专题01 二次根式及其性质重难点题型专训（4个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题01 二次根式及其性质重难点题型专训 （4个知识点+8大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 求二次根式的值 题型二 求二次根式中的参数 题型三 二次根式有意义的条件 题型四 利用二次根式的性质化简 题型五 复合二次根式的化简 题型六 最简二次根式的判断 题型七 化为最简二次根式 题型八 已知最简二次根式求参数 拓展训练一 二次根式与数轴化简问题 拓展训练二 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 知识点一.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）下列属于二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）有下列各式：①；②；③；④；⑤12，其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点二.二次根式有无意义的条件 （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海宝山·开学考试）函数的自变量的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 2．（2025八年级上·上海闵行·学业考试）已知a，b，c为正整数且满足，则a，b，c的大小关系为 ． 知识点三.二次根式的性质 （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式：（3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海虹口·期末）计算的结果是（　　） A． B．2 C． D．4 2．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）若与可以合并，则的值可以是 ．（写一个即可） 知识点四.二次根式的化简 （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）化简的正确结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）化简： ． 【经典例题一 求二次根式的值】 【例1】（24-25八年级上·上海奉贤·期中）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 2．（24-25八年级上·崇明·期中）当时，的值为 ． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期末）代数式的最小值为 ． 4．（24-25八年级上·上海闵行·期中）若求的值． 【经典例题二 求二次根式中的参数】 【例2】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）若a、b为实数，且，则直线y＝axb不经过的象限是（　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 3．（24-25八年级·上海长宁·单元测试）已知是整数，则自然数的值是 ；若是整数，则正整数的最小值是 . 4．（2025·上海金山·模拟预测）已知：， （1）求m，n的值； （2）先化简，再求值：． 【经典例题三 二次根式有意义的条件】 【例3】（24-25八年级上·上海青浦·期末）下列各数中，能使有意义的是（　　） A．6 B．4 C．3 D．0 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）若，化简的结果是（   ） A． B．5 C． D． 2．（24-25八年级上·上海松江·期中）方程的解是 ． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）若，则的取值范围是 ． 4．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为．请解答下列问题： (1)的“阳光区间”是___________；的“阳光区间”是___________； (2)若无理数（为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数满足关系式： ，求的算术平方根的“阳光区间”． 【经典例题四 利用二次根式的性质化简】 【例4】（25-26八年级上·上海长宁·随堂练习）已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）将二次根式根号外的移入根号内得到（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海松江·模拟预测）计算： ． 3．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）实数在数轴上的位置如图所示：则化简为 4．（24-25八年级上·上海静安·期末）计算： (1)； (2)． 【经典例题五 复合二次根式的化简】 【例5】（24-25八年级上·上海宝山·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）若，则化简为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）计算的结果是 ． 3．（24-25八年级上·上海金山·期末）已知是整数，则正整数n的最小值为 ． 4．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中，a，b，m，n均为整数），则有，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝ ，b＝ ． (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值．． (3)化简：. 【经典例题六 最简二次根式的判断】 【例6】（24-25八年级上·上海青浦·期末）下列式子为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）下列二次根式中，不是最简二次根式的有 个． ①； ②； ③； ④. 3．（2025·上海松江·模拟预测）二次根式、、、、、中，最简二次根式的概率是 ． 4．（24-25八年级·上海·2阶段练习）判断下列二次根式是不是最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【经典例题七 化为最简二次根式】 【例7】（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）下列二次根式，化简后能与合并的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）若，，分别表示的相反数、绝对值、倒数，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知三条边分别是5，6，7，则的面积是 ． 3．（24-25八年级上·上海虹口·期中）若与最简二次根式能够合并，则 ． 4．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）计算： (1)； (2)已知，求代数式的值． 【经典例题八 已知最简二次根式求参数】 【例8】（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）若两个最简二次根式和是同类二次根式，则n的值是（　　） A．﹣1 B．4或﹣1 C．1或﹣4 D．4 1．（24-25八年级上·上海宝山·期末）已知最简二次根式与2可以合并成一项，则a，b的值分别为（　　） A．a＝1，b＝2 B．a＝﹣1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝﹣1，b＝2 2．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）若能与最简二次根式合并，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·上海松江·期中）已知最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 4．（24-25八年级·上海长宁·课后作业）已知，，，且A、B、C是可以合并的最简二次根式，求、及的值. 【拓展训练一 二次根式与数轴化简问题】 1．（24-25八年级上·上海静安·期中）实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将化简的结果是（    ） A． B． C． D．4 2．（24-25八年级上·上海崇明·开学考试）已知实数、在数轴上的位置如图所示，化简： ． 3．（24-25八年级上·上海长宁·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点C与点B关于原点对称，若A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，且． (1)则_____， _____，_____； (2)化简：． 【拓展训练二 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知， (1)化简； (2)当时，求的值． 2．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如，，下面我们观察：；反之，，， (1)化简． (2)化简． (3)化简． (4)若，则m，n与a，b的关系是什么？并说明理由． 3．（24-25八年级上·上海静安·期中）在学习二次根式后，数学兴趣小组探究发现，一些含有根号的特殊式子可以化成另一个式子的平方，例如：； ． 【类比】（1）仿照上述方法将化成另一个式子的平方； 【拓展】（2）运用上述方法化简：； 【变式】（3）若，且，，均为正整数，求的值． 1．（24-25八年级上·上海崇明·期末）下列是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海宝山·期中）若，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海静安·期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 4．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 5．（2025九年级·上海长宁·专题练习）设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·上海虹口·期末）已知是整数，则自然数的值是 ． 7．（24-25八年级上·上海青浦·期末）写出一个使式子有意义的整数为 ． 8．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）化简 ； ； 9．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 10．（24-25八年级上·上海崇明·期中）摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期（单位：），周期公式为，其中（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在分钟内该摆钟发出滴答声的次数约为 （结果保留整数；参考数据：）． 11．（24-25八年级上·上海虹口·期中）知n=-6，求的值． 12．（24-25八年级上·上海·阶段练习）设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ (1)； (2)    ． 13．（24-25八年级上·上海普陀·期末）计算： (1)； (2)． 14．（24-25八年级上·上海长宁·期中）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 15．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式及其性质重难点题型专训 （4个知识点+8大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 求二次根式的值 题型二 求二次根式中的参数 题型三 二次根式有意义的条件 题型四 利用二次根式的性质化简 题型五 复合二次根式的化简 题型六 最简二次根式的判断 题型七 化为最简二次根式 题型八 已知最简二次根式求参数 拓展训练一 二次根式与数轴化简问题 拓展训练二 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 知识点一.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）下列属于二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，求立方根，根据二次根式的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、被开方数为负数，不是二次根式，故不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、当时，被开放数为负数，不是二次根式，故不符合题意； D、，不是二次根式，故不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）有下列各式：①；②；③；④；⑤12，其中一定是二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据二次根式的定义，判断所给式子是否符合二次根式的形式，依次分析每个式子．本题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握“二次根式是形如的式子，需满足根指数为且被开方数非负”是解题的关键． 【详解】解： ，根指数是，是三次根式，不是二次根式，①不符合． 是二次根式．②符合． ：当时，式子无意义，不能保证恒成立，③不一定是二次根式． ，，不满足被开方数非负，式子无意义，④不是二次根式． ，是整数，不是形式，⑤不是二次根式． 综上，只有②是二次根式，共个， 故选： ． 知识点二.二次根式有无意义的条件 （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海宝山·开学考试）函数的自变量的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件（被开方数非负 ）和分式有意义的条件（分母不为零 ），熟练掌握这两个条件并列式求解是解题的关键．要确定函数自变量的取值范围，需考虑二次根式的被开方数非负以及分式的分母不为零，据此列不等式求解． 【详解】解：对于函数， ， 综合可得，即． 故选：B ． 2．（2025八年级上·上海闵行·学业考试）已知a，b，c为正整数且满足，则a，b，c的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，实数的大小比较，熟练掌握其有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件即可求得答案． 【详解】解：∵a，b，c为正整数且满足， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点三.二次根式的性质 （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海虹口·期末）计算的结果是（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，正确利用二次根式的性质得出是解题关键．直接利用二次根式的性质化简求出即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）若与可以合并，则的值可以是 ．（写一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的性质以及同类二次根式，先化简，再结合与可以合并，则的值可以是3，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵与可以合并， 即与可以合并， ∴则的值可以是3， 故答案为：3（答案不唯一） 知识点四.二次根式的化简 （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）化简的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的化简，直接根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简，根据化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【经典例题一 求二次根式的值】 【例1】（24-25八年级上·上海奉贤·期中）下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的判断，根据形如的式子叫做二次根式进行判断即可． 【详解】解：A、被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、被开方数，不是二次根式，不符合题意； D、，形式不符合，不是二次根式，不符合题意， 故选：B． 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】把代入解题即可 【详解】解：把代入得， 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键． 2．（24-25八年级上·崇明·期中）当时，的值为 ． 【答案】4 【分析】直接把x的值代入化简即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了二次根式的求值，熟记二次根式的性质是解决此题的关键． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期末）代数式的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据二次根式成立的条件即可解答． 【详解】解：根据题意可得， ∴ ， ∴的最小值为2， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决本题的关键． 4．（24-25八年级上·上海闵行·期中）若求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 【经典例题二 求二次根式中的参数】 【例2】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）若a、b为实数，且，则直线y＝axb不经过的象限是（　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】依据即可得到 进而得到直线不经过的象限是第四象限． 【详解】解：∵ ∴ 解得, ∴ ， ∴直线不经过的象限是第四象限． 故选D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，解决问题的关键是掌握二次根式中被开方数的取值范围：二次根式中的被开方数是非负数． 1．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可． 【详解】解：①当时，不是二次根式； ②当时，不是二次根式； ③是二次根式； ④当时，不是二次根式； ⑤是二次根式； ⑥是二次根式． 故选B． 2．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如（）的式子叫做二次根式，还考查了二次根式的性质：．由已知可得且为完全平方数求解． 【详解】解：由已知得， 又∵为整数 为完全平方数， 或或或 自然数x的所有取值为：． 3．（24-25八年级·上海长宁·单元测试）已知是整数，则自然数的值是 ；若是整数，则正整数的最小值是 . 【答案】 2、9、14、17、18 2 【分析】先根据二次根式的定义求出x的取值范围，再根据和的值是整数这一条件对x的值进行讨论即可； 【详解】解：由题意得：18-x≥0，解得，x≤18， 当x=0时，原式=，不合题意； 当x=1时，原式=，不合题意； 当x=2时，原式=，符合题意； 当x=3时，原式=，不合题意； 当x=4时，原式=，不合题意； 当x=5时，原式=，不合题意； 当x=6时，原式=，不合题意； 当x=7时，原式=，不合题意； 当x=8时，原式=，不合题意； 当x=9时，原式=，符合题意； 当x=10时，原式=，不合题意； 当x=11时，原式=，不合题意； 当x=12时，原式=，不合题意； 当x=13时，原式=，不合题意； 当x=14时，原式=，符合题意； 当x=15时，原式=，不合题意； 当x=16时，原式=,不合题意 当x=17时，原式=1；符合题意 当x=18时，原式=0，符合题意 综上所述，x=2、9、14、17或18． 故答案为：2、9、14、17或18． ∵是整数，且为正整数 ∴当n=1时，原式=，不合题意； 当n=2时，原式=，符合题意 ∴若是整数，则正整数的最小值是2 故答案为：2. 【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质及自然数的定义： 概念：式子（a≥0）叫二次根式； 性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 4．（2025·上海金山·模拟预测）已知：， （1）求m，n的值； （2）先化简，再求值：． 【答案】（1）；（2），0 【分析】（1）分别根据绝对值的非负数、二次根式的非负数列出m、n的方程，解之即可求出m、n的值； （2）先利用整式的运算法则化简，再代入m、n值计算即可求解． 【详解】（1）根据非负数得：m-1=0且n+2=0， 解得：， （2）原式==， 当，原式=． 【点睛】本题考查了绝对值与二次根式的非负性、整式的化简求值，还涉及去括号法则、完全平方公式、合并同类项法则等知识，熟练掌握非负数的性质以及运算法则是解答的关键． 【经典例题三 二次根式有意义的条件】 【例3】（24-25八年级上·上海青浦·期末）下列各数中，能使有意义的是（　　） A．6 B．4 C．3 D．0 【答案】A 【分析】根据二次根式的有意义的条件．根据二次根式的有意义的条件：被开方数为非负数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 所以符合条件的只有A选项． 故选：A 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）若，化简的结果是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，整式的加减．根据二次根式有意义的条件求得，推出，，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海松江·期中）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． 两边平方得出关于x的整式方程，解之求得x的值，再根据二次根式有意义的条件得出符合方程的x的值，可得答案． 【详解】解： 两边平方得 则或 解得：或 又 解得：， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海宝山·期中）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质和解不等式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键； 根据二次根式的性质得到，求解即可； 【详解】解：由题意可得：， 解得：； 故答案为： 4．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为．请解答下列问题： (1)的“阳光区间”是___________；的“阳光区间”是___________； (2)若无理数（为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数满足关系式： ，求的算术平方根的“阳光区间”． 【答案】(1)， (2)或3 (3) 【分析】本题考查算术平方根、不等式、解方程等知识点，解题的关键是理解题目中“阳光区间”的定义． （1）仿照题干中的方法，根据“阳光区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“阳光区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“阳光区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ∴的“阳光区间”是，的“阳光区间”是， 故答案为：，； （2）解：∵无理数的“阳光区间”为， ∴， ∴，即， ∵的“阳光区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为或3； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 两式相减，得， ∴， ∴m的算术平方根为， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“阳光区间”是． 【经典例题四 利用二次根式的性质化简】 【例4】（25-26八年级上·上海长宁·随堂练习）已知，化简二次根式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，解答此题的关键是判定字母的符号，注意题目中的隐含条件． 首先确定出的取值范围，再根据二次根式性质化简即可. 【详解】解：， ， 故选：D ． 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）将二次根式根号外的移入根号内得到（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可得，据此根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：， ∴． ∴， 故选：D． 2．（2025·上海松江·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，根据负整数指数幂，零指数幂，二次根式的化简求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 3．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）实数在数轴上的位置如图所示：则化简为 【答案】6 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，再根据二次根式的性质，进行化简即可。 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴； 故答案为：6. 4．（24-25八年级上·上海静安·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （）利用二次根式的性质计算后再算加减即可； （）利用二次根式的乘法及除法法则，有理数的乘方法则，零指数幂计算后再算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【经典例题五 复合二次根式的化简】 【例5】（24-25八年级上·上海宝山·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案． 【详解】解：A. 故A错误； B. 故B正确； C. ，故C错误 ； D与不是同类二次根式，不能合并，故D错误. 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 1．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）若，则化简为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，，再利用二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：∵， ∴同号，且均不为0， 又∵在中，是被开方数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】注意到，故可将原式化为，然后探寻，进而得解． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，数字比较大，正确找到是解题的关键. 3．（24-25八年级上·上海金山·期末）已知是整数，则正整数n的最小值为 ． 【答案】3. 【分析】根据二次根式的性质，对进行化简，只要是整数即可 【详解】解：由题意可知：48n⩾0， ∴n⩾0， ∵是整数， 故是整数， ∴n的最小值为3， 故答案为3. 【点睛】本题考查二次根式的定义，解决此题时要先对根式进行化简将能开方的先开出来，再进行分析比较简单. 4．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中，a，b，m，n均为整数），则有，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝ ，b＝ ． (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值．． (3)化简：. 【答案】(1)； (2)a=16或64 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简、整式的加减、完全平方式，熟练掌握完全平方式的应用，读懂材料明确题意是解题关键． （1）仔细阅读材料根据探索得问题，通过完全平方公式去掉括号表示出、； （2）在（1）的基础上，求出，，根据，，，均为整数，分两种情况求出，； （3）在前面两问的基础上探究结果． 【详解】（1）解：， ，，，均为整数）， ，， 故答案为：，； （2）， ，，，均为整数）， ，， ， ①，，， ②，，， 综上所述：或16； （3）， ， ． 【经典例题六 最简二次根式的判断】 【例6】（24-25八年级上·上海青浦·期末）下列式子为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握这个概念是解题的关键．满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、被开方数是有限小数，可化为分数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、是最简二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 1．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 可以此来判断哪个选项是正确的． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海长宁·课后作业）下列二次根式中，不是最简二次根式的有 个． ①； ②； ③； ④. 【答案】3 【分析】根据最简二次根式的条件判定即可.一是被开方数是整数或整式；二是被开方数中不能含有能尽方的数或整式. 【详解】解：①中被开方数中x的指数是2，所以它不是最简二次根式； ②中被开方数0.3不是整数，所以它不是最简二次根式； ③中被开方数不是整数，所以它不是最简二次根式； ④符合最简二次根式的条件，是最简二次根式. 所以不是最简二次根式的有3个． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的条件是解题关键. 3．（2025·上海松江·模拟预测）二次根式、、、、、中，最简二次根式的概率是 ． 【答案】 【分析】根据最简根式的定义可得最简根式的个数，再根据概率公式随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数即可得出答案． 【详解】解：由题可知：＝，＝，＝，＝＝， 最简根式有，， ∴最简二次根式的概率是＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义及概率公式，根据二次根式的定义判断出最简二次根式的个数是解题的关键． 4．（24-25八年级·上海·2阶段练习）判断下列二次根式是不是最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)不是 【分析】根据最简二次根式定义：（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，先利用二次根式性质化简，再结合最简二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】（1）解：， 不是最简二次根式； （2）解：， 不是最简二次根式； （3）解：， 不是最简二次根式． 【点睛】本题考查二次根式性质及最简二次根式的概念，熟记最简二次根式定义是解决问题的关键． 【经典例题七 化为最简二次根式】 【例7】（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）下列二次根式，化简后能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式的应用，注意几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式，同类二次根式才能合并．将各选项化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】A、，不能与合并，故本选项错误； B、不能与合并，故本选项错误； C、，不能与合并，故本选项错误； D、，能与合并，故本选项正确， 故选：D． 1．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）若，，分别表示的相反数、绝对值、倒数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分母有理化，准确将的倒数求出是解题关键． 根据题意分别列出，，分别表示的数，然后比较即可得出结论． 【详解】解：由题意，，，， A. ，则，故选项错误，不符合题意；     B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，，则，故选项错误，不符合题意； D. ，则，故选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知三条边分别是5，6，7，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，在中，，过点C作于D，设，则，由勾股定理可得方程，解方程后求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，在中，，过点C作于D， 设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海虹口·期中）若与最简二次根式能够合并，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式及最简二次根式，先计算，再根据题意得，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：， 依题意得：， 解得， 故答案为：3． 4．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）计算： (1)； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)0； (2) 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质把各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）根据完全平方公式、二次根式的加法法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）当时， 【经典例题八 已知最简二次根式求参数】 【例8】（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）若两个最简二次根式和是同类二次根式，则n的值是（　　） A．﹣1 B．4或﹣1 C．1或﹣4 D．4 【答案】A 【分析】根据同类二次根式的概念可得关于n的方程，解方程可求得n的值，再根据二次根式有意义的条件进行验证即可得． 【详解】由题意：n2-2n=n+4， 解得：n1=4，n2=-1， 当n=4时，n2-2n=8，n+4=8，由题意舍去， 当n=-1时，n2-2n=3，n+4=3，符合题意， 故选A． 【点睛】本题考查了同类二次根式，二次根式有意义的条件，解一元二次方程等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 1．（24-25八年级上·上海宝山·期末）已知最简二次根式与2可以合并成一项，则a，b的值分别为（　　） A．a＝1，b＝2 B．a＝﹣1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝﹣1，b＝2 【答案】C 【分析】根据最简二次根式和合并同类二次根式的法则得出方程组，求出方程组的解即可． 【详解】∵最简二次根式与2可以合并成一项， ∴， 解得：a＝1，b＝0， 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式和同类二次根式，二元一次方程组的解法，掌握这些知识点是关键. 2．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）若能与最简二次根式合并，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据最简二次根式以及同类二次根式的定义，即可求出答案，熟练掌握同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：由， ∵能与最简二次根式合并， ∴，解得：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海松江·期中）已知最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查同类二次根式，解一元二次方程，根据被开方数相同的两个最简二次根式，叫做同类二次根式，求出的值，再根据二次函数的性质，进行化简即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：，， ∴； 故答案为：1． 4．（24-25八年级·上海长宁·课后作业）已知，，，且A、B、C是可以合并的最简二次根式，求、及的值. 【答案】，，. 【分析】由A、B、C是可以合并的最简二次根式可得A、B、C的被开方数相等，由此可得关于a、b的方程，解出a、b的值后，即可求出的值. 【详解】解：∵，，，且A、B、C是可以合并的最简二次根式， ∴ . ∴，则，，且. ∴，则. 故. 【点睛】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义以及合并同类二次根式的法则，正确理解题意，得出关于a、b的方程是求解的关键. 【拓展训练一 二次根式与数轴化简问题】 1．（24-25八年级上·上海静安·期中）实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则将化简的结果是（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，确定式子的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴ ； 故选D． 2．（24-25八年级上·上海崇明·开学考试）已知实数、在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质以及数轴的知识，解题的关键是根据数轴判断出a，b的取值范围，进而确定绝对值内式子的正负性． 先根据数轴判断的正负，再根据二次根式的性质以及绝对值的性质去掉绝对值符号，最后进行化简计算． 【详解】由数轴可知． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． ， 故答案为． 3．（24-25八年级上·上海长宁·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点C与点B关于原点对称，若A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，且． (1)则_____， _____，_____； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的混合计算，化简二次根式： （1）根据数轴上两点距离计算公式可得，再由点C与点B关于原点对称，可得，据此计算的结果即可； （2）根据（1）所求，先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解；∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，， ∴； ∵点C与点B关于原点对称， ∴， ∴ ， 故答案为：；；； （2）解： ． 【拓展训练二 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知， (1)化简； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用完全平方公式、平方差公式展开，再由二次根式性质化简，最后合并同类项即可得到答案； （2）将代入（1）中化简结果，由二次根式性质化简即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）知，， 当时，． 【点睛】本题考查二次根式化简求值，涉及完全完全平方差公式、平方差公式、二次根式性质化简、合并同类项等知识．熟练掌握相关公式及二次根式性质是解决问题的关键． 2．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如，，下面我们观察：；反之，，， (1)化简． (2)化简． (3)化简． (4)若，则m，n与a，b的关系是什么？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义以及熟练掌握平方差公式是解题关键． （1）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可； （2）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可； （3）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可； （4）将已知等式两边分别平方，根据对应相等可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： 理由：把两边平方，得， 3．（24-25八年级上·上海静安·期中）在学习二次根式后，数学兴趣小组探究发现，一些含有根号的特殊式子可以化成另一个式子的平方，例如：； ． 【类比】（1）仿照上述方法将化成另一个式子的平方； 【拓展】（2）运用上述方法化简：； 【变式】（3）若，且，，均为正整数，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）8或16． 【分析】本题主要考查二次根式的化简、完全平方公式，解题的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）仿照所给的方法求解即可； （2）将化成，再代入求解； （3）利用所给的方法进行分析，即可求解． 【详解】解：（1）； （2）∵， ∴； （3）①当，， ②当，． 综上所述，或． 1．（24-25八年级上·上海崇明·期末）下列是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A. 是整式，不是二次根式，故此选项不符合题意； B. 是整式，不是二次根式，故此选项不符合题意； C. 是二次根式，故此选项符合题意； D，的补开方数是负数，没有意义，故此选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次根式的判断，正确掌握二次根式的定义：形如的式子是二次根式是解答本题的关键． 2．（24-25八年级上·上海宝山·期中）若，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．先把原式变形为，解出方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， 解得：， 由题意得：， ∴， ∴． 故选：D 3．（24-25八年级上·上海静安·期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式和分式有意义的条件．根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：由题意得，，， 解得，且， 故选：C． 4．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式计算等． 首先根据平方根的定义确定x的值，再代入求出y的值，最后计算表达式的值． 【详解】解：∵和同时有意义， ∴且， ∴． 将代入，得． ∴． 故选A． 5．（2025九年级·上海长宁·专题练习）设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知式子两侧平方后，根据x、y、z的对称性，列出对应等式，进而求出x、y、z的值即可求解． 【详解】解：两侧同时平方，得到 ∴ ∴, ， ∴xyz＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查二次根式的加减法，x、y、z对称性，掌握二次根式加减法法则，利用两边平方比较无理数构造方程是解题关键． 6．（24-25八年级上·上海虹口·期末）已知是整数，则自然数的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求二次根式中参数的值，先根据二次根式中被开方数是非负数求出的范围，再分析求出的值． 【详解】解：根据被开方数是非负数可得，中的， 解得：， ∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴，， ∴自然数的值是或， 故答案为：或． 7．（24-25八年级上·上海青浦·期末）写出一个使式子有意义的整数为 ． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的概念，二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题的关键．根据被开方数为非负列不等式进行求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， ， 取一个整数， 可以取5， 故答案为：5（答案不唯一）． 8．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）化简 ； ； 【答案】 5 【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的基本性质和化简方法，将被开方数化为最简形式． 对于，思路是直接根据算术平方根的定义，找到平方等于25的非负整数；对于，需利用二次根式的除法法则，将分母有理化，使分母中不含根号；对于，先把带分数化为假分数，再进行二次根式的化简． 【详解】， ， ． 故答案为：5，，． 9．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）形如的根式叫做复合二次根式，把变成叫做复合二次根式的化简，请将复合二次根式化简为 ． 【答案】/ 【分析】先把10拆成与的平方和，则可写成完全平方式，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质：．也考查了完全平方公式的运用． 10．（24-25八年级上·上海崇明·期中）摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期（单位：），周期公式为，其中（单位：）表示摆锤的长，．若某摆钟的摆锤长为，则在分钟内该摆钟发出滴答声的次数约为 （结果保留整数；参考数据：）． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，解决本题的关键是根据．摆钟的摆锤长为，求出摆锤摆动一个来回需要的时间，再根据分钟等于秒可以求出在分钟内该摆钟发出滴答声的次数． 【详解】解：．若某摆钟的摆锤长为， ， 又， 在分钟内该摆钟发出滴答声的次数约为下． 故答案为： ． 11．（24-25八年级上·上海虹口·期中）知n=-6，求的值． 【答案】45． 【分析】先根据二次根式的被开方数的非负性求出m的值，再代入可求出n的值，然后代入求解即可． 【详解】由二次根式的被开方数的非负性得： 则，解得 将代入得： 将代入得：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义（二次根式的被开方数的非负性），利用二次根式的定义求出m的值是解题关键． 12．（24-25八年级上·上海·阶段练习）设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ (1)； (2)    ． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数求解即可，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键． （1）根据二次根式有意义的条件求解即可； （2）根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】（1）解：由得； （2）由得． 13．（24-25八年级上·上海普陀·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简以及运算除法，最后运算加减，即可作答． （2）先根据平方差公式以及二次根式的性质进行化简，再运算加减，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25八年级上·上海长宁·期中）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 【答案】冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 【分析】本题主要考查了代入求值，再根据二次根式的计算，求出结果即可； 【详解】解：把代入，得． 解得． 冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 15．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：； ． 【类比归纳】 (1)小华仿照小明的方法将化成了，则__________，__________． (2)请运用小明的方法化简． 【答案】(1)3； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确读懂题意． （1）将4看成是，则，由此求解即可； （2）将7看成是，则，由此求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴； ∴； （2）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$