精品解析：浙江省宁波海曙储能学校丽园校区2025-2026学年九年级上学期数学开学考试卷

储能丽园2025学年第一学期九年级作业检查数学试题 总分：100分 时间：90分钟 一、单选题（每小题3分，共10小题，满分30分） 1. 下列函数中，为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 不能确定 3. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 点D为的外心 6. 如图，将绕点B顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为点D，E，的延长线分别交，于点F，G，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，在边长为的正方形中，动点P从点A出发沿A→B的方向以1 cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以的速度运动．当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．设的面积为y（），运动时间为x（），下列能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与x轴的一个交点为．则下列结论：①；②；③；④方程的两根为，．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 10. 如图，已知点A，C，D在上，点B在内，和均为直角，，，，则的半径为（ ） A. 5 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共6小题，满分18分） 11. 二次函数的图象的开口向___________． 12. 一个圆的半径为，则此圆的最大弦长为__________． 13. 二次函数，当时，随的增大而______． 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么△ABC的外接圆的圆心坐标为____． 15. 如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为______． 16. 如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，（P在第一象限）恰好经过A、B、C三点，且的弦心距为，则a的值为_____． 三、解答题（共6小题，52分、17、18题6分，19、20题8分，21、22题12分） 17. 已知抛物线经过点． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）判断点是否在此抛物线上． 18. 如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）． （1）画出△ABC向上平移4个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2． 19. 如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，，求直径的长． 20. 某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 40 60 80 … 每天销售数量y/件 … 80 60 40 … （1）直接写出y与x之间的函数关系式___________； （2）设该公司销售这种商品每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 21. 已知抛物线的图象经过点和． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求这条抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 22. 综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】 （1）当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】 （2）如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】 （3）如图，在（2）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，直接写出线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 储能丽园2025学年第一学期九年级作业检查数学试题 总分：100分 时间：90分钟 一、单选题（每小题3分，共10小题，满分30分） 1. 下列函数中，为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的概念，掌握相关知识点是解题的关键； 一般地，形如(其中)的函数是二次函数，据此逐项分析判断即可． 【详解】A. 是一次函数，故本选项不符合题意； B. 展开后为，是二次函数，故本选项符合题意； C. ，未明确，若则不是二次函数，故本选项不符合题意； D. 是正比例函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．直接根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：的半径是5，的长为4，， 点在圆内． 故选：B 3. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把原抛物线解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为，即， 故选：A． 4. 已知点和点在二次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质．把点的坐标代入函数解析式求出，，即可得到答案． 【详解】解；∵点和点在二次函数的图象上， ∴，， ∴， 故选：C 5. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 点D为的外心 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形内角和定理的应用，三角形的外心的定义；由题意可知直线是线段的垂直平分线，故，，故可得出的度数，根据可知，故可得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：由题意可知直线是线段的垂直平分线， ，， ， ， ． ， ， B正确，C错误； ，， ， 点为的外心，故D正确； ，， ，故A正确． 故选：C． 6. 如图，将绕点B顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为点D，E，的延长线分别交，于点F，G，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转前后对应角相等，可得，结合，可得，可证结论D正确． 【详解】解：将绕点B顺时针旋转得到， ，， 又，， ， ， 故选项D结论一定正确， 现有条件，不能证明选项A，B，C中结论一定正确， 故选：D． 7. 二次函数的图象与x轴交于点，，则关于x的方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数与x轴的交点坐标，即可得到对应一元二次方程的根．本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为所对应的方程的根是关键． 【详解】解：二次函数的图象与x轴交于点，， 关于x的方程的解为，， 故选：D． 8. 如图，在边长为的正方形中，动点P从点A出发沿A→B的方向以1 cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以的速度运动．当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．设的面积为y（），运动时间为x（），下列能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二次函数，正方形的性质，动点问题，正确作出图形是解题的关键。 根据点Q所在正方形的不同边上，分类讨论，逐一计算，即可解答。 【详解】解：①当点Q在上时，如图 有，， ∴（）． 此时y与x之间的函数为一次函数． ②当点Q在上时，如图 有，， ∴， ∴（）． 此时y与x之间的函数为二次函数． 综上所述，符合当时，图像为一次函数；时，图像为二次函数，只有B选项． 故选B． 9. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，与x轴的一个交点为．则下列结论：①；②；③；④方程的两根为，．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，且两交点为抛物线上的对称点．熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴得到，利用抛物线与轴的交点位置得到，则可对①进行判断；②利用对称轴可对②进行判断；找图形中时对应的的值即可对③进行判断；观察图形与轴的交点的横坐标与对称性可对④进行判断． 【详解】解：①抛物线的开口向上， ， ， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，故①正确． ②∵， ，故②正确． ③由图象得：时，， ， ，故③错误． ④根据对称性可知抛物线与轴另一交点为， 方程的两个根为，，故④正确． 综上，正确的是①②④． 故选：D． 10. 如图，已知点A，C，D在上，点B在内，和均为直角，，，，则的半径为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点O作于点E，延长，二线交于点F，得到四边形是矩形，设则，连接，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：过点O作于点E，延长，二线交于点F， ∵和均为直角， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴，，， 设则， 连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，矩形的判定和性质，圆的性质，勾股定理，解方程，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共6小题，满分18分） 11. 二次函数的图象的开口向___________． 【答案】下 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是掌握二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线向下开口．由即可判断开口方向． 【详解】解：二次函数，， 则图象的开口向下， 故答案为：下 12. 一个圆的半径为，则此圆的最大弦长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的基础知识可得，圆的最大弦长即直径，由此即可求解． 【详解】解：圆的直径是过圆心的弦， ∴圆的直径的长是圆的最大弦长， ∵圆的半径为， ∴圆的直径为，即最大弦长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，掌握圆的弦与直径的关系是解题的关键． 13. 二次函数，当时，随的增大而______． 【答案】增大 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的解析式可得二次函数的开口向上，对称轴为直线，由此即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， 故答案为：增大． 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么△ABC的外接圆的圆心坐标为____． 【答案】(5，5) 【解析】 【分析】分别作出三角形任意两边的垂直平分线得到圆心的位置，进而得出答案． 【详解】∵B(0，3)，C(3，0)， ∴在网格中，BC可以看作边长为3的正方形的对角线， 根据网格特征及正方形对角线互相垂直平分，分别作出AB、BC的垂直平分线，交于点E，则点E即为外接圆的圆心，如图所示， ∵A(0，7)，B(0，3)， ∴点E纵坐标为5， ∴由图可得，E(5，5)． 故答案为：(5，5)． 【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形的外接圆与外心，熟练掌握定义及性质是解题的关键． 15. 如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、图形平移的性质，连接，，根据图形平移的性质可知． 【详解】如图所示，连接，， 根据图形平移的性质可知， 设抛物线的表达式为， 抛物线经过点和原点，则抛物线的对称轴为， 将代入，得， 所以，点的坐标为， 将代入抛物线，得， 所以，点的坐标为， ， 所以，， 故答案为：． 16. 如图，二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，（P在第一象限）恰好经过A、B、C三点，且的弦心距为，则a的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理，先由得出，，，即可得，过作于，连接，，，再根据圆的性质得，再由垂径定理得，再由的弦心距为得，进而可得点P的坐标，由勾股定理得，再由列等式方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C， ∴，，， ∴， 如图，过作于，连接，，， ∵（P在第一象限）恰好经过A、B、C三点， ∴， ∴， ∵的弦心距为， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：或． 三、解答题（共6小题，52分、17、18题6分，19、20题8分，21、22题12分） 17. 已知抛物线经过点． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）判断点是否在此抛物线上． 【答案】（1） （2）不在 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质： （1）把代入线求出a的值即可； （2）在中，令，求出对应的y值，即可判断． 【小问1详解】 解：把代入线得：， 解得， ； 【小问2详解】 解：在中，令，得， 点不在此抛物线上． 18. 如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）． （1）画出△ABC向上平移4个单位长度后得到的△A1B1C1； （2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2． 【答案】 （1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点A,B,C平移后的对应点A1 ，B1 ，C 连接即可 （2）根据网格结构找出点A,B,C绕点O逆时针旋转90°后得到的A2，B2，C2，连接即可 【详解】略． 【点睛】此题考查作图-旋转变换，作图-平移变换，熟练掌握作图的操作是解题关键 19. 如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，，求直径的长． 【答案】（1） 证明：∵，且过圆心O ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）的直径是 【解析】 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理，得到，等腰三角形三线合一，即可得出结论； （2）连接，设的半径是r，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，设的半径是r， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴的直径是． 20. 某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 40 60 80 … 每天销售数量y/件 … 80 60 40 … （1）直接写出y与x之间的函数关系式___________； （2）设该公司销售这种商品每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价是75元时，最大日利润是2025元 【解析】 【分析】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式． （1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式，即可解答； （2）根据总利润单个利润总销量列出函数解析式，然后由二次函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【小问1详解】 解：设， 把，代入中得： ， 解得：， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， ∵,抛物线开口向下， ∴当时，最大元， ∴当销售单价为75元时，每天获利最大，最大利润是2025元． 21. 已知抛物线的图象经过点和． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求这条抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）对称轴为直线，顶点坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质． （1）依据题意，抛物线的图象经过点，，从而可得，且，可得的值，进而可得函数的表达式； （2）将函数的表达式转化为顶点式，即可得抛物线的对称轴和顶点坐标； （3）依据题意，由，得当时，取最大值为4，再结合和分别进行讨论，同时结合即可判断得解． 【小问1详解】 解：抛物线的图象经过点，， ，且， ． 这条抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：， ∴这条抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问3详解】 解：的对称轴为直线， 分以下两种情况： ①当时， 又∵， ∴当时，随的增大而增大， 当时，取最大值为； 当时，取最小值为． 又∵， ． ． 解得． ②当时， 当时，取最大值为； 当到对称轴的距离大于到对称轴的距离时，即，此时， 当时，取最小值为，此时，符合题意． 当到对称轴的距离小于到对称轴的距离时，即，即， 当时，取最小值为． 又∵， ． ． 或，不合题意． 综上，若，则． 22. 综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】 （1）当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】 （2）如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】 （3）如图，在（2）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，直接写出线段的最小值． 【答案】（1），； （2） 解：；直线与的夹角度数为；理由如下： 四边形和四边形是菱形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ，， ， 直线与的夹角度数为； （3）线段的最小值为． 【解析】 【分析】（1）由四边形和四边形是正方形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解； （2） 由四边形和四边形是菱形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解； （3）如图，由于菱形绕点旋转，所以点的运动轨迹，是以点为圆心，半径为的圆，连接圆心点与圆外一点，当点在上时，线段取得最小值，连接，交于点，根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，于是得到结论． 【详解】（1）四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，延长交于点，交于点， ，， ， ， 直线与的夹角度数为， 故答案为：，； （2）略 （3）如图，∵ ∴当点在上时，线段取得最小值， 连接，交于点， 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ， ， 即线段的最小值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $