22.1.4 二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 知识点梳理+专题训练+优化提高+历年真题训练 2025-2026学年人教版九年级数学上册

学生姓名 年级 初三 学科 数学 课题 二次函数y = a+ bx + c的图像与性质 教学目标 1、 理解并运用二次函数y = a+ bx + c的图像与性质 2、 运用图像性质判别二次函数增减性、比较大小 3、 理解并运用二次函数图像与性质求取参数与解析式 知识网络： 二次函数y = ax²+ bx + c的图像与性质 知识精讲： 二次函数y=ax²+bx+c的图像与性质 例如：y = 2x²+ 8x - 5的顶点横坐标x = = = - 2，顶点纵坐标 y = = = -13，顶点坐标为（-2，-13） 问题定位 例1 题类： 求二次函数顶点坐标；判断二次函数的图像性质 二次函数y = ax²+ bx + c通过配方可得y = a（x + ）²+ （1） 其抛物线关于直线x = 对称，顶点坐标为（ ， ） （2） 当a>0时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点 当x = 时，y有最 （“大”或“小”值）是 ； （3） 当a<0时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点 当x = 时，y有最 （“大”或“小”值）是 ； 例2 题类： 求二次函数顶点坐标；求二次函数的对称轴；已知二次函数解析式，求平移后的二次函数解析式 已知抛物线y = 2x²- 4x + 1 . （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴； （2）写出将抛物线y = 2x²- 4x + 1向左平移2个单位，再向下平移3个单位后的抛物线解析式. 例3 题类： 已知二次函数解析式，求平移后的二次函数的顶点坐标 把二次函数y = - x²+ 4x + 1化成y = a（x - h）²+ k的形式，则y = ，把此函数图象向右平移2个单位后，它的顶点坐标是 . 例4 题类： 判断二次函数的图象性质；求二次函数顶点坐标；求二次函数的对称轴；已知二次函数的增减性求参 已知抛物线y = x²- 2x - 1. （1）写出它的开口方向、对称轴、顶点坐标； （2）当y随x的增大而减小时，求x的取值范围， 例5 题类： 已知平移后的二次函数解析式，求原函数的相关系数 如果把抛物线y = ax²+ bx + c向右平移3个单位，再向下平移5个单位，就得到抛物线y = ax²，且抛物线y = ax²+ bx + c经过点（0，1），则a = ；b = ；c = . 例6 题类： 判定二次函数的图像性质；根据表格求二次函数解析式 抛物线y = ax²+ bx + c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x ... -2 -1 0 1 2 ... y ... 0 -4 -4 0 8 ... （1） 根据上表填空 ①抛物线与x轴的交点坐标是 和 ②抛物线经过点（-3， ） ③在对称轴右侧，y随x的增大而 （2）试确定抛物线y=ax²+bx+c的解析式. 优化提高 【变式1】二次函数y = x²+ bx + 1的图像先向右平移2个单位，再向下平移1个单位后对应的函数表达式为y = x²+ c，则（ ） A. b = 4，c = - 2 B. b = - 4，c = 0 C. b = 4，c = - 4 D. b = - 4，c = - 4 【变式2】 二次函数y = x²+ 4x - 3的最小值是 . 【变式3】 已知二次函数y = ax²+ bx + c的图像过点A（1,2），B（3,2），C（5,7）.若点M（-2，），N（-1，），K（7，）也在二次函数y = ax²+ bx + c的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. < < B. < < C. < < D. < < 【变式4】已知抛物线 = - x²+ mx + n，直线 = kx + b，的对称轴与交于点A（-1，5），点A与的顶点B的距离是4. （1）求出 的解析式； （2）若随着x的增大而增大，且与都经过x轴上的同一点，求的解析式 【变式5】 已知二次函数经过点A（1,3）、B（0,4）、C（5,3）三点，求次二次函数解析式. 二次函数系数与图像的关系 知识精讲： 二次函数系数与图像结论 图像 系数关系 （1）a 0 （2）b 0 （3）c 0 （4）b²- 4ac 0 特殊点 （5）当x=1时，y=a+b+c 0 （6）当x=-1时，y=a-b+c 0 （7）当x=2时，y=4a+2b+c 0 （8）当x= -2时，y=4a-2b+c 0 （9）当x=3时，y=9a+3b+c 0 （10）当x= -3时，y=9a-3b+c 0 （11）2a+b 0 （12）2a-b 0 问题定位 例1 题类： 已知二次函数的图像，确定与系数相关的代数式（多结论） 已知抛物线y = ax²+ bx + c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A.a>0 B. b<0 C. c<0 D. a + b + c >0 例2 题类： 已知二次函数的图像，确定与系数相关的代数式（多结论） 如图，抛物线y = ax²+ bx + c经过点（-1，0），对称轴l如图所示，则下列结论：①abc > 0 ; ②a - b + c = 0；③2a + c < 0；④a + b < 0，其中所有正确的结论是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ②③④ 例3 题类： 二次函数a、b、c正负性 若二次函数y = ax²+ bx + c的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y轴的正半轴，则点P（a，）在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D. 第四象限 例4 题类： 已知二次函数的图像，确定与系数相关的代数式（多结论） 已知二次函数y = ax²+ bx + c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①b < 0，c >0;②a + b + c < 0；③方程ax²+ bx + c = 0的两根之和大于0；④a - b + c < 0，其中正确的是 . 例5 题类： 已知二次函数的图像，确定与系数相关的代数式（多结论） 二次函数y = ax²+ bx + c的图像如图所示，有如下结论：①abc > 0；②2a + b = 0；③3b - 2c < 0；④am²+ bm≥a + b（m为实数）其中正确结论的是 . 例6 题类：已知二次函数的图像，确定与系数相关的代数式（多结论） 如图，抛物线y = ax²+ bx + c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），与x轴的一个交点在（3,0）和（4,0）之间，则下列结论：①a-b+c>0 ②abc>0 ③3a+b=0④b²= 4a（c-n），其中正确结论的是 . 历年真题训练 真题1 题类：已知二次函数，确定与系数相关的代数式（多结论） （2024年海珠区九上期末卷）如图，二次函数y = ax²+ bx + c的图象与x轴交于A（1, 0）， B（-4, 0）两点，下列说法正确的是（ ） A. c<0 B. 抛物线的对称轴是直线x = - 2 C. 4a - 2b + c < 0 D. 点（-1，）和（-3，）在抛物线上，则> 真题2 题类： 已知二次函数、一次函数求取不等式取值范围 （2024年黄埔区九上期末） 如图，抛物线= x²- 4x + 3与直线= ax - b交于点A（1, 0）和点B（4, 3），则当 > 时，x的取值范围为（ ） A. - 1 < x < 3 B．x < - 1或x > 3 C. 1< x <4 D．x < 1或x > 4 真题3 题类： 二次函数平移性质：上加下减，左加右减 （2024年广州第三中学九上10月月考卷）将抛物线y = 2x²+1向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得到的抛物线是（ ） A. y = 2（x + 1）²- 1 B. y = 2（x - 1）²+3 C. y = 2（x - 1）²- 1 D. y = 2（x + 1）²+3 真题4 题类：根据二次函数的图像判断性质 （2024年广州番禺区九上期末卷）如图，已知抛物线y = ax²+ bx + c的对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0) 下列结论： ① a - b + c > 0 ; ② 该抛物线与x轴的另一个交点坐标是（-3，0)； ③ 若点(-1，)和(2，)在该抛物线上，则 < ； ④ 对任意实数n，不等式an²+bn ≤ a + b总成立 其中正确的有 . 真题5 题类： 根据二次函数的增减性比较大小 （2024年荔湾区九上期末卷）如图，已知二次函数y = ax²+ bx + c的图象与x轴交于（-3，0），顶点是（-1，m），则以下结论：① abc < 0；② a + b + c = 0； ③若y ≤ c，则 -2 ≤ x ≤ 0；④ a + c = m.其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 真题6 题类：根据二次函数性质求参 （2024年广州南沙区九上期末卷） 如图，抛物线y = ax²+ bx + c与x轴交于点A（-2，0)，B(4，0)，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：① 2a + b = 0；② abc > 0；③ a + c < 0；④ △ABC的面积等于-24a，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 答案： 二次函数y = ax²+ bx + c的图像与性质 问题定位 例1. （1） - ；（- ，） （2）上；低；- ；小； （3）下；高；- ；大； 例2. 解：（1）y = 2x²- 4x + 1 =2（x²-2x）+ 1 =2（x²-2x-1）+ 1 =2（x - 1）²-2 + 1 =2（x - 1）²- 1 ∴顶点坐标为（1，-1），对称轴为x = 1 （2）由（1）可知y = 2（x - 1）²- 1 平移后得：y = 2（x - 1 + 2）²- 1 - 3 y = 2（x + 1）²- 4 例3. y = -（x - 2）²+ 5 ； （4，5） 例4. 解：（1）开口向上；对称轴为x = 1；顶点坐标为（1，-2） （2）当x＜1，y随x的增大而减小时 例5. a =- ；b = - ；c = 1 例6.解：（1）①（-2,0）和（1,0） ②（-3,8） ③增大 （2） 解：将（-2，0），（0，-4），（1，0） 代入y = ax²+ bx + c中得： 解得： ∴ 抛物线解析式为y = 2x²+ 2x - 4 优化提高 【变式1】 C 【变式2】 -7 【变式3】 B 【变式4】 解：（1）由题意得：x = = -1 m = -2 顶点坐标为（-1，9）或（-1，1） ∴ = -x²-2x + 8 或 = -x²-2x （2）①当= -x²-2x + 8 时 令y = 0得：= - 4或 = 2 ∵ 随x的增大而增大，且过点A（-1，5） ∴ 与都经过（-4，0） 将（-1，5）（-4，0）代入= kx + b中 得： 解得： ∴ = x + ②当 = -x²-2x 令y = 0得：= 0或 = -2 ∵ 随x的增大而增大，且过点A（-1，5） ∴ 与都经过（-2，0） 将（-1，5）（-2，0）代入= kx + b中 得： 解得： ∴ = 5x + 10 【变式5】 解:设二次函数解析式为：y =ax²+ bx + c 将A（1，3）、B（0，4）、C（5，3）代入 得： 解得： ∴ 二次函数解析式为： y = x²- x + 4 二次函数系数与图像的关系 知识精讲： 图像 系数关系 （1）a > 0 （2）b < 0 （3）c > 0 （4）b²- 4ac > 0 特殊点 （5）当x=1时，y=a+b+c = 0 （6）当x=-1时，y=a-b+c > 0 （7）当x=2时，y=4a+2b+c < 0 （8）当x= -2时，y=4a-2b+c > 0 （9）当x=3时，y=9a+3b+c < 0 （10）当x= -3时，y=9a-3b+c > 0 （11）2a+b < 0 （12）2a-b > 0 问题定位 例1. D 例2. D 例3. B 例4. ②③④ 例5. ①②③④ 例6. ①④ 历年真题训练： 真题1：D 真题2：D 真题3：B 真题4：①③④ 真题5：D 真题6：B 学科网（北京）股份有限公司 $