精品解析：福建省永春二中，永春五中，达埔中学、永春六中四校2023—2024学年九年级上学期自主招生模拟数学试题

2023秋季初三年四校自主模拟联考数学卷 一、选择题（本大题共10小题，共40分．） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 2. 把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图,在中,,,,将沿图示中虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 4. 若是关于x方程的两个实数根，则实数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 按如图所示的运算程序，能使输出的值为的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是　　 A. B. C. D. 7. 如图，电路图上有3个开关A，B，C和一个小灯泡，同时闭合开关A，C或同时闭合开关B，C都可以使小灯泡发光．下列操作中，使“小灯泡发光”的事件是随机事件的是（　　） A. 不闭合开关 B. 只闭合1个开关 C. 只闭合2个开关 D. 闭合3个开关 8. 已知实数，则代数式的值为　　 A. B. 7 C. 或7 D. 以上全不正确 9. 如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（　　） A. 0＜CP≤1 B. 0＜CP≤2 C. 1≤CP＜8 D. 2≤CP＜8 10. 已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. 若一元二次方程配方后为，则________． 12. 若化简的结果是，则x的取值范围是___________ 13. 如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是____． 14. 设是方程的两实数根，则_________． 15. 如图，在等腰中，，，D为的中点，过点C作于点E，交于点F，则线段长为________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 先化简，再求值：，其中满足方程． 18. 已知关于的方程． （1）若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数的值； （2）若等腰的一边长为，另两边的长恰好是方程的两个根，求的周长 19. 矩形ABCD中，，点E是线段AB上一动点。点F在线段AD上，沿EF折叠，使A落在CD边上的G处，且． （1）尺规作图：作出折痕EF，保留作图痕迹，不用写作法； （2）求AE的长． 20. 如图，一艘渔船位于小岛北偏东方向，距离小岛的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． （1）渔船航行多远距离小岛最近(结果保留根号)？ （2）渔船到达距离小岛最近点后，按原航向继续航行到点处时突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少(结果保留根号)？ 21. （1）如图，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，，求证：． （2）如图，在中，，点在上，，，分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，判断的形状并证明 22. 在四边形中，点、分别是、边上一点，． 如图，若四边形是正方形，，，则　 　． 如图，若四边形是菱形，，，，求的值． 如图，若四边形是矩形，点是中点，，，求的值． 23. 某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8．1元/斤，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种水果每次降价的百分率； （2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？ 时间x（天） 售价（元/斤） 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格 销量（斤） 储存和损耗费用（元） （3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？ 24. 如图，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）若过原点的直线与直线分别交抛物线于点、， ①当时，试求的面积； ②试证明：不论实数取何值，直线总是经过一定点． 25. 如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，若有PA2＝PB2+PC2则称点P为△ABC关于点A的勾股点． （1）如图2，在4×5的网格中，每个小正方形的长均为1，点A、B、C、D、E、F、G均在小正方形的顶点上，则点D是△ABC关于点　 　的勾股点；在点E、F、G三点中只有点　 　是△ABC关于点A的勾股点． （2）如图3，E是矩形ABCD内一点，且点C是△ABE关于点A勾股点， ①求证：CE＝CD；②若DA＝DE，∠AEC＝120°，求∠ADE的度数． （3）矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，E是矩形ABCD内一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点， ①若△ADE是等腰三角形，求AE的长；②直接写出AE+BE的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023秋季初三年四校自主模拟联考数学卷 一、选择题（本大题共10小题，共40分．） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分式有意义，分母不等于零；二次根式的被开方数是非负数． 【详解】依题意，得x-1≥0且x-2≠0， 解得x≥1且x≠2． 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 2. 把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：（a-1）=-（1-a）=． 故选A． 3. 如图,在中,,,,将沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可. 【详解】解:A.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项不符题意; B. 两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项不符题意； C. 两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似,故本选项符合题意. D. 阴影部分三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本不符题意; 所以选C选. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，需充分掌握三角形判断相似的定理. 4. 若是关于x的方程的两个实数根，则实数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用a是关于x的一元二次方程的根得到，进而判断出，同理判断出，即可得出结论． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的根， ， ， ， ， 同理：， ， , 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解的定义，不等式的性质，判断出是解题的关键． 5. 按如图所示的运算程序，能使输出的值为的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据流程图以及锐角三角函数的定义，逐一判定选项，即可得到答案． 【详解】A. ，时，y=sin60°=， B. ，时，y=cos45°=， C. ，时，y=sin30°=， D. ，时，y=cos45°=， 故选C． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 6. 如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，作FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可. 【详解】如图，作FN∥AD，交AB于N，交BE于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∵FN∥AD， ∴四边形ANFD是平行四边形， ∵∠D=90°， ∴四边形ANFD是矩形， ∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a， ∵AN=BN，MN∥AE， ∴BM=ME， ∴MN=a， ∴FM=a， ∵AE∥FM， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 7. 如图，电路图上有3个开关A，B，C和一个小灯泡，同时闭合开关A，C或同时闭合开关B，C都可以使小灯泡发光．下列操作中，使“小灯泡发光”的事件是随机事件的是（　　） A. 不闭合开关 B. 只闭合1个开关 C. 只闭合2个开关 D. 闭合3个开关 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别判断能否发光，进而判断属于什么事件即可． 【详解】解：A、不闭合开关，小灯泡一定不会发光，属于不可能事件，本选项不符合题意； B、只闭合1个开关，小灯泡一定不会发光，属于不可能事件，本选项不符合题意； C、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，本选项符合题意； D、闭合3个开关，小灯泡一定会发光，属于必然事件，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了随机事件的分类，正确判断小灯泡能否发光是解题的关键． 8. 已知实数，则代数式的值为　　 A. B. 7 C. 或7 D. 以上全不正确 【答案】B 【解析】 【详解】令 ，则原式变 ， 分解因式得 ， 解得 ， 则有 或 ， 在方程中， ，方程无解， 那么， ， 故选：B. 9. 如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（　　） A. 0＜CP≤1 B. 0＜CP≤2 C. 1≤CP＜8 D. 2≤CP＜8 【答案】B 【解析】 【分析】分四种情况讨论,依据相似三角形的对应边成比例,即可得到AP的长的取值范围． 【详解】如图所示,过P作PD∥AB交AC于D或PE∥AC交AB于E,则△PCD∽△BCA或△BPE∽△BCA,此时0＜PC＜8; 如图所示,过P作∠BPF＝∠A交AB于F,则△BPF∽△BAC, 此时0＜PC＜8; 如图所示,过P作∠CPG＝∠B交AC于G,则△CPG∽△CAB, 此时,△CPG∽△CBA, 当点G与点A重合时,CA2＝CP×CB,即42＝CP×8, ∴CP＝2, ∴此时,0＜CP≤2; 综上所述,CP长的取值范围是0＜CP≤2． 故选B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的性质. 10. 已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据对称轴计算公式求出，再根据题意可得二次函数与直线在的范围内有交点，据此求出时，二次函数的函数值的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解， ∴二次函数与直线在的范围内有交点， ∵二次函数的对称轴为直线且开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴当时，二次函数与直线在的范围内有交点， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. 若一元二次方程配方后为，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据完全平方公式得出，求出，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵一元二次方程配方后为， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了配方法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，将变形为． 12. 若化简的结果是，则x的取值范围是___________ 【答案】1≤x≤4 【解析】 【分析】根据可以得到，然后根据x的取值范围去绝对值即可求解. 【详解】解：由题意可知： ∴ ∴， ∴当时 原式不合题意； ∴当时， 原式不合题意； ∴当时， 原式符合题意； ∴x的取值范围为：， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 13. 如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是____． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得：空白部分有6个位置，只有在1，2处时，黑色部分的图形是轴对称图形，故黑色部分的图形是轴对称图形的概率是：． 故答案为． 14. 设是方程的两实数根，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先将代入方程得到，推出，将其代入所求代数式中得，根据根与系数关系式求得，即可得到答案. 【详解】∵是方程的两实数根， ∴, ∴, ∴, ∴, ∵是方程的两实数根， ∴, ∴2016， 故答案为：2016. 【点睛】此题考查等式的性质，方程的解，一元二次方程根与系数的关系式，根据原方程求出是解此题的关键，将高次项降次也是此题解题入手之处. 15. 如图，在等腰中，，，D为的中点，过点C作于点E，交于点F，则线段长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】过作交延长线于，由条件可以证明，得到，由，得到，即可求出的长． 【详解】解：过作交延长线于， ， ， ， ， ，， ， ， 是的中点， ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，关键是通过作辅助线构造全等三角形、相似三角形． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质等知识，将的值转化点到点和点的最小值，求出，则：的值相当于求点到点和点的最小值，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，作于， 由旋转可知，，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∴， 则点， ∴ 的值，相当于求点到点和点的最小值， 相当于在直线上寻找一点，使得点到，到的距离和最小， 作关于直线的对称点， ∴， ∵， ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 先化简，再求值：，其中满足方程． 【答案】． 【解析】 【分析】把原式括号里的第二项提取﹣1，然后把原式的各项分子分母都分解因式，找出括号里两项分母的最简公分母，利用分式的基本性质对括号里两项进行通分，然后利用同分母分式的减法运算法则：分母不变，只把分子相减，计算出结果，然后利用分式的除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，变形为乘法运算，约分后即可把原式化为最简分式，把a满足的方程变形后，代入原式化简后的式子中即可求出值． 【详解】解： = = = = ∵，∴， ∴原式=． 【点睛】考点：分式的化简求值． 18. 已知关于的方程． （1）若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数的值； （2）若等腰的一边长为，另两边的长恰好是方程的两个根，求的周长 【答案】（1） （2）等腰三角形的周长为或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，解一元二次方程，三角形的三边关系，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）利用公式法进行求解一元二次方程，得出，，再利用两根异号，且正根的绝对值较大，得出，即可求解； （2）当边长为3的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得m的值，再解方程，确定出三边长；当边长为3的边为腰时，则可知方程有一个根为3，代入可求得m的值，则可求得方程的另一根，进而求得周长，注意根据三角形的三边关系定理判断是否成立． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵两根异号，且正根的绝对值较大， ∴， ∴整数的值为； 【小问2详解】 解：①当为底边长时，， ， 此时原方程为， 解得：． 、、能组成三角形， 三角形的周长为； ②当为腰长时，将代入原方程，得：， 解得：， 此时原方程为， 解得：． 、、能组成三角形， 三角形的周长为， 综上所述：等腰三角形的周长为或． 19. 矩形ABCD中，，点E是线段AB上一动点。点F在线段AD上，沿EF折叠，使A落在CD边上的G处，且． （1）尺规作图：作出折痕EF，保留作图痕迹，不用写作法； （2）求AE的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【小问1详解】 如图，折痕EF为所求， （此题作法很多：①作∠AFG的平分线，②连接AG，作线段AG的中垂线，③过点G作FG的垂线，交AB于E，连接FE，④以GC为一边，作）； 【小问2详解】 如图，在矩形ABCD中，连接GE，过点E作EH⊥CD于H， 则四边形EBCH是矩形，， ∵折叠， ∴，，， ∵，， ∴， ∴△DFG∽△HGE， ∴， ∴设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴. 【点睛】本题考查图形的翻折变换以及勾股定理的应用．解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后线段相等． 20. 如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛的点处，它沿着点的南偏东的方向航行． （1）渔船航行多远距离小岛最近(结果保留根号)？ （2）渔船到达距离小岛最近点后，按原航向继续航行到点处时突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少(结果保留根号)？ 【答案】（1）；（2）南偏东； 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线交于点，则AD为所求，根据已知条件得到∠BAD=45°即可解答； （2）根据特殊角的锐角三角函数值得到∠C=30°，∠DBC=60°，从而求出BC的长度，再求出∠DBE的度数，即可得到∠EBC的度数． 【详解】解：（1）过点作的垂线交于点， ∵垂线段最短，上的点距离点最近，即为所求， 由题意可知：∠BAF=30°，∠CAF=15°， ∴， ∴渔船航行时，距离小岛最近． （2）在中，， ∠DBC=60°， ∵∠ABD=45°，∠ABE=90°-30°=60°， ∴， . 答：从处沿南偏东出发，最短行程. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想． 21. （1）如图，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，，求证：． （2）如图，在中，，点在上，，，分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，判断的形状并证明 【答案】（1）见解析；（2）直角三角形，见解析． 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连结，取的中点H，连接，根据三角形中位线定理得到，再得到，进一步得到，即可得出结论； （2）连接，取的中点，连接，根据三角形中位线定理得到，，，，证明为等边三角形，得到，进一步得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：连结，取的中点H，连接，如图： ∵点E、F分别是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）是直角三角形，证明如下： 证明：如图，连接，取的中点，连接， 是的中点， 是的中位线， ， ， 同理，， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 是直角三角形． 22. 在四边形中，点、分别是、边上一点，． 如图，若四边形是正方形，，，则　 　． 如图，若四边形是菱形，，，，求的值． 如图，若四边形是矩形，点是的中点，，，求的值． 【答案】； ； 【解析】 【分析】根据含的直角三角形的性质解答即可； 过作，利用含的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质进行解答即可； 延长交延长线于点，再利用相似三角形的性质和勾股定理进行解答． 【详解】解：四边形是正方形，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 过作，如图： ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 延长交延长线于点，如图： 在与中， ， ，， ， ， 是的角平分线， 如下图所示，过点作， 则有， 在和中， ， ， 在与中， ， ， 在中，， ，， ， ． 【点睛】本题考查了四边形综合题、全等三角形和相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据全等三角形和相似三角形的判定和性质进行分析． 23. 某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8．1元/斤，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种水果每次降价的百分率； （2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？ 时间x（天） 售价（元/斤） 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格 销量（斤） 储存和损耗费用（元） （3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？ 【答案】（1） （2），第10天时销售利润最大 （3）元 【解析】 【分析】（1）设这个百分率是x，根据某商品原价为10元，由于各种原因连续两次降价，降价后价格为元，可列方程求解； （2）根据两个取值先计算：当时和时销售单价，由利润=（售价进价）×销量费用列函数关系式，并根据增减性求最大值，作对比； （3）设第15天在第14天的价格基础上最多可降元，根据第15天的利润比（2）中最大利润最多少元，列不等式可得结论． 【小问1详解】 解：设该种水果每次降价的百分率是x， 解得： (舍去)， 答：该种水果每次降价的百分率是； 【小问2详解】 解：当时，第1次降价后的价格：， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为 (元)， 当时，第2次降价后的价格：8．1元， ∴ ， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为380元， 综上所述，y与x()之间的函数关系式为∶ 第10天时销售利润最大； 【小问3详解】 解：设第15天在第14天的价格基础上最多可降a元， 由题意得： 解得：， 答：第15天在第14天的价格基础上最多可降元． 【点睛】考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，本题属于中档题，解决这类题目时，根据数量关系列出方程和函数关系式是关键． 24. 如图，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）若过原点的直线与直线分别交抛物线于点、， ①当时，试求的面积； ②试证明：不论实数取何值，直线总是经过一定点． 【答案】（1）；（2）①20；②详见解析 【解析】 【分析】（1）如图，由题意可得OB=，∠ABO=60°，然后在Rt△BOF中，利用解直角三角形知识求出BF和OF的长，进而可得点B坐标，然后代入抛物线的解析式即可求出结果； （2）①先解方程组求出点C、D的坐标，再利用待定系数法求出直线CD的解析式，然后即可求出直线与轴的交点，再根据计算即可； ②先解方程组求出点C、D的坐标，再利用待定系数法求出直线CD的解析式，然后即可求出直线与轴的交点，进而可得结论． 【详解】解：（1）如图，等边△的边长为， ∴OB=，∠ABO=60°， 则在Rt△BOF中，BF=4，， ， 又点在抛物线上， ，解得：， 故所求的解析式为； （2）①解方程组，得，，∴， 解方程组，得，，∴， 设直线的解析式为， ，解得：， 所以直线的解析式为， 设直线与轴交于点，则，如图， ∵，， ； ②解方程组，得，，∴， 解方程组，得，，∴， 设直线解析式为， ，解得：， 所以直线的解析式为， 所以不论实数取何值，直线总过定点． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、解直角三角形、待定系数法求函数的解析式、解方程组以及三角形的面积等知识，准确计算、灵活应用上述知识是解题的关键． 25. 如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，若有PA2＝PB2+PC2则称点P为△ABC关于点A的勾股点． （1）如图2，在4×5的网格中，每个小正方形的长均为1，点A、B、C、D、E、F、G均在小正方形的顶点上，则点D是△ABC关于点　 　的勾股点；在点E、F、G三点中只有点　 　是△ABC关于点A的勾股点． （2）如图3，E是矩形ABCD内一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点， ①求证：CE＝CD；②若DA＝DE，∠AEC＝120°，求∠ADE的度数． （3）矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，E是矩形ABCD内一点，且点C是△ABE关于点A的勾股点， ①若△ADE是等腰三角形，求AE的长；②直接写出AE+BE的最小值． 【答案】（1）B，F；（2）①见解析，②∠ADE＝40°；（3）①AE的长为或，②AE+BE. 【解析】 【分析】（1）求AD2＝5，DC2＝5，DB2＝10，得AD2+DC2＝DB2，即点D是△ABC关于点B的勾股点；求出FA2，FB2，FC2，得到FA2+FB2＝FC2，即点F是△ABC关于点A的勾股点． （2）①由矩形性质得∠ADC＝90°，可得AD2+DC2＝AC2；根据勾股数得BC2+EC2＝AC2，又因为AD＝BC，即得CE＝CD． ②设∠CED＝α，根据∠AEC＝120°和CE＝CD即∠ADC＝90°，可用α表示△ADE的三个内角，利用三角形内角和180°为等量关系列方程，即求出α进而求出∠ADE． （3）由条件“点C是△ABE关于点A的勾股点”仍可得CE＝CD＝5，作为条件使用．①△ADE是等腰三角形需分3种情况讨论，把每种情况画图再根据矩形性质和勾股定理计算，即能求AE的长．②由画图可知，当BE⊥AC时，AE+BE取得最小值．过点E分别作AB、BC的垂线，通过勾股定理计算即可求出答案． 【详解】解：（1）∵DA2＝12+22＝5，DB2＝12+32＝10，DC2＝DA2＝5 ∴DB2＝DC2+DA2 ∴点D是△ABC关于点B的勾股点 ∵EA2＝42+42＝32，EB2＝22+52＝29，EC2＝4 ∴点E不是△ABC的勾股点 ∵FA2＝32+42＝25，FB2＝22+42＝20，FC2＝12+22＝5 ∴FA2＝FB2+FC2 ∴点F是△ABC关于点A的勾股点 ∵GA2＝42+22＝20，GB2＝22+32＝13，GC2＝22+22＝8 ∴点G不是△ABC的勾股点 故答案为B；F． （2）①证明：∵点C是△ABE关于点A的勾股点 ∴CA2＝CB2+CE2 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB＝CD，AD＝BC，∠ADC＝90° ∴CA2＝AD2+CD2＝CB2+CD2 ∴CB2+CE2＝CB2+CD2 ∴CE＝CD ②设∠CED＝α，则∠CDE＝∠CED＝α ∴∠ADE＝∠ADC﹣∠CDE＝90°﹣α ∵∠AEC＝120° ∴∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝120°﹣α ∵DA＝DE ∴∠DAE＝∠DEA＝120°﹣α ∵∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180° ∴2（120°﹣α）+（90°﹣α）＝180° 解得：α＝50° ∴∠ADE＝90°﹣50°＝40° （3）①∵矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6 ∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝5 ∵点C是△ABE关于点A的勾股点 ∴CE＝CD＝5 i）如图1， 若DE＝DA，则DE＝6 过点E作MN⊥AB于点M，交DC于点N ∴∠AME＝∠MND＝90° ∴四边形AMND是矩形 ∴MN＝AD＝6，AM＝DN 设AM＝DN＝x，则CN＝CD﹣DN＝5﹣x ∵Rt△DEN中，EN2+DN2＝DE2；Rt△CEN中，EN2+CN2＝CE2 ∴DE2﹣DN2＝CE2﹣CN2 ∴62﹣x2＝52﹣（5﹣x）2 解得：x＝ ∴EN＝，AM＝DN＝ ∴ME＝MN﹣EN＝6﹣ ∴Rt△AME中，AE＝ ii）如图2， 若AE＝DE，则E在AD的垂直平分线上 过点E作PQ⊥AD于点P，交BC于点Q ∴AP＝DP＝ AD＝3，∠APQ＝∠PQC＝90° ∴四边形CDPQ是矩形 ∴PQ＝CD＝5，CQ＝PD＝3 ∴Rt△CQE中，EQ＝ ∴PE＝PQ﹣EQ＝1 ∴Rt△APE中，AE＝ iii）如图3， 若AE＝AD＝6，则AE2+CE2＝AD2+CD2＝AC2 ∴∠AEC＝90° 取AC中点O，则点A、B、C、D在以O为圆心、OA为半径的⊙O上 ∴点E也在⊙O上 ∴点E不在矩形ABCD内部，不符合题意 综上所述，若△ADE是等腰三角形，AE的长为或． ②当BE⊥AC时，AE+BE取得最小值． 过点E分别作ER⊥AB于点R，ES⊥BC于点S, ∴四边形BRES是矩形，∠EBS与∠ACB互余 ∴∠EBS＝∠ACD ∴tan∠EBS＝tan∠ACD＝ ∴tan∠EBS＝ 设ES＝6a，BS＝5a，则BE＝，CS＝6﹣5a，AR＝5﹣6a ∵Rt△CES中，CS2+ES2＝CE2，即（6﹣5a）2+（6a）2＝52 解得：a1＝（舍去），a2＝，61a2﹣60a＝﹣11 ∴Rt△ARE中，AE＝＝ ∴AE+BE＝. 【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理逆定理的应用，矩形的性质，等腰三角形的性质，解一元一次方程和一元二次方程，圆的定义和圆周角定理．解题关键是对新定义概念的性质运用，第（3）①题等腰三角形的分类讨论需数形结合把图形画出后再解题，②可利用特殊位置试算得到最小值，计算过程较繁琐复杂． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $