重难点01：平方根与立方根八大综合题型 2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级上册

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点01 平方根与立方根八大综合题型 题型01：平方根与立方根的概念辨析 1.的平方根是 ，4的平方根是 ，的立方根是 ． 2. 的立方根是 ；的平方根是 ． 3. 下列说法中，正确的是（   ） A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．一个非零数的立方根与这个数同号 C．负数没有平方根也没有立方根 D．算术平方根一定是正数 4．下列说法中，错误的是（    ） A．8的立方根是±2 B．4的算术平方根是2 C．的平方根是±3 D．立方根等于它本身的数是±1，0 5.下列说法中，不正确的是（   ） A．的绝对值是 B．的平方根是 C．的算术平方根是1 D．的立方根是1 题型02：利用平方根与立方根解方程 6.解方程： (1) (2) 7.解方程： (1) (2) 8. 解方程： (1)； (2)． 题型03：利用平方根与立方根化简计算 9.下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 10.下列算式中正确的有（   ） （1）；（2）；（3）；（4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11.求下列各式的值． (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 12.计算 13.计算：． 14.计算：． 15.计算：． 16.数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为 ． 题型04：平方根、立方根的整数部分问题 17.若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 18.若4+的小数部分是a，7-的小数部分是b，则a+b的值是 ． 19.已知，且m，n是两个连续的整数，则 ． 20.若整数满足，则的值是 ． 21.阅读材料，完成下列任务： 因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确． 材料一：，即，． 的整数部分为1，小数部分为． 材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值． 我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图． 解：由图中面积计算，， ， ． 是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， 得方程，解得，即． 解决问题： (1)利用材料一中的方法，求的小数部分； (2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 22.我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奧妙． 解：∵， ∴是两位整数； ∵整数的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有的末位数字是， ∴的末位数字是9； 又∵划去的后面三位319得到59，而， ∴的十位数字是； ∴请根据以上解题思路解方程：，得的值为 ． 题型05：规律性探究综合问题 23．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…，则按此规律可推得这一列数中的第个数是 ． 24．观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ (2)①已知，则______； ②已知，则______； (3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已知，用含的代数式表示． 25.在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究． 观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，…… 【发现规律】 （1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】 （2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】 （3）已知，，则_____，_____． 题型06：与几何图形结合探究问题 26.如图，是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．阴影部分是一个正方形，把正方形放到数轴上，使得A与重合，那么D在数轴上表示的数为（    ）    A． B． C． D． 27.数学课上老师要同学们用纸片拼图，一位同学用4个全等的长方形拼出了下图的大正方形，请观察图形并解答下列问题： (1)请写出下列三个代数式，，之间的等量关系：________． (2)根据（1）中的等量关系，若，，求的值． 28.如图，正方形和正方形平放在一起（A、B、E三点在同一条直线上）． (1)若两个正方形的面积分别是16和9，直接写出边的长为______． (2)①设正方形的边长为，正方形的边长为，求图中阴影部分的面积．（用含和的代数式表示） ②在①的条件下，如果，，求阴影部分的面积． 题型07：平方根与立方根的综合应用 29．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 30.已知的算术平方根是2，的立方根是2，是的整数部分． (1)求的值； (2)若是的小数部分，求的平方根． 31.（1）如果的算术平方根是2，的立方根是，求的平方根． （2）已知：的平方根为，的算术平方根为它本身，的立方根是4，求的值． 32.已知的平方是4，的算术平方根是4，的立方根是8 (1)求，，的值； (2)求的值 题型08：平方根与立方根的实际应用 33.请根据如图所示的对话内容解答下列问题． (1)求大正方体木块的棱长 (2)求截得的每个小正方体木块的棱长． 34.某市开发商为减少投资金额，将原来的正方形场地改建成的长方形场地，且其长、宽的比为． (1)求原来正方形场地的周长； (2)改建后的长方形的长和宽分别为多少？如果要利用原来正方形场地的铁栅栏围墙围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由． 35.小明的爸爸打算用如图一块面积为的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为的桌面．    (1)求正方形工料的边长； (2)若要求裁出的桌面的长宽之比为，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由． 一、选择题 1.下列说法正确的是（   ） A．4的算术平方根是 B．9的平方根是3 C．没有立方根 D．8的立方根是2 2.下列说法中，正确的是（　　） A．的立方根是 B．的平方根是 C．平方根等于本身的数有， D．的立方根是 3．如果一个数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（    ） A．0 B．正数 C．0和1 D．1 4．的算术平方根等于（    ） A．9 B． C．3 D． 5.下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6.下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 7.如果的立方等于27，那么的算术平方根是 ． 8.已知的立方根是，的算术平方根是4，则的值是 ． 9.已知，则的平方根为 ． 10．填空： 1的平方根为 ，立方根为 ，算术平方根为 ； (2) 27的立方根是 ；(3) 的立方根为 ；(4) 的平方根为 ． 11.已知a，b为实数，满足，且，则的值 ． 12.已知实数在数轴上的位置如图所示：则 ． 13.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ． 14. 的整数部分记为a，算术平方根等于本身的正整数记为b，那么的立方根是 ． 15.已知的立方根是2，是的整数部分，则的算术平方根是 ． 三、解答题 16.求下列各式中的未知数： (1)； (2)． 17.计算： (1)； (2)； (3) (4)． 18.已知是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差即小数部分．根据所获得的信息，解答下列问题．    (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)若的整数部分是，小数部分是． ①填空：__________； ②如图，若面积为的正方形放置在数轴上，使得正方形的一个顶点和表示的点重合，一条边恰好落在数轴正方向上，其另一个顶点为数轴上的点，求点表示的数． 19．完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 20.单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知＞1，因此设＝1＋r，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2较小故略去，得2r＋1≈2，则r≈0.5，即≈1.5 （1）仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； （2）继续仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； （3）综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，试用含m和n式子表示的估算值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点01 平方根与立方根八大综合题型 题型01：平方根与立方根的概念辨析 1.的平方根是 ，4的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查求一个数的平方根和立方根，根据平方根的定义和立方根的定义，进行求解即可，注意先化简，再进行开方运算． 【详解】解：的平方根是；4的平方根是；的立方根是； 故答案为：，， 2. 的立方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查平方根、立方根的计算． 根据平方根、立方根的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是； ∵ ∴的平方根是． 故答案为． 3. 下列说法中，正确的是（   ） A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．一个非零数的立方根与这个数同号 C．负数没有平方根也没有立方根 D．算术平方根一定是正数 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、立方根概念理解 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，根据平方根，立方根，算术平方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、一个数的立方根只有1个，故原说法不正确，不符合题意； B、一个非零数的立方根与这个数同号，正确，符合题意； C、负数没有平方根但是有立方根，故原说法不正确，不符合题意； D、0的算术平方根是0，不是正数，故原说法不正确，不符合题意； 故选：B． 4．下列说法中，错误的是（    ） A．8的立方根是±2 B．4的算术平方根是2 C．的平方根是±3 D．立方根等于它本身的数是±1，0 【答案】A 【解析】略 5.下列说法中，不正确的是（   ） A．的绝对值是 B．的平方根是 C．的算术平方根是1 D．的立方根是1 【答案】D 【思路引导】根据绝对值，平方根、算术平方根、立方根，零指数幂，负整数指数幂；的定义逐项判断即可． 【规范解答】解：A. 的绝对值是，故该选项正确，不符合题意；     B. 的平方根是，故该选项正确，不符合题意； C. 的算术平方根是1，故该选项正确，不符合题意；     D. 的立方根是，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 【考点剖析】本题考查了绝对值，平方根、算术平方根、立方根的定义，零指数幂，负整数指数幂；理解并掌握以上知识是解题的关键． 题型02：利用平方根与立方根解方程 6.解方程： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键． （1）先把方程两边同时除以16，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以3后开立方得到一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即或， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7.解方程： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程： （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴或； （2）解：， ∴， ∴， ∴． 8. 解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键； （1）原方程变形后利用平方根的定义解答即可； （2）原方程变形后利用立方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：原方程可变形为， 所以， 所以， 解得：或； （2）解：原方程可变形为， 所以， 解得． 题型03：利用平方根与立方根化简计算 9.下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查的是求解一个数的算术平方根与立方根，掌握求解算术平方根与立方根的方法是解本题的关键． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； 不能化简，故D不符合题意； 故选C 10.下列算式中正确的有（   ） （1）；（2）；（3）；（4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：（1），故原计算错误； （2），故原计算错误； （3），故原计算正确； （4），故原计算错误， 故选：B． 11.求下列各式的值． (1)；(2)；(3)；(4)；(5)． 【答案】(1)(2)5(3)(4)(5) 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）根据算术平方根定义求出结果即可； （2）根据，得出答案即可； （3）根据，求出结果即可； （4）根据，求出，再根据相反数定义求出结果即可； （5）根据求出结果即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 12.计算 【答案】7． 【分析】先计算立方根、算术平方根，再计算有理数的加减即可得． 【详解】解：原式， ， ． 【点睛】本题考查了立方根、算术平方根等知识点，熟练掌握各定义和运算法则是解题关键． 13.计算：． 【答案】6 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】根据立方根定义，算术平方根定义进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根定义，解题的关键是熟练掌握相关定义，准确计算． 14.计算：． 【答案】． 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】先计算算术平方根、立方根、化简绝对值，再计算有理数的加减法即可得． 【详解】解：原式， ． 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根、绝对值等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键． 15.计算：． 【详解】解： ； 16.数a、b、c在数轴上对应的位置如图，化简的结果为 ． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、整式的加减运算 【分析】本题考查绝对值的性质，算术平方根以及立方根的性质；根据有理数、、在数轴上的位置，得到它们之间的大小关系，再利用绝对值及算术平方根和立方根的性质去化简原式求出结果． 【详解】解：根据有理数、、在数轴上的位置，得到，且， ∴， ∴ ． 故答案是：． 题型04：平方根、立方根的整数部分问题 17.若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 【答案】 4 【分析】本题考查无理数估算，涉及算术平方根性质，估算出的范围是解决问题的关键． 【详解】解：， ，即， 的整数部分为，小数部分为， ， ， 故答案为：；． 18.若4+的小数部分是a，7-的小数部分是b，则a+b的值是 ． 【答案】1 【分析】估算无理数4+，7-的大小，确定a、b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵3＜＜4， ∴-4＜-＜-3， ∴7＜4+＜8，3＜7-＜4， ∴4+的小数部分是a=4+-7=-3， 7-的小数部分是b=7--3=4-， ∴a+b=-3+4- =1． 故答案为：1 【点睛】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 19.已知，且m，n是两个连续的整数，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查无理数的估算、立方根、代数式求值，先根据，，结合立方根定义和已知求得m、n值，然后代值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵，且m，n是两个连续的整数， ∴，， ∴， 故答案为：9． 20.若整数满足，则的值是 ． 【答案】或或 【分析】根据算术平方根、立方根的定义估算和的大小，进而得出和的大小即可． 【详解】解：，，而， ， ， 又：，，而， ， ， 又整数满足， 或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查算术平方根、立方根的性质． 21.阅读材料，完成下列任务： 因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确． 材料一：，即，． 的整数部分为1，小数部分为． 材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值． 我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图． 解：由图中面积计算，， ， ． 是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， 得方程，解得，即． 解决问题： (1)利用材料一中的方法，求的小数部分； (2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了无理数的估算，解题关键是准确理解题目给出的方法，熟练进行计算． （1）根据材料一中的方法求解即可； （2）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可． 【详解】（1）解：，即 的整数部分为9． 的小数部分为． （2）解：∵面积是5的正方形的边长是， ， ∴可设 画出示意图如图所示 由图中面积计算，， ， 是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程，解得， 即 22.我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奧妙． 解：∵， ∴是两位整数； ∵整数的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有的末位数字是， ∴的末位数字是9； 又∵划去的后面三位319得到59，而， ∴的十位数字是； ∴请根据以上解题思路解方程：，得的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的估算，一元一次方程的解法，熟练掌握估算方法，灵活解方程是解题的关键．先运用学到的方法，进行估算，再解一元一次方程即可． 【详解】解∵， ∴， ∵， ∴是两位整数； ∵整数的末位上的数字是3，而整数0至的立方中，只有的末位数字是3， ∴的末位数字是7； 又∵划去的后面三位得到19， 而， ∴的十位数字是2； ∴； ∴， 解得， 故答案为： 题型05：规律性探究综合问题 23．已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…，则按此规律可推得这一列数中的第个数是 ． 【答案】 【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化特点，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根，从而可以得到这一列数中的第2023个数． 【详解】解：一列实数：，，，，，，，，，，… 这些数每三个数为一组，每组出现的特点一样，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， 这一列数中的第个数应是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查实数的规律探索，解题的关键是根据已知的式子发现规律求解． 24．观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ (2)①已知，则______； ②已知，则______； (3)根据上述探究方法，尝试解决问题：已知，用含的代数式表示． 【答案】(1)数的小数点每移动两位它的算术平方根的小数点相应移动一位； (2)①0.447；②36800； (3)． 【分析】（1）应从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律； （2）根据规律即可得出答案； （3）先探讨被开方数与其立方根小数点移动规律，再根据规律解决此题． 【详解】（1）∵， ∴规律是：数a的小数点每每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位； （2）①∵， ∴； ②∵，， ∴． 故答案为：①0.447；②36800； （3）∵， ∴规律是：被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位； ∵， ∴． 【点睛】本题考查算术平方根、立方根，规律型：数字的变化类，熟练掌握算术平方根、立方根的变化规律是解决本题的关键． 25.在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究． 观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，…… 【发现规律】 （1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】 （2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】 （3）已知，，则_____，_____． 【答案】（1）①左，1；②右，1（2）①2.828，0.2828；②（3） 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查算术平方根、立方根及规律探索问题，由题意总结出规律是解此题的关键． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】解：（1）①被开方数的小数点每向左移动两位，其算术平方根的小数点向左移动1位， ②被开方数的小数点每向右移动三位，其立方根的小数点向右移动1位， （2）①根据总结的规律可得：，， ②根据总结的规律可得：， ， （3），， ， ． 题型06：与几何图形结合探究问题 26.如图，是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．阴影部分是一个正方形，把正方形放到数轴上，使得A与重合，那么D在数轴上表示的数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体的体积公式可求这个魔方的棱长为4，根据魔方的棱长为4，所以小立方体的棱长为2，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长，根据两点间的距离公式可得D在数轴上表示的数． 【详解】解：∵， ∴这个魔方的棱长为4， ∴小正方体的棱长为2， ∴阴影部分的面积为：， ∴小正方形的边长为：， ∴点D在数轴上表示的数为， 故选：D． 【点睛】本题考查的是立方根、平方根在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱长． 27.数学课上老师要同学们用纸片拼图，一位同学用4个全等的长方形拼出了下图的大正方形，请观察图形并解答下列问题： (1)请写出下列三个代数式，，之间的等量关系：________． (2)根据（1）中的等量关系，若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，平方根： （1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出，，之间的等量关系； （2）由（1）的等量关系求出，再利用平方差公式即可解答． 【详解】（1）解：大正方形的面积为：，中间小正方形的面积为：，四个小长方形的面积为：， 因此有， 故答案为：； （2）解：由（1）得， ， ． 28.如图，正方形和正方形平放在一起（A、B、E三点在同一条直线上）． (1)若两个正方形的面积分别是16和9，直接写出边的长为______． (2)①设正方形的边长为，正方形的边长为，求图中阴影部分的面积．（用含和的代数式表示） ②在①的条件下，如果，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)7 (2)①；②14 【分析】本题考查了正方形的性质，割补法求不规则图形面积，整式混合运算； （1）分别由正方形的面积直接可以求出边长，即可求解； （2）①，②由①可得，即可求解； 掌握割补法，能根据已知等式化简整式的形式用整体代换的思想求解是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， ， ； 故答案：． （2）解：① ； ②由①知 ， 当，时， ． 题型07：平方根与立方根的综合应用 29．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义即可求出a、b，估算出的范围即可求出c； （2）将a、b、c的值代入所求式子计算，再根据平方根的定义解答． 【详解】（1）∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴． （2）将，，代入得：， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，属于基础题型，熟练掌握这三者的概念是关键． 30.已知的算术平方根是2，的立方根是2，是的整数部分． (1)求的值； (2)若是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根概念， （1）根据平方根，立方根的定义，估算求出的，，的值，代入计算即可得出答案； （2）先得出的值，即可得出结果； 【详解】（1）∵的算术平方根是2， ∴，解得： ∵的立方根是2 ∴，解得： ∵是的整数部分，而， ∴， ∴； （2）由（1）可知，的整数部分是， ∵是的小数部分， ∴， ∴， ∴的平方根是． 31.（1）如果的算术平方根是2，的立方根是，求的平方根． （2）已知：的平方根为，的算术平方根为它本身，的立方根是4，求的值． 【答案】（1）；（2）35 【分析】此题考查了算术平方根、平方根、立方根等知识， （1）根据的算术平方根是2得到，求出，再根据的立方根是求出，即可求出的平方根； （2）根据的平方根为解得，根据的算术平方根为它本身，得到，则，根据的立方根是4得到，解得，即可求出的值． 【详解】解：（1）∵的算术平方根是2， ∴， ∴， 即， 又∵的立方根是， ∴， 则 即， ∴， ∴的平方根为； （2）∵的平方根为， ∴，， 解得， ∵的算术平方根为它本身，算术平方根等于其本身的有0或1，且， ∴，即， ∴， 解得，， ∵的立方根是4， ∴，解得，， ∴，，， ∴． 32.已知的平方是4，的算术平方根是4，的立方根是8 (1)求，，的值； (2)求的值 【答案】(1)或；； (2)或 【分析】本题考查了乘方、算术平方根、立方根，解题的关键是熟练掌握乘方、算术平方根、立方根的性质，从而完成求解． （1）结合题意，根据乘方、算术平方根、立方根的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，根据有理数混合运算以及算术平方根的性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）∵的平方是4， ∴，   ∴或； ∵的算术平方根是4， ∴， ∴； ∵的立方根是8， ∴， ∴ （2）， 当时，原式， 当时，原式． 题型08：平方根与立方根的实际应用 33.请根据如图所示的对话内容解答下列问题． (1)求大正方体木块的棱长 (2)求截得的每个小正方体木块的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根的应用，熟练掌握立方根如何开方是解题的关键； （1）根据正方体体积等于棱长棱长棱长，即可解答； （2）设每个小正方体棱长为，根据总体积前去截取得体积等于488，列方程解答即可； 【详解】（1） ， 大正方体木块的棱长 （2）截得的每个小正方体木块的棱长，根据题意得： 解得：， 截得的每个小正方体木块的棱长． 34.某市开发商为减少投资金额，将原来的正方形场地改建成的长方形场地，且其长、宽的比为． (1)求原来正方形场地的周长； (2)改建后的长方形的长和宽分别为多少？如果要利用原来正方形场地的铁栅栏围墙围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由． 【答案】(1) (2)够用，见解析 【分析】（1）正方形边长面积的算术平方根，周长边长，由此解答即可； （2）长、宽的比为，设这个长方形场地宽为，则长为，计算出长方形的长与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用． 【详解】（1）解：（m），（m）， 答：原来正方形场地的周长为； （2）解：设这个长方形场地宽为，则长为． 由题意有：， 解得：， 表示长度， ∴， ∴ ∴这个长方形场地宽为，则长为 这些铁栅栏够用．理由如下： 这个长方形场地的周长为 ∵， ∴这些铁栅栏够用． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的简单应用，根据题意设出合适未知数是基础，依据相等关系列出方程求出各自周长是解题的关键． 35.小明的爸爸打算用如图一块面积为的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为的桌面．    (1)求正方形工料的边长； (2)若要求裁出的桌面的长宽之比为，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】（1）设正方形工料的边长为a，则，可得； （2）设长方形的长、宽分别为，则，可得．故不能裁出符合要求的长方形． 【详解】（1）解：设正方形工料的边长为，则， ∵， ∴，即正边形边长为． （2）解：设长方形的长、宽分别为，则 ，， ∴． ∴． ∴不能裁出符合要求的长方形． 【点睛】本题考查算术平方根的定义及求解；掌握算术平方根的求解方法是解题的关键． 一、选择题 1.下列说法正确的是（   ） A．4的算术平方根是 B．9的平方根是3 C．没有立方根 D．8的立方根是2 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握求一个数算术平方根，平方根和立方根的方法．根据算术平方根，平方根和立方根的定义即可进行解答． 【详解】解：A、4的算术平方根是2，故A不正确，不符合题意； B、9的平方根是，故B不正确，不符合题意； C、的立方根是，故C不正确，不符合题意； D、8的立方根是2，故D正确，符合题意； 故选：D． 2.下列说法中，正确的是（　　） A．的立方根是 B．的平方根是 C．平方根等于本身的数有， D．的立方根是 【答案】D 【思路引导】本题考查平方根与立方根的概念，根据平方根与立方根的概念逐一分析各选项即可，正确理解平方根与立方根的概念是解题的关键． 【规范解答】解：、的立方根是，原选项说法错误，不符合题意； 、的平方根是，原选项说法错误，不符合题意； 、平方根等于本身的数有，原选项说法错误，不符合题意； 、的立方根是，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 3．如果一个数的平方根与它的立方根相等，则这个数是（    ） A．0 B．正数 C．0和1 D．1 【答案】A 【分析】根据立方根和平方根的性质可知，只有0的立方根和它的平方根相等，解决问题． 【详解】0的立方根和它的平方根相等都是0；1的立方根是1，平方根是，一个数的平方根与它的立方根相等，则这个数是0． 故选：A. 【点睛】本题考查立方根；平方根，掌握立方根和平方根的定义是关键. 4．的算术平方根等于（    ） A．9 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据立方根、算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：因为， 所以=9， 因此的算术平方根就是9的算术平方根， 又因为9的算术平方根为3，即， 所以的算术平方根是3， 答案：C． 5.下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】此题考查了算术平方根和立方根．根据算术平方根的性质，立方根的性质，一一进行计算与判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、与不能合并，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 6.下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】根据算术平方根，平方根的意义解答即可． 本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】A. ，正确，符合题意；     B. ，错误，不符合题意；     C. ，错误，不符合题意；     D. ，错误，不符合题意； 故选A． 2、 填空题 7.如果的立方等于27，那么的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了立方根与算术平方根的概念．利用立方根的概念，解出x的值，再利用算术平方根的概念即可解得． 【详解】解：∵ ∴ ∴的算术平方根是 故答案为：． 8.已知的立方根是，的算术平方根是4，则的值是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了立方根以及算术平方根的计算，熟练掌握立方根以及算术平方根的定义是解题的关键．本题根据立方根和算术平方根的定义可得关于和的方程进行求解即可． 【详解】解：的立方根是， ， 的算术平方根是4， ， 解得，， 的值是. 故答案为：. 9.已知，则的平方根为 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查立方根和平方根，根据立方根的定义得出，进而求平方根即可． 【详解】解：， ， ， 的平方根为． 故答案为：． 10．填空： 1的平方根为 ，立方根为 ，算术平方根为 ； (2) 27的立方根是 ； (3) 的立方根为 ； (4) 的平方根为 ． 【答案】 ±1 1 1 3 －2 ±2 【分析】（1）由题意依次根据平方根和立方根以及算术平方根的性质进行分析计算即可； （2）由题意直接根据立方根的性质进行分析计算即可； （3）由题意直接根据立方根的性质进行分析计算即可； （4）由题意直接根据平方根的性质进行分析计算即可． 【详解】解：（1）1的平方根为，立方根为，算术平方根为， 故答案为：±1，1，1； （2）27的立方根是， 故答案为：3； （3）的立方根为， 故答案为：； （4）的平方根为， 故答案为：±2． 【点睛】本题考查求一个数的平方根和立方根以及算术平方根，熟练掌握平方根和立方根以及算术平方根的性质是解题的关键． 11.已知a，b为实数，满足，且，则的值 ． 【答案】4或5 【思路引导】本题考查了立方根，算术平方根，代数式求值．先根据立方根和算术平方根的定义求出的值，再代入计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，即， ∴或， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 12.已知实数在数轴上的位置如图所示：则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了用数轴判断式子正负，立方根和算术平方根． 先由数轴得到，再计算即可． 【规范解答】解：由数轴可知：， ∴，， ∴ ， ， 故答案为：． 13.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查实数和数轴，化简绝对值，求算术平方根和立方根，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简计算即可． 【规范解答】解：由图可知： ． 故答案为： 14. 的整数部分记为a，算术平方根等于本身的正整数记为b，那么的立方根是 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查了无理数的估算，立方根，算术平方根等知识，先估算，即可求出a，然后根据算术平方根的性质可求出b，把a、b代入计算，最后根据立方根的定义求解即可． 【规范解答】解∶∵， ∴，即， ∴的整数部分， ∵算术平方根等于本身的正整数记为b， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故答案为：3． 15.已知的立方根是2，是的整数部分，则的算术平方根是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了立方根与算术平方根、无理数的估算，熟练掌握立方根与算术平方根的性质是解题关键．先根据立方根的性质求出的值，再根据无理数的估算可得的值，然后根据算术平方根的性质求解即可得． 【规范解答】解：的立方根是2， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的整数部分， ∴， ∴， 则的算术平方根是， 故答案为：． 三、解答题 16.求下列各式中的未知数： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】求一个数的立方根、利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了平方根，立方根解方程，掌握平方根、立方根的计算是解题的关键． （1）运用平方根的计算可得，由此即可求解； （2）先移项得，等式两边同时除以，再根据立方根的计算可得，由此即可求解． 【详解】（1）解： 等式两边同时开方得，， 移项得，， ∴； （2）解： 移项、合并得，， 两边同时除以得，， 等式两边同时开立方得 ，， 移项、合并得，， 等式两边同时除以得，． 17.计算： (1)； (2)； (3) (4)． 【详解】（1） ； （2） ； （3） （4） ． 18.已知是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差即小数部分．根据所获得的信息，解答下列问题．    (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)若的整数部分是，小数部分是． ①填空：__________； ②如图，若面积为的正方形放置在数轴上，使得正方形的一个顶点和表示的点重合，一条边恰好落在数轴正方向上，其另一个顶点为数轴上的点，求点表示的数． 【答案】(1)2， (2)①；② 【分析】（1）根据无理数的估算可得，由此即可得； （2）①先根据无理数的估算可得，从而可得，由此即可得； ②先求出，再求出正方形的边长为，然后根据数轴的性质即可得． 【详解】（1）解：， ， 则的整数部分是2，小数部分是， 故答案为：2，． （2）解：①， ， ， 的小数部分， 故答案为：； ②由（2）①可知，的整数部分， 这个正方形的边长为， ∵正方形的一个顶点和表示的点重合，一条边恰好落在数轴正方向上，其另一个顶点为数轴上的点， 点表示的数为． 【点睛】本题考查了无理数的估算、实数与数轴、算术平方根，熟练掌握无理数的估算是解题关键． 19．完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． x … 64 6400 64000 … … 8 m … … n 40 … (1)表格中的______，______； (2)已知，估计和的值；(结果保留四位小数) (3)若，估计的值．（参考数据：)．（结果保留四位小数） 【答案】(1)80，4 (2)， (3) 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题、求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． （1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）根据表格得出算术平方根的规律，即可求解． （3）根据（2）中规律求出a，根据表格得出立方根的规律，然后求出b，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：80，4； （2）解：从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵， ∴，； （3）解：根据平方根的变化规律得： ∵， ∴ 又， ∴， 从表格数字中可以发现：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． ∵ ∴， ∴． 20.单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知＞1，因此设＝1＋r，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2较小故略去，得2r＋1≈2，则r≈0.5，即≈1.5 （1）仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； （2）继续仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； （3）综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，试用含m和n式子表示的估算值． 【解题过程】 （1）设＝2.6＋r，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案； （2）设＝2.64＋r，面积为7的正方形由一个边长为2.64的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案； （3）设，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴＞2.6，设＝2.6＋r， 如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵r2较小故略去，得5.2r＋6.76≈7， ∴r≈0.05，即≈2.65； （2）∵， ∴＞2.64，设＝2.64＋r， 如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.64的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵r2较小故略去，得5.28r＋6.970≈7， ∴r≈0.006，即≈2.646； （3）∵n＜＜n＋1，且b＝n2＋m ∴设， 如下图所示，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵r2较小故略去，得， ∴， ∵b＝n2＋m， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$