4V3 21/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B E A (I)证明：AE⊥平面CDD,C (2)求二面角E-AC-D的正切值. DH (3)在线段DC上是否存在点H,使得平面BHD1平面ABC?如果存在，求HC的值：如果不存在，请说 明理由. 【变式6-3】如图，在直四棱柱ABCD-ABCD,中，BD=BC,BD⊥AC,M是棱BB上一点. D A B D 0My C /B (I)求证：MD⊥AC: (2)当M在BB上的何处时，有平面DMC⊥平面CCDD. 22/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型07求二面角 典1例1精1析 【例13】如图，在四面体ABCD中，己知AB=AC=BD=CD=BC=2,AD=V3,则二面角A-BC-D 的平面角的大小为 【例14】己知正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，E为棱DD的中点 D A B A (①)若平面ACEA平面ABCD=I,求证：1WBD: (2)求平面ACE与平面ACB夹角的余弦值 变1式巩固 【变式7-l】若一个正三角形在平面“上的投影为等腰直角三角形，则该正三角形所在平面与平面“的夹 角的正切值为() A,5 B.2 c. D. 2 【变式7-2】我国古代数学专著《九章算术》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图1， 23/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ABC中，A=30°，B=45°，CD是AB边上的高，将△BCD沿直线CD折起，使点B到点P的位置， 如图2，此时三棱锥P-ACD恰好是一个“整腈”，则二面角P-CD-A的余弦值为() B 图1 图2 v√6 B 2 2 C.3 3 D.3 【变式7-3】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,M,N,D分别是PC, AB,AC的中点. D B (I)求证：BC∥平面PND: (2)求证：BC⊥PB: 2 (3)若AB=2'BC=2V5,AM与平面PBC所成角的正弦值为3，求平面PBC与平面PND所成锐二面角 的余弦值. ◆题型08求二面角的最值范围 典1例精1析 【例15】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥PB,PA=PB,AB=4,BC=1,平面PAB⊥平面ABC,则三棱 锥P-ABC的体积的最大值为 ；二面角P-AC-B的正弦值的最小值为 24/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例16】如图，已知四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AD=2BC=2CD=2,AP⊥PD, 平面ABCD⊥平面PAD B (I)求证：平面ABP⊥平面PCD (2)求二面角B-PD-C的正弦值的取值范围 变式|巩固 【变式8-1】如图，长方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，且AB≥AD,Q为AD的中 点.二面角P-DB-A的正切值最大值为. - 【变式8-2】已知矩形ABCD,AB=2,BC=4,设E是边AD上的点，且AE=DE,现将△ABE沿着直 线BE翻折至△ABE.请用几何法解答下列问题： ()当AC为何值时，使平面ABE⊥平面BED:并求此时直线AC与平面BCD所成角的正切值： 25/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)设二面角4-CD-B的大小为0，求sinO的最大值. 【变式8-3】在三棱柱ABC-4BG中，AB=BC=A4=2,BG=4,∠ABC- 3,4B⊥AC, D,E,F,H,G分别为AC,A4,4C,CC,BB的中点 B E D B ()证明：平面DBE∥平面FB,H: (2)证明：平面44C⊥平面ABC: (3)若P为线段BG上的动点，求二面角P-AC-B的平面角的余弦值的取值范围. 26/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 >题型09根据二面角求参数 醒题贴士 根据题干给出的固定二面角，按照定义构造标准平面角，依托直角三角形得到垂线、射影、斜线段之 间的边长比例等式。 利用边长等量关系建立方程，求解几何体棱长、线段长度、动点位置等参数，最后检验算出的参数对 应的二面角符合[O,取值范围。 典例1精析 【例17】如图，在长方形SABC中，AB=2V3,BC=2,设SD=x,(2<x<2W5),将SMD沿AD折 起至△S'AD,使平面S'AB⊥平面ABC」 S S D B () (ii) (1)证明：BC⊥平面S'AB: 4 (②)若二面角S”-AD-B的平面角的余弦值为g,求SD的长. 【例18】如图，四棱锥P-ABCD中，BC⊥平面PAB,PB=V7,BC=1,AB=V3,∠PCA=45° 27/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P D .>C B (I)若AD⊥PB,平面PADO平面PBC=I,证明：I∥平面ABCD; 回济D1DC且二面角A-P-D的余法位为，求AD的长度。 变式巩1固 【变式9-1】如图，二面角a-l-B的大小为135°，A∈1，B∈1，C∈a,D∈B,AC⊥1，BD11,且 AB=BD=2,AC=2,CD=() B D B A.25 B.V14 C.4 D.3V2 【变式9-2】如图，在正三棱柱ABC-A'B'C中，A'A=AB=2,E是棱A'C'的中点，点D是侧棱BB上 一动点，且BD=BB(∈R,0<入<I). 28/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B (1)若BE//平面ADC',求元值： √10 (②若平面ADC与平面ABC的夹角（锐二面角）的正切值为3，求值， 【变式9-3】)如图，在直三棱柱ABC-ABCG中，M为CC的中点. C M B B ()O为侧面ABB4的两条对角线的交点，求证：OC/I平面ABM: 5 ②若4B4C,4B=3'4C=4'且二面角A-BM-B的余弦值为5，求M的长 29/38 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 刷好题 课时巩固精炼 ©基础通关 一、填空题 1.命题：若一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，上述命题为 (选填“真命题”或“假命题”)· 2.已知，n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列命题正确的是一填写序号· ①若/a,n/la,则/r ②若⊥a,a⊥B,则/B: ③若⊥，nca,则m⊥ ④若m⊥B,l1a,则a⊥f. 3.如图，在长方体ABCD-ABCD中，写出满足条件的一个平面： B D B (1)与平面ADD,4平行的平面为 (2)与平面ABB4平行的平面为一： (3)与平面4，DC平行的平面为 4.如图，棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，二面角A-CD-D的正切值为 A1 D D 5.如图，在长方体ABCD-ABCD中，过BB的中点E作一个与平面4CB平行的平面交AB于点M,交 MN BC于点N,则AC 30/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C B D)- 二 N M B 6.如图，三棱柱ABC-ABC中，侧面ABBA是菱形，侧面CBBC是正方形，BB=BA=2,点D是 CC的中点，二面角A-BB-C平面角的大小为6，则AD的长为 B A B 二、单选题 7.设，是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列结论正确的是() A.若mlla,nlWa,则mlln B.若mWa,mlp,则alp C.若m⊥n,m⊥a,则nlWa D.若m⊥，m⊥B,则alf 8.如图，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则该四面体的四个表面中，互相垂直的平面 有()· A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 9.己知ABCD-ABCD为正方体，F、E分别为AB、BD的中点，则二面角E-BF-C的大小为() 31/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D By D C F B A.30° B.45° C.60° D.90° 三、解答题 10.如图，在三棱柱ABC-ABC中，E,F,G,H分别是AB,AC,AB,AC的中点求证： A C G (I)证明：B,C,H,G四点共面：直线AA,直线BG,直线CH三线共点 (②)平面EFA/平面BCHG 11.如图，多面体ABCDEF是由一个正四棱锥A-BCDE与一个三棱锥F-ADE拼接而成，正四棱锥 A-BCDE的所有棱长均为3V2,且AFIICD,在棱DE上找一点G,使得平面ABC⊥平面AFG,并给出 证明； B 32/38 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 豪养提升 1.在直三棱柱ABC-ABG中，AB=BC,AM=2AC,D,E,F分别是AC,BB,AA的中点，则不 正确的是() A.AC⊥平面ACE B.平面BDF∥平面ACE C.BD⊥AC D.平面ACE1平面ACC 2.如图所示，在正方体ABCD-ABCD中，点E是棱CC上的一个动点（不包括端点），平面BED交棱 A4于点F,则下列说法不正确的是() D A E 分 A.存在点E,使得四边形BFDE为菱形 B.对于任意点E,都有直线ACII平面BED,F C.对于任意点E,都有平面AB,C⊥平面BEDF D.三棱锥F-BB,D的体积为定值 3.如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，平面ADE⊥平面 CDE,AD⊥DE,AD=DE=DC=1,BF/IDE,证明：FCII平面ADE. 33/38 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 4.如图，在四棱柱ABCD-AB,CD中，侧面ABBA是矩形，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，M,N 分别为CD,AB的中点. A B ------D (I)证明：CNW平面AAM, (2)证明：平面AAM⊥平面AB,BA 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BCA=30°，∠CDA=45°，PAL平面ABCD, E,F分别为PD,PC的中点，PA=2AB. 34/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F A B (I)求证：EF⊥平面PAC: (2)求二面角B-AC-E的大小. 6.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD/IBC,∠ADC=90°， AB=AP=22,DP=DB,AD=3,BC=1. M (I)若点M在棱PC上，PM=MC,PAII平面DMB,求元的值； (2)证明：AD⊥PB: (3)当平面AD与平面PBC所成的二面角为45°时，求PC与平面ABCD所成角的正弦值 7.如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N、K分别为AB,PC,PA的中点，平 面PBC∩平面APD=I. 35/38 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M (1)判断直线I与BC的位置关系并证明； (2)求证：MNI∥平面PAD: (3)在棱CD上是否存在点H,使得平面KMH∥平面PBC?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存 在请说明理由 8.如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AD=2,∠BAD=60°，∠BCD=30°，BD⊥CD.E是BD的中点， Q是BC的中点，AQ=V6」 (I)求证：AE⊥平面BCD: (2)若P是AD的中点，M在CD上，PMI∥平面ABC. (i)求CM的长： (ii)求二面角P-BM-D的正切值. 36/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.如图，在正方体ABCD-ABCD,中： D E D B @若E,F分别为校M,4上的点，且45=古44，AF-写4A,证质：BF平面BCD: AM ②若M为棱AA上的一点，且平面MBD⊥平面BCD,求MA的值. 迁移创新 L.己知平面a和平面P交于直线L,P是空间一点，PA⊥a,垂足为A,PB⊥B,垂足为B,且PA=2, PB=V3,若∠APB=60°，则a与P所成二面角为 2.如图，EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=2DC,CA=CB,点F在BE上，则() B A.平面EAB⊥平面DCB B.不存在点F,使得DF∥平面ABC 37/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.存在点F,使得平面DEFI平面ABCD.存在点F,使得平面DCF⊥平面ABE 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD1IBC,，∠PDA=60°，∠ADC=90,AD=6,BC=2,CD=2N3, PD=4,平面PAD⊥平面ABCD,在平面PAD内过P作PO⊥AD,垂足为O,连BO, O (I)求证：BC⊥平面POB: 2√21 ②已知点M在线段pPA上，满足直线BM与平面PAD所成的角的正切值为7，求AM的长： (3)求二面角A-PB-C的正弦值 4.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=于， F3,APAD是边长为2的正三角形，设平面PAD 与平面PBC的交线为I:直线PA与平面ABCD所成角的大小为3： 力 B (I)证明：(i)I11BC:(i)AD⊥PB: (2)求二面角A-1-C的正弦值. 38/38