精品解析：湖南省长沙市一中双语中学2025-2026学年九年级上学期入学考试数学

九年级2025-2026学年第一学期数学练习 一、单选题 1. 在下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断． 【详解】解：、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 为任何实数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义条件，根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 解得：且， 故选：C． 3. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（　　） A. 2022 B. C. D. 2023 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴ 故选：B 4. 把方程化成的形式，则（ ） A. 17 B. 14 C. 11 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．将常数项移到方程的两边，两边都加上一次项系数的一半的平方配成完全平方公式后即可得出答案． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ ， 故选A． 5. 已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，且函数值随自变量的增大而减小，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 先根据直线与y轴交点的位置可得，再根据图象的增减性得，求出解集即可. 【详解】解：∵一次函数的图像与轴的负半轴相交， ∴. ∵一次函数,函数值随自变量的增大而减小， ∴， 解得. 故选：B. 6. 小明对五个数据26，33，45，5，59进行分析，发现其中一个两位数的个位数字被“”遮挡住了，下列统计量中，与被“”遮挡住的数字无关的是（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方差：方差描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数和方差的概念．利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断． 【详解】解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为45，与被涂污数字无关． 故选：B． 7. 如图，菱形的周长为28，对角线交于点O，E为的中点，则的长等于（ ） A. 2 B. 3.5 C. 7 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，由条件确定出为的中位线是解题的关键．由菱形的周长可求得的长，再利用三角形中位线定理可求得答案． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，且O为的中点． ∵E为的中点， ∴为的中位线， ∴． 故选B． 8. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键．设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】解：设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得 ， 其中，即， ①的长不可以为，原说法错误； ②当时， 解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； 综上，正确结论是②③． 故选：C． 9. 二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题等知识点，利用数形结合的思想是解题的关键． 由抛物线开口方向得到，由图象可得抛物线与轴有两个交点，则，利用对称得出抛物线与轴正半轴相交，确定，再由，结合得到，，即可判断①②；再将和代入中，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线，抛物线与轴一个交点在和之间， ∴抛物线与轴另一个交点在和之间， ∴抛物线与轴正半轴相交，且，故③正确； ∴， ∵对称轴为直线，则，而， ∴，， ∴，， 故①错误，②正确； 当时，， 当时，， ∴， ∴，故④正确． 故选：C． 10. 如图，点E是正方形边上任意一点，，且，连接．若的最小值为，则正方形的边长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的最短路径，在线段上截取，连接，作射线，证明，即可得到点F在与夹角为的射线上，然后作点C关于射线的对称点H，连接，则长是的最小值，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：在线段上截取，连接，作射线， ∵是正方形， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即点F在与夹角为的射线上， 作点C关于射线的对称点H，连接，则长是的最小值，即， 这时，， ∴A，B，H三点共线， ∵，即， 解得，（负值舍去） 故选：C． 二、填空题 11. 方程的一次项为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次项的定义，理解一次项的定义是解题的关键． 先整理方程，再找出一次项即可． 【详解】解：， ， ， ∴一次项为． 故答案为： ． 12. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，根据二次函数的平移规律：“上加下减，左加右减”即可得出答案． 【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后得， 即． 故答案为：． 13. 抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是_______． 【答案】；5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数最值问题，根据解析式求出对称轴，开口方向和顶点坐标，进而得到离对称轴越远函数值越大，再确定当且仅当时，函数有最大值并计算出最大值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即最小值为 ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，当且仅当时，函数有最大值，最大值为， 故答案为；；5． 14. 如图，在中，，，点C的坐标为，则点D的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平移与坐标的关系，掌握平移与坐标变化的关系是解题的关键． 先确定和的坐标，再找出平移到时坐标的变化，根据坐标的变化求解即可． 【详解】∵，， ∴，， 在中，，即平移到， ∵点C的坐标为， ∴平移的方式是：向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 15. 已知点，（点A在点B的左侧）是抛物线上的两点，若，则与满足的条件是________． 【答案】 且 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先根据抛物线解析式确定开口方向及对称轴，分，，三种情况，分别考虑即可求解． 【详解】解：点A在点B的左侧， ． 中，， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而增大，； 当时，y随x的增大而减小，； 当时，若，则， 解得； 综上可知，与满足的条件是：且． 故答案为：且． 16. 如图，平行四边形中，，，点P是边上的点，连接，以为对称轴作的轴对称图形，连接，当点P是线段的中点，且时，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接交于点E，根据轴对称的性质得出是线段的垂直平分线，再由中位线的判定和性质得出，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点E， ∵与是以为对称轴的轴对称图形， 由轴对称的性质得，， ∴是线段的垂直平分线， ∴点E是的中点， ∴， 又∵点P是的中点， ∴为的中位线， ∴，，， 在中， ， 在中， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，轴对称的性质，中位线的判定和性质及勾股定理解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 三、解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的混合运算．利用乘方，二次根式的性质，负整数指数幂以及零指数幂法则计算即可得到结果． 【详解】解： ． 18. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用配方法解答即可； （2）利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解： ， 即， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解： ∴， ∴， ∴， 解得：． 19. 某公司为参加“2025年中国人形机器人生态大会”，对本公司生产的甲、乙两款人形机器人的满意度进行了评分测验，并从中各随机抽取20份对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：）下面给出了部分抽取的信息： 对甲款机器人的评数据中B等级的数据为：90，90，88，88，88，87，86，85． 对乙款机器人的评分数据为：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 对甲，乙两款机器人的满意度评分统计表： 机器人 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 86.5 88 69.8 乙 86 85.5 a 96.6 对甲款机器人的满意度评分扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________． （2）根据以上数据，你认为哪款机器人的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可） （3）在此次测验中，各有800人对甲、乙两款人形机器人进行评分，估计此次测验中甲、乙两款人形机器人的满意度评分为A等级的共有多少人？ 【答案】（1）85， （2）甲款机器人的满意度更好， 理由如下： 因为两款机器人的平均数相等，但甲款机器人的中位数和众数更高，且方差更小，所以甲款机器人的评分分布更集中，整体满意度更好． （3）估计此次测验中甲、乙两款人形机器人的满意度评分为等级的共有400人． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、众数、运用方差做决策、利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）根据众数的定义、扇形统计图求解即可得； （2）运用平均数、中位数与众数、方差做决策即可得； （3）利用800分别乘以甲、乙两款人形机器人的满意度评分为等级的人数所占百分比，再相加求和即可得． 【小问1详解】 解：乙款机器人的评分数据中，85出现的次数最多， 所以其众数， ， 所以， 故答案为：85，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计此次测验中甲、乙两款人形机器人的满意度评分为等级的共有400人． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使方程的两根，满足？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点． （1）根据题意可得，再解关于m的不等式即可； （2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值． 【小问1详解】 解：∵方程为一元二次方程， ∴，即， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得：， 综上，的取值范围为且． 【小问2详解】 解：设方程两根为，则：， 代入得， 解得：或， 经检验，或是方程的解， 当时，判别式，不符合实数根条件． 当时，判别式，符合条件． 综上，． 21. 如图，将矩形的边延长到点，使，连接、，作交延长线于点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）如果四边形的面积为24，，连接，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵在矩形中，， ∴， ∴是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理． （1）证明，得到，又，可证得四边形是平行四边形，根据矩形的性质得到，得证是菱形； （2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出，从而，再根据勾股定理即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴在菱形中，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴在中，． 22. 某商家销售一种成本为20元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价（元）满足一次函数关系，并且当时，；当时，．物价部门规定，该商品的销售单价不能超过45元． （1）求y关于的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元？ （3）求商家销售该商品每天获得的最大利润． 【答案】（1） （2）销售单价定为40元 （3）每天获得的最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查一次函数、一元二次方程及二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及二次函数的解析式是解题关键． （1）设关于的函数关系式为，利用待定系数法即可得答案； （2）根据利润=单件利润销售量及（1）中解析式可得关于x的一元二次方程，解方程并根据销售单价不能超过元即可得答案； （3）根据利润=单件利润×销售量可得w与x的关系式，根据二次函数的性质即可得答案． 【小问1详解】 解：设关于的函数关系式为， ∵当时，；当时，， ∴， 解得：， ∴． 【小问2详解】 解：成本为元，，每天获得的利润是元， ∴， 解得：，． ∵物价部门规定，该商品的销售单价不能超过元， ∴不合题意，应舍去． ∴当销售单价定为元时，商家销售该商品每天获得的利润是元． 【小问3详解】 解：设商家销售该商品每天获得的利润为元， 则， ∵， ∵， ∴当时，取最大值为（元）． 答：商家销售该商品每天获得的最大利润为元． 23. 已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点． （1）求出，的值； （2）求的面积． （3）在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）9 （3）存在，或或或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求一次函数解析式，两点间距离公式，等腰三角形的定义等知识点． （1）利用待定系数法分别求解即可； （2）联立求得交点A的坐标，利用三角形面积公式求解即可． （3）设，则，，，再分三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：把代入中，得， 解得， 把代入中，得， 解得； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 联立，解得， ∴点A的坐标为， ∵，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：存在， 设，则，，， 当时，则， 解得：， ∴； 当时，， ∴， 解得：或（舍） ∴； 当时，， 解得：， ∴或， 综上：当为等腰三角形时，或或或． 24. 阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． （2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 【答案】（1）①②或3 （2）该方程的“关爱码”为或 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了“全整根方程”、“全整根方程”的“关爱码”、“全整根伴侣方程” ．正确理解“全整根方程”、“全整根方程”的“关爱码”、“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键． （1）①根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程并求解即可；②根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程求出即可； （2）根据“全整根方程”以及“关爱码”的定义计算即可； （3）根据“全整根伴侣方程”列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，方程为， 则， ∴该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：； ② 由题意得， 解得， 则当或3时，若该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：或3； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 其中完全平方数有、和， 当时，， 当时， （不合题意）， 当时，， 当时，原方程为， 则， 当时，原方程为， 则， 综上所述：该方程的“关爱码”为或； 【小问3详解】 解：方程的“关爱码” 方程的“关爱码， 由题意得：， ∴， ∴或， ∵m，n均为正整数， ∴不合题意， ∴． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． （1）求抛物线解析式； （2）点G是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线上方．当面积最大时，求的最小值． （3）将（1）中抛物线沿射线平移个单位长度得到新的抛物线，点K为新抛物线上一点，使得．请直接写出所有满足条件的点K的横坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或4或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将、坐标代入抛物线解析式，解方程组求系数，确定抛物线解析式； （2）先求抛物线对称轴与直线解析式，设坐标，通过作辅助线表示出的面积，利用二次函数性质求面积最大时坐标，再结合几何变换与最值原理，通过构造特殊角转化线段，求的最小值； （3）先确定抛物线平移规律得到新抛物线，再分点在上方、下方两种情况，通过构造全等三角形、对称点等方法，结合直线与抛物线联立，求满足条件的点横坐标 ． 【小问1详解】 解：已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，A点的坐标是，C点坐标是， 将点A，点C的坐标代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， ∴抛物线的对称轴为直线， 由题意得：点G在直线上， 设直线的解析式为，将点A，点C的坐标代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 如图，作轴交于N， 设，则， ， ， ，其图象开口向下 当时，的面积有最大值，最大为，此时， 作交于H，交对称轴于G，交x轴于F， 直线的解析式为， ， ， ， 当M、G、F、H四点共线时，的值最小， ，的面积为， ， ， 的最小值为； 【小问3详解】 解：点K的横坐标为或或．理由如下： ，直线的解析式为， ∴将抛物线沿射线平移个单位长度，即向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度，得到新的抛物线， 在中，当时，，即， 当点K在上方时，如图，以为直角边，作等腰直角，作轴于Q，作直线交抛物线于K， 则， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，满足题意， 设直线的解析式为，将点A，点P的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或； 此时点K的横坐标为4或； 如图3，当点K在的下方时，作点P关于直线的对称点R，作直线交抛物线于， 由轴对称的性质可得，， 此时，满足题意， 设，则 ， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得：或， 此时点的横坐标为或， 综上所述，点K的横坐标为或或4或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数最值、几何变换（平移、对称）、全等三角形判定与性质、直线与抛物线联立等，熟练掌握二次函数性质、几何变换及方程思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级2025-2026学年第一学期数学练习 一、单选题 1. 在下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 为任何实数 3. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（　　） A. 2022 B. C. D. 2023 4. 把方程化成的形式，则（ ） A. 17 B. 14 C. 11 D. 7 5. 已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，且函数值随自变量的增大而减小，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 小明对五个数据26，33，45，5，59进行分析，发现其中一个两位数的个位数字被“”遮挡住了，下列统计量中，与被“”遮挡住的数字无关的是（　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 7. 如图，菱形的周长为28，对角线交于点O，E为的中点，则的长等于（ ） A. 2 B. 3.5 C. 7 D. 14 8. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9. 二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，点E是正方形边上任意一点，，且，连接．若的最小值为，则正方形的边长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 二、填空题 11. 方程的一次项为_________． 12. 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为______________． 13. 抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是_______． 14. 如图，在中，，，点C的坐标为，则点D的坐标为______． 15. 已知点，（点A在点B的左侧）是抛物线上的两点，若，则与满足的条件是________． 16. 如图，平行四边形中，，，点P是边上的点，连接，以为对称轴作的轴对称图形，连接，当点P是线段的中点，且时，则的长为______． 三、解答题 17. 计算：． 18. 解方程 （1） （2） 19. 某公司为参加“2025年中国人形机器人生态大会”，对本公司生产的甲、乙两款人形机器人的满意度进行了评分测验，并从中各随机抽取20份对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：）下面给出了部分抽取的信息： 对甲款机器人的评数据中B等级的数据为：90，90，88，88，88，87，86，85． 对乙款机器人的评分数据为：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 对甲，乙两款机器人的满意度评分统计表： 机器人 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 86.5 88 69.8 乙 86 85.5 a 96.6 对甲款机器人的满意度评分扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________． （2）根据以上数据，你认为哪款机器人的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可） （3）在此次测验中，各有800人对甲、乙两款人形机器人进行评分，估计此次测验中甲、乙两款人形机器人的满意度评分为A等级的共有多少人？ 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使方程的两根，满足？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 21. 如图，将矩形的边延长到点，使，连接、，作交延长线于点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）如果四边形的面积为24，，连接，求的长． 22. 某商家销售一种成本为20元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价（元）满足一次函数关系，并且当时，；当时，．物价部门规定，该商品的销售单价不能超过45元． （1）求y关于的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元？ （3）求商家销售该商品每天获得的最大利润． 23. 已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点． （1）求出，的值； （2）求的面积． （3）在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． （2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是． （1）求抛物线解析式； （2）点G是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线上方．当面积最大时，求的最小值． （3）将（1）中抛物线沿射线平移个单位长度得到新的抛物线，点K为新抛物线上一点，使得．请直接写出所有满足条件的点K的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $