22.2 二次函数与一元二次方程 知识点梳理+专题训练+优化提高+历年真题训练-2025-2026学年人教版数学九年级上册

学生姓名 年级 初三 学科 数学 课题 二次函数与一元二次方程 教学目标 1、 理解并运用△=b²-4ac判断函数与x轴的交点情况 2、 根据一次函数与二次函数图像的位置关系求自变量的取值范围 3、 理解并运用二次函数与x轴的交点求取参数范围 知识网络： 二次函数与一元二次方程的关系 知识精讲： 二次函数与一元二次方程的关系 函数y = ax²+ bx + c（a≠0）当y = 0时，得到一元二次方程ax²+ bx + c = 0（a≠0），那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况。 （1）当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时△= b² - 4ac > 0，则方程有两个不相等实数根； （2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时△=b² - 4ac = 0，则方程有两个相等实数根； （3）当二次函数的图象与x轴没有交点，这时△= b² - 4ac < 0，则方程没有实数根。 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系： 问题定位 例1 题类： 求二次函数与坐标轴交点 二次函数y = ax²+ bx + c（a≠0）的图像上部分点的坐标满足下表： 则该函数图像与x轴的交点坐标为 . 例2 题类： 已知二次函数与x轴交点个数求参 若抛物线y = ax²+ x - 与x轴有两个交点，则a的取值范围是 . 例3 题类： 一元二次方程与二次函数的关系 二次函数y= - x²+ 2x + k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程- x²+ 2x + k = 0的一个解= 3，另一个解为（ ） A. 1 B. -1 C. -2 D. 0 例4 题类： 已知二次函数上函数值相等的两个点坐标的相关题型 如果二次函数y = ax²+ bx + c（其中a、b、c为常数，a≠0）的部分图像如图所示，它的对称轴过点（-1,0），那么关于x的方程ax²+ bx + c = 0的一个正根可能是（ ） A. 0.5 B. 1.5 C. 2.5 D. 3.5 例5 题类： 已知二次函数上函数值相等的两个点坐标的相关题型 已知y = 2x²+ 9x + 34，当x取不同的值，时函数值相等，则当x = + 时的值（ ） A.与x = 1的函数相等 B.与x = 0的函数相等 C.与x = 的函数相等 D.与x = - 的函数相等 例6 题类： 一元二次方程与二次函数的关系 已知函数y = ax²+ bx + c的图像如图，那么关于x的方程ax²+ bx + c + 2 = 0的根的情况是（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个同号不相等的实数根 D. 有两个异号的实数根 优化提高 【变式1】 如图，在同一坐标系内，二次函数的图象与x轴、y轴坐标轴分别交于A（-1，0），点B（2，0）和点C（0，4），一次函数的图像与抛物线交于B、C两点，当自变量 时，一次函数大于二次函数；当自变量 时，一次函数值小于二次函数. 【变式2】如图，一次函数= kx + n（k≠0）与二次函数= ax²+ bx + c（a≠0）的图象交与A（-1，5）、B（9，2）两点，则关于x的不等式kx + n ≥ ax²+ bx + c的解集为（ ） A． - 1 ≤ x ≤ 9 B．- 1 ≤ x < 9 C．- 1 < x ≤ 9 D．x ≤ - 1 或x ≥ 9 【变式3】 已知二次函数y = x²- 2ax + a²- 2a - 4（a为常数）的图象与x 轴有交点，且当x > 3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ） A. a ≥ -2 B. a<3 C. -2 ≤ a< 3 D. - 2 ≤ a ≤ 3 【变式4】 若二次函数抛物线y = x²- 2x + k（k为常数）与x轴有两个交点，则k的取值范围为 . 【变式5】如图，抛物线y = ax²+ bx + c的对称轴为直线x = 1，与x轴一个交点的坐标为（-1，0），其部分图像如图所示，下列结论：① ac<0；② b<0；③方程ax²+ bx + c = 0的两个根是 = -1，= 3；④ 当y > 0时，x的取值范围是 -1 < x < 3．其中结论错误的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 历年真题训练 真题1 题类：已知二次函数上函数值相等的两个点坐标的相关题型 （2024年广州荔湾区西外集团九上9月月考卷）已知抛物线y = x²+ bx + c的部分图象如图所示，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为 . 真题2 题类： 根据一次函数与二次函数图象的位置关系求自变量的取值范围 （2024年广州二中九上期中卷）如图3，已知二次函数y = ax²+ bx + c（a≠0）与一次函数y = mx + n（m≠0）的图象相交于点A（-1，6）和B（5，3），则使不等式ax²+ bx + c < mx + n成立的x的取值范围是（ ） A. x < -1或x > 5 B. -1 < x < 5 C. x < 3或x > 6 D. 3 < x < 6 真题3 题类： 一元二次方程与二次函数的关系 （2024年广州黄埔区华师附中九上期中卷）二次函数y = ax²+ bx + c（a≠0）中的部分对应值如下表： 则当x = 3时，y的值为 . 真题4 题类：根据一次函数与二次函数图象的位置关系求自变量的取值范围 （2024年广州越秀区省实中学九上10月月考卷）如图，抛物线= ax²与直线= bx + c的两根交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1），则 ≤ ，x的取值范围是 . 真题5 题类： 已知二次函数与x轴交点个数求参 （2024年荔湾区真光中学10月月考卷）若函数y = kx²- 4x + 1的图像与x轴有交点，则k的取值范围是 . 真题6 题类：已知二次函数上函数值相等的两个点坐标的相关题型 （2023年广州海珠区九上期末卷）如果关于x的方程ax²+ bx + c = 0的解是 = 1， = 3，那么关于y的方程a（y-1）²+ by + c = b的解是 . 答案： 二次函数与一元二次方程的关系 问题定位 例1.（-2,0）或（1,0） 例2. a > -1 例3. B 例4. B 例5. B 例6. C 优化提高 【变式1】 x < 0或x > 2 ； 0<x<2 【变式2】 A 【变式3】 D 【变式4】 k<1 【变式5】 B 历年真题训练： 真题1：（3，0） 真题2： B 真题3： 6 真题4：-2< x < 1 真题5：k ≤ 4 真题6： = 4或 = 2 学科网（北京）股份有限公司 $$